2022年中考数学试题分类汇编：矩形菱形与正方形

第26章矩形、菱形与正方形

一、选择题

1.12022浙江省舟山，10,3分)如图，①②③④⑤五个平行四边形拼成一个含30。内角的

菱形EPGW〔不重叠无缝隙).假设①②③④四个平行四边形面积的和为14cm2,四边形

A8CD面积是lien?,那么①②③④四个平行四边形周长的总和为()

[A)48cm(B)36cm

[C)24cm(D)18cm

(第10题)

【答案】A

2.(2022山东德州8,3分)图1是一个边长为1的等边三角形和一个菱形的组合图形，菱

形边长为等边三角形边长的一半，以此为根本单位，可以拼成一个形状相同但尺寸更大

的图形[如图2),依此规律继续拼下去[如图3),……，那么第n个图形的周长是

图1

〔A)2n(B)4"(C)2用[D)2计2

【答案】C

3.12022山东泰安，17,3分)如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，假设两个

小正方形的面积分别为Si,那么S1+S2的值为

A.17B.17C.18D.19

【答案】B

4.[2022山东泰安，19,3分）如图，点。是矩形ABC。的中心，E是42上的点，沿

CE折叠后，点8恰好与点。重合，假设BC=3,那么折痕CE的长为

A.2^3B.吟C./D.6

【答案】A

5.（2022浙江杭州，10,3）在矩形ABCD中，有一个菱形BFDE（点E,尸分别在线段AB,

CD上），记它们的面积分别为右的和SBFDE.现给出以下命题：（）

①假设邑@=巨生，那么tan/即/二且

②彳枝设DE2=BD»EF,那么

SBFDE23

DF=2AD.

