2022北京中考数学二模分类汇编：几何综合压轴题

2022北京中考数学二模分类一一综合压轴题

手拉手中点问题(附加2题)一线三垂猜证类等腰结论共计

6题倍长2题相似3题1题1题1题14题

一、手拉手共5小题

1.(2022密云二模27题)如图，在等边AABC中，点D在84的延长线上，点p是8c边上的

一个动点(点P不与点打重合)，将线段PD绕点P逆时针旋转60•得到线段PE,连接RE和

DE

(1)依据题意，补全图形；

(2)比较LBDE与AHPE的大小，并证明；

(3)用等式表示线段BE.RP与RD之间的数量关系，并证明.

【答案】

(2)ZBDE=ZBPE

1

证明：•・•△/阿是等边三角形・・・/”小60°

•・•线段/绕点尸逆时针旋转60°得到线段PE：.PE=PD：.APDE是等边三角形

:./PED1。。:./ABC=/PED

设总和M交于0在

XDOE和△反方中

/EOD=/BOP

：./BDE=/BPE

图2

(3)BD=BP^BE

法1：证明：如图3过点D作X)H//AC交BC延长线于点H

:・/BD4/BAC$G0,/年NACB$0°

•••△薇7是等边三角形，BD=BH=DH

•••△小是等边三角形，/EDP$0°,ED=PD：.AEDB=APDH

:.BED也HPD:,BE=PH

•:BH=BP+PH：.BD=BP^BE

2

法2：如图4

图4

思路：过点E作EG平行于BC交AB于点G,利用四点共圆或者相似可得可证N圾?以=6〃

,得三角形BGE是等边三角形，再证AGDE0ABPE,结论可得。

法3：如图5

图5

思路：过点P作PF平行于AC交AB于点F

可证APBEAPFD,结论可得.

法4：如图6

图6

思路：过点D作PF平行于BC交BE的延长线于点F

可证ADFEADBP,结论可得.

3

2.（2022丰台二模27题）如图，在△ABC中，AB=AC,ZBAC=120°,。是BC中点，连接AO.点M在

线段AD

上（不与点，，。重合），连接点E在C/的延长线上且=连接E8.

（1）比较/ABM与/AEM的大小，并证明；

（2）用等式表示线段AM,AB,AE之间的数量关系，并证明.

【答案】27.(1)【导角】

:AB=AC,D是BC中点，

：.AD垂直平分BC,AABC=AACB

:点M能调AD上

：.MB=MC

：.ZMBD=ZMCD

：.ZABC-ZMBD=ZACB-ZMCD

即ZABM=ZACM................................................................2分

,;ME=MB

：.ME=MC

：.ZAEM=ZACM

：.ZABM=ZAEM....................................................................3分

（2）法1：【截长补短+证明等边三角形+全等】

证明：延长/E至点R^AF=AB,居F8

VZBAC=[20°：.ZE4B=60°△尸氏4是等边三角形

:.AB=BF,NFS/=60°

VZEAB+ZAEM+Z1=ZEMB+ZABM+Z2=l80°,ZAEM=ZABM,Z1=Z2

ZEAB=ZEMB=60°；.ABEM是等边三角形

：.BE=BM,ZEBM=60°：.ZFBA-ZEBA=ZEBM+ZEBA即

:ZEB义AAMB：.FE=AM：.AB=AF=AE+EF=AE+AM

4

法2：【截长补短+构造等边三角形+全等】

在AB上截取一点M',使得AM=AM'.

"：AB=AC,ZBAC=12O°,。是8c中点

:./EAB=ZBAD=ZDAC=60°/.是等边三角形

：.AM=M'M,ABM'M=ZEAM=120°

又,：NABM=/AEM:.AEAMQdBNTM：.AE=M'B

：.AB=AM,+BM,=AE+AM...............................................7分

3.（2022西城二模27题）在△4EC中，AB—AC,过点C作射线CB',使UC8'-4cB（点

B*与点B在直线4C的异侧），点D是射线CB'上一个动点（不与点C重合），点E在线段

BC上，且ZJ）AE♦£ACD=90*.

（1）如图1,当点E与点C重合时，AD与CB'的位置关系是，若BC=a，则＜D的长为；

（用含a的式子表示）

（2）如图2,当点E与点C不重合时，连接DE

①用等式表示ABAC与Z.DAE之间的数量关系，并证明；

②用等式表示线段8E.CD.DE之间的数量关系，并证明.

