2023-2024学年北京市九年级数学上学期中分类汇编：新定义（原卷版）

2023-2024学年北京市九年级上期中数学分类一一新定义

1.(2023秋•清华附中期中)在平面直角坐标系xOy中，线段48=4,点M,N在线段N5上，且儿加=2,

产为AW的中点，如果任取一点。，将点。绕点尸顺时针旋转180°得到点。'，则称点为点0关

于线段的“旋平点”.

(1)如图1,已知/(-1,0),B(3,0),Q(1,2),如果。'(a,b)为点。关于线段的“旋

平点”，画出示意图，写出。的取值范围；

(2)如图2,。。的半径为3,点力,3在。。上，点。(1,0),如果在直线x=%上存在点。关于线

段的“旋平点”，求加的取值范围.

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2.（2023秋•北京四中期中）在平面直角坐标系xOy中，。。的半径为正.对于平面内一点/,若存在边

长为1的等边△A8C,满足点2在OO上，且。C2。/,则称点/为。。的“近心点”，点C为。。的“远

心点

（1）下列各点：。（-3,0）,E（0,1+V3）,F）,G（l,-&）中，。。的“近心点”

有

（2）设点。与。。的“远心点”之间的距离为1,求d的取值范围；

（3）直线y="lx+b（b〉0）分别交X，y轴于点跖M,且线段7W上任意一点都是。。的“近心

3

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3.(2023秋•北京八中期中)在平面直角坐标系xQy中，对于点尸(不在坐标轴上)给出如下定义：以尸

为圆心，为半径的OP与y轴的另一个交点为。，若在线段。0,OP上分别存在点M,N,使得△

MVP为等腰直角三角形，其中/尸血W=90°,则称点P是完美点.

如图，若点尸的坐标为点(1,3),则在线段O。，OP上分别存在点“(0,5),N(2,6),使得△

MVP为等腰直角三角形，其中/PMN=90°,所以点P(1,3)是完美点.

(1)下列点中是完美点的有(填序号)；

①N(3,1)；

②3(2,2).

(2)已知P(m,〃)为抛物线＞=/上一点，若P为完美点，求机的取值范围；

(3)已知直线/：y=x+2,点/为直线/上一点，若以N(xo,jo)为圆心，半径为1的。/上无完美

点，求xo的取值范围.

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4.(2023秋•北京二中期中)对于平面直角坐标系xOy内的点尸和点°,给出如下定义：若满足点。绕点

尸旋转a度(0°<a<180°)后落在半径为1的圆。上，则称点。是点尸的关联点.

已知点/的坐标为(4,3).

(1)点Bi(4,0)、&(-2,3)、B3(6,-1)中是点/的关联点的是；

(2)点(m,0)是点/的关联点，求力的取值范围；

(3)已知直线>=-x+b交坐标轴于M、N两点，若线段上的所有点都是点/的关联点，直接写出

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5.（2023秋•汇文中学期中）在平面直角坐标系xOy中，对于两个点P,。和图形少，如果在图形少上存

在点N（M,N可以重合）使得那么称点P与点。是图形少的一对平衡点.

（1）如图1,已知点/（0,3）,B（2,3）；

①设点O与线段上一点的距离为d,则d的最小值是,最大值是；

②在尸1（3,0）,P2（l，4）,己（-3,0）这三个点中，与点。是线段的一对平衡点的是；

2

（2）如图2,已知的半径为1,点。的坐标为（5,0）.若点£（x,2）在第一象限，且点。与点

£是。。的一对平衡点，求x的取值范围；

（3）如图3,已知点〃（-3,0）,以点。为圆心，。〃长为半径画弧交x的正半轴于点K.点C

b）（其中620）是坐标平面内一个动点，且OC=5,。。是以点C为圆心，半径为2的圆，若黄上的

任意两个点都是OC的一对平衡点，直接写出b的取值范围.

