2023-2024学年高一数学下学期期末考试模拟卷4

2023-2024学年高一数学下学期期末考试模拟04

一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项

是符合题目要求的）

1.总体由编号为01,02,39,40的40个个体组成，从中选取5个个体.利用科学计算器依次生成一组

随机数如下，则选出来的第5个个体的编号为（）

660658615435024235489621143252415248

A.54B.14C.21D.32

【答案】B

【解析】

【分析】根据随机数表法可得结果.

【详解】生成的随机数中落在编号01,02,…，39,40内的依次有06,35,02,35（重复），

21,14,32,故第5个编号为14,

故选：B.

2.样本数据12,11,7,15,9,10,12,8的中位数是（）

A.12B.11C.10D.10.5

【答案】D

【解析】

【分析】将数据从小到大排列，按照法则求出中位数即可.

【详解】将数据从小到大排列：7,8,9,10,11,12,12,15.故这组数据的中位数是电工口=10.5.

2

故选：D

3.为了提升学生的文学素养，某校将2024年5月定为读书月，要求每个学生都只选择《平凡的世界》与

《麦田里的守望者》中的一本.己知该校高一年级学生选择《平凡的世界》的人数为450,选择《麦田里的

守望者》的人数为550.现采用按比例分层随机抽样的方法，从高一学生中抽取20名学生进行阅读分享，

则被抽到的这20名学生中选择了《平凡的世界》的人数为（）

A.9B.10C.11D.12

【答案】A

【解析】

【分析】利用分层抽样比与总体抽样比相等即可求出答案.

450

【详解】依题意，被抽到的这20名学生中选择了《平凡的世界》的人数为20x--------------=9.

450+550

故选：A.

4.下列命题是真命题的是（）

A.上底面与下底面相似的多面体是棱台

B.若一个几何体所有的面均为三角形，则这个几何体是三棱锥

C.若直线/在平面a外，则〃/a

D.一个圆柱的侧面展开图是一个边长为2的正方形，则这个圆柱的表面积与侧面积的比值是匕目

2兀

【答案】D

【解析】

【分析】根据题意，利用多面体与旋转体的几何结构特征，圆柱的侧面积公式，逐项判定，即可求解.

【详解】对于A中，如图（1）所示，在多面体ABC-4与G中，满足但该几何体不是棱

台，所以A错误；

图⑴

对于B中，如图（2）所示几何体，所有的面均为三角形，但该几何体不是三棱锥，所以B错误;

对于C中，若直线/在平面a外，则〃/a或直线/与平面a相交，所以C错误；

11

对于D中，设圆柱的底面圆半径为小贝|2兀r=2,解得r=—,所以S侧=4,S底=兀/=一，

7171

所以S表=4+27t=]+2兀，所以D正确；

42兀

故选：D.

5.从某中学抽取10名同学，他们的数学成绩如下：82,85,88,90,92,92,92,96,96,98（单位：

分），则这10名同学数学成绩的众数、第25百分位数分别为（）

A.92,85B.92,88C.95,88D.96,85

【答案】B

【解析】

【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数，计

算10x25%=2.5,取第三个数即可得解.

【详解】本题中数据92出现了3次，出现的次数最多，所以本题的众数是92；

将一组数据按照由小到大（或由大到小）顺序排列，得：

82,85,88,90,92,92,92,96,96,98,

计算10x25%=2.5,取第三个数，第25百分位数是88.

故选：B.

6.四棱锥P—A3CD,底面A3CD为平行四边形，点Q满足PC=3PQ,设四棱锥P—A3CD的体积

为丫，则三棱锥Q—的体积为（）

VVVV

A.—B.—C.—D.—

4836

【答案】D

【解析】

【分析】根据底面为平行四边形，可知对角线平分底面A3CD,三棱锥P-5CD体积为四棱锥体积的一

2

半，再根据PC=3PQ得噎进而得到答案.

【详解】

四棱锥尸―A3CD,底面A3CD为平行四边形，则匕〜=2匕^8，

2

且PC=3PQ,则%_BCD=§K.BCD'

那么VQ_PBD二Vp—BCD~^Q-BCD=TVp—BCD~T^P-ABCD

3。

V

即三棱锥Q-PBD的体积为一.

