2023-2024学年人教版数学九年级上册专项练习：圆周角（拔高卷）

2023-2024学年人教版数学九年级上册同步专题热点难点专项练习

专题24.2圆周角（专项拔高卷）

考试时间：90分钟试卷满分：100分难度：0.48

选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）

1.（2分）（2023•新疆一模）如图，46是。。的直径，4C为弦，ZBAC=25°,在。。上任取一点〃且点，

与点C位于直径U的两侧，连接和〃C,则/〃的度数是（）

A

A.50°B.60°C.65°D.75°

是。。的直径,

90°,

:/掰C=25°,

；./6=65°,

AC=AC-

:./AZB=63°.

故选：C.

2.（2分）（2023•芜湖三模）如图，。。的半径勿,/6于点G连接/。并延长交。。于点£,连接若

AB=8,5=2,则tan/数为（）

D.嗜

17133

解：连接BE,过C作于0,设。。的半径为尼

：.Z0CA=9Q°,AC=BC=\,

由勾股定理得：O^=OG+AG,

即母=(R-2)2+42,

解得：火=5,

即/£=5+5=10,

为。〃的直径，

：.NB=90°,

22

BE=7AE-AB=7102-82=&

：然=4,

-SaACE^OBE总AECQ,

•••yX4X6=yX10XCQ-

解得：CQW，

5

由勾股定理得：CE=VB，2+BE2=^42+62=2>/13,

EQ=VCE2-CQ2=J(2V13)2-(昌2号

YDD

12

/CQ6

.•.tan/OEC湛中下

5

故选：A.

3.（2分）（2023•金台区模拟）如图，48是。。的直径，点〃在。。上，连接2C、AD、CD,若/BAC=

20°,则N/%的度数是（）

A.120°B.100°C.110°D.70°

解：连接式；

•・・/8为。。直径，

：.ZACB=90°,

'：ZBAC=20°,

：.ZCBA=70°,

•・,四边形/a7?为。。的内接四边形,

：.ZADC=110°.

4.（2分）（2023•五通桥区模拟）如图，是。。的直径，N0=15°,则/曲〃的度数为（）

c

A.45°B.55°C.65°D.75

解：连接劭，

•・・/£是。。的直径，

：.ZADB=90°,

•・・N8=NC=15°,

：.ZBAD=90°-ZB=75°.

故选：D.

5.（2分）（2023•福州模拟）如图，已知国是。。的直径，点4〃在。。上，若N40=32°,则N4T的

大小为（）

A.68°B.62°C.58°D.52°

解：:员是直径，

：.ZBAC=90°,

・・・/方=90°-ZACB=58°,

：・/D=/B=58°,

故选：C.

6.（2分）（2022秋•建昌县期末）如图，以四为直径的半圆。上有G〃的两点，AC=BC，则N曲。的度

数为（）

AOB

w

c

A.30°B.35°C.45°D.60°

解：・・,弧47=弧况；

AZA0C=ZB0C=90o,

•'•ZBDC=JZB0C=45°，

故选：c.

7.（2分）（2023•蒲城县二模）如图，是。。的直径，CD、庞是。。的两条弦,切交相于点G,点。是直

的中点，点6是质的中点，若45=1。,BG=2,则庞的长为（）

B

A

A.3B.4C.6D.8

解：连接勿，如图，

B

A

•・•点。是前的中点，点6是&的中点，

CE=BC=BD，CD工AB,

：.BE=CD,CG=DG,

・・・Z£=10,是。。的直径，

：.OB=OD=3,

,:BG=2,

：.OG=OB-BG=3,

在Rt△〃%中，0G=3,⑺=5,

・"G=J0D2_0G2=4,

：.CD=2DG=S,

:・BE=8,

故选：D.

