2023-2024学年高一数学下学期期末考试模拟卷7

2023-2024学年高一数学下学期期末考试模拟07

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.在-A5C中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,若。=2,A=30°,5=45°,则。=（）

A.2A/2B.叵C.V6D.巫

22

【答案】A

【解析】

【分析】由正弦定理解三角形.

【详解】..A3C中，由正弦定理一乙=一2—,

sinAsinB

asinB2sin45°r-

得。=------=--------=2v2.

sinAsin30°

故选：A.

2.sin80sin20+cos80cos20=（)

1i

A.——B.3V,.------------\~).----------

22

【答案】B

【解析】

【分析】逆用差角的余弦公式，结合特殊角的三角函数值计算作答.

【详解】sin80sin20+cos80cos20=cos（80-20）=cos60=—.

2

故选：B

3.已知向量a=（l,0））=（2,1）,若总一人与「+3力垂直，则人（）

17171

AA.—B.-----C.一

773

【答案】A

【解析】

【分析】根据总—b与5+3力垂直，由（履—今（。+3b）=0求解.

【详解】解:初一方=女（1,0）-（2,1）=（02,_1）,&+33=（1,0）+3（2,1）=（7,3）,

Qka-b^a+3右垂直，

.-.(fez-Z?).(a+3Z?)=(Z:-2,-1).(7,3)=0,

故选：A.

4.在.ABC中，角A,瓦C的对边分别为a,b,c,若a=5*=4,c=01,则。=（）

A.90B.45C.60D.30

【答案】C

【解析】

【分析】根据余弦定理求出答案.

【详解】由余弦定理得COSC=.+'2—c2=52+42—（庖）2=工

2ab2x5x42

因为0<C<180，所以C=60.

故选：C.

【答案】A

【解析】

【分析】根据诱导公式及二倍角的余弦公式求解即可.

【详解】sin2a=-cos|2a+—|=-cos2|tz+—|=2sin2|<z+—|-1=--.

故选：A.

6.在,ABC中，角A,3,C的对边分别为a,4c,若加inB=csin（A+5）—asinA,贝ij43。为（）

A.等腰三角形B.直角三角形

C.锐角三角形D.钝角三角形

【答案】B

【解析】

【分析】利用诱导公式及正弦定理将角化边即可判断.

【详解】因为Z?sinB=csin（A+5）-asinA,又sin（A+5）=sin（兀一C）=sinC,

22

即加inB=csinC-QsinA,由正弦定理可得/=c_a,

即储+k=/,所以-AB。为直角三角形且为直角.

故选：B

7.若向量a,b的夹角是；，a是单位向量，W=2,e=2a+b，则向量c与b的夹角为（）

7i7c27r3兀

A.—B.—C.—D.—

6334

【答案】A

【解析】

【分析】首先根据数量积的定义求出a-b，再求出卜|、c-b>最后根据夹角公式计算可得.

【详解】:•两个向量a,b的夹角是三，a是单位向量，忖=2,

a-b=|a|-|&|cos-j=lx2x；=l.

c—2a+b>|c|=+=y/4a2+4a-b+b2=>4+4+4=2百，

c•沙=（2a+/?Jb=2a•/?+/??=2+4=6.

cc-b6Grin

设向量c与b的夹角为e,则COS'=TN=£及3=5-,•••同0,可，，。=巳.

故选：A.

8.在_45。中，角A,B,。的对边分别为eb,c,若a=2,A=30°,则一A3C面积的最大值为

（）

A.3百B.26C.3+V3D.2+6

【答案】D

【解析】

【分析】结合余弦定理及基本不等式，利用三角形面积公式求解即可.

【详解】由余弦定理：a~-b2+c2-2bccosA^b2+c7->j3bc-4,

因为4=〃+°2—J%CN2AC—J%c=（2—C）Ac,当且仅当〃=°2=8+4退时，等号成立，

所以。CV^^=8+4G,故_筋°面积5旬（？=工b05也4=工人0<，><（8+46）=2+6.

2-V3244、）

即_A3C面积的最大值为2+g.

