2022北京中考数学一模分类汇编：几何综合压轴题

2022北京中考数学一模分类一一几何综合压轴题（教师版）

倍长八字一线三垂直三线合一手拉手共计

5题1题1题5题12题

一、倍长八字共5小题

L（2022朝阳一模27题）在△ABC中，。是6C的中点，且ZBAD/90。，将线段AB沿AD所在

直线翻折，得到线段作CE〃/由交直线于点£.

（1）如图，若AB>AC,

①依题意补全图形；

②用等式表示线段A5,AE,CE之间的数量关系，并证明；

（2）若上述结论是否仍然成立？若成立，简述理由；若不成立，直接用等式表示线段

AB,A£,CE之间新的数量关系（不需证明）.

【答案】（1）①如图

②法一：延长AD交CE延长线与F点（类似倍长中线）

VCE^AB/.Z1=ZBZ2-ZF

又为BC中点.，.BD=CD.'.AABD^AFCD（AAS）

.*.AB=FCAAB=EF+EC

1

又：AB与AB'关于AD对称AZ2=Z3AZ3=ZF即:EF=AE

，AE+EC=AB

②法二：补短法

连接B'D与B'C,VD为AB中点，AB与AB'关于AD对称

二BD=BD'=DC,Z6=ZBZDBC=ZDCB，

又：EC/ZABAZ7=ZB.\Z7=Z6Z1=Z2

.,.EC=EB'/.AB'=AE+EB'；.AE+EC=AB

⑵不成立；AE=EC+AB或CE=AB+AE

①AE=EC+AB证法一：(类倍长中线)

延长AD交EC延长线与点F

在4ABD与4FCD中

Zl=ZF

ZADB=ZFDCAAABD^AFCD(AAS)；.AB=CF

BD=CD

又•:AB与AB'关于AD对称AZ1=Z2+Z3AZ2+Z3=ZF即EA=EF

又：EF=EC+CF,AE=EC+AB

AE=EC+AB证法二：截长法

2

B'

E

BD

连接B'D与B'C

：AB与AB'关于AD对称.,.△ABD^AABD.*.BD=B'DZB=ZAB'D

又；EC〃AB.,.ZB+ZDCE=180°

又•.,NAB'D+NDB'E=180°ZDCE=ZDBE

又为AB中点，BD=CD.,.BD=CD=B'DAZ7=N8AZ6=Z5即EB'=EC

AE=EC+AB

②CE=AB+AE，理由如下：

如图，连接BD,BC

•\•将线段AB沿AD所在直线翻折，得到线段AB'.*.AB=AB,Z6=Z7

又：CE〃ABZ1=Z2

D为BC中点，CD=BD

=N2，

在4ABD和AKCD中(CD=BD/.△ABD△KCD(ASA)/.AB=CK

(Z3=Z4

•.•CE〃AB二/5=/6

又：N7=N8Z.Z5=Z8；.EA=EK；.CE=AB+AE

3

2.(2022顺义一模27题)如图，在中，ZAC8=90°,CD是斜边AB上的中线，EF垂直平

分CD,分别交AC,BC于点E,F,连接DE,DF.

(1)求NEDF的度数；

(2)用等式表示线段AE,BF,EF之间的数量关系，并证明.

【答案】（1）解：解法（一）

：EF垂直平分CD

；.EC=ED,FC=FD.\ZECD=ZEDC,ZFCD=ZFDC.\NECF=/EDF

VZACB=90°.\ZEDF=90o

解法（二）

VEF垂直平分CD.\EC=ED,FC=FD

EF=EF/.AECF^AEDFNECF=NEDF

：NACB=90°.\ZEDF=90o

（2）AE2+BF2=EF2

证法（一）

证明：延长FD到M,使DM=DF,连接AM,EM

：AD=BD,ZADM=ZBDFAADM^ABDFZMAD=ZB,AM=BF

VZACB=90°.,.NCAB+/B=90。（这里也可以证AM〃BC得NMAC+NACB=180。）

二ZEAM=90°AE2+AM2=EM2

由（1）得NEDF=90°又,.•FD=DM；.EF=EMAE2+BF2=EF2

（本作法也可叙述为：过A点作AM〃CB,交FD的延长线于M,证法大同小异）

4

证法（二）

证明：延长ED到N,使DN=DE,连接BN,FN

VAD=BD,ZADE=ZBDNAAADE^ABDN；.AE=BN,ZA=ZDBN

VZACB=90°.,.NA+NABC=90。(这里也可以证AC〃BN得NNBC+NACB=180。)

ZFBN=90°BN2+BF2=FN2

由(1)得NEDF=90°.\EF=NF/.AE2+BF2=EF2

3.（2022平谷一模27题）如图，在△ABC中，ZACB=90°,AC=BC,点。为AB边上一点（不与点A,B重合）,

作射线CD,过点A作AE_LCD于E,在线段AE上截取EF=EC,连接BF交CD于G.