图1图2

5

【答案】27.解：(1)ADLCB),|；...........................................2分

(2)@ZBAC=2ZDAE.

证明：9：AB=AC,

：.ZABC=ZACB.

：.ZBAC=1SO0-2ZACB.

ZDAE+ZACD=90°,/ACD=/ACB,

：.ZDAE=90°~ZACD=90°~ZACB.

：.ZBAC=2ZDAE,........................................................................4分

②BE=CD+DE.

证明：作ND4F=/D4E,4F交射线。夕于点尸，如图，

则NEAF=/DAE+ZDAF=2ZDAE.

•・•/BAC=2NDAE,

：.ZBAC=ZEAF.

：.ABAC-NEAC=NEAF—ZEAC,

即NA4£=NC4K

■:NABC=NACB,/ACD=/ACB,

：.ZABE=ZACF.

*：AB=AC,

：.AABE^AACF.

：.BE=CF,AE=AF.

•:AD=AD,

：.AAED^AAFD.

：.DE=DF,

：.CF=CD+DF=CD+DE.

：.BE=CD+DE..............................................................................7分

6

法1:构造半角模型

证明：作NDAF=NDAE,AF交射线DB'于点F,如图，则NEAF=NDAE+NDAF=2NDAE.

ZBAC=2ZDAE,ZBAC=ZEAF.ZBAC-ZEAC=ZEAF-ZEAC,即ZBAE=ZCAF.

VZABC=ZACB,ZACD=ZACB,NABE=NACF.

VAB=AC,.".△ABE^AACF.；.BE=CF,AE=AF.

：AD=AD,△AED△AFD.|Z.DE=DF；.CF=CD+DF=CD+DE.

；.BE=CD+DE.7分

法2：截长补短①

在BC上截取BM=CD,连接AM,再证明△ABMgzXACD

法3：截长补短②

7

4.（2022大兴二模27题）如图，AC=AB,ZCAB=ZCDB=a,线段CD与AB相交于点0,以点A为中心,

将射线AD绕点A逆时针旋转a（0。〈a<180°）交线段CD于点H,

（1）若a=60°,求证：CD=AD+BD

（2）请你直接用等式表示出线段CD,AD,BD之间的数量关系（用含a的式子表示）

【答案】

(1)证明：由题意知，ZDAH=a

VZCAB=ZCDB=a/DAH=/CABZDAB=ZHAC.

VZAOC=ZBOD,.\ZB=ZC.

;又AB=AC,.'△ABD也△ACH...............................................................3分

；.BD=CH,DA=AH.△ADH是等腰三角形.

VZDAH=ZCAB=a=60°,△ADH是等边三角形.，AD=HD.

VCD=HD+CH；.CD=AD+BD..............................................................5分

(3)证法(一)

证明：过A点作AM_LCD于M由题意知，ZDAH=a

VZCAB=ZCDB=a/DAH=/CABZDAB=ZHAC.

VZAOC=ZBOD,；./B=NC.

:又AB=AC,.,.△ABD^AACH..*.BD=CH,DA=AH.，△ADH是等腰三角形.

aCLCL

VAMXCDAZDAM=ZHAM=-DM=HM=AD•sin-DH=2AD-sin-

a

VCD=HD+CHACD=2AD•sin-+BD.

8

证法（二）

E

在4ADB的外侧作/DAE=C(,交BD的延长线于E,过点A作AN_LDE于N

VZCAB=ZCDB=a=ZDAEZ.ZEAB=ZDAC

VZAOC=ZBOD,.\ZB=ZC.

•又AB=AC,.'△ABE丝ZXACD；.BE=CD,AE=ADAADE是等腰三角形.

acccc

VANXDE.\Z1=Z2=-DN=EN=AD•sin-DE=2AD•sin-

a

VBE=DE+BD.*.CD=2AD•sin-+BD.

5.(2022东城二模27题)如图，在△ABC中，AB=AC,ACAB=2a,在AABC的外侧作直线

AP(90°-a<ZB4C1800—2a),作点C关于直线AP的对称点。，连接AZ),BD,BD交直线AP于点E.

(1)依题意补全图形；

(2)连接CE,求证：ZACE=ZABE.