故选：D

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.在中，角A,瓦C的对边分别为a,b,c,则下列对.ABC的个数的判断正确的是（）

A.当a=20,c=4,A=3O时，有两解

B.当a=5,b=7,A=60时，有一解

C.当a=J5,/?=4,A=30时，无解

D.当a=6,Z?=4,A=60时，有两解

【答案】AC

【解析】

【分析】由正弦定理对四个选项一一判断，得到答案.

【详解】对于A,由正弦定理得一L=^^,即=所以sinC=Y2,

sinAsinCsin30sinC2

又因为0<C<180,c>a,所以C=45或C=135，有两解，故A正确；

7昱

/X

对于B,由正弦定理得.DbsinA^7A/3J无解，故B错误；

SIILB=-------=-----=---->1

a510

4xl

对于C,由正弦定理得5m5=里的=—二=正>1'无解，故C正确；

a72

4x^-rr

对于D,由正弦定理得.bsinA_^2_V3真，

SIH/J-=—<

a632

又所以B为锐角，此三角形只有一解，故D错误.

故选：AC.

10.如果若干个函数的图象经过平移后能够重合，则这些函数为“互为生成函数”.下列函数中，与

/(x)=COSX构成“互为生成函数”的有()

A.fx(x)=sinxB.力(x)=sinx+cosx

C73(x)=2sin2D./；(%)=sin|cos^

【答案】AC

【解析】

【分析】由三角恒等变换，化简函数的解析式，再根据三角函数的平移变换规律，得出结论.

【详解】/(x)=cosx=sinIX+1-I,由/(x)=sinx,

则将工(九)的图象向左平移!■个单位长度后，即可与/(%)的图象重合;

由力(x)=sinx+cosx=s/2sinx+—=x/2sinx+—

则力(x)图象无法经过平移与/(x)的图象重合;

由力(x)=2sin2匕=1一cosx=1+sin

则将力(X)的图象向左平移无个单位长度后，再向下平移1个单位长度后，

即可与/(%)的图象重合；

由力(x)=sin|cos|=1sinx,则力(%)的图象无法经过平移与/(%)的图象重合.

故A,C中的函数与"尤)"互为生成函数”.

故选：AC

11.在A3C中，角AB,C的对边分别为。，仇c,已知一A3C的周长为3,5=60。，则()

A.若2b=a+c,则ABC是等边三角形

B.存在非等边满足。2=ac

C.，出C内部可以放入的最大圆的半径为亚

6

D,可以完全覆盖/A3C的最小圆的半径为且

3

【答案】ACD

【解析】

【分析】由余弦定理与正弦定理及三角形的面积公式逐项求解即可.

【详解】因为4ABe的周长为3,且3=60。，可得a+b+c=3,

由余弦定理得步=+c2-2«ccosB=a2+c~—ac-

对于A,因为2/?=a+c,所以（a+.="+02_

4

即（a—c）2=0,则a=b=c,所以一ABC为等边三角形，故A正确；

对于B,假设/=死，则ac=42+c2—团，即（。一。丫=。，则“:占二。，

此时ABC为等边三角形，故B错误；

对于C,由Z??=+/-QC=（3一〃一0）2,可得〃。=2（〃+<?）—324^/^—3,

当且仅当a=c时等号成立，解得〃c«l或改之9（舍去），

所以的面积S=-acsinB<昱,AABC的内切圆半径为2s<昱,

24a+b+c6

所以一A3C内部可以放入的最大圆的半径为也，故C正确;

6

a+c2

对于D,设A3C外接圆的半径为R,因为2（a+c）—3=acV

当且仅当a=c时等号成立，所以（a+c）--8（a+c）+1220,解得a+c<2或a+cN6（舍去）,

由〃=(3—a—可得621,

因为2R=—所以

sin6003

所以可以完全覆盖AABC的最小圆的半径为3,故D正确.

3

故选：ACD.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.终边在直线y=%上的角a的集合是.（用弧度制表示）

【答案】\a\a=^+k7r,k&Z

【分析】把直线y=x分成两条射线，y=Mx»O),y=MxWO)来考虑终边落到这两条射线上的角的集

合，然后取两部分的并集.

