2023-2024学年人教版九年级数学上册专项突破：过三点的圆 （解析版）

专题19过三点的圆

考点1：确定圆的条件；考点2：三角形的外接圆与外心。

题型01确定圆的条件

1.如图，点4B,C,。均在直线/上，点P在直线/外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（）

ABCD1

A.3个B.4个C.5个D.6个

解：根据经过不在同一直线上的三点确定一个圆得，经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为6个，

答案：D.

2.小明不慎把家里的圆形镜子打碎了，其中三块碎片如图所示，三块碎片中最有可能配到与原来一样大小的圆形

镜子的碎片是（）

A.①B.②C.③D.均不可能

解：第①块出现两条完整的弦，作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心，进而可得到半

径的长.

答案：A.

3.（易错题）如图，点A,B,C均在6X6的正方形网格格点上，过/,B,C三点的外接圆除经过/,B,C三点

外还能经过的格点数为5.

解：如图，分别作/2、8c的中垂线，两直线的交点为O,

以。为圆心、为半径作圆，则。。即为过/,B,C三点的外接圆，

由图可知，OO还经过点。、E、F、G、〃这5个格点，

答案：5.

4.当/(1,2),B(3,-3),C(%,〃)三点可以确定一个圆时，m,"需要满足的条件5俏+2〃W9.

解：设直线的解析式为>=区+6,

\'A(1,2),B(3,-3),

."+6=2

''I3fc+=-3

59

解得：k---,b=~,

59

直线AB的解析式为y=--x+

丁点/(1,2),B(3,-3),C(机，«)三点可以确定一个圆时，

.,.点C不在直线48上，

5/M+2“W9,

答案：5m+2”W9.

5.如图，直角坐标系中一条圆弧经过网格点/,B,C,其中8点坐标为(4,4),则该圆弧所在圆的圆心坐标为

(2,0).

解：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心,

J'小

可以作弦和2c的垂直平分线，交点即为圆心.

如图所示，则圆心是（2,0）.

答案：（2,0）

6.（易错题）如图所示，BD,CE是△48C的高，求证：E,B,C,。四点在同一个圆上.

证明：如图所示，取8C的中点/，连接DREF.

和ABCE都是直角三角形.

DF,EF分别为RtABCD和RtABC£斜边上的中线,

：.DF=EF=BF=CF.

1

：.E,B,C,。四点在以尸点为圆心，/C为半径的圆上.

题型02三角形的外接圆与外心

7.如图，AC,BE是O。的直径，弦AD与BE交于点、F,下列三角形中，外心不是点。的是（）

C

A.AABEB.AACFC.4ABDD.AADE

解：如图所示：只有的三个顶点不都在圆上，故外心不是点。的是△NCF.

答案：B.

8.点。是△48C的外心，若/8OC=80°,则/8/C的度数为（）

A.40°B.100°C.40°或140°D.40°或100°

解：如图所示：是△/BC的外心，ZSOC=80°,

-40°,NA'=140°,

故/R4c的度数为：40°或140°.

答案：C.

9.（易错题）如图，等边△48C的三个顶点都在。。上，AD是。。的直径.若。/=3,则劣弧AD的长是（

兀3兀

A.弓B.TTC.-D.2TT

解：连接02、BD,如图：

为等边三角形,

Z.ZC=60°,

AZ£>=ZC=60°,

：OB=OD,

.,.△BOD是等边三角形，

:.NBOD=60°,

•.•半径。/=3,

607rx3

劣弧BD的长为一两一=n,

loU

答案：B.

10.如图，O。是△N8C的外接圆，//=72°.过点。作2C的垂线交友;于点。，连接2D,则的度数为（）

A.64°B.54°C.46°D.36°

解：连接CD,

:四边形NADC是圆内接四边形，N/=72°,

：.ZCDB+ZA=\^Q°,

AZBDC=1SO°-ZA=108°,

'JODLBC,

是边BC的中点，

：.BD=CD,

1

：.ZODB=ZODC=-ZBDC=54°.

答案：B.