那么：

A.①是真命题，②是真命题B.①是真命题，②是假命题

C.①是假命题，②是真命题D,①是假命题，②是假命题

【答案】A

6.12022浙江衢州，1,3分〕衢州市新农村建设推动了农村住宅旧貌变新颜，如图为一农村

民居侧面截图，屋坡AF、AG分别架在墙体的点6、点C处，且A3=AC,侧面四边

形BDEC为矩形，假设测得NE4G=100°,那么NEBD=（）

A

DE

[第5题）

A.35°B.40°C.55°D.70°

【答案】C

7.12022浙江温州，6,4分）如图，在矩形A8CZ）中，对角线AC,8。交于点O.ZAOB=

60°,AC=16,那么图中长度为8的线段有（）

A.2条B.4条C.5条D.6条

【答案】D

8.2022四川重庆，10,4分）如图，正方形4BCZ）中，AB=6,点E在边CD上，且

3DE.将△ADE沿AE对折至△AFE,延长所交边BC于点G,连结AG、CF.以下结

论：①AABG2AAFG；②BG=GC；③AG〃CF；④SAFGC=3.其中正确结论的个数

是（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

9.12022浙江省嘉兴，10,4分）如图，①②③④⑤五个平行四边形拼成一个含30。内角的

菱形斯G8〔不重叠无缝隙）.假设①②③④四个平行四边形面积的和为14cm2,四边形

A8CD面积是lien?,那么①②③④四个平行四边形周长的总和为（）

[A[48cm[B）36cm

[C）24cm（D）18cm

（第10题）

【答案】A

10•（2022台湾台北，29）如图（十二），长方形ABC。中，E为前中点,作NAEC的角

平分线交通于F点。假设彳后=6,诟=16,那么丽的长度为何

A.4B.5C.6D.8

【答案】C

11.〔2022湖南邵阳，7,3分）如图[二）所示，A3CD中，对角线AC,BD相交于点

O,且ABWAD,那么以下式子不正确的选项是U

A.ACXBDB.AB=CD

C.BO=ODD.ZBAD=ZBCD

【答案】A.提示：当且仅当，A3CD为菱形时，AC±BDo

12.〔2022湖南益阳，7,4分〕如图2,小聪在作线段48的垂直平分线时，他是这样操作

的：分别以A和2为圆心，大于4A3的长为半径画弧，两弧相交于C、D,那么直线

2

CD即为所求.根据他的作图方法可知四边形AZJ8C7定星

A.矩形B.菱形C.正方形D.等腰梯形

【答案】B

图2

13.〔2022山东聊城，7,3分）一个菱形的周长是20cm,两条对角线的比是4：3,那么这

个菱形的面积是（）

A.12cm2B.24cm2C.48cm2D.96cm2

【答案】B

14.〔2022四川宜宾,7,3分）如图，矩形纸片ABCD中，AD=8,折叠纸片使AB边与对角

线AC重合，点B落在点F处，折痕为AE,且EF=3,那么AB的长为〔）

A.3B.4C.5D.6

（第7题图）

【答案】D

15.（2022重庆江津，10,4分）如图，四边形ABCD中,AC=a,BD=b,且ACJ_BD,顺次连接四

边形ABCD各边中点,得到四边形ABCD,再顺次连接四边形ABCD各边中点,得到四边

形A2B2C2D2……，如此进行下去,得到四边形A„B„C„D„.以下结论正确的有（）

①四边形A2B2c2D2是矩形；②四边形ABC4D4是菱形；

③四边形A5B5c5D5的周长空;④四边形ABCM的面积是g

42例

A

A.①②B.②③C.②③④D.①②③④

・小心、「AiD2Di

【答案】C-D3C3

16.（2022江苏淮安，5,自驾）在菱形中，AB^Scm,那么此菱形的周长为（）

A3B3

A.5cmB.15晶B2C.ZOcmD.25cm

【答案】cC

17.〔2022山东临沂，11,3分第如黛部ABC中，AC的垂直平分线分别交AC、AB于点

D、F,BE_LDF交DF的延长线于点E,AA=30°,BC=2,AF=BF,那么四边形BCDE

的面积是U

A.2百B.3百C.4D.4百

【答案】A

18.（2022四川绵阳7,3）以下关于矩形的说法中正确的选项是

A.对角线相等的四边形是矩形B.对角线互相平分的四边形是矩形

C.矩形的对角线互相垂直且平分D.矩形的对角线相等且互相平分

【答案】D

19.〔2022四川乐山9,3分）如图［5）,在正方形ABCD中，E、F分别是边BC、CD的

中点，AE交BF于点H,CG〃AE交BF于点G。以下结论：①tan/HBE=cot/HEB②

CGBF=BCCF③BH=FG④3=上.其中正确的序号是

CF-GF

A.①②③B.②③④C.①③④D.①②④

【答案】D

20.12022江苏无锡，5,3分）菱形具有而矩形不一定具有的性质是（）

A.对角线互相垂直B.对角线相等C.对角线互相平分D.对角互补

【答案】A

21.（2022湖北武汉市，12,3分）如图，在菱形ABC。中，AB=BD,点、E,尸分别在

AD上，且AE=O足连接与。E相交于点G,连接CG与8。相交于点以下结论:

①AAED名△DFB；②S四边形BCDG=—CG2；

4

③假设AP=2Z）R那么8G=6GF.其中正确的结论

A.只有①②.B.只有①③.C.只有②③.D.①②③.

第12题图

【答案】D

22.（2022广东茂名，5,3分）如图，两条笔直的公路（、4相交于点°，村庄C的村民

在公路的旁边建三个加工厂A.B、D,AB=8C=CO=ZM=5公里，村庄C到公路乙

的距离为4公里，那么村庄C到公路乙的距离是

A.3公里B.4公里C.5公里D.6公里

【答案】B

23.（2022湖北襄阳，10,3分）顺次连接四边形ABC。各边的中点所得四边形是菱形，那

么四边形一定是

A.菱形B.对角线互相垂直的四边形C.矩形D.对角线相等的四边形

【答案】D

24.〔2022湖南湘潭市，5,3分）以下四边形中，对角线相等且互相垂直平分的是

A.平行四边形B.正方形C.等腰梯形D.矩形

【答案】B

二、填空题

1.（2022山东滨州，17,4分〕将矩形ABCD沿AE折叠，得到如下列图图形。假设NCED'

=56°，那么NAED的大小是.

（第17题图）

【答案】62°

2.12022山东德州16,4分）长为1,宽为a的矩形纸片如图那样折一下，

2

剪下一个边长等于矩形宽度的正方形〔称为第一次操作）；再把剩下的矩形如图那样折一

下，剪下一个边长等于此时矩形宽度的正方形（称为第二次操作）；如此反复操作下去.假

设在第n此操作后，剩下的矩形为正方形，那么操作终止.当n=3时，a的值为.