8.（2分）（2023•全椒县三模）如图是以。为圆心，48为直径的圆形纸片，点。在。。上.将该纸片沿直线

口对折，点笈落在。。上的点〃处（不与点力重合），连接纸CD,AD.设切与直径态交于点£,若

AD=ED,则N8的度数为（）

解：'：AD=DE,

:・/DAE=/DEA,

*：/DEA=/BEC,/DAE=/BCE,

:・/BEC=/BCE,

•・•将该圆形纸片沿直线3对折，

：.AECO=ABCO,

又*：OB=OC,

：・/OCB=/B,

设/ECO=ZOCB=/B=x,

：.ZBCE=ZEC(AABCO=2x,

:・/CEB=2x,

■：/BE8/BC*/B=18G°,

.•・x+2x+2x=180

：.x=36°,

：.ZB=36°；

故选：C.

9.(2分)(2023•洪山区校级模拟)“托勒密定理”由依巴谷提出，其指出圆的内接四边形中，两条对角线

的乘积等于两组对边乘积之和.如图，。。中有圆内接四边形/比〃已知初=8,。9=5,AB=6,ZBDC

=60°,贝()

A8/「R8晒-6「8病-7n8痘-8

7777

解：过点方作册LS垂足为£,过点方作班工/G垂足为凡

'：/BDC=6T,

:.NBDC=/BAC=6Q°,

在Rt△口火中，BD=8,

.•.庞=〃>cos60°=8X』=4,

2

BE=B。sin60。=8X亨=4a，

•：CD=3,

:・CE=CD-DE=3-4=3

22=

在Rt△颇中，^^7BECEV(4^3)2+l2=7,

在泓中，4c=/6・cos60°=6义工=3,

2

%—/6・sin600-6X近二3小

2

在Rt△6CG中，CG=)\/BC2-BG2=V72-(3V3)2=(^22，

：.AC=AG+CG=?)+422,

:四边形/位是。。的内接四边形，

AD-BC+AB-CD=AC'BD,

，7物6X5=8(3+V22)，

8

解得：AD=^22-6；

7

故选：B.

10.（2分）（2023•洪山区模拟）如图，等腰△/a7的顶点从C在圆。上，点/在圆。外，ODLAC于D点,

若以7=8,sinN46C=2鱼，649=3,则圆。的半径为（）

解：连接力、OB、OC,延长/。交比'于〃

'：AB=AC,AO=AO,OB=OC,

：./\AB(^/\ACO(SSS),

：.ZBAO=ZCAO,

：.AHLBC,BH=C4±BC=4,

2

"：AB=AC,

：.AACB=/ABC,

sinZACB=sinZABC=^-,

25

.AH=24

"AC25,

:.令AH=24x,AC=25x,

•.•)=出2到2=7户4,

x=—,

7

；/〃=24x=%,4£25X=^^,

77

"?ODLAC,

:"ADO=/AHC=9Q°,

'：AOAD=ACAH,

：./\AOD^/\ACH,

:.AD：AH=OD：CH,

:.AD：毁=3：4,

7

：.AD=TL,

7

：.CD=AC-AD=\,

•*-OC=VOD2-K?D2=5'

.•.圆0的半径长是5.

故选：C.

二.填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）

11.（2分）（2023•丹徒区二模）如图，菱形/质的顶点水〃都在。。上，且/力片12°,设4C与。。交

于点£,则/力旗的度数是78°•

C

D

解：如图，连接应

VOA=OD,

：.ZODA=ZOAD=12°,

：.ZAOD=180°-12°-12°=156°,

：.ZABD=^ZAOD=78°,

2

:四边形/腼是菱形，

:.AB=AD,/BAE=/DAE,

在△掰£和△物£中，

'AB=AD

,NBAE=/DAE，

tAE=AE

△胡国△加£（弘S）,

:./AEB=/AEg/,

故答案为：78°.