图2

图3

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6.(2023秋•人大附中朝阳学校期中)在平面直角坐标系xQy中，图形少上任意两点间的距离有最大值，

将这个最大值记为乩对点尸及图形少给出如下定义：点0为图形少上任意一点，若尸，。两点间的

距离有最大值，且最大值恰好为2d.则称点P为图形少的“倍点”.

(1)如图1,图形沙是半径为1的OO.

①图形少上任意两点间的距离的最大值d为;

②在点为(0,2),尸2(3,3),尸3(-3,0)中，的“倍点”是；

(2)如图2,图形水是中心在原点的正方形48CD,点/(-1,1).若点E(t,3)是正方形/BCD

的“倍点”，求才的值；

(3)图形少是长为2的线段MN,7为九加的中点，若在半径为6的。。上存在线段的“倍点”，

直接写出所有满足条件的点7组成的图形的面积.

图1图2

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7.(2023秋•八十中学期中)在平面直角坐标系宜打中，。。的半径为1.对于点4和线段8C,给出如下

定义：若将线段5c绕点/旋转可以得到。。的弦夕C，C分别是比C的对应点)，则称线

段8C是。。的以点/为中心的“关联线段

(1)如图，点N,Bi,Ci,Bi,。2,B3,。3的横、纵坐标都是整数.在线段BiCi,52c2,33c3中，

的以点/为中心的“关联线段”是；

(2)△/8C是边长为1的等边三角形，点/(0,力，其中/W0.若2C是OO的以点/为中心的''关

联线段”，求才的值；

(3)在△/8C中，AB=1,/C=2.若2。是OO的以点/为中心的“关联线段”，直接写出。区的最

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8.（2023秋•陈经纶中学期中）对于某一函数给出如下定义：若存在实数?，当其自变量的值为p时，其

函数值等于P，则称〃为这个函数的不变值.在函数存在不变值时，该函数的最大不变值与最小不变值

之差4称为这个函数的不变长度.特别地，当函数只有一个不变值时，其不变长度“为零.例如，图中

的函数有0,1两个不变值，其不变长度q等于L

（1）函数①y=2x,②y=/+l,③y=7-2x中存在不变值的是（填序号）；

（2）函数y=2x2-6x.

①若其不变长度为0,则b的值为；

②若1W6W3,求其不变长度g的取值范围；

（3）记函数y=/-2x（X*）的图象为Gi,将Gi沿翻折后得到的函数图象记为G2，函数G

的图象由G1和G2两部分组成，若其不变长度q满足0Wq<3,则〃？的取值范围

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9.（2023秋•陈经纶中学望京分校期中）在平面直角坐标系xOy中，图形M上任意两点间的距离若有最大

值，将这个最大值记为d.对于点尸和图形M给出如下定义：点0是图形〃上任意一点，若尸，。两点

间的距离有最小值，且最小值恰好为力则称点尸为图形/的“等距点”.

（1）如图1,图形M是矩形495C,其中点4的坐标为（0,3）,点。的坐标为（4,3）,则d=.在

点尸1（-1,0）,尸2（2,8）,ft（3,1）,p4（-721,-2）中，矩形％。5c的“等距点”是;

（2）如图2,图形M是中心在原点的正方形QMG,其中。点的坐标为（1,1）.若直线y=x+b上存

在点P,使点尸为正方形。EFG的“等距点”，求b的取值范围；

（3）已知点M（l,0）,N（0,M）.图形"是以T（30）为圆心，1为半径的。T.若线段MN上

存在点P,使点尸为0T的“等距点”，直接写出/的取值范围.

88

77

66

55

44

33

22

-S-4-3-2^1^2345a;-7-6-5-4-3-2-11^2345a;

-2

-3

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10.(2023秋•首师大附中朝阳学校期中)我们规定，以二次函数y=a/+6x+c的二次项系数。的2倍为一

次项系数，一次项系数6为常数项构造的一次函数y=2ax+6叫做二次函数y=ax2+bx+c的“子函数"，

反过来，二次函数y=ax2+bx+c叫做一次函数y=2ax+6的“母函数".