【详解】当角&的终边落到y=x(x»O)上,

I〃n

则a\a=—+2左肛keZa-——b（2k）兀,k£Z1①

4

当角戊的终边落到y=x(x<O)上,

I5兀

则jHa=—+2k兀,keZa\a=?+（2左+1）〃，左eZ1②

①与②的并集得：\a\a=^+k7r,keZ

故答案为：］a|a=7+左不左ez1

ABAC

13.在ABC中，已知向量45与满足।~।+|~।BC=0,且AB.AC=0，则角8=

ABAC

TT

【答案】-##45°

4

【解析】

【分析】依题意可得A31AC,设角A的平分线交3c于。，即可得到AD13C,从而得到一ABC为等

腰直角三角形，即可得解.

7T

【详解】设角A的平分线交3c于。，因为AB-AC=0,故AB1AC，即NC钻=耳,

ABAC

又mi表示与AB同向的单位向量，T7二［表示与AC同向的单位向量，

\ABAd

=AF

设=\AC\（如图所示），AE+AF=AG>因为|例=|，臼=1,

故四边形AEGF为正方形，所以AG为角A的平分线，故G在A。上.

ABAC

因为।—j+1—j,BC=0,故AD.LBC,故AB=AC-

7171

综上，ABC等腰直角三角形且NC4B=—,所以8=—.

24

14.如图，在等腰中，点。是边AC的中点，且3D=3,当面积最大时，AC=

【答案】26

【解析】

【分析】利用余弦定理和面积公式可得5=3//(36-g/1,根据二次函数的性质可求最大值.

【详解】在A3C中，设钙=。,5。=。,人。=人，

由余弦定理得cosA="+°2、2=2b2-J,

2bc2b2

在中，BD2=b2+(^]-2xbx-x2b2,整理得到2a2+/=36，

[222b2

:.S^a.\b2-a36-％136—%］，

2

1-9（a2-8V+82x9,

4

故当储=8时，S有最大值，此时/=36-2/=20,."=2右，EPAC=275

故答案为：2石

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.己知a为钝角，sina=|,£为第一象限角，Cos/?=^

(1)求sin(e—力)的值;

(2)求tan2a的值.

【答案】(1)正

5

24

(2)——

7

【解析】

分析】(1)由平方关系求得cosa=-士、sin”旦,再应用差角正弦公式求值即可;

55

3

(2)先求出tana=——,再应用二倍角正切公式求值即可.

4

小问1详解】

3/---；----4

因为a为钝角，sin«=j,所以cosa=-，l-sin?。=一g

因为夕为第一象限角，cos£=孚，所以sin£=Jl—cos?6：手,

所以sin（1一万）=sinacos/?-cosasin/?=gx4

55

【小问2详解】

343

由（1）知sin。=一，coscif=——,所以tana=——，

554

3

所以tan2a-

1-tan2a97

~16

16.在ABC中，角A,8,C的对边分别为a,4c,已知Z?=J5,c=2,cosC=-

（1）求sinB和。的值；

（2）求一ABC的面积.

【答案】（1）sinB=,a=；

⑵交

3

【解析】

【分析】（1）根据同角的三角函数关系求出sinC,结合正、余弦定理计算即可求解;

（2）由（1）,结合三角形的面积公式计算即可求解.

【小问1详解】

在.ABC中，由cosC=——，可得sinC=Jl-cos2c=■

33

由余弦定理得/=谬+)2—2abcosC，得3/+2y/6a—6=0，

由a>0,ma=—.

所以sinB=,a=-

33

【小问2详解】

由（1）知，a=,sinC=>

33

所以，的面积。加inC=』x立义0义西=也.

△022333

17.已知函数〃£）=7^11（0%+9）+1—20）521美吆，0〉0,[9|<曰为奇函数，且了⑴图象的相

TT

邻两条对称轴间的距离为一.

2

(1)求了(X)的解析式与单调递减区间；

(2)将函数的图象向右平移四个单位长度，再把横坐标缩小为原来的J(纵坐标不变)，得到函数

y=g(x)的图象，当时，求方程2g(%)=石的所有根的和.

兀3兀

【答案】(1)/(x)=2sin2x,—+—+^7i,keZ

⑵变

12

【解析】

【分析】(1)利用恒等变换化简后，结合三角函数的性质求解；

(2)利用图象变换法，求得y=g(x)的函数表达式，解方程求得g(x)的值，利用换元思想，结合三角函

数的图象和性质分析求出即可.