（1）依题意补全图形；

（2）求证：ZCAE=ZBCD

（3）判断线段BG与GF之间的数量关系，并证明.

27.(1)补全图形.....................1

(2)证明：

7^ACB=90°

.：NBCD+NACD=90。...........................................2

'.'AEICD

ZCAE+^ACD=90°

.：/CAE=/BCD...........................................3

5

E

(3)方法一：BG=FG................4

过B作BMJ.CO于M,

：・/CAE=NBCD,AC=BC,/AEC=/BMC=90。

r.AAEC^ACBM(AAS).................5

・：BM=CE

VCE=EF

・：BM=EF................6

:・/AEG=/BMG=90。

/EGF=/BGM

/.AEFG^ABMG(AAS)

：.FG=BG................................7

6

方法二：

证明：延长AE到〃，使石〃=在，连接尸。、CH、BH.

；AE_LCD于E,EF=EC

尸EC是等腰直角三角形

：EF=EH

，FC=CH,NCFH=/CHE=45。

/”是等腰直角三角形................5

,.2HCB+/BCF=90。

^ACF+^BCF=90°

../ACF=/BCH

•.AC=BC,CH=CF

：.AAFC^ACHB(SAS)................6

•,./CHB=/CFA=135°

.•./AHB=135°-45°=90。

二.EG平行于

•FG_FE_1

・：FG=BG................................7

7

4.(2022丰台一模27题)如图，在AABC中，NBAC=a，点D在边BC上(不与B,C重合),连接AD,

以点A为中心，将线段AD逆时针旋转180。-a得到线段AE,连接BE.

(1)ZBAC+ZDAE=°

(2)取CD的中点F,连接AF,用等式表示线段AF与BE的数量关系，并证明。

A______________EA______________E

;

BDCB二DC

K答案』

(1)ZBAC+ZDAE=a+180°-a=180°.

(2)BE=2AF

证法一A一.

延长AF至G,使FG二AF,连接CG

/DF=CFNAFD二NGFDBDF\f

「.△AFD%GFC\/

\/

GV

/.AD=GCZADC=ZGCF

设NBAD邛

「AB=ACZBAC=a

8

NADC=NABC+NBAD=90冶+P=ZGCF

.".ZACG=ZACB+ZGCF=180°-a+P

•••ZBAE=ZBAD+ZDAE=180°-a+P

.,.ZBAE=ZACG

•.AB=ACAE=AD=GC

」.△BAE斗ACG

.-.BE=AG=2AF

证法（二）

延长DA到M，使AM=DA连接MC

•.DF=CF/.CM=2AF

•.ZBAC=aZDAE=180°-a

.-.ZMAE=a=zBAC

.-.ZBAE=ZCAM

•.AB=ACAE=AD=AM

」.△ABE%ACM

，BE=CM=2AF

9

证法三

延长CA到N,使AN=AC连接DN

­.DF=CF.-.CM=2AF

•.zBAC=aZDAE=180°-a

.■,ZNAB=180°-a=zDAE

.-.zBAE=zNAD

.AB=AC=ANAE=AD

.•.△ABE2AND

.-.BE=ND=2AF

5.(2022石景山一模27题)如图，△NC3中，NC=BC,乙4c8=90。，。为边BC上一点(不与点C重合),

。＜助，点E在的延长线上，且矶)=4D,连接BE,过点2作BE的垂线，

交边NC于点?

(1)依题意补全图形；

(2)求证：BE=BF；

(3)用等式表示线段“尸与CD的数量关系，并证明.

1

证法一

证明：(2)在DB上截取DK=DC,结合DE=DA得平行四边形ACEK.

于是CD=DK,CK=2CD,KE=CA=CB,KE〃AC,注意ACXBC,知KE±BC.

因止匕NEKB=NACD=90°.