第二次操作

【答案】士3或士3

54

3.12022湖北鄂州,5,3分）如图：矩形ABCD的对角线AC=10,BC=8,那么图中五个

小矩形的周长之和为

AD

【答案】28

4.[2022山东烟台，17,4分）如图，三个边长均为2的正方形重叠在一起，。卜。2是其中

两个正方形的中心，那么阴影局部的面积是.

【答案】2

5.（2022浙江湖州，16,4）如图，甲类纸片是边长为2的正方形，乙类纸片是边长为1的正

方形，丙类纸片是长、宽分别为2和1的长方形.现有甲类纸片1张，乙类纸片4张,

那么应至少取丙类纸片张，才能用它们拼成一个新的正方形.

【答案】4

6.（2022浙江绍兴，15,5分）取一张矩形纸片按照图1、图2中的方法对折，并沿图3中

过矩形顶点的斜线（虚线）剪开，那剪下的①这局部展开，平铺在桌面上，假设平铺的

这个图形是正六边形，那么这张矩形纸片的宽和长之比

为.

第15题国1第！5题图2第15题图3

【答案】6:2

7.（2022甘肃兰州，20,4分）如图，依次连结第一个矩形各边的中点得到一个菱形，再

依次连结菱形各边的中点得到第二个矩形，按照此方法继续下去。第一个矩形的面积为

1,那么第〃个矩形的面积为。

【答案】

4〃T

8.（2022江苏泰州，18,3分）如图，平面内4条直线心、£,＞乙3、及是一组平行线，相

邻2条平行线间的距离都是1个单位长度，正方形A8CD的4个顶点A、B、C、。都在

这些平行线上，其中点/、。分别在直线心和〃上，该正方形的面积是平方单位.

【答案】5或9

9.[2022山东潍坊，16,3分）线段AB的长为°,以AB为边在A8的下方作正方形AC08.

取AB边上一点E,以AE为边在AB的上方作正方形AENM.过E作EFY.CD,垂足为F

点.假设正方形AENM与四边形EFDB的面积相等，那么AE的长为.

・小田、A/5—1

【答案】-----a

2

10.[2022山东潍坊，17,3分）长方形ABCD,AB=3cm,AD^Acm,过对角线30的中点O

做BD的垂直平分线EF,分别交A。、BC于点E、F,那么AE的长为.

7

【答案】-cm

8

11.12022四川内江，16,5分）如图，点E、F、G、H分别是任意四边形ABCD中AD、

BD、BC、CA的中点，当四边形ABCD的边至少满足条件时，四边形EFGH是菱形.

【答案】AB=CD

12.（2022重庆泰江，14,4分）如图，菱形A8CQ的对角线AC、8。相交于点O,且AC=8,

BD=6,过点。作。垂足为X,那么点。到边A8的距离08=.

12

【答案】：—

5

13.（2022江苏淮安，17,3分）在四边形ABC。中，AB=DC,AO=BC.请再添加一个条件,

使四边形ABCD是矩形.你添加的条件是.（写出一种即可）

【答案】44=90。或/8=90。或/C=90。或/。=90。或AC=BD

（答案不唯一，写出一种即可）

14.（2022江苏南京，12,2分）如图，菱形ABCD的连长是2cm,E是AB中点，且DE_LAB,

那么菱形ABCD的面积为cm2.

（第12题）

【答案】

15.〔2022江苏南通，15,3分）如同，矩形纸片ABCD中，AB=2cm,点E在BC上,且

AE=EC.假设将纸片沿AE折叠，点8恰好与AC上的点V重合，那么AC=Acm.

【答案】4

16.（2022四川绵阳17,4）如图，将长8cm,宽4cm的矩形纸片ABC。折叠，使点A与C

重合，那么折痕EP的长为cm.

【答案】2小

17.12022四川凉山州，17,4分）菱形A8CD的边长是8,点E在直线上，假设。E=3,

连接BE与对角线AC相交于点那么上M上C的值是。

AM

QQ

【答案】2或a

511

18.12022湖北黄冈，5,3分）如图：矩形ABCD的对角线AC=IO,BC=8,那么图中五

个小矩形的周长之和为.