6

故选：D

7.已知球。为正三棱柱ABC-AgC］的外接球，正三棱柱ABC-A5cl的底面边长为1,高为3,则球

。的表面积是（)

3U16万311

A.4乃B.——C.------D.——

3312

【答案】B

【解析】

【分析】外接球球心为正三棱柱上下底面的外接圆圆心连线的中点，先求出底面外接圆半径，再由勾股定

理即可求出外接球半径.

【详解】解：设三棱柱A3C-4与£的高为心底边边长为亿设球。的半径为R,

2aV3

则三棱柱底面三角形的外接圆半径〃满足：.71,解得:r=----a

sm—3

3

由题知，a=1,h=3

R?=-----CL+3

I3J343412

3"I

故球0的表面积为S=4兀R2=—

3

故选：B.

8.如图，在长方体ABCD-A4G2中，AD=AAl^2,AB=4.E,M,N分别是棱CR,AB,的中

点，若点尸是平面4ADR内的动点，且满足PE//平面4MN,则线段PE长度的最小值为（）

2屈

D.2也

5

【答案】C

【解析】

【分析】如图，建立空间坐标系，求出各点和各线段的坐标，求出平面g的法向量，利用向量法表示

线面平行得出PE=(-x,2,2-2x),结合二次函数的性质即可得出结果.

【详解】如图设立。-qz空间坐标系，由题意可知：

D(0,0,0),8(2,4,0),M(2,2,0),N(l,4,0),

四(2,4,2),E(0,2,2),设。(x,0,z),,

则BXM=(0,-2,-2),gN=(-1,0,-2)

设平面的一•个法向量为〃=(a,b,c),

n•BM=0-2b-2c=0

由＜X即＜，令〃=1,得几二(2,1,—1),

n,B[N=0-a-2c=0

又尸石=(—x,2,2—z),PE//平面B】MN,

所以解得z=2x,所以PE=(—x,2,2—2x),

故同卜々+4+(2—2x)2=^5(x-1)2+y,

故选：C.

二、多项选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是

符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)

9.已知某省2023年各地市地区生产总值的占比如图所示，则根据图中关于该省2023年各地市地区生产总

值占比的统计情况，下列结论正确的是()

A.A市2023年地区生产总值比B市2023年地区生产总值多

B.图中11个地市2023年地区生产总值占比的40%分位数为5.92%

C.图中11个地市2023年地区生产总值占比的70%分位数为4.58%

D,若该省2024年各地市地区生产总值增长率相等，则该省2024年各地市地区生产总值的占比不变

【答案】ABD

【解析】

【分析】根据统计图及百分位数的定义一一判断即可.

【详解】由图中统计数据，可得A市2023年地区生产总值比B市2023年地区生产总值多，故A正确；

因为Hx40%=4.4,所以图中11个地市2023年地区生产总值占比的40%分位数为5.92%,故B正确;

因为Ux70%=7.7,所以图中11个地市2023年地区生产总值占比的70%分位数为10.1%,故C错误;

若该省2024年各地市地区生产总值的增长率相等，则该省2024年各地市地区生产总值的占比不变，D正

确.

故选：ABD

10.在空间中，机，〃是两条不同的直线，a,£是两个不重合的平面，则下列说法一定正确的是()

A.若加//a,"///7,a///7,则

B.若a内的两条相交直线分别垂直于£内的两条相交直线，则a，/?

C.若加_La,则存在"<=/?使得"〃”

D.若W是异面直线，m(^a,J3,mlI(3,nlla,则0//£

【答案】CD

【解析】

【分析】根据线面位置关系的判定定理和性质定理，以及长方体的结构特征，逐项判定，即可求解.

【详解】对于A中，若mlla,川1/3,al1/3,则小与〃平行、相交或异面，所以A不正确;

对于B中，例如在长方体ABC。—44G2中，如图所示，可得4用LBCBiG

此时平面A4C12中有两条相交直线分别垂直于平面ABCD内的两相交直线,

但平面A51G，//平面A3CD,所以B不正确；

对于C中，由根据面面垂直的性质，可得在夕存在直线〃J_tz,

又由加J_a,所以"〃”,所以C正确；

对于D中，若是异面直线，mua,〃u/5,加//2,〃//0,根据平面与平面平行的判定定理，可得证

得。//£,所以D正确.

故选：CD.