又由NFBC+NCBE=NFBE=90°=ZBEK+ZCBE有NFBC=NCBE.

在ABKE与AFCB中，NBKE=NFCB,KE=CB,ZKEB=ZCBF,

所以△BKE^/kFCB(ASA)，所以BE=FB.

(3)由(2),ABKE^AFCB,知BK=FC,结合BC=AC推出AF=CK=2CD.

证法二

证明：

将等腰RtAABC沿BC翻折，得等腰RtAKBC.则ACK共线.AKBC=AABC.

从而BK=BA,CK=CA,NBKA=NBAK=45°,ZCBK=ZCBA=45°,ZABK=90°=ZFBE.

所以NABF=/KBE.

1

连接EK.注意DE=AD,可知EK=2DC,EK/7DC.

因BCLAK,故EKLAK,故NBKE=45°=ZBAF.

在AABF与aKBE中,ZABF=ZKBE,AB=KB,ZBAF=ZBKE,

所以△ABF=Z\KBE(ASA),

所以

BF=BE,(2)得证；

AF=KE=2DC,(3)得证.

证法三

证明：如图沿BF翻折AABF,得△KBF；沿BC翻折△ABC,得△KBC.ACL共线.

ZBKF=ZBLF=45°,BFKL共圆.

EL=2CD,EL/7CD,EL±AL,BFLE共圆.

BFKLE共圆.

ZBEF=ZBLF=45°,BF=BE.(2)得证.

ZFLK=ZFBK=ZFBA=ZLBE=ZLFE,KL〃FE,FK=EL,AF=2CD.(3)得证.

二、一线三垂直共1小题

1

6.(2022通州一模27题)如图，在及△ACfi中，ZAC8=90°,AC=BC.点。是延长线上一

点，连接AD.将线段AD绕点A逆时针旋转90。，得到线段AE.过点、E作EF//BD,交AB于点

(1)①直接写出ZAFE的度数是；②求证：ZDAC=ZE；

(2)用等式表示线段A厂与QC的数量关系，并证明.

【答案】

27.(1)①NAFE的度数是135。；............1分

②证明：'：ZACB^9Q°,AC=BC,：.ZBAC=ZB=45°,

ZDAE=90°,：.ZDAC+ZEAF=45°,......................

EF〃BD,：.NEFB=/B=45。.：.ZEAF+ZE=45°.

：.ZDAC=ZE....................3分

(2)线段正和CD的数量关系是AR=我。。.

证明：延长跖交NC于点G.4分

VEF//CB,ZACB=90°：,ZACD=90°,NAGE=90°,5分

/.ZACD=NEG4在和△AGE中，

ZDCA=ZAGE

<ZDAC=ZE,

AD=AE

：.ADCA也△/GE,6分

：.CD=AG•：ABAC=45°Z.AF=42AG.7分

AF=V2CD.

法二：在AC上截取CH=CD,连接DH,证明AADH2AEAF(ASA)

1

ZACD=90°，/DHC=45°.-.DH=V2DC..........5分

ZADH+ZDAH=45°（三角形的外角等于与它不相邻内角的两个内角和）

AZEAF+ZDAH=45°（由图可得）

ZADH=ZEAF又：/DAH=/E（由（1）②可知）AD=AE（旋转）

AAADH^AAEF（AAS）............6分

ADH=AF.-.AF=V2CD.........................7分

法三：见下图：过A点作AH1_AC,且AH=AC,连接EH。

则AAEH会ZkADC,；.HE=DC。过点F作FMJ_AH于点H,则可得

矩形EFMH,；.MF=HE=DC,AF=V2MF,可得结论AF=&CD。

(注：最后一问添加辅助线的方法：截长补短和旋转)

三、三线合一共1小题

7.(2022大兴一模27题)已知：如图，OB=BA,ZOBA=15Q°,线段A4绕点N逆时针旋转90。得到线段

NC连接BC,OA,OC,过点。作OO_L/C于点D

(1)依题意补全图形;

(2)求/。OC的度数.

