专题15-8-分式的加减(知识讲解)-八年级数学上册(人教版)

专题15.8分式的加减（知识讲解）【学习目标】1．能利用分式的基本性质通分．2．会进行同分母分式的加减法．3．会进行异分母分式的加减法．【要点整理】要点一、同分母分式的加减同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减；上述法则可用式子表为：.特别说明：“把分子相加减”是把各分式的分子的整体相加减，即各个分子都应用括号，当分子是单项式时，括号可以省略；当分子是多项式时，特别是分子相减时，括号不能省，不然，容易导致符号上的错误.（2）分式的加减法运算的结果必须化成最简分式或整式.要点二、异分母分式的加减异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减.上述法则可用式子表为：.特别说明：异分母的分式相加减，先通分是关键.通分后，异分母的分式加减法变成同分母分式的加减法.（2）异分母分式加减法的一般步骤：①通分，②进行同分母分式的加减运算，③把结果化成最简分式.【典型例题】类型一、同分母分式的加减1、计算：．华华的计算过程如下：解：原式．请问华华的计算结果正确吗？如果不正确，请说明理由．【答案】不正确，理由见解析【分析】按照同分母的减法法则计算即可．解：华华的计算结果不正确，理由：减式的分子是一个多项式，没有注意分数线的括号作用；正确的运算是：原式．【点拨】本题考查了分式的加减，掌握运算法则是解本题的关键．注意：减式的分子是一个多项式，运算时要注意分数线的括号作用，防止出现的错误．举一反三：【变式】计算：（1）【答案】（1）；（2）m-n；（3）1；（4）-1【分析】首先通分，然后再依照“分母不变，分子相加减”的规则进行运算，计算过程中要合理运用因式分解相关公式，注意结果要约分化为最简形式.解：（1）原式=；（2）原式=；（3）原式=；（4）原式=.【点拨】分式加减运算中，通分是关键环节，要学会寻找最简公分母，同时注意最后结果的约分.类型二、异分母分式的加减 2、阅读材料，并回答问题：小亮在学习分式运算过程中，计算解答过程如下：解：①②③④问题：（1）上述计算过程中，从步开始出现错误（填序号）；（2）发生错误的原因是：；（3）在下面的空白处，写出正确解答过程：【答案】（1）③；（2）分式加法法则运用错误；（3）见解析【分析】观察整个运算过程，根据分式的加法运算法则，找出错误的步骤并正确求解即可．解：（1）③；（2）同分母分式相加时，分母不变，分子相加，不能去掉分母；（3）原式，，，．【点拨】本题考查了分式的加法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．举一反三：【变式】计算下列各题（1）（2）【答案】（1）0；（2）【分析】（1）先通分，可化成同分母分式，根据同分母分式的加减，可得答案；

（2）从左到右依次通分相减即可．解：（1）原式.（2）原式.【点拨】本题考查了分式的加减，异分母分式通分是解答此题的关键．类型三、分式的加减乘除混合运算3、先化简，再求值：，其中．【答案】；【分析】分式的混合运算，注意先算乘除，然后算加减，有小括号先算小括号里的，然后代入求值即可．解：==当时，原式．【点拨】本题考查分式的混合运算，分式的化简求值，掌握运算顺序和计算法则正确计算是解题关键．举一反三：【变式1】先化简，再求值：，其中【答案】；【分析】分式的混合运算，注意先算乘除，然后算加减，有小括号先算小括号里面的，然后代入求值即可解：把代入上式，得：【点拨】本题考查分式的混合运算，掌握运算法则和运算顺序正确计算是解题关键．【变式2】先化简：，然后从，，中选择一个合适的数代入求值．【答案】；1【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后从0，2，3中选择一个使得原分式有意义值，代入化简后的式子即可解答本题．解：∵当或时，原式没有意义，∴当时，原式．【点拨】本题考查分式的化简求值，明确分式化简求值的方法和分式有意义的条件是解答本题的关键．类型四、分式的加减乘除运算的应用4．探索：（1）如果，则m=（2）如果，则m=总结：如果（其中a.b.c为常数），则m=应用：利用上述结论解决：若代数式的值为整数，求满足条件的整数x的值．【答案】（1）m=﹣13；（2）m=﹣5；（3）m=b﹣ac；（4）x=2或0【分析】（1）根据分式的性质把5化出来，再根据等式的性质求出m的值；（2）根据分式的性质把3化出来，再根据等式的性质求出m的值；总结：根据分式的性质把a化出来，再根据等式的性质求出m的值，先把代数式的4化出来即可求解.解：（1）∵∴m=﹣13；（2）∵∴m=﹣5；总结：∵∴m=b﹣ac；应用：∵=又∵代数式的值为整数，∴为整数，∴x﹣1=1或x﹣1=﹣1，∴x=2或0【点拨】此题主要考查分式的运算，解题的关键是根据已知等式进行求解，再得出规律进行解答.举一反三：【变式】阅读下列材料，并解答总题：材料：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式．解：由分母x+1，可设则=∵对于任意上述等式成立∴，解得，∴这样，分式就拆分成一个整式与一个分式的和的形式．（1）将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式为___________；（2）已知整数使分式的值为整数，则满足条件的整数=________．【答案】（1）；（2）4、16、2、-10【分析】（1）仿照例题，列出方程组，求出a、b的值，把原式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式；

（2）仿照例题，列出方程组，求出a、b的值，把原式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式，根据整除运算解答；解：（1）由分母x-1，可设x2+6x-3=（x-1）（x+a）+b

则x2+6x-3=（x-1）（x+a）+b=x2+ax-x-a+b=x2+（a-1）x-a+b

∵对于任意x上述等式成立，解得：，拆分成x+7+故答案为：x+7+（2）由分母x-3，可设2x2+5x-20=（x-3）（2x+a）+b

则2x2+5x-20=（x-3）（2x+a）+b=2x2+ax-6x-3a+b=2x2+（a-6）x-3a+b

∵对于任意x上述等式成立，，解得拆分成2x+11+∵整数使分式的值为整数，∴为整数，则满足条件的整数x=4、16、2、-10，

故答案为：4、16、2、-10；【点拨】本题考查的是分式的混合运算，掌握多项式乘多项式的运算法则、二元一次方程组的