(3)过点A作AR_LCE于点/，用等式表示线段之间的数量关系，并证明。

B

【答案】

解：（1）补全图形如图1:

P

图1

9

(2)证明：如图2点D与点C关于直线AP对称，

AD=AC,ED=EC

在△ADE和△ACE中，

AD=AC

DE=EC

EA=EA

AADE=AACE/.ZADE=ZACE

AB=ACZADB=ZABDZABE=ZACE

图3

结论：DE=BE+2EF

证明：在CE上取一点G,使CG=BE。

在△ABE和△ACG中，

AB=AC

<ZABE=ZACE

BE=CG

：./\ABE=AACG/.AE=AG

AF±EC：.EF=FG/.EC=BE+2EF/.DE=BE+2EF

1

法2：如图4：

思路导航：

作AN，于点N

证A4A©3A4FC三A47VB

得EF=EN

由于△A3D是等腰三角形，据三线合一得：DN=BN

可以转化：DE=DN+NE=BN+NE=BE+NE+NE=BE+2NE=BE+2EF,得证。

思路导航:

作AG±BD于点G,在线段ED上作GK=GE,可证AAGK=AAGE;AAKD=AAEB

得DK=BE;再证GE=GF,可以转化：DE=DK+KG+GE=BE+KG+GE=BE+2EF，得证。

1

6.(2022燕山二模27题)在及△A2C中，乙4。2=90。,8是AB边的中线，DE1BC于E,连结CD,点尸

在射线CB上(与B,C不重合).

(1)如果乙4=30。

①如图1,OE与BE之间的数量关系是

②如图2,点P在线段C8上，连结。P,将线段。尸绕点。逆时针旋转60。，得到线段。尸，连结B凡补全

图2猜想CP、3尸之间的数量关系，并证明你的结论.

(2)如图3,若点尸在线段CB的延长线上，且/A=a(0°<cr<90°),连结。尸，将线段。尸绕点。逆

时针旋转2a得到线段DF,连结请直接写出DE、BF、2尸三者的数量关系(不需证明).

【答案】

(I)(DP£=jiBE

6)

证明:在灶△ABC中、

3为AB也中我

APf-PB,ZCPB-^oa

又,《阳二0。

,；z|~zcpp.

X'；PF=DP

MOcp2ApBfISAS)

1\cp=BF

(i)BF=XEtond+甲

证朗：如闱在RtMB吐

yCD为AB边中技

CD=PA=DB

\'zA=d

,、、Z3B="

又iPEXBCPC=PB

CB~2.cE,44々阳“

*'~^~=tt^dlT?-PE=DE-fOno(

I"Df=&CDB

?.z.CPp=zBPf

52'：Dp=Df

DcpTaDBF

、'、B「"p=CB+BF=2BE+Bp

*东二2见tanW+Bp

1

二、中点问题共5小题

附加1.(2020秋•朝阳区校级期中)已知△ABC是等边三角形，点尸在2C的延长线上，以尸为旋转中心,

将线段PC逆时针旋转(0<«<180)得线段PQ,连接AP,BQ.

(1)如图1,若PC=AC,画出w=60时的图形，直接写出8。和AP的数量及位置关系；

(2)当"=120时，若点M为线段BQ的中点，连接尸判断和AP的数量关系，并证明.

图1备用图

【答案】解：(1)BQ=AP,BQ//AP,

如图1所示：

AABC=ZACB=ZBAC=60°,AB=BC=AC,

y."：PC=AC,

：.ZR4C=ZAPC,

VZACB=ZB4C+ZAPC=60°,

AZR4C=ZAPC=30°,

/.ZBAP^90°,

:将线段尸C逆时针旋转60°得线段尸0,

：.PC=PQ,ZCPQ=60°,

；.AB=AC=CP=PQ,ZAPQ=9Q°,

1

AZBAP+ZAPQ=1SO°,

C.AB//PQ,

・・・四边形ABQP是平行四边形，

：.BQ=AP,BQ//AP；

(2)AP=2MP,

理由如下：如图2,以。为边作等边三角形CHP,连接

图2

•••△CHP和△CR4都是等边三角形，

：・CB=CA,CP=CH,NACB=/HCP=NCPH=6U

：.ZBCH=/ACP,

在△力(7?和△BS中，

AC=BC

乙4cp=乙BCH,

CP=CH

：.AACP^ABCH("S),

：・AP=BH,

•・•将线段尸。逆时针旋转120°得线段尸Q,

：.CP=PQ,ZCPQ=120°,

VZCP27+ZCP2=180°,

・••点8,点尸，点。三点共线，

■:BM=MQ,PQ=CP=HP,

:・BH=2MP,

：・AP=2MP.