OOO

1

【答案】27.（本小题满分7分）（1）补全图形如图所示,

（2）辅助线如图所示：

法1：【利用/则=/励，”角平分线到角两边距离相等“，过点/作如延长线的垂线，再利用

利用N酬=30°,AE=AD=-AB=-AC=DC,中点和垂足重合，三线合一得所求是15°]

22

过点/作/反L加于日

:ZAEB=90°,

•：/ABO=150°,

:ZABE=30°,

ZBAE=60°,

又；BA=BO,

:ZBAO=/BOA=15°,

“OAE=75°,

■：^BAC=90°,

:ZDAO=ZBAC-/BAO=90°-15°=75°

：.ZOAE=ZDAO,

〔,勿_L/C于点D,

:ZAEO=ZADO=90°,

：./\AOE合/\AOD,......................4

分

：.AE-AD,

在Rt△/庞中，/.ABE=30°,

：.AE=-AB,

2

又：AB=AC,

：.AE=AD=-AB=-AC,

22

:.AD=CD,

又：/ADO=^CDO=90°,

ADO^CDO,...6分

:ZDCO=NDAO=75°,

1

"DOC=15°...........................................................................................................................7

分

法2：【出现30。，利用30。所对直角边等于斜边一半，此时又出现了矩形询BE=AD=

*=DC'中点和垂足重合,三线合一得所求是15。】

过点6做BE±勿交于点E。

■：OB=BA,N084=150°

:/BOA=15°

于点。线段BA绕点A逆时针旋转90。得到线段AC,BE±OD

：.BA//OD,四边形曲座是矩形，BA=AC

"BAO=ZAOD=15°,/BOE=30°,BE=AD

：.BE=AD=-OB=-BA=-AC=DC

222

：.AD=DC..........................................................................................................................4

分

又：/ADO=ACDO=90°,

ADO^CDO,....................................................................................................................6分

"DOC=15°.........................................................................................................................7分

法3:【与法2类似，构造含有30。角的直角三角形，此时又出现了矩形3；OE=AD=g

2

BO=^-AC=DC,中点和垂足重合，三线合一得所求是15°]

22

1

A

EO

延长AB,过点。做应'垂直延长线于点Eo则：AD//EO,AEAO=/AOD

OB=BA,ZOBA=150°

:.ABOA二匕BAO二乙AOD=15°

"OBE=30°,OE=-OB=-BA

22

■■■ODV4、于点D,线段BA绕点A逆时针旋转90。得到线段AC,OE±AB

:四边形/〃/是矩形，OE=AD=-OBBA=-AC=DC

222

.•.点D是“宛底边/C的中点和垂

足......................................................................................................4分

由等腰三角形三线合一得，

....................................................................................................................................6分

"DOC=AAOD=15°.

....................................................................................................................................7分

法4：【构造平行四边形含有30°角的直角三角形，结合NADO=90°,NZ即=30°,得到AD

=kAE=9°=匆二°C,中点和垂足重合，三线合一得所求是6】

1

A

过点A做AE//BO,交切于点Eo

■：OB=BA,ZOBA=150°

:.^BOA=乙BAO=15°

于点D,线段BA绕点A逆时针旋转90。得到线段AC

：.BA//0D,OB=BA=AC

：四边形/£依■是平行四边形，/BOA=/BAO=^AOD=15°

:ZBOE=AAED=30°

：.AD=-AE=-OB=-BA=-AC

2222

，点D是MOC底边〃的中点和垂

足......................................................................................................4分

由等腰三角形三线合一得，

....................................................................................................................................6分

“DOC=乙AOD=15°.

....................................................................................................................................7分

法5：【构造正方形，△咳是等边三角形，得到N£Z=AEC0=15°,再由EC〃O0,得,DOC

=乙OCE=15°]

1

A

过点占做BE//AC,与CA的垂线CE交于点瓦

•.线段BA绕点A逆时针旋转90。得到线段AC

：.BA±AC,BA=AC

■.■BE//AC

:ZABE=90°

又•.・AC_LCE

：四边形/应'，是正方形

：.BE=AC=AB=BO

：^OBA=150°

：ZOBE=60°

：三角形£05是等边三角形,EO=EB=EC

"OEC=150°

■:/EOC=乙ECO=

150..............................................................................................................4分

：.OD±AC,4ACE=90°

OD//EC.................................................................................................

•….6分

：ZDOC=乙EOC=15°.