12.（2分）（2023•沐阳县二模）如图，四边形是。。的内接四边形，且/CL劭，OFLCD,垂足分别为

E、F,若OF=—,则AB=5

2

D

解：作直径〃G,连接CG,如图,

•・•加为直径，

：.ZDCG=90°,

・•・/切伊NG=90°,

,：ACLBD,

:./DA8/ADB=90°,

■:/DAC=/G,

：.ZADB=ACDG,

•••AB=B«

：.AB=CG,

u：OFLCD,

：.DF=CF,

'：OD=OG,

・••⑺为的中位线，

:・CG=2OF=2乂==5,

\AB=5.

故答案为5.

13.（2分）（2023•盐都区一模）用破损量角器按如图方式测量NZ■的度数，让N2欧的顶点恰好在量角器

圆弧上，两边分别经过圆弧上的4。两点.若点儿。对应的刻度分别为55°,135。，则NZ■的度数

为140°

解：连接以、OC、DA、DC,设。。的直径为明如图:

D

由题意可知，ZAOE=55°,N£〃C=135°,

:/AOC=/EOC-/AOE=\35°-55°=80°,

：.ZADC=^-ZAOC=40°,

2

•：ZABaZAOC=180°,

.•./•=140°,

故答案为：140。.

14.（2分）（2023•宿迁一模）如图，4?是半圆的直径，a〃是半圆上的两点，且/胡C=50°,AD=CD,

则/的C=20°.

解：是半圆。的直径,

：.ZACB=90°,

•.,/胡「=50°,

：.ZB=90°-50°=40°.

：.ZADC=180°-40°=140°.

■:AD=DC.

：.ZDAC^ZDCA^^~—=20°.

2

故答案为：20.

15.（2分）（2023•朝天区模拟）如图，是以点。为圆心，为直径的圆形纸片，点，在。。上，将该圆形

纸片沿直线CO对折，点6落在。。上的点〃处（不与点力重合），连接纸CD,AD.设。与直径/斤交

于点£,若AAED,区•的值等于里亚，.

AD—2一

解：,:AADE,

：.ADAE=ADEA,

'：ADEA=ABEC,4DAE=Z.BCE,

:./BEC=/BCE,

..•将该圆形纸片沿直线C。对折，

AECO=ZBCO,

又,：OB=OC,

：./OCB=/B,

设/ECO=ZOCB=/B=x,

/BCE=AEC(AABCO^lx,

：.4CEB=2x,

/BE*/BCE+/4\SQ°,

.\x+2x+2x=180°,

：.x=36°,

：.ZB=36°；

,：AECO=AB,ZCEO=ZCEB,

：./\CEO^^BEC,

.CEBE

••一二,

EOCE

：.CB=EOBE,

设EO=x,EC=OC=OB=a,

解得，x=Yl二la（负值舍去），

2

：.OE=^~^-a,

2

：.AE^OA-OE=a-娓a=上泥.

22

•?AAED=Z.BEC,ADAE=ABCE,

:.△BCEsXDAE,

•.•-B-C=-E-C-,

ADAE

•BC_a_3^5

,,AD-3-V5—F-.

--n--a

故答案为：也支

2

16.（2分）（2023•唐河县模拟）如图，已知。。的半径为5,户是直径的延长线上一点，B『,CD是。

。的一条弦，CD=&,以PC,如为相邻两边作平行四边形R四，当G〃点在圆周上运动时，线段也长

的最小值是4.

E

D

・・,四边形的是平行四边形，

：.EK=PK,CK=DK,

：.OKLCD,

在RtZkzW中，0C=5,CK=3,

A^=7OC2-CK2=4,

•：0P=0B+PB=6,

・・・6-4<*6+4,

・・・弘的最小值为2,最大值为10,

■:PE=2PK,

・・・依的最小值为4,最大值为20.

故答案为：4.

17.（2分）（2023•盐都区三模）如图，点2是。。中优弧胡〃的中点，ZABD=70°,。为劣弧劭上一点,

则的度数为140。.