11.己知棱长为2的正方体ABC。—44G2，点P是3C的中点，点。在CD上，满足

C2=2CD（O<2<1）,则下列表述正确的是（）

AX=g时，PQ//平面ABIA

B.X=%时，平面PQCX//平面AB］。

C.任意2e[0,1],三棱锥P-A4Q的体积为定值

D.过点A，P,Q的平面分别交3综。2于瓦/，则m+DF的范围是[1,2]

【答案】ACD

【解析】

【分析】对于A,利用PQ〃用2并使用线面平行的判定定理即可；对于B,使用反证法，并利用面面平

行的性质即可；对于C,证明。到直线A片的距离和P到平面4与。的距离均为定值即可；对于D,直接

2

计算得到BE+DF=——即可.

1+2

【详解】

如图，设的中点为R,8片的中点为S,直线PQ与直线A3和分别交于点

对于A,当4=工时，。是CD的中点，而尸是3c的中点，

2

所以PQBDBR,而与2在平面A5Q1内，尸。不在平面4片。内，

所以尸。平行于平面4用2,A正确；

对于B,假设平面PQQ平行于平面ABXDX,

由于GP在平面PQQ内，故GP平行于平面A用2.

由于尸是的中点，R是A。的中点，所以PRCDCXD{,PR=CD=GD-

这就得到四边形PRAG是平行四边形，

所以GPDR且该平行四边形确定一个平面PRRG.

由于GP在平面PRDG内，GP平行于平面ABB,平面PRD©和平面ABtDt有公共点D1,

所以平面PR。£和平面A42有一条过2的交线，且该直线平行于GP.

又因为GPD]R,所以该交线就是，R,这意味着2R在平面A5Q1内,

再由。在直线AR上，知A3片四点共面，这与正方体的性质矛盾.

故平面PQCX与平面AB{D{不平行，B错误；

对于c,由于A4〃GR〃CD,Q在直线CD上，所以。到直线44的距离恒为定值4.

同样因为A旦〃GR〃C£>,可知一对平行线44和CD确定一个平面4用8，

设尸到平面A与C。的距离为则由Q在直线CD上，可知P到平面4月。的距离为

从而吟-4B,2=；S=）|4可a4，恒为定值，C正确；

对于D,由于",N均在平面4PQ上，故E是AM和8瓦的交点，P是AN和。2的交点.

同时，我们有BP=CP=，8C=1,CQ=ACD=2A.

2

BMCO…DNDQ1-2

当0<4<l时，由相似三角形知识可得—=*=24,DN=--=-^=—-.

BPCPCPQC2

1-2

BEBMBM=27=DF_DN_DN1-2

所以有=丁

AMAB+BM2+221+2'A^~AN~AD+DN2+建i+I

2

2221-22-22

从而BE=A4[=,DF=A4,

1+21+21+21+2

注意到8片的中点为S,则当2=0时，分别与82重合;

2夕2—2夕

当2=1时，及户分别与邑。重合，容易验证知BE=——,DF=——亦成立.

1+21+2

2夕2—2：2

所以——+——=——，而0W4W1,所以5E+DF的取值范围是[L2],D正确.

1+41+41+2

故选：ACD.

【点睛】关键点点睛：本题关键点在于对线面平行与面面平行的性质，以及平面的性质的灵活运用。

第II卷（非选择题，共92分）

三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）

12.某人任意统计5次上班步行到单位所花的时间（单位：分钟）分别为8,12,10,11,9.贝卜这组数据的标准

差为.

【答案】V2

【解析】

【分析】先求得平均数，代入标准差公式，即可得答案.

【详解】由题意得，这组数据的平均数1=^--------'----------=10,

所以标准差S=£(8-10)2+(12-10)2+(10-10)2+(11-10)2+(9-10)2=JL

故答案为：V2

13.为了了解我国13岁男孩的平均身高，从北方抽取了300个男孩，平均身高1.60m；从南方抽取了200

个男孩，平均身高1.50m,由此可推断我国13岁男孩的平均身高为.

【答案】L56m

【解析】

【分析】根据平均数的计算公式，准确计算，即可求解.

【详解】根据平均数的计算公式，我国13岁男孩的平均身高为：30°*1.60+200><1.5°=156米

300+200

故答案为：1.56加.

14.在直三棱柱A5C-4与。1中，若NB4c=90,AB=AC==2,则直线AC到平面46cl的

距离为..

【答案】友##2百

33

【解析】

【分析】先证得AC//平面转化为A到平面46cl的距离，再证得G4，平面AA]用5,得到平

面，平面明用5,过点A作证得AG,平面A^G，得到AG的长即为点A到平面

的距离，在直角MB中，即可求解.