..........................................................................................................................7分

1

法6：【利用△板外角等于30°,构造含有30°的直角△腑；"'等于郎的一半；同理，FD

等于办的一半；利用AD和AC的一半关系，即中点，三线合一得NRC=NOCE=15°】

延长CAX如交于点凡

•••OB=BA,ZOBA=150°

：.^BOA=/BAO=15°,/.FBA=30°

:.AF=-BF,AB=BO=—AF

22

-：OD±AC,线段BA绕点A逆时针旋转90。得到线段AC

：.BA//OD,乙BOA=乙BAO=乙AOD=15°,AB=AC=—AF

2

:ZFOD=30°,FD=-OF=-{OB+BF)=—AF+AF=FA+AD

224

A/31

:.—AF=AD=-AC

42

.•点D是MOC底边/C的中点和垂

足...................................................4分

由等腰三角形三线合一得，

........................................................................................................................6分

:ZDOC=AAOD=15°.

........................................................................................................................7分

2

法7：【在池上取一点（构造含有30°的直角△械,也等于他的一半；利用/师=ABOD

=30°得到四边形则是等腰梯形，从而得到初等于W（=物=m）一半，三线合一得N

DOC=Z.OCE=15°]

在AB上取一点K,使得NAKD=30°

.••线段BA绕点A逆时针旋转90。得到线段AC

:ZBAD=90°,AD=上KD,BA=AC

2

■：ODrAC

:.BA//OD

:.Z.KDO=30°

OB=BA,ZOBA=150°,BA//OD

：.ABOA=ABAO=Z.AOD=15°

“BOD=30°

二四边形加。是等腰梯形

:.KD=2AD=OB=BA=AC

.•.点D是“%底边NC的中点和垂

足...................................................4分

由等腰三角形三线合一得，

........................................................................................................................6分

2

"DOC=NAOD=15°.

....................................................................................................................................7分

四、手拉手共5小题

8.(2022燕山一模27题)如图，在三角形ABC中，AB=AC,ZBAC<60°,AD是BC边的高线，将线段

AC绕点A逆时针旋转60。得到线段AE,连接BE交AD于点F.

(1)依题意补全图形，写出/CAE=°

(2)求/A4F+/ABF和/EBC的度数；

(3)用等式表示线段ARBF,EE之间的数量关系，并证明.

【解析】

【分析】(1)根据等边三角形的性质，补全图形即可;

(2)根据等腰三角形三线合一的性质，求得/掰氏!由旋转的性质可得//吠由三角形内

2

角和定理在△/座中，AABE+AE+ZBA(=^°-NCAE,便可求得/胡丹//班再由三角形外角的性质可

得NFBC；

(3)在斯上取点弘梗EM=BF,连接/〃由A/J?隹求得/4幽/BA后NEAM,再由/。氏60°可

得△加的是等边三角形，便可解答；

【小问1详解】

解：如图分别以4。为圆心，以AC为半径作弧，两弧交于点£,连接的交朋于点凡则/。氏60°；

【小问2法(1)详解】

2

解：•.•AB=AC,A£＞是3c边的高线，

ABADABAC,

2

V线段AC绕点A逆时针旋转60°得到线段AE,

AB=AE,又N0LE=6O。，

；•ZABE=NE,

在AABE中，ZABE+ZE+ABAC=1800-ZCAE=120°,

1(ZABE+ZE+ZBAC)=60°

ZBAF+ZABF=6Q°

又是5c边的高线，...NAD3=90°

,：ZBFD=ZBAF+ZABF,

：.ZFBC=90°-(ZBAF+ZABF)=30°.

【小问2法(2)图解】

思路：构造辅助圆

【小问3法（1）详解】

解：如图，在斯上取点助使的册连接力必

2

•：AB=AE,ZABF^ZAEM,B2EM,:•丛ABF^丛AEMQSB),

:・A户AM,/BA六/EAM,

♦：/DAO/BAF,:./DAO/EAM,

VZC4^60°,AZFA^&0°,

・・・△/阿是等边三角形，

：.F^AF,

:.ARBQEF；

【小问3法(2)图解】

思路：在线段EF上截取EM=BF,构造△然修△至MSAS）,证AAFM是等边三角形，进而转化结论：AF+BI^EF

【小问3法（3）图解】

2

思路:连接CE在线段FE上截取FG=FC,构造等边三角形FCG;证证△/注△及进而转化

结论：AF+BF^EF

【小问3法（4）图解】

思路：延长FD到点G,使得FG=FB,构造等边三角形BFG;证△/戊运△成次进而转化结论：ARB2EF

【小问3法（5）图解】

2

E

B

G

思路：连接CE;倍长FD到点G,使得DG=FD,证△的匕△CGD;

可证；4FCG是等边三角形；

再证△/屐泾△仇?；•

进而转化结论：ARB2EF

【小问3法(6)图解】

思路：在线段FE上截取FG=FA,构造等边三角形AFG;证△/■△/仔;进而转化结论：ARB氏EF

2

【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形判定的性质，三角形内角和定理，全等三角形的判定和性质,

等边三角形的判定和性质；熟练掌握相关性质是解题关键.