【小问1详解】

由题意可得：

/(x)=V3sin^cox+(p^+\-2cos2=A/§sin(0x+0)-cos(0x+°)=2sin^®x+^>--1-^,

因为/(x)图象的相邻两条对称轴间的距离为3，

所以/(九)的最小正周期为丁=兀，即可得口=2,

又了(九)为奇函数,则9一四=配左eZ,又|d<g,所以°=巴,故/(x)=2sin2x.

626

jr3IT713元

令一+2kn<2x<------1-2kit,keZ,得一•\-kn<x<----&kit,keZ,

2244

jr37r

所以函数/(尤)的递减区间为-+kn,—+kTi,keZ.

【小问2详解】

将函数/(%)的图象向右平移£个单位长度，可得>=2sin[2x-的图象，

再把横坐标缩小为原来的g,得到函数＞=g(x)=2sin14x-的图象,

又2g(%)=百，贝i］g(x)=半，则sin(4x—三］=手.

々人z=4,x一耳71，当/八兀)时।，z=4x一§71ef］一71了5了兀1

画出y=sinz的图象如图所示:

.67T

sinz=—的两个根4/2对应的点Z1,关于直线Z二万对称，即Z［+Z2=7l,

4

则sin14x—mf在［ogj上有两个不同的根和々,4万—三+4%—三=兀,

所以％+々喑，所以方程2g(x)=G在x《0身内所有根的和为患.

18.如图、某港口。要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇出发时，轮船位于港口

。北偏西30°方向且与该港口相距30nmile的A处，并以20nmile/h的航行速度沿正东方向匀速行驶，假

设该小艇沿直线方向以vnmile/h的航行速度匀速行驶，经过由与轮船相遇.(假设水面平静)

(1)要使相遇时小艇的航行距离最短，小艇的航行速度应为多少？

(2)假设小艇的速度最快只能达到20nmile/h,要使小艇最快与轮船相遇，应向哪个方向航行?

【答案】(1)20百nmile/h

(2)航行方向为北偏东30。

【解析】

【分析】（1）利用余弦定理和二次函数的最值求解；

（2）要用时最小，则首先速度最高，然后是距离最短，则由（1）利用余弦定理得到方程解得对应的时间

t,再解得相应角，即可求解.

【小问1详解】

如图设小艇的速度为V,时间为“目遇，相遇点为C,

则由余弦定理得：OC2=AC2+OA2-2xACxOAxcosZOAC，

3

即v2r2=400/+900—1200/cos60°=400/_900=400（。——）2+675,

600t+4

3

当t=I时，0c取得最小值，此时速度2oQnmile/h，

此时小艇的航行方向为正北方向，航行速度为20j^nmile/h.

【小问2详解】

要用时最小，则首先速度最高，即为20nmile/h,

则由（1）可得：OC2=AC2+OA2-2xACxOAxcosZOAC-

即（20。-=900+400r2-1200/cos60°,解得f=：,此时相遇点为B,

此时，在，。IB中，OA=OB=AB^3Q，则N3OZ）=30°，

故可设计航行方案如下：

航行方向为北偏东30°,航行速度为20nmile/h,小艇能以最短时间与轮船相遇.

ein/}0

19.在一A3。中，角A,瓦C的对边分别为a,b,c,且-----------=1--------.

sinA+sinCb+c

（1）求角。的大小；

（2）若A3C为锐角三角形，且6=4,求一A3C周长的取值范围.

JT

【答案】（1）c=-

3

(2)6+2

【解析】

【分析】（1）利用正弦定理进行角化边，然后根据余弦定理求解出cosC的值，即可求出角C；

a+b+cb

（2）法一：根据正弦定理可得—,根据三角恒等变换化简可得

sinA+sinB+sinCsinB

,26

a+D+c-b+--再根据B的范围求解即可；法二：过点A作4用，。用，垂足为⑸，根据直角三角

tan—

2

形性质结合图形分析求解.

【小问1详解】

hn

由正弦定理得——=1-;一,

a+cb+c

Z72_1_A2_Z>21

整理得/+。2一。2=必，所以cosC=J±^_-=

2ab2

又Ce(O,7i),所以C=1

【小问2详解】

法一：由（1）知A+3="，即4=0—8.

33

0<--B<-,

因为为锐角三角形，所以〈32解得巴<B〈巴.