11.（易错题）如图，OO是等边△48C的外接圆，点。是弧/C上一动点（不与/,C重合），下列结论①/ADB

=/BDC；②DA=DC；③当。5最长时，DB=2DC；④DA+DC=DB,其中一定正确的结论有（）

A

D

A.1个B.2个C.3个D.4个

解：•.•△NBC是等边三角形，

AZBAC=ZACB=60°,

■：AB=AB,BC=BC,

；./4DB=NACB=6Q°,NBDC=NBAC=6Q°,

ZADB=ZBDC,故①正确；

;点。是弧/C上一动点，

.•.松与仇）不一定相等，

与。C不一定相等，故②错误；

当。3最长时，为OO直径，

:.NBCD=90°,

■:NBDC=60°,

:.NDBC=30°,

：.DB=2DC,故③正确；

在。2上取一点E,使DE=4D,如图：

VZADB^60°,

.•.△/DE是等边三角形，

：.AD=AE,/DAE=60°,

V60°,

/.ZBAE=ZCAD,

,：AB=AC,

:.AABE冬AACD(SAS),

:*BE=CD,

：.BD=BE+DE=CD+AD,故④正确；

正确的有①③④，共3个，

答案：C.

12.（易错题）如图，。。是△A8C的外接圆，弦BD交4c于点、E,AE^DE,BC=CE,过点。作。尸，/C于点

F,延长尸。交BE于点G,若DE=3,EG=2,则N8的长为（）

A.4V3B.7C.8D.4近

解：如图，连接CD,

在△4ES和△DEC中,

Z.A=ZD

AE=ED,

.Z.AEB=乙DEC

••.△AEB名ADEC(ASA),

:・EB=EC,

■:BC=CE,

:.BE=CE=BC,

，△防。为等边三角形,

AZACB=60°,

如图，作即CL4C于点

OFLAC,

：.AF=CF,

•••△E5C为等边三角形,

：.ZGEF=60°,

AZEGF=30°，

•;EG=2,

：.EF=lf

•；AE=ED=3,

：.CF=AF=4,

.'.AC=8fEC=5,

:.BC=5,

VZBCM=6Q°,

AZAffiC=30°,

5RG

CM=—,BM=V3CM=——,

11

.\AM=AC-CM=—,

•■AB=JAM2+BM2，4）2+（573）2=7.

答案:B.

13.如图，OO是△48C的外接圆，NR4C=60°,若。。的半径。。为2,则弦8c的长为（）

A.4B.2V3C.3D.V3

解：过点。作交3C于点M,

：O。是△45C的外接圆，ZBAC=60°,

：.ZBOC=2ZBAC=120°,

又〈OB=OC,OMLBC,

1

AZCOM=-ZBOC=60°,MB=MC,

.•.在RtZ\C(W中，ZOCAf=30°,

1「「

：.OM=~OC=\,CM=y^OM=小

:.BC=2CM=24

答案:B.

14.如图，在5X7网格中，各小正方形边长均为1,点O,A,B,C,D,E均在格点上,点。是△N8C的外心,

在不添加其他字母的情况下，则除△NBC外把你认为外心也是。的三角形都写出来.△ABD,A4CD,△

BCD.

解：由图可知:

OA=712+22=V5>

OB=712+22=V5>

OC=712+22=近,

OD=712+22=V5>

OE=712+32=V10>

OA=OB=OC=OD中OE,

:AABD,/\ACD,△BCD的外心都是点O,

答案：LABD,4ACD,/XBCD.

15.（易错题）如图，4D是。。的直径，△N8C是。。的内接三角形.若/DAC=/ABC,AC=4,则。。的直径

AD=4五.

解：如图，连接CD、OC.

,?ZDAC=Z.ABC,

'.AC—DC,

J.AC^CD,

是（DO的直径，

ACD=90°,

•••/^ACD是等腰直角三角形,

.•./C=CD=4,

：.AD=岳C=4收

答案：4V2.

16.如图，△45。内接于O。，ZA=50°，点。是的中点，连接OD,OB,OC,则50°

解：'：ZA=50°,

/.ZBOC=100°.

9：OB=OC,

・・・△08。为等腰三角形，

又・・•。为中点，

・・・OD为上中线，

根据等腰三角形三线合一性质可得0D为/BOC的平分线，

1

:・NBOD=《/BOC=50°.

答案：50°

17.(易错题)如图，NA4C的平分线交△45。的外接圆于点。，N45C的平分线交40于点E.

(1)求证：DE=DB；

(2)若NA4C=90°，BD=4,求外接圆的半径.

(1)证明：・.・4D平分N5ZC,BE平分/ABC,

：・/ABE=/CBE,/BAE=/CAD,

BD=CD,

：.NDBC=/CAD,

：.ZDBC=/BAE,

'：ZDBE=NCBE+NDBC,ZDEB=ZABE+ZBAE,

：./DBE