9.(2022门头沟一模27题)如图，在等边△ABC中，将线段AC绕点A顺时针旋转a(0<a<60),得到

线段AO,连接CD,作的平分线AE,交BC于E.

(1)①根据题意，补全图形；

②请用等式写出/BAO与NBCD的数量关系，并证明.

(2)分别延长CD和AE交于点R用等式表示线段AFCF,。尸的数量关系，

并证明.

AAA

AAA

BCBCBC

解：(1)①略；...........................................................................................................2分

②ZBAD=2ZBCD,理由如下：...................................................................................3分

「△ABC是等边三角形，A

ZBAC=ZACB=ZABC=60°.

.•・线段ZC绕点/顺时针旋转。(00<a<60°),a

NCAD=a,AC=AD.

F

/.ZBAD=ZBAC-ZCAD=60°-at

ZACD+ND=180°—a.

XAC=ADt

./4CD-ZD-180~a-900

22

2

/.ZBCD=ZACD-ZACBJ90。」cr]-60。=30。」a.

/.ZBAD=2ZBCD.5分

⑵AF.CF,。尸的数量关系是=/，证明如下:

将线段b绕点C顺时针旋转60。交/厂于点G

•••△ABC是等边三角形,

:.AB=AC=BC,ZACB=60°.

..ZFCG=ZACB.

ZFCG-/BCG=ZACB-/BCG・

即/BCT=NACG.

•/ZE平分/BAD,ZBAD=2ZBCD

：.ZBAF=ZDAF=ZBCF.

,/ZAEB=ZCEF,

180°-ZBAF-ZAEB=180°-ZBCF-ZCEF.

即ZABC=ZAFC=60°.

：ZFCG=6ff,

△。尸G是等边三角形.

/.CG=FG=CF.

..AACG^ABCF(SAS)

2

：.AG=BF.

AC=ADt

AB-AD.

AABF^AADF(SAS)

BF=FD.

/.AG=FD.

/.AF=DF+CF........................................................................................................7分

（三线合一）

证明：

作AKXCF干K.

由旋转.AD=AC,

1

所以DK=CK=：CD.

因为AABC为M三角形.

所以AB=AC=AD.

所以A为^BCD的外心.

1

所以/BCD=;NBAD=/BAF.

因为NBCF+NF=/BAF+NB.

所以NF=ZB=60：

1

所以FK=AFcosF二；AF.

依次写出：

1

DF+DK=;CD.

I1

DF-；CD=；AF.

11

DF+-(CF-DF)=-AF.

2DF+CF-DF=AF.

CF+DF=AF.

2

（手拉手）

证明：

由旋转,AD=AC.

1

所以DK=CK=；CD.

因为△ABC为［三角形.

所以AB=AC=AD.

所以A为△BCD的外心.

1

所以ZBCD=-ZBAD=ZBAF.

因为NBCF+NF=NBAF+/B.

所以NF=NB=602

在FAI或取FK=FC,

则ACFK为正三角形.

于是NFCB+NBCK=ZFCK=60^ZBCK=ZKCA+ZBCK,

从而NFCB=NKCA

连接BF.

在△FCB与AKCA中.

FC=KC.ZFCB=ZKCA,BC=AC.

所以△FCBaaKCAISAS).

所以BF=AK.

所以AF=AK+KF二BFYE

又因为AB=AD.AF平分/BAD.

所以AF是线段BD的中垂线i为图形简洁，图中未作的线段BD「

所以BF=DE

所以AF=BF+DF.

10.（2022房山一模27题）已知：等边△ABC,过点8作AC的平行线/.点尸为射线A3上一个动点（不

与点A,3重合）,将射线PC绕点P顺时针旋转60。交直线/于点0.

