2023-2024学年高一年级下册数学人教版必修第二册期末复习卷

期末复习卷-2023-2024学年高一数学下学期人教A版2019必修

第二册

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

1.如图所示的频率分布直方图呈现右拖尾形态，则根据此图作出以下判断，正确的是（）

A.众数C中位数＜平均数B.众数＜平均数＜中位数

C.中位数＜平均数〈众数D,中位数〈众数＜平均数

2.已知向量Q4,OB，OC满足：OA+OB+OC=Q＜且=|oc|=1,则三角形ABC

的形状是（）

A.等腰三角形B.直角三角形

C.等腰直角三角形D.等边三角形

3.设夕是两个不同的平面，加，〃是两条不同的直线，则下列命题中正确的是（）

A.若〃_zL〃，mA.a,nJI（3,则C尸

B.若〃?_L”，mLa,J■尸，贝!]a〃9

C.若加//〃，m±a,n1,则a〃/?

D.若mua,nu/3,则〃”历

4.某数学兴趣小组测量学校旗杆的高度，在旗杆底部。的正东方向A处，测得旗杆顶端尸

的仰角为60,在A的南偏西30方向上的8处，测得产的仰角为45（。，A,8在同一水平

面内），A,B两点间的距离为20m,则旗杆的高度OP约为（&*1.4,6=1.7）（）

A.10mB.14mC.17mD.20m

5.一个总体中共有10个个体，用简单随机抽样的方法从中抽取一个样本容量为3的样本，

则某一个特定个体被抽到的概率为（）

6.用半径为2石的半圆形铁皮卷成一个圆锥筒，则该圆锥筒的高为（）

A.12B.6

C.9D.3

7.已知ABC是锐角三角形，若sin?A-sin?_B=sin8sinC,则，的取值范围是（）

b

A.（0,2）B.（72,73）C.（形,2）D.（g,2）

8.我国古代《九章算术》将上下两个平行平面为矩形的六面体称为“刍童”.如图，在刍童

ABCD-EFGH中,AB=4,AD=2,EF=8,EH=4,平面ABC。与平面EPG8之间的距离

为3,贝啦匕“刍童”的体积为（）

EF

A.36B.46C.56D.66

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.一只不透明的口袋内装有9张卡片，上面分别标有数字1,2,3,9.从袋中任意抽取

1张卡片，记“抽出的卡片号为1,4,7”为事件A,“抽出的卡片号小于7”为事件8,“抽出

的卡片号大于7”记为事件C.下列说法正确的是（）

A.事件A与事件C是互斥事件B.事件A与事件3是互斥事件

C.事件A与事件B相互独立D.事件8与事件C是对立事件

10.设复数z=等，则下列命题结论不正确的是（）

2+1

A.z的虚部为1

B.|Z|=A/2

C.N在复平面内对应的点在第四象限

D.z是方程f一2元+2=0的根

试卷第2页，共6页

11.如图，在正方体ABC。-AAGA中，若尸为棱2耳的中点，。点在侧面ABBH（包括

边界）上运动，且平面PCA，下面结论正确的是（）

A.。点的运动轨迹为一条线段

7T

B.直线。。与AD所成角可以为:

C.三棱锥尸-CRQ的体积是定值

9

D.若正方体的棱长为1,则平面PC。与正方体的截面的面积为3

O

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知复数z=l+2i（其中i为虚数单位），贝ijlmz=.

13.已知向量。=（-1,2）,则与〃垂直的单位向量的坐标为.

14.如图，△O'A8'是水平放置的的斜二测直观图，若

O'A'=3,OB'=2>/2,XA'O'B'=45,则Q4B的面积为.

四、解答题：本题共5小题，第15小题13分，第16、17小题15分，第18、19小题17

分，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.已知向量d=（3,l）,b=（L4）（2eR）

⑴若求4的值;

（2）若求W的值.

16.已知复数z=(2—a)+(2+a)i,其中i为虚数单位，aeR

⑴若z-N=16,求实数”的值；

⑵求|z-N的最小值，并指出|z-2|取到最小值时实数a的值.

17.如图，在平行四边形ABC。中，已知A=q,AB=2,AD=1,E为线段A8的中点,

厂为线段BC上的动点(不含端点).记BF=mBC.

(1)若机=5,求线段EF的长；

(2)若根=；,设4B=KE+M>B,求实数％和，的值；

(3)若CE与交于点G,AG//EF,求向量GE与GF的夹角的余弦值.