O]D

'C

B

解：丁点力是。。中优弧良。的中点，

即第=合，

:"ADB=NABD=1Q°,

，//=180°-NABD-NADB=4Q°,

'：ZA+ZBCD=18QQ,

：.ZBCD=180°-40°=140°.

故答案为：140°.

18.（2分）（2023•锡山区校级三模）如图15个形状大小相同的菱形组成网格，菱形的顶点称为格点，已知

菱形的一个角为60°,A,B,C都在格点上，点。在南上，若£也在格点上，旦/AEQ/ACD,则tan

解：将圆补充完整，找出点£的位置，如图所示:

•弧42所对的圆周角为N4。、ZAED,

图中所标点£符合题意，

:四边形酸如为菱形，且/至=60°,

昭为等边三角形，

tanNAEC=tan60°=/3>

故答案为：Vs.

19.（2分）（2023•安徽模拟）如图，矩形/四9中，AB=8,比'=12,以2为圆心，4为半径作。〃E为。D

上一动点，连接以/£为直角边作RtF,使/以尸=90°,tan//瓦?=■1,则点尸与点C的最小

3

距离为二百5二母

:/胡尸=90°,tan/毋'=工,

3

.AF=1

••蕊E'

-：AB=8,AG=GB,

：.AG=GB=4,

'：AD=\2,

•AG=A=1

,*AD_12T

.AF=AG

,,AEAD，

•.•四边形/位是矩形，

:./BAX/B=/EAF=9Q°,

：.ZFAG=ZEAD,

△9Gs△掰〃

：.FG：DE=AF：4£=1：3,

,:DE=4,

.•"G=里，

3

.•.点户的运动轨迹是以G为圆心国为半径的圆，

3

GC=22

VGB+BC=742+122=4V10，

J.FC^GC-FG,

刀彦4715-y

〃的最小值为W75-—.

3

故答案为：4-10-金■.

3

20.（2分）（2023春•亭湖区校级期末）如图，4?是半径为2的。。的弦，将会沿着弦4?折叠，正好经过

圆心。，点，是折叠后篇的上一动点，连接并延长回交。。于点〃，点£是切的中点，连接4GAD,

EO.则的最小值为.

解：连接的和OB,作OFVAB.连接力£,EF.

由题知：窟沿着弦46折叠，正好经过圆心。,

：.OF=LOA=LOB,

22

:./AOF=/BOF=6Q°,

；.//如=120°,

：.ZACB=12.0°,

/人工N4如=60°,

2

-ZJG?=60°,

；.△/切是等边三角形，

：£是切中点，

：.AELBD,

又,：OFLAB,

厂是初中点，

即，正是△/座斜边中线，

:.AF=EF=BF,

即，£点在以为直径的圆上运动.

所以，当民0、尸在同一直线时，。后长度最,

此时，AE=EF,AELEF,

:。。的半径是2,即。=2,0F=\,

：.AF=y[3（勾股定理），

：.OE=EF-OF=AF-OF=M-1.

故答案为：Vs-1-

三.解答题（共8小题，满分60分）

21.（6分）（2022秋•利川市期末）如图所示，。。的直径为6颂，的平分线交。。于点〃

（1）判断△/如的形状，并证明；

（2）求初的长.

D

解：（1）△/功是等腰直角三角形,

证明：•:CD¥64ACB,

：.AACD=/BCD,

•••AD=BD«

：.AD^BD,

是。。的直径,

：.ZADB=90°,

・•・△/的是等腰直角三角形；

(2)由(1)得：

/ADB=90°,AD=BD,

,;AB=6cm,

:.BD=单=$=3近(cm),

V2V2

二劭的长为3我.

22.(6分)(2023•新会区二模)如图，点/、B、C在。。上，回是直径,N板的角平分线仍与。。交于

点D,与〃交于点M,且连接OD,交然于点N.

(1)证明：ODLAQ

(2)试猜想与切之间的数量关系，并证明.