1

附加2.(2021•通州区一模)已知点P为线段上一点，将线段AP绕点A逆时针旋转60°,得到线段

AC；再将线段2尸绕点8逆时针旋转120°,得到线段瓦)；连接AD,取AD中点跖连接BM,CM.

(1)如图1,当点P在线段CM上时，求证：PM//BD-,

(2)如图2,当点P不在线段CM上，写出线段与CM的数量关系与位置关系，并证明.

图1图2

【解答】解：(1)有题意可得，ZCAP=60°,S.AP=AC,

：.AAPC是等边三角形，

ZAPC=60°,

AZBPM=60°,

又•.•/PBD=120°,

Z.ZBPM+ZPBD=180°,

J.PM//BD.

(2)猜想，CMLMB,CM=«MB,理由如下：

如图，延长至点G,使得连接AG,BC,GC,PC,

：.四边形AGCB是平行四边形,

1

：.AG=BD,AG//BD,

：.ZBAG=180°-ZABD=60°,

：.ZCAG=120°,

VAAPC是等边三角形，

：.AC=CP,ZCPB=120°,

,:PB=DB=AG,

:.ACAG咨LCPB(SAS),

：.CG=CB,ZAFC=ZPCB,

：.ZGCB^6Q°,

:ACBG是等边三角形，

,:GM=BM,

：.CM±BM,CM=WMB.

7.（2022顺义二模27题）

如图，在^ABC中，ZACB=90°,AC=BC,P,D为射线AB上两点（点D在点P的左侧），且PD=BC,连接

CP,以P为中心，将线段PD逆时针旋转n°（0〈n<180）得线段PE.

（1）如图1,当四边形ACPE是平行四边形时，画出图形，并直接写出n的值；

（2）当n=135°时，M为线段AE的中点，连接PM.

①在图2中依题意补全图形。

②用等式表示线段CP与PM之间的数量关系，并证明。

1

【答案】

(1)n=45°

证明：,••四边形ACPE是平行四边形.,.ACZ/PE.*.ZAPE=ZCAP

VZACB=90°,AC=BC；./CAP=45°=NAPEAn=45°

(2)①如右图

CP=2PM....4分

分析：此题已知了M是AE的中点，求证的是CP和PM的关系。先观察度量就可以推断出是二倍关系，所

以方法一：倍长PM;方法二：作中位线。

证法(一)

证明：延长PM到点Q,使QM=PM.连接AQ,EQ...........5分

VM为线段AE的中点，.\AM=EM.

又：QM=PM,四边形APEQ是平行四边形..\PE=AQ,PE//AQ.

...NQAP=180°-ZDPE=180°-135°=45°.

VZACB=90°,AC=BC,AZCAP=ZCBA=45°.ZCAP=ZQAP.....................6分

VAC=BC,PD=BC,PD=PE,AAC=AQ./.ACAP^AQAP.

.\CP=QP=2PM..................................7分

此问也可以连接CQ,4ACQ为等腰三角形，AP平分/CAQ,根据等腰三角形三线合一得AP垂直平分CQ,

于是CP=QP=2PM.

1

证法(二)

延长EP到N,使PN=EP,连接AN.

VM为线段AE的中点，.\AM=EM.；.PM〃AN,AN=2PM

VZACB=90°,AC=BC,AZCAP=ZCBA=45°.

VZDPE=a=135°.*.ZNPA=45O=ZCAP

,/PE=PD=CB=AC=PNAP=PAAAACP^APNA.\CP=AN=2PM

8.(2022朝阳二模27题)在正方形ABCD中，E为BC上一点，点M在AB上，点N在DC上，且MV_L£>E,

垂足为点尸.

(1)如图1,当点N与点C重合时，求证：MN=DE；

(2)将图1中的向上平移，使得歹为。E的中点，此时与AC相交于点H,

①依题意补全图2；

②用等式表示线段尸N之间的数量关系，并证明

图1

1

【答案】27.(1)证明：•.•四边形A3CD是正方形，

BC=CD,ZB=Z.BCD=90°...........................................................................1分

NMCB+ZDCF=90°,

:MNLDE,垂足为点F,Z,EDC+Z.DCF=90°/.Z.MCB=ZEDC

：./XMCB=Z\EDC.......................................................................2分

:.MC=DE.......................................................................3分

即MV=£>E.