试卷第4页，共6页

18.随着社会经济的发展，物业管理这个行业发展迅猛，某小区居民代表组织居民对所属物

业公司的服务进行问卷调查，随机选取了200户居民的问卷评分(得分都在50~100分内，

满分100分)，并将评分按照[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]分成5组，绘制成如

图所示的频率分布直方图.

个频率

0.030一…-....「

0.025...........................1

0.020------------r—

a-------------------

0.010--------r—

05060708090100分数/分

注：本次评分不低于80分的居民支持所属物业公司延续服务；成绩低于80分的居民支持更

换新物业公司.

⑴求这200户居民本次问卷评分的中位数；

(2)若该小区共有居民1200户，试估计该小区居民支持所属物业公司延续服务的有多少户？

⑶按比例分配的分层随机抽样的方法从评分在[50,60),[90,100]内的住户中选取5户，再从

这5户中任意选取2户，求这2户中至少有1户支持所属物业公司延续服务的概率.

19.如图，等腰梯形A8CD为圆台的轴截面，E,尸分别为上下底面圆周上的点，且

E,D,歹四点共面.

E

⑴证明：BFDE.

(2)已知AD=2,BC=4,四棱锥C-8EZ中的体积为3.

①求三棱锥B-ADE的体积；

②当母线与下底面所成的角最小时，求二面角的正弦值.

试卷第6页，共6页

参考答案：

1.A

【分析】根据给定条件，利用众数、中位数的意义，结合频率分布直方图呈现右拖尾形态时，

中位数与平均数的关系判断即可.

【详解】由频率分布直方图知，数据组的众数为左起第2个小矩形下底边中点值，

显然在过该中点垂直于横轴的直线及左侧的矩形面积和小于05则众数〈中位数，

由频率分布直方图呈现右拖尾形态，得中位数〈平均数，

所以众数〈中位数〈平均数.

故选：A

2.D

【分析】由三角形重心、外心性质得到。是三角形ABC的重心、外心，从而得到三角形ABC

为等边三角形.

【详解】因为Q4+O8+OC=0,所以0是三角形ABC的重心，又因为|Q4|=|O4=|OC|=1,

所以。是三角形ABC的外心，

所以三角形ABC是等边三角形.

故选：D.

3.C

【分析】根据空间中线线、线面、面面的位置关系一一判断即可.

【详解】对于A：若〃z_L",m±a,贝!|"ua或"〃a,又“//夕，则a〃6或a与夕相交，相

交也不一定垂直，故A错误；

对于B：若〃2J_〃，mA_a,贝！Jua或nila,

若nHa,则在平面a内存在直线c,使得〃//c,又"工B,则c，尸，又cua,所以a，#；

若wua,又nl/3,所以尸；

综上可得，由根_L〃，〃z_La,77，尸，可得。_L〃，故B错误；

对于C：若疯/”，m±a,则〃_La,又〃a,夕是两个不同的平面，则a〃£,故C

正确；

对于D：若all/3,mua,nu/3,贝打九〃九或加与〃异面，故D错误.

故选：C.

4.C

【分析】利用仰角、方位角的定义及锐角三角函数，结合余弦定理即可求解.

答案第1页，共13页

【详解】

hhii

如图，设8=力米，则。A==亍米，OB=——=h^z.

tan60J3tan45

在.。AB中，由题意可得，ZOAB=60,

[7丫+20i

由余弦定理可得cosZOAB=W,------------=cos60=->

、h”2

2—产x20

V3

解得〃=log々17米.

故选：C.

5.A

【分析】根据古典概型的概率公式计算可得.

3

【详解】依题意每个个体被抽到的概率均为5，

3

则某一个特定个体被抽到的概率为历.

故选：A

6.D

【分析】设圆锥的底面半径为广，高为心母线为/,依题意可得/、厂，再由勾股定理计算

可得.

【详解】设圆锥的底面半径为广，高为心母线为/，依题意可得/=26，2.=2后,

所以r=石，则h=J产一产=_(6)=3.

故选：D

7.B

【分析】先利用正弦定理与余弦定理的边角变换，结合三角函数的恒等变换求得A=23,

答案第2页，共13页

再求得角8的范围，结合正弦定理边角变换与倍角公式即可得解.