(1)若一次函数y=2x-4是二次函数y=ax2+6x+c的“子函数"，且二次函数经过点(3,0),求此二

次函数的解析式及顶点坐标.

(2)若“子函数"y=x-6的“母函数”的最小值为1,求“母函数”的函数表达式.

(3)已知二次函数y=-/-4x+8的“子函数”图象直线/与x轴、y轴交于C、D两点,尸点在直线

/上方的抛物线上，求△尸CD的面积的最大值.

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11.（2023秋•牛栏山一中实验学校期中）将平面直角坐标系xOy中的一些点分为两类，满足每类至少包含

两个点.对于同一类中的任意两点P（XI,yi）,Q（X2,夕2）,称阳-X2|与历-"I中的最大值为点尸和点

。的“联络量”，记作||尸，211.将每类能得到的最大联络量作为该类的“代表量”，定义代表量中的最

大值为这种分类的“类筹”.

如图，点/,B,C,D,£的横、纵坐标都是整数.

（1）①点/,C,D,E,O,与点、B“联络量”是2的有；

②点M在平面上运动，已知将点。，E,M分在同一类时“代表量”是5,则动点M所在区域的面积

为：

（2）已知二次函数y=4（x-A）2一3上的任一点K均满足将点4B,C,D,E,K分为两类的最小

“类筹”大于4,直接写出h的取值范围

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12.(2023秋•三帆中学期中)设7是平面内的几何变换，它使得平面内任意一点尸都有唯一的对应点P,

从而使任何图形G都能经过变换T得到另一图形G'.在此基础上：

若点P的对应点是它本身，则称点P是变换T的不动点；

若图形G经过变换T后得到的图形仍然是它本身，则称图形G是变换T的不动图形.

如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点/(1,1),B(0,2),C(2,0).

(1)变换乃：先关于y轴对称，再将坐标为(a,6)的点变为点(4-a,b).

①若点/在经过变换刀后得到点H,贝144,=；

②有下列图形：

(A)过点N且平行于x轴的直线；

(3)开口向下，且以2为顶点的抛物线；

(C)以点C为圆心的半径为1的圆.

其中是变换为的不动图形的是;

(2)变换？2：先关于直线y=fcr+l对称，再关于y轴对称.

请判断点3、点C中哪个点经过变换为后可能得到点力,并求出此时k的值;

(3)变换乃：先绕点。顺时针旋转90°,再绕点。逆时针旋转60°.

①以C为圆心作半径为:•的圆，若。。上存在点它经过变换乙后的对应点恰好在x轴上，直接写

出r的取值范围；

②变换「3是否有不动点？若有，写出其不动点的坐标；若没有，说明理由.

3-3-

2-B2-B

1・A]-・A

1,C,,>।।।।,,C,，,

-4-3-2-101234立一4—3-2—1。1234力

-1一1-

-2

-3

-4

备用图

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13.(2023秋•铁路二中级期中)在平面直角坐标系xQy中，对于点R和线段尸。，给出如下定义：M为线

段尸。上任意一点，如果凡初两点间的距离的最小值恰好等于线段尸。的长，则称点R为线段尸。的

“等距点”.

(1)已知点/(5,0).

①在点21(-3,4),Bi(1,5),Bi(4,-3),B4(3,6)中，线段OA的“等距点”是；

②若点C在直线y=2x+5上，并且点C是线段OA的“等距点”，求点C的坐标；

(2)已知点D(1,0),点E(0,-1),图形少是以点TC,0)为圆心，1为半径的位于x轴及

x轴上方的部分.若图形沙上存在线段DE的“等距点”，直接写出/的取值范围.

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14.（2023秋•东城区景山学校期中）在平面直角坐标系xOy中，。。的半径为1,点N在。。上，点尸在

OO内，给出如下定义：连接4P并延长交。。于点3,若AP=kAB,则称点尸是点/关于O。的左倍

特征点.