【答案】28

19.[2022湖北黄石，13,3分）有甲乙两张纸条，甲纸条的宽是乙纸条宽的2倍，如图14）.

将这两张纸条交叉重叠地放在一起，重合局部为四边形ABCD,那么AB与BC的数量

关系为。

【答案】AB=2BC

20.（2022山东日照，16,4分）正方形A3C。的边长为4,M、N分别是8C、CD上的两

个动点，且始终保持当时，四边形ABCN的面积最大.

【答案】2;

21.〔2022河北，14,3分）如图6,菱形ABCD,其顶点A,B在数轴对应的数分别为-4和

1,那么BC=_.

【答案】5

22.（2022湖北孝感，16,3分）正方形ABCD,以CD为边作等边ACDE,那么NAED的度数

是.

【答案】15°或75°

三、解答题

1.（2022浙江省舟山，23,10分）以四边形4BCD的边A3、BC、CD、D4为斜边分别向

外侧作等腰直角三角形，直角顶点分别为E、AG、”,顺次连结这四个点，得四边形E/GH.

[1）如图1,当四边形ABC。为正方形时，我们发现四边形EFGH是正方形；如图2,

当四边形ABC。为矩形时，请判断：四边形EFGH的形状〔不要求证明）；

[2）如图3,当四边形ABC。为一般平行四边形时，^ZADC=a（0°<cz<90°）,

①试用含a的代数式表示NHAE；

②求证：HE=HG；

③四边形跖G8是什么四边形并说明理由.

（第23题图1）（第23题图2）（第23题图3）

【答案】（1）四边形EFGH是正方形.

（2）@ZHAE=90°+a.

在口《台。中，AB〃CD,：.ZBAD=1800-ZADC=180°-a；

:•AHAD和4EAB都是等腰直角三角形，；.ZHAD=ZEAB=45°,

：.ZHAE=360°~ZHAD-ZEAB-ZBAD=360°-45°-45°-〔180°—。）=90°+a.

②;△AEB和AOGC都是等腰直角三角形，—AB,DG=—CD,

22

在口4BCD中，AB=CD,：.AE=DG,：和△GDC都是等腰直角三角形，

ZDHA=ZCDG=45°,/.ZHDG=ZHAD+ZADC+ZCDG=90°+a=ZHAE.

「△HA。是等腰直角三角形，：.HA=HD,:.△HAE"AHDG,：.HE=HG.

③四边形EFGH是正方形.

由②同理可得：GH=GF,FG=FE,,:HE=HG［己证)，:.GH=GF=FG=FE,

四边形EBG8是菱形；":△HAE”4HDG［已证)，:"DHG=/AHE,

又,:ZAHD=ZAHG+ZDHG=90°,：./EHG=NAHG+NAHE=9。。,

四边形EFGH是正方形.

2.12022安徽，23,14分)如图，正方形ABC。的四个顶点分别在四条平行线6、4、4、

%上，这四条直线中相邻两条之间的距离依次为由、为、h3(%>0,h2>0,/>0).

(1)求证：力产小；

2

(2)设正方形ABCD的面积为S,求证：S=(/?!+/?2)+/?/；

3

⑶假设豹+生=1,当用变化时，说明正方形ABC。的面积S随用的变化情况.

【答案】m过A点作AFL分别交以/3于点E、F,过C点作CGLL交L于点G,

'：l2//l3,；./2=N3,VZ1+Z2=9O°,Z4+Z3=90°,.\Z1=Z4,又

VZBEA=ZDGC=90°,BA=DC,:.XBEAQXDGC,：.AE=CG,即

/i1=/i3；

[2)VZM£)+Z3=9O0,Z4+Z3=90°,ZFAD=Z4,XVZAFD=

ZDGC=90°,AD=DC,：.AAFD^/\DGC,：.DF=CG,'：AD~=AF2+*5FD2,

S=(/?[+丸2)2+hj;

⑶由题意，得%=1—年饱，所以

,2—4+1

4〉0

又32

1解得0＜用＜一

1—热03

2

.,.当■时，S随力的增大而减小；

24

当⑶=w时，s取得最小值?；

55

22

当5＜—时，s随⑶的增大而增大.

53

3.（2022福建福州，21,12分），矩形ABCD中，AB^4cm,BC=8cm,AC的垂直平分线

EF分别交AD、BC于点、E、尸，垂足为O.