【详解】已知sin?A-sin?3=sin5sinC,由正弦定理得/一〃=反，得a?=及+儿,

22

由余弦定理储=Z?+c-2bccosA,贝!J"+Z?c=b2+c2—2/?ccosA，§9b=c-2bcosA,

由正弦定理得sinB=sinC-2sinBcosA，

因为。=兀一(A+B),则sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB

所以sinB=sinAcosB-cosAsinB,即sinB=sin(A-B).

因为ABC为锐角三角形，则一<A—5<G，

2222

又y=sinx在［-卦］上单调递增，所以3=A-6,则A=25,

0<B<-

2

TTTTJT

因为ABC为锐角三角形，0<A=22<7,解得

264

71

0<C=K-3B<-

［2

所以瞋包工=包至=2sin28s2=2cosBe(8,⑹,

bsinBsinBsinBv7

故选：B.

8.C

【分析】首先说明几何体为四棱台，再代入台体体积公式，即可求解.

【详解】由钙〃£F,ADIIEH,BC//FG,DC//HG,且理=丝=史=空，

EFEHFGHG

则区4,尸8。（7,“。交于同一点尸，该“刍童”为四棱台，矩形"。。的面积为4、2=8,

矩形EFG〃的面积为8x4=32,

且上下底面的高为3,所以四棱台的体积M=；（8+32+反互卜3=56.

故选：C

9.AC

答案第3页，共13页

【分析】根据题意利用列举法求QA氏c和P（A）,尸（3）,结合互斥事件、独立事件和对立

事件的定义逐项分析判断.

【详解】由题意可知:样本空间。={1,2,3,4,5,6,7,8,9},A={1,4,7},8={1,2,3,4,5,6},C={8,9},

贝伊（。）=9,〃（4）=3,48）=6,可得尸解）=嵩=§，尸①）=扃=§，

对于选项A：因为AC=0,所以事件A与事件C是互斥事件，故A正确；

对于选项B：因为45={1,4}工0,所以事件A与事件B不是互斥事件，故B错误；

对于选项C：由选项B可知w（AB）=2,则尸（A8）=京『=

可知尸（AB）=P（A）尸（3）,所以事件A与事件B相互独立，故C正确;

对于选项D：因为3uC={1,2,3,4,5,6,8,9}H。，

所以事件8与事件C不是对立事件，故D错误；

故选：AC.

10.BCD

【分析】利用复数的概念及运算就可以作出判断.

l+3i_（l+3i）（2-i）_5+5i

【详解】由2==l+i,可得:

2+i-（2+i）（2-i）-5

所以2的虚部为-1,即A是错误的；

由z=l+i,可知目=血，即B是正确的;

由N=l-i可知在复平面内对应的点（1,-1）在第四象限，即C是正确的；

由方程V-2x+2=0的根为生迎一1土i,即D是正确的；

2

故选：BCD.

11.ACD

【分析】不妨设正方体的棱长为1,对于A：可证平面DEb〃平面PCD-进而可知Qe跖，

即可得结果；对于B：分析可知直线〃。与AD所成角为且tanWQ=AQ,分析A。

的长度即可；对于C：分析可知麻〃平面PC2,根据平行的定值结合锥体体积公式分析判

断；对于D：分析可知平面PCR与正方体的截面为四边形CRGP,求长度即可得面积.