(2)①补全图形如图所示。...................................4分

®HF=MH+FN.......................................................................5分

法1：对角线的对称性

证明：如图，连接HB,HD,HE.

为DE的中点，且.MNYDE.：.HD=HE.6分

四边形ABCD是正方形，；.ZACB=ZACD.

"：CH=CH,CB=CD,/\BCH=Z\DCH.：.HB=HD,NHBC=ZHDC.：.HB^HE.

：.ZHBE=ZHEB.：.ZHDC=ZHEB.：.ZHDC+ZHEC=180°.

NDHE+NDCE=180°./.Z.DHE=90°./•HF=-DE.

2

由(1)知=AHF=-MN.1分：.HF=MH+FN.

2

1

法2：截长补短

在阳上截取/T=W,连接ZD、TE,TE与4。于。，做NIF_L48于％

由尸T=W,FE=FD,TNLDE,可知四边形ZBVD为菱形,

:.TE=DN,TE//DN,

易证四边形4亚7Vo为矩形，AW=DN,

易证△°EC为等腰直角三角形，QE^EC,

易证△DECg>MW=EC,

：.AW=DN=TE,MW=EC=QE,

：.AM=TQ,

可证阳，

：.HM=HT,

：.MH+FN=HT+FT=HF.

法3：利用角平分线构造全等

过点H做“■•LBC于%,HG_LZ>C于G,

易证四边形"CG为正方形，

叼7G=90。，HW=HG,

丈；HE=HD,

AHWE注公HGD，

■:NWHE=NGHD,

,/NWHE+ZEHG=90°,

/.AEHD=ZEHG+4GHD=ZEHG+5HE=90。,

...△//纯为等腰直角三角形，

-,.HF=FE=FD,

:.MH+FN=HF.

2

法4：倒角

AD

做MKLDC于K,交NC于G.连接厂C,

参考（1）易证AMNKWADEC，

^NMK=ZCD£,

,,,△NBC为等腰直角三角形，

易证为等腰直角三角形，

设AEDC二ZNMK二a,则NFCD=a,

;四边形功8为正方形，

二.Z.DCA=45°,

•*.ZFCH=45°-a,ZMHG=45°-a=AFHC,

&CH=AFHC,

:,FH=FC,

MH+FN=HF.

法5：构造一线三垂直模型

过点H做HS工BC于S,交4D于7，

易证三角形△HSC为等腰直角三角形，

,HS=SC,

易证四边形rss为矩形，

TD=SC,

MN±DE,MN平分DE

.'.HE=HD,

：.HS=TD,

AHSEWLDTH（HL）

^THD=ASEH,

ZSEH+4SHE=90。,

ZTHD+^SHE=9Q°,

...乙EfiD=90。，△也）E为等腰直角三角形，

:.HF=FE=FD,

MH+FN=HF.

2

法6：利用斜边中线

连接尸C，

•；F为DE中点,ZDCE=90°,

FC=FE=FD,

设ZFDC=a,则ZFCD=a,ZEFC=2a,

•.,四边形45co为正方形，

ZJDCA=45°,

.".ZFCW=45°-a,&HC=180。-"CH-ZUFC=180°-(45°-a)-(90°+2a)=45°-a,

AFCH=AFHC,

二.FH=FC,

.'.MH+FN=HF.