【详解】在直三棱柱ABC-4与G中，可得AC//AQ,

因为AC.平面A^G，且AGu平面A^G，所以AC//平面ABC1，

所以AC到平面的距离，即为A到平面ABC1的距离，

因为A5C-4与£为直三棱柱，且NR4c=90，可得GA，4片,CA，A4,

又因为451c44]=4，且A4，A4,u平面招用台，所以GA，平面叫四台，

因为C|A[U平面C]43,平面A^G，平面A&耳5,

过点A作AG,43,由平面ABC]c平面4443=43,且AGu平面

所以AG，平面，则AG的长即为点A到平面的距离,

,,..,,__AS-AA.2x-\/22.y/3

在直角，MBn中，可z得AG=——二±=—=，-,

&Ba3

所以点A到平面ABG的距离为空.

3

故答案为：巫.

四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

15.如图：在正方体48。一44。|2中A5=2，M为。。的中点.

（1）求三棱锥M-A3C的体积;

（2）求证：5。//平面9纥；

（3）若N为CG的中点，求证：平面4WC//平面BN'.

2

【答案】（1）|

（2）证明见解析（3）证明见解析

【解析】

【分析】（1）根据锥体的体积公式计算即可；

（2）根据线面平行的判定进行证明；

(3)根据面面平行的的判定进行证明.

【小问1详解】

1112

显然MD_L平面ABC,于是%钻。=—xMDxSxlx—x2x2=—.

LV1一3323

【小问2详解】

设AC3£>=O,连接OM,

在正方体ABC。—A4C。中，四边形A3CD是正方形，是8。中点，

M是的中点，二0加〃3£>],

BD[<z平面AMC,OMu平面AMC,

BDl，平面AMC；

【小问3详解】

QN为CG的中点，M为。2的中点，

:.CN〃D[M,:.CN=D[M,

••・四边形CNRM为平行四边形，D\N//CM,

又・A/Cu平面AMC,-.-D]N<Z平面AMC,:.DXN!i平面AMC,

由(2)知8〃，平面AMC,u平面BNZVANu平面BN，，

平面AMC平面BND、.

16.某校高中年级举办科技节活动，开设A,8两个会场，其中每个同学只能去一个会场且25%的同学去A

会场，剩下的同学去2会场.已知4B会场学生年级及比例情况如下表所示：

高一高二IWJ三

A会场50%40%10%

B会场40%50%10%

记该校高一、高二、高三年级学生所占总人数的比例分别为X,»Z,利用分层随机抽样的方法从参加活

动的全体学生中抽取一个容量为n的样本.

(1)求x：y：z的值;

(2)若抽到的B会场的高二学生有150人，求〃的值以及抽到的A会场高一、高二、高三年级的学生人

【答案】⑴17:19:4

(2)九=400,50,40,10.

【解析】

【分析】(1)设该校高一、高二、高三年级的人数分别为a,b,c,列表表示出去A,8会场的各年级人

数，由此可得比例x：y：z.

(2)由8会场的高二学生人数求得样本容量〃，按比例求得抽到的A会场高一、高二、高三年级的学生人

数.

【小问1详解】

设该校高一、高二、高三年级的人数分别为。，b,c,

则去A会场的学生总数为0.25(a+b+c),去8会场的学生总数为0.75(a+Z?+c),

则对应人数如下表所示：

高一高二高三

A会场0.125(a+Z?+c)0.1(6/+Z?+c)0.025(Q+Z?+C)

B会场0.3(a+Z?+c)0.375(a+Z?+c)0.075(4z+Z?+c)

则x:y:z=0.425(a+Z?+c):0.475(a+b+c):0.1(a+5+c)=17:19:4.

【小问2详解】

依题意，72x0.75x0.5=150,解得〃=400,则抽到的A会场的学生总数为100人，

所以高一年级人数为100x50%=50,高二年级人数为100x40%=40,高三年级人数为

100xl0%=10.

17.在如图所示的四棱锥P-ABCD中，己知E4_L平面ABC。，AD//BC,ZBAD=90°,PA=AB=BC=1,

AD=2,E为尸。的中点.

P

(1)求证：CE〃平面加8；

(2)求证：平面E4C_L平面PDC；

(3)求直线EC与平面B4C所成角的正切值.

【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)逅.