答案第4页，共13页

【详解】不妨设正方体的棱长为1,

对于选项A：取AB,AA的中点E,尸，连接4仇。瓦。尸，

由题意可知：AA〃BC,且A2=3C,

可知ABCD］为平行四边形，则A,B//CD,,

又因为E,尸分别为AB,A4的中点，则4出〃所，可得EF〃CR,

且EP.平面PCD-CPU平面PC。，可得E尸〃平面PCQ,

因为尸,P分别为AV网的中点，则FP〃AB,且FP=AB,

又因为CD〃A2,且CD=AB,可得FP〃CD,且尸P=CD,

可知EPCD为平行四边形，则。尸〃CP,

且。FU平面PCQ,CPu平面PC。-可得。尸〃平面PCQ,

由EFIDF=F,平面DEF,可得平面DEF〃平面PCR,

若。Q〃平面PC2，可知。Qu平面。£尸，

且。€侧面AB4A，侧面平面0£尸=跖，可知Qe防，

所以。点的运动轨迹为一条线段E尸，故A正确；

对于选项B：因为。点的运动轨迹为线段E尸，

则直线DQ与AD所成角为NAOQ,

因为AD_L侧面ABB^,OQu侧面ABBtAt,则AD_L£＞。，

在RtZXAOQ中，tanZA£)Q=^=AQ,

AD

1jr

又因为A£=A尸=5，NE4F=5,则有：

答案第5页，共13页

当。为线段所的中点时，AQ取到最小值正；

4

当。为线段班的端点时，AQ取到最大值

则叱悴』，即tanZADQ=A吟<1,可知NADQ<(,故B错误；

对于选项C：由选项A可知：平面£>EF〃平面PCD-且EFu平面DEF,

则EF〃平面PC。，

且Qe所，可知点。到平面PCR的距离为定值，

即三棱锥Q-PCA的高/z为定值，且VPC?的面积心.四为定值，

所以三棱锥P-CD.Q的体积VP_CDiQ=VQ_PCDi=1/2.S2coi是定值，故C正确;

对于选项D：取4月的中点G,连接尸G,RG,

因为G,P分别为A片，2片的中点，则G尸〃AB,

由选项A可知：AB〃CA，则G尸〃C2，

所以平面PCD,与正方体的截面为四边形CD.GP,

由题意可知：CD[=2GP=垃,D[G=CP=6,

答案第6页，共13页

_372

则等腰梯形CQGP的高d=

一丁'

所以截面的面积为(拒+\2二”，故D正确；

212J4o

故选：ACD.

【点睛】关键点点睛：本题的关键在于证明平面。跖〃平面PC2,结合面面平行的性质分

析。点的运动轨迹，进而逐项分析求解.

12.2

【分析】根据虚部的定义直接求解即可.

【详解】因为z=l+2i,所以Imz=2.

故答案为：2

13+［述/

【分析】设与向量a垂直的单位向量为b=(x,y),利用与向量£垂直，且为单位向量得到关

于苍y的方程组，再解方程组可得答案.

【详解】设与向量a垂直的单位向量为6=(x,y),

2君275

X=------X=--------

—x+2y=05

则3=i,解得£，或“

小

、

由I、］A(2非非2下

所以匕=—7-，—，或人丁F

(275

故答案为：士黄,

14.672

【分析】利用直观图与原图形的面积比求解即可.

【详解】由题意得S“®=Lx3x2应x1=3,而色迎=也,

,22SOAB4

答案第7页，共13页

3、5f-

故—=（，解得5卸=60,故，。出的面积为6&.

'OAB4

故答案为：6夜

15.⑴;；

⑵而

【分析】（1）根据向量平行满足的坐标关系即可求解,

（2）根据向量垂直满足的坐标关系可得几=-3,由模长公式即可求解.

【详解】（1）由题意知3/l=ln4=g

(2)a-Lb>a-b=3+A=0^>A=—3>|^|=-^1+(—3)=>/10

16.⑴a=±2

⑵|z-2|最小值为行，止匕时a=-l

【分析】（1）化简得至（jz.z=8+2/=16，求出Q=±2；

（2）|z-2卜j2（a+l『+2,从而得到a=-L时，|z-2|取得最小值，最小值为行.

【详解】（1）z=（2-a）-（2+a）i,z-z=（2-a）2+（2+a）2=8+2a2=16,

解得a=±2,

经检验，〃=±2满足要求；

（2）|z-2|=|-^+（2+tz）i|=+（2+«）2=y/la2+46Z+4

=^2（a+l）2+2,

当a=-L时，|z-2|取得最小值，最小值为友,

故|z-2|最小值为后，此时a=-l.

17.⑴立

2

⑶当

答案第8页，共13页

【分析】(1)由向量的线性运算可得所两边平方可求解；

22

一3--1―

(2)由已知可得。尸=DC+C尸--AD,CE=CB+BE=-AD一一AB,可得结论；

42

1993

(3)利用向量的线性关系可得GE=-1AB-GF=--AD+—AB,计算可得结论.

【详解】(1)若根=一，则JBE=--AB9

2222

所以£F=5尸一3石=工4。+工43,

22

21.122117

两边平方可得砂一=-(AD+AB)2=-(AD+2AD.AB+AB")=-(I2+2xlx2x-+22)=-,

44'424

所以跖=立；

2

111.3

(2)若用=一，则5尸=-3C=-A。，所以。尸=一一AD

4444f

3.