9.(2022房山二模27题)如图1,在四边形/8CO中，NABC=/BCD,过点A作/£//DC交BC边

于点E,过点E作EF//AB交CD边于点F,连接AF,过点C作CH//AF交AE于点H,连接BHO

(1)求证：AABH^AEAF-,

BE

(2)如图2,若BH的延长线经过N尸的中点M,求——的值。

EC

图1

2

【答案】(1)【平行四边形性质+全等证明】

证明：,:/ABC=/BCD,AE/7DC,EF/7AB

:.NABE=NAEB,NFEC=NFCE,/BAH=/FEA：.AB=AE,FE=FC

又,：CH〃AF，四边形AHCF为平行四边形:.FE=FC=AH

：.AABH^AEAF.........................................3分

BG

(2)【倍长中线+数量关系转化+相似比】

证明：延长氏区，EF,两延长线交于点G。

：M为ZE的中点AM=FM

又,：AB//EF：.ZABM=/FGM

■:/AMB=/FMGAABM^AFGM(AAS)：.AB=GM

又AB//EF：.AABHsAEGH

'：AE//DC,EF//AB,CH//AF,/ABC=/BCD

，四边形AHCF为平行四边形，AABE和/尸EC为等腰三角形,

.BE_AB

：./ABE=NFEC=ZAEB=NFCE：.AABE^AFEC

'~EC~~FE

设比值是。，则AB=AE=GR=axEE,AH=FC=FE,

HE=AE-AH=AE-FC=axFE-FE=(a-V)xFE

EG=EF+GF=axFE+FE=(a+l)xFE

.AB_AH_axFE_FE

'：AABH^AEGHI.(tz-l)xa=a+l

'EG~EH~(a+l)xFE~(a-l)xFE

ci"—2tz—1=0解得：a=1+舍去)

.・・垩=1+啦.........................................7分

EC

2

10.(2022石景山二模27题)在AABC中，NACB=90。,CA=CB,D是AB的中点，E为边AC上一动点

(不与点A,C重合〉，连接DE,将线段BA绕点B逆时针旋转90。得到线段BF,过点F作FHJ_DE于

H,交射线BC于点G.

(1)如图1,当AE〈EC时，比较/ADE与/BFG的大小；用等式表示线段BG与AE的数量关系，并证

明：

(2)如图2,当AE>EC时，依题意补全图2,用等式表示线段DE,CG,AC之间的数量关系.

【答案】

方法一：在EC上截取EK=AE.连BK.

因为D为AB的中点，所以DE^BK,DE〃BK,所以/ADE=/ABK,所以/ABK=/BFG.

由旋转知AB=FB,ZGBF=90°-/ABC=45°=/A.

在△BGF与AAKB中，NBFG=NABK,BF=AB,NGBF=/A,所以△BGFOAKB(ASA).

所以BG=AK=2AE.

方法二：在ABFC与4ADE中，NGBF=NA,ZBFG=ZADE,所以△BFG~4ADE.

所以BG:AE=BF:AD=AB:AD=2:1,所以BG=2AD.

同上问方法二，易证aEBG〜ADAE,从而推出FG=2DE.

2

在Rt/XFCG中，Cp2+CG2=FG2

而CF=AC,所以g+CG2=（2QE）2=4DE2

方法二：逆用旋转型全等。

作BK_LFH于K,BK交AF于N.

我们有/CBN+/BGK=90°=ZCFG+ZBGK,所以/CBN=/CFG.

显然△BCNw/XFCG.所以CN=CG,BN=FG.

因为DH±FH,BK±FH,所以DH〃BK,所以BN:DE=AB:AD=2:1,

所以BN=2DE.

RtABCN中，

222

BC+CN=BN2所以g+CG2=（2QE）2=4DE.

11.(2022门头沟二模27题)如图，在△4BC中，ZACB=90°,。是BC的中点，过点C作CE_LAO,

交于点交A3于点F作点£关于直线AC的对称点G,连接AG和GC,过点8作BMLGC

交GC的延长线于点M.

(1)①根据题意，补全图形；

②比较/BCF与/BCM的大小，并证明.

(2)过点2作BNLCT交CP的延长线于点N,用等式表示线段AG,硒与的数量关系，并证

明.

2

27.（本小题满分7分）

解：（1）①略；...............................................2分

②ZBCF=ZBCM,理由如下：

ZACB=90,

：.ZACE+NFCB=90,ZACG+NBCM=90.

,/点E关于直线AC的对称点是点G,

：.^ACG^Z^ACE.

：.ZACE^ZACG.

90-ZACE=90-ZACG.

即NBCF=ZBCM.......................................................................................................4分

(2)法7：EN2=-BMAG,理由如下：

2

^ACG^^ACE.：.AG=AE,CG=CE.

:CELAD,：.ZAEC=ZCED=90°.：.ZCAE+ZACE=90°.

ZACB=90°,：./ECD+ZACE=90°.NCAE=ZECD.

2

CE_AE

△ACE1sLCDE.CE2=EDAE.

~ED~~CE

'：BN±CN,CELAD,：.DE〃BN.

。是5C的中点，/.CE=EN,DE=-BIV.

2

*.*ZBCF=/BCM,BN±CN,BM±CM,/.BN=BM：.DE=-BM.