（1）如图，点/的坐标为（1,0）.

①若点P的坐标为（-工，0）,则点尸是点/关于。。的倍特征点；

2

②在C1（0,工），C2（X0）,C3（X-1）这三个点中，点是点/关于。。的上倍特

22222

征点；

③直线/经过点/,与y轴交于点。，/。/0=60°.点£在直线/上，且点£是点/关于的上倍

2

特征点，求点£的坐标；

（2）若当左取某个值时，对于函数y=-x+1的图象上任意一点M,在。。上都存在点N,

使得点”是点N关于。。的k倍特征点，直接写出k的最大值和最小值.

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15.(2023秋•东直门中学期中)在平面直角坐标系xOy中，的半径为1,尸是。。外一点，给出如下

的定义：若在。。上存在一点T,使得点尸关于某条过点7的直线对称后的点0在。。上，则称0为

点尸关于。。的关联点.

(1)当点P在直线y=2x上时.

①若点尸(1,2),在点Q零)，0(0,1),0(1,0)中，点P关于O。的关联点

是;

②若尸关于。。的关联点。存在，求点尸的横坐标,的取值范围.

(3)已知点A(2,1-)＞动点〃满足若“关于。。的关联点N存在，直接写出的取值

范围.

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16.(2023秋•广渠门中学期中)定义：在平面直角坐标系中，有一条直线x=m,对于任意一个函数，作

该函数自变量大于根的部分关于直线工=加的轴对称图形，与原函数中自变量大于或等于优的部分共

同构成一个新的函数图象，则这个新函数叫做原函数关于直线X=7"的"镜面函数例如：图①是函

数y=x+l的图象，则它关于直线x=0的“镜面函数”的图象如图②所示，且它的“镜面函数”的解

析式为尸卜+1。》?)，也可以写成尸M+1.

■[-x+l(x<0)

(1)在图③中画出函数y=-2x+l关于直线x=l的“镜面函数”的图象.

(2)函数y=x2-2x+2关于直线x=-1的"镜面函数"与直线y=-x+加有三个公共点，求加的值.

(3)已知抛物线>="2-4"+2(a<0),关于直线x=0的“镜面函数”图象上的两点P3,yi),Q

(X2,»),当L1WX1W/+1,X224时，均满足川》”，直接写出/的取值范围.

图①图②图③

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17.(2023秋•西城外国语期中)对于平面直角坐标系：xQy内任意一点尸.过尸点作轴于点

轴于点N,连接ACV,则称AW的长度为点尸的垂点距离，记为肌特别地，点尸与原点重合时，

垂点距离为0.

(1)点/(2,0),B(4,4),C(-2,衣)的垂点距离分别

为,，.

(2)点尸在以。(遮，1)为圆心，半径为3的O0上运动，求出点P的垂点距离/?的取值范围；

(3)点7为直线Z：y=y[3x+6位于第二象限内的一点，对于点7的垂点距离h的每个值有且仅有一个

点T与之对应，求点T的横坐标f的取值范围.

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18.（2023秋•文汇中学级期中）在平面直角坐标系xOy中，给定线段N3和点P,若满足为＜48＜尸8或

者PBVABVPA,则称点尸为线段48的偏序点.

(1)已知点/(2,0),

①在点囱（-1,0）,B2（l,“），83（2,3）,国（3,-1）中，是线段。区的偏序点的有

②若直线/：y=x+6上存在线段。/的偏序点，求6的取值的范围.

（2）已知点0）,N（0,M）,是以1为半径的圆，并且圆心C在x轴上运动，若线段

儿W上的点均为。C的某条直径的偏序点，直接写出点C的横坐标c的取值的范围.

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19.(2023秋•海淀区期中)在平面直角坐标系xOy中，已知点M不与原点重合.对于点尸给出如下定义:

点尸关于点M的对称点为P,点P关于直线OM的对称点为Q,称点。是点P关于点M的“转称

点”.

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