DF=DC+CF=AB-一AD®,

4

CE=CB+BE=-AD-LAB②,

2

6X

由①②可得A3=-五CE+三。/；

(3)EF=EB+BF=-AB+mBC=-AB+mAD,

22

EC=EB+BC=-AB+BC=-AB+AD,

22

^EG=AEC=-AB+AAD,^AG=AE+EG=AE+-AB+AAD=^-^AB+AAD,

222

1

又AG〃所，所以=1①，

~T

由EGuaEC，可得GE=XCE，所以CE—C©=2CE,所以CG=(1-㈤CE,

1I-；

所以CG=(l-X)CE=(l—；l)(—5AB—5C)=(l—；l)C3+-^-C。，

由=机5C，可得。尸=(1—加)C5,CB=J-CF

1-m

1-21-2

所以CG=(1—X)CE=------CF+——CD,

1-m2

又，EG三点共线，所以；2+。=1②，

1-m2

答案第9页，共13页

联立①②解2，加=;,

所以石G二」AB+」A。，所以G石=——,

4242

CG=-CB+-CD=--BC--DC=--AD--AB

242424f

GF=CF-CG=--AD-(--AD--AB)=--AD+-AB,

32464

<11V11A112121

所以GEG/=——AD+-AB-一一AB一一AD\=—ADAB+—AD——AB一一ADAB

I64八42J2412168

-241248-4,

.211121121113

又GE=(——AB——AD)92=—AB+-AB-AD+-AD=—+—+—=

4216444444

所以|GE|=立，同理可得|GF|=也，

26

所以cosGE,GF=上4币=-^―,

【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是用基底表示向量后，求向量模或者夹角就可以利

用公式直接计算.

18.⑴变.

3

(2)480

【分析】(1)在频率分布直方图中，所有小长方形面积之和等于1,解出。的值，再根据中

位数的公式计算得出结果；

(2)先计算小区居民支持所属物业公司延续服务的概率，在计算小区居民支持所属物业公

司延续服务的户数；

(3)按比例分配的分层随机抽样的方法从评分在［50,60),［90,100］内的住户中选取的户数,

再从这5户中任意选取2户，利用古典概型，求这2户中至少有1户支持所属物业公司延续

服务的概率；

【详解】(1)由图知，10*(0.010+4+0.020+0.025+0.03。)=1,解得a=0.015.

评分在［50,70)的频率为10x(0.010+0.020)=0.3<0.5；

答案第10页，共13页

评分在［50,80)的频率为0.3+10x0.030=0.6>0.5,故中位数在［70,80)之间.

设这200户居民本次问卷评分的中位数为x,

贝70)x0.03+0.3=0.5,

解得x二专，

故这200户居民本次问卷评分的中位数为2旨30.

(2)由图知，评分在［80,100］的频率为1—0.6=0.4,

故可估计该小区居民支持所属物业公司延续服务的概率约为0.4,

估计该小区居民支持所属物业公司延续服务的有1200x0.4=480户.

(3)由(1)知，评分在［50,60)的频数为0.1x200=20,

评分在［90,100］的频数为0.15x200=30.

按比例分配的分层抽样的方法从中选取5户，

on

则评分在［50,60)内被抽取弃5=2户，

an

分别记为4,%,评分在［90,100］内被抽取2、5=3户，分别记为4也也.

从中任意选取2户，有。1%,。耳贴2，岫3，〃24，。282，。2%他2，姑3也，3，共1。种选法，

其中至少有1户支持所属物业公司延续服务的选法有

01bl,磔2，岫3，a2bl,a2b2,a2b3，b1b2,bxb3,b2b3,共9种，

Q

••.这2户中至少有1户支持所属物业公司延续服务的概率P=

19.(1)证明见解析

(2)①；；②乌

23

【分析】(1)由面面平行的性质定理即可证明；

(2)①将圆台的母线延长交于一点P,连接尸E,延长PE交底面于点。，连接8。，CQ,

可推得SABOF=2SA8£)E,从而得％—ADE=,求得结论；

②在等腰梯形ABCD中，过点。作边BC的垂线DG,垂足为G,可证"CG为母线与下底

面所成角，由tan/OCG=DG可知，要使/DCG最小，只要DG最小即可，进而求得DG的

答案第11页，共13页

最小值，即可求得结论.

【详解】(1)证明：在圆台。。|中，平面AT>£V/平面3PC,

因为平面BEDF'平面ADE=DE,平面BEDF平面BFC=BF,

所以BF//DE；

(2)①将圆台。。।的母线延长交于一点尸，连接P