（1）如图1,点尸在线段A5上时，依题意补全图形;

①求证：NBDP=NPCB；

②用等式表示线段3c应＞,5P之间的数量关系，并证明;

（2）点P在线段A5的延长线上，直接写出线段3C3。,3P之间的数量关系.

【答案】27.（本小题满分7分）

27.（1）①补全图形如图所示,

3

A

...................................................................1分

证明：设,PD交BC于点E

,「△ABC是等边三角形

ABAC=ZABC=ZACB=60°

1,将射线PC绕点川I页时针旋转60°

.-.ZDPC=60°

-：l//AC

:.NDBE=ZACB=60。

：.ZDBE=ZCPE=60°

：ZBED=APEC

：.ZBDP=ZPCB.......................................................................3分

②BC=BD+BP

法1:【利用"先量后猜再证明〃或出现60。和旋转构造

全等，使得60^

在以上取一点。使得BQ=BP,连接PQ

■：ZABC=60°

△P5Q是等边三角形

:.PB^PQ,Nfi%=60°

ZBPD=ZCPQ

3

又:/BDP=/PCB

:.APBD2APQC

：.BD=QC

.BC=BQ+QC

：.BC=BD+BP.............................................................5分

法2：【利用"四点共圆”和出现60。和旋转构造全等，翻取BD=BG

在班上取一点G使得BD-BG,连接DG

:NDBC=ZACB=60。

△皮）G是等边三角形，ZDBG=60°,BD^GD

由上问知：ZBDP=ZPCB

「•四边形四点共圆（同底同侧的顶角相等的两个三角形，四点共圆）。

:.NBPD=NGCD

在ABDP与4GDC中:

-：BD=GD,ZBPD=ZGCD,NDB六NDGO\20°

:.△BDP^AGDC

：.BP=GC

.BC=BG+GC

3

：.BC=BD+BP.............................................................5分

(2)BC=BD+BP.............................................................7分

证明：在a'上截取一点£使得法外，连接物

,「△ABC是等边三角形

ABAC=ZABC=ZACB=60°

1•将射线PC绕点产顺时针旋转60°

.-.ZZ)PC=60°

-：l//AC

：.ZDBC=ZACB=ZPBD=60°

△P3E是等边三角形

NBPE=ZBPC+NCPE

,ZCPD=ZEPD+NCPE

:.ZBPC=ZEPD

在ABPC与△EPD中：

：ZBPC=ZEPD,ZPBC=APED,PB=PE

：.ABPC^AEPD

：.BC=ED

.BD=BE+ED

：.BC=BD+BP

11.(2022海淀一模27题)27.在Rt^Agc中，ZABC=90°-ZBAC=300'D为边BC上一动点，

点后在边AC上，CEuCE).点D关于点3的对称点为点R，连接AD，p为AD的中点，连接

PE,PF,EF-

(1)如图1,当点。与点3重合时，写出线段PE与尸尸之间的位置关系与数量关系；

(2)如图2,当点。与点氏。不重合时，判断(1)中所得的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明,

若不成立，请举出反例。

图1图2

困2图2

3

【答案】

第一类：倍长:

方法1:

倍长E尸到点连接4W,FM,DE,

①/^AMP^ADEP——1分

②由上面全等得到4W〃QE,

证△CQE是等边，可得/C=NCED=60°

进而得NME=60°

③详细导边可证4E=CP

④由4V/=OE,DE=CEWAA^CE——3分

得ACEF@AAME

这里三个全等条件都要证，出来任何一个得1分，出来三个得2分

⑤证明△丽是等边三角形，然后得到数量与位置关系！——4分

注意：两个关系都要有！

类似的，先延长CF到点G,使FG=C£>,

然后连接ZG得到大等边A4CG,进而得4G〃OE,

再证qIXDEP,

从而得到“小。E=CE,再导月E=C下，

得AAHEgAC£F,——3分

也可以完成证明.一一4分

方法2：

倍长EP到点M,连接DW,FM,DE,

①AAEPgADMP——1分

②由上面全等得到HE〃DW,

证△(7£)£•是等边，可得NC=NCE£>=60。

进而得NA/QE=60°=NC——2分

③详细导边可证4E=CF,进而得DMCF——3分

④ACDE是等边得DE=CE

得ACE%ADEM

⑤证明△FEM是等边三角形，然后得到数量与位置关系！——4分

3

方法3：

N

倍长FP到点M,连接并延长。E,AM交于N,

连接EM

①AAPM名AD