2

・21

・・EN2=-BMAG......................................................................................................7分

2

法2：

“一线三垂直模型”相似

'：AAGC-^ACMB

•_A_G___G_C_

…CM—BM

•_A_G__G_C_

•*CN-BM

•_A_G____G_C_

・.2EN-BM

AG_EN

FEN-BM

A2EN2=AG-BM

2

三、一线三垂共1小题

12.（2022海淀二模27题）已知N8=BC,ZABC=90°,直线/是过点8的一条动直线（不与直线BC

重合），分别过点4C作直线/的垂线，垂足为。，E.

（1）如图1,当45。＜/钻。＜90。时，

①求证：CE+DE=AD；

②连接过点。作于H过点工作/斤〃2c交。H的延长线于点尸.依题意补全图形,

用等式表示线段。尸，BE,的数量关系，并证明；

（2）在直线/运动的过程中，若。E的最大值为3,直接写出N8的长.

【答案】（1）①见解析；②补全图形见解析；线段如,BE,庞的数量关系为防2+。£2=。尸.证明见解

析；（2）—V2

2

【分析】（1）①根据ASA证明△/切三丛BCE,推出/氏龙，BD^CE,由此得到CE+OE=AD.

②利用同角的余角相等推出//除/物氏禾佣三角形外角性质推出/班氏//朋进而证明△/如乡

△迎4得到利用勾股定理证得^^+^炉二人彦，由此得至|］理2+。£2=。尸.

（2）当直线/在/4%外部时，由（1）知△/劭会XBCE.得到密D/BFD贤AD,设/炉x,则应三x,

DB=DE-BE=3-x,推出•=2，-|J+?,根据函数的性质解答

【第（1）小问①详解】

①证明：ZAB（=90°,・•・ZABD^ZCBD=90°.

CELl,：.ZCEB-900./CBA/090°.AABD-AC.

ADL1,：.ZADB=90°=ZCEB.

AB=BQ：.^ABD之XBCE.：.AD^BE,BWCE.

9：BD+DE=BE,：.CE+DE=AD.

2

A

【第（1）小问②详解】

②补全图形如图：

------------------7r

”,，图2

D

BC

线段阳BE,庞的数量关系为3序+。序=。产.

证明如下：

AF//BC,：.ZBAF+ZAB（^18Q°.

NABC=90°,：.NBA29Q°.：./曲9■/物490°.

"?AD1.I,：./ADB=9Q°.：.ZBAD^ZABD=90°.：.ZABD=ZDAF.

,：DFLAE于H,：./D眸9y.：.AHDE+AHED^^°.

'：/AD皆/ADR/HDE=QQ°,：.AHED^AADF.

'：由（1）中全等，有AD=BE,：.XADF9△曲.，D百AE.

在R/AADE中，AD~+DE2=AE~>BE2+DE2=DF2-

［第（2）详解】

法1：

当直线/在/力笈外部时，

由（1）知△/劭gLxBCE.：.AD=BE,BD=CE,:.D方DB+B4DB+AD,

设/女x,贝ij5斤x,DB=DE-BE=3-x,/.AB2=AD2+DB2=^2+（3-x^2=2^x+日

当产一时，有最小值—，即月庐一

242

3

故当龙取最大值3时，AB为二也

2

2

法2：

图4图5

图6

3

图8

3

如图4~8,只有图8当四边形ADEC是矩形的时，DE最大等于AC的长度，此时AB=—0

2

如图9,由（1）知2△及为.AD=BE,BD=CE

令AD=BE=x,BD=CE=y

222

再RtZXABD中，x+y=AB

（x"y）2=0/.2+2>2XV11ii

XVyy-（x2+y2）+-（x2+y2）>-（x2+y2）+-（2xy）

2222

*.*x+yW3

9

AB92<-

2

AB<AB"-I

22

：.AB三

2

3

故当龙取最大值3时，AB为-6

2

3

四、猜证类共1小题

13.(2022昌平二模27题)如图，已知/例昨。(0°<a<90°),8是/加川的平分线，点/是射线施

上一点，

点A关于8对称点8在射线ON上,连接A8交8于点Q过点A作AV的垂线，分别交OP,加于点D,E,

作/力£的平分线加，射线附与利加分别交于点凡G.

(1)①依题意补全图形；

②求/掰£度数；(用含a的式子表示)

(2)写出一个a的值，使得对于射线M上任意的点力总有勿=行力尸(点力不与点。重合)，并证明.

【答案】27.(1)①

OA=OB.'：/就加a,

：.ZOBA=OAB^O°-—..............................