3

【解析】

【分析】(1)根据中位线定理求证出四边形MEBC为平行四边形，再根据线面平行的判定定理即可证明;

(2)先证明以。C_L平面小C,再利用面面垂直的判定定理求解即可；

(3)取PC的中点用证明/ECP为直线EC与平面B4C所成的角，再解三角形即可.

【详解】(1)取的中点跖连接ME,则ME//4D且

又因为BC//ADABC=AD,

所以ME7/8C且ME=BC,

所以四边形MECB为平行四边形，所以BM//CE,

又CEC平面BMu平面研8,所以CE//平面B4A

(2)证明：因为m_L平面ABC。，C£)u平面ABC。，

所以PAA.DC,又因为AC2+CD2=2+2=AD\

所以。C_LAC,因为ACCIB4=A,AC,B4u平面B4C,所以。C_L平面以C.

又因为OCu平面PDC,所以平面B4C_L平面PDC.

(3)解：取PC的中点F,连接ER则EP//OC,

由（2）知。C_L平面B4C,则EF_L平面B4C,

所以/EC尸为直线EC与平面B4c所成的角.

因为CR=』PC=3,EF=gcD=显,

2222

所以tan/ECF=£^=逅即直线EC与平面B4C所成角的正切值为好.

FC33

18.已知某工厂一区生产车间与二区生产车间均生产某种型号的零件，这两个生产车间生产的该种型号的

零件尺寸的频率分布直方图如图所示（每组区间均为左开右闭）.

一区生产车间二区生产车间

尺寸大于M的零件用于大型机器中，尺寸小于或等于M的零件用于小型机器中.

（1）若M=60,试分别估计该工厂一区生产车间生产的500个该种型号的零件和二区生产车间生产的

500个该种型号的零件用于大型机器中的零件个数.

（2）若Me（60,70],现有足够多的来自一区生产车间与二区生产车间的零件，分别用于大型机器、小型

机器各5000台的生产，每台机器仅使用一个该种型号的零件.

方案一：直接将一区生产车间生产的零件用于大型机器中，其中用了尺寸小于或等于加的零件的大型机器

每台会使得工厂损失200元；直接将二区生产车间生产的零件用于小型机器中，其中用了尺寸大于M的零

件的小型机器每台会使得工厂损失100元.

方案二：重新测量一区生产车间与二区生产车间生产的零件尺寸，并正确匹配型号，重新测量的总费用为

35万元.

请写出采用方案一，工厂损失费用的估计值8（"）（单位：万元）的表达式，并从工厂损失的角度考

虑，选择合理的方案.

【答案】⑴420；200

（2）H（M）=0.8M-12,选择方案二

【解析】

【分析】（1）计算出两个生产车间生产的零件尺寸大于60的频率，进而求出两个生产车间生产的500个该

种型号的零件用于大型机器中的零件数；

(2)计算出一区生产车间生产的零件尺寸小于或等于M的频率和二区生产车间生产的零件尺寸大于M的

频率，从而得到—12,结合河w(60,70],求出(36,44],与35比较后得到结

论.

【小问1详解】

一区生产车间生产的零件尺寸大于60的频率为(0.020+0.024+0.020+0.020)x10=0.84,

则该工厂一区生产车间生产的500个该种型号的零件用于大型机器中的零件个数为500x0.84=420；

二区生产车间生产的零件尺寸大于60的频率为(0.024+0.016)x10=0.4,

则该工厂二区生产车间生产的500个该种型号的零件用于大型机器中的零件个数为500x0.40=200.

【小问2详解】

一区生产车间生产的零件尺寸小于或等于/的频率为

0.004xl0+0.012xl0+0.02x(M-60)=0.02M-1.04.

二区生产车间生产的零件尺寸大于〃的频率为

0.024x(70-M)+0.016x10=1.84-0.024M.

故7/(M)=(0.02M—1.04)x0.02x5000+(1.84-0.024M)x0.01x5000=0.8M-12.

因为以e(60,70],所以H(M)e(36,44].

又因为采用方案二重新测量的总费用为35万元，

所以从工厂损失的角度考虑，应选择方案二.

19.如图①，在直角梯形ABCD中，ZADC=90°,AB//CD,AD=CD=-AB,E为AC的中

2

点，将沿AC折起构成几何体O—ABC,如图②.在图②所示的几何体£>—A5C中：

(1)在棱CD上找一点F，满足AD〃平面班反，求几何体E-3CF与几何体O-ABC的体积比;

(2)当几何体。—ABC的体积最大时，

①求