(1)证明：•:BD平■分4ABC,

：.ZABD^ZDBO,

AD=DC-

ODLAC-,

(2)解：猜想OD=^-AB.

2

AD=DC>ODLAC,

:.AN=NC.

7OB^yBC-AN=NC,

：.ON是丛ABC的中位线，

：.AB=20N,AB//ON.

：.ZABM=ANDM.

"：BM=MD,ZBMA=ZDMN,

△熊侬AW(4S4),

:.AB=Ng20N.

：.040N^Ng3AB.

2

23.（8分）（2022秋•海陵区校级期末）如图，点4在y轴正半轴上，点方是第一象限内的一点，以/夕为

直径的圆交x轴于〃。两点.

（1）勿与勿满足什么条件时，AC=BC,写出满足的条件，并证明/C=6C；

（2）在（1）的条件下，若以=1,BD=3加，求功长.

以

当的=①时，AC=BC,

证明：-：ZAOD^90°,

△/勿是等腰直角三角形,

：.ZODA=45°,

：.ZODA=ZABC=45°，

是圆的直径，

：.ZACB=90°,

：.ZBAC=45°,

：.ZBAC=ZABQ

：.AC=BC；

(2)・・,丝是圆的直的,

：.ZADB=90°,

AZAOC=ZADB=90°,

'：ZACO=ZABD,

:.MAOCSMADB,

：.oaDB=OA：AD,

■:AD=®0A=®,

：.OCz3&=1：近,

：.0C=3,

：.DC=OC-0D=3-1=2.

24.(8分)(2023•河西区校级三模)如图，26为。。的直径，点G〃为直径45同侧圆上的点，且点〃为众

的中点，过点〃作班工26于点幺延长典交。。于点E4C与如交于点G.

(I)如图①，若点。为防的中点，求N4"的度数；

(II)如图②，若ZC=12,AE=3,求。。的半径.

解：(/):力夕为。。的直径，〃为金的中点，。为笳的中点,

•**AD=CD=BC，

：.ZBAC=30°,

•:DE，AB,

：.ZAFG=90°,

：.ZAGF=9Q°-30°=60

(//)如图，连接OF.

:・DE=EF,AD=AF，

•・•点〃是弧/c的中点，

AD=CD^

AAC=DF-

：.AC=DF=12,

:.EF=LDF=6,汲OA=OF=X,

2

在Rt△磔'中，则有方=62+（£-3）2,

解得x=7.5,

的半径是7.5.

25.（8分）（2023•江汉区模拟）已知皿是。。的直径，C,D,£是半圆上三点，且/。=切，DE=BE.

（1）如图1,求证：AB=&CE；

（2）如图2,若“-1,庞=&,求cos/4庞的值.

图1图2

解：（1）连/、0E.

图1

;AC=CD,ED^EB,

•••CA=CD-ED=EB-

•••CD+DE=AC+BE

:"C0E=9Q°,

:.AB=2OE=2乂

（2）连/£、比'交于点户，则//龙=//旗=90°,

图2

窃£=45°,/侬'=45°,

."=然=1,EF=BE=版,

：.AF=42AC=42>

:.AE=2近,

AB=VAE2+BE2=V10，

：.cosZABE=^-=^-.

AB5

26.（8分）（2023•蚌埠二模）如图，。。中两条互相垂直的弦相，必交于点R经过点。，£是4。的中

点，连接第EP,延长即交加于点尸.

（1）若羔=10,OE=JI5，求的长;

力垂直平分AC,

J.OELAC,AC=2AE,

*6=10,

.•.如=工/8=5,

2

在Rt△//中，如

•**AE=VOA2-OE2=也2-（45）2=任,

•••AC=2AE=2V15.

的长为2丁记；

（2）证明：-：ABVCD,

：.4APC=4BPD=9Q°,

:./DPF+/BPF=9Q°,

：£是然的中点，

：.EP^EC=^-AC,

2

:./EPC=/C,

'：