⑴如图10T,连接AF、CE.求证四边形AFCE为菱形，并求AF的长；

⑵如图10-2,动点P、Q分别从A、C两点同时出发，沿AAFB和ACDE各边匀速运动

一周.即点尸自A-F-B-A停止,点。自C-O-E-C停止.在运动过程中，

①点P的速度为每秒5cm,点Q的速度为每秒4，运动时间为f秒，当A、C、P、

Q四点为顶点的四边形是平行四边形时,求f的值.

②假设点P、。的运动路程分别为。、Z?（单位：51,用工0）,A、C、P、。四点为

顶点的四边形是平行四边形,求。与6满足的数量关系式.

【答案】(1)证明:①:四边形ABCZ)是矩形

・•・AD//BC

：.ZCAD=ZACB,ZAEF=ZCFE

EF垂直平分AC,垂足为O

：.OA=OC

：.AAOE也NCOF

：.OE=OF

・・・四边形AFCE为平行四边形

又;EF±AC

・・・四边形AFCE为菱形

②设菱形的边长AF=CF=%a%,那么BF=(8-x)cm

在RtAABF中，AB=4cm

由勾股定理得42+(8—x)2=f,解得尤=5

AF=5cm

(2)①显然当尸点在转上时，。点在CD上，此时A、C、P、。四点不可能构成平行

四边形；同理P点在上时，。点在DE或CE上，也不能构成平行四边形.因此

只有当尸点在•上、。点在田上时,才能构成平行四边形

•••以A、C、P、。四点为顶点的四边形是平行四边形时，PC=Q4

,/点P的速度为每秒5cm，点。的速度为每秒4cm,运动时间为t秒

/.PC=5t,QA=12—4r

/.5f=12-4r,解得V

...以A、C、P、。四点为顶点的四边形是平行四边形时，f秒.

②由题意得，以A、C、尸、。四点为顶点的四边形是平行四边形时，点P、。在互

相平行的对应边上.

分三种情况:

i）如图1,当尸点在AT上、。点在CE上时，AP=CQ,即。=12-乩得。+/=12

ii）如图2,当尸点在防上、。点在DE上时，4。=。尸，即12-6=。，得

a+b—12

iii）如图3,当。点在AB上、。点在CD上时，AP=CQ,即12—a=〃，得

a+b=12

综上所述，。与6满足的数量关系式是。+6=12（"20）

AEDAE仙

\、

.

FCbpFFC

图1图2图3

4.〔2022广东广州市，18,9分）

如图4,AC是菱形ABC。的对角线,点E、尸分别在边A3、上，＞AE=AF.

求证：AACE^AACF.

【答案】：四边形ABCD为菱形

ZBAC=ZDAC

又：AE=AF,AC=AC

ACE^AACF（SAS）

5.（2022山东滨州，24,10分）如图，在△A8C中，点。是AC边上〔端点除外）的一个

动点，过点O作直线MN//BC.设MN交/BCA的平分线于点E,交N8CA的外角平分

线于点R连接AE、AF.那么当点。运动到何下时，四边形AECP是矩形并证明你的

结论。

(第24题图)

【答案】

当点0运动到AC的中点〔或OA=OC)时，

四边形AECF是矩形............2分

证明：：CE平分NBCA,............3分

又：MN〃BC,.\Z1=Z3,

.•.Z3=Z2,/.EO=CO.............5分

同理,FO=CO............6分

；.EO=FO

又OA=OC,...四边形AECF是平行四边形...........7分

又；N1=N2,Z4=Z5,

.•.Z1+Z5=Z2+Z4............8分

XVZ1+Z5+Z2+Z4=18O°

.•.Z2+Z4=90°............9分

二四边形AECF是矩形............10分

(2022山东济宁，22,8分)数学课上，李老师出示了这样一道题目：如图1,正方形ABCD

的边长为12,P为边3c延长线上的一点，E为DP的中点，DP的垂直平分线交边OC

于Af,交边AB的延长线于N.当CP=6时，W0与£7V的比值是多少

经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：过E作直线平行于3c交OC,分别

r)pr)p

于F,G,如图2,那么可得：——=—,因为=所以。歹=尸。.可求出EF1

FCEP

和EG的值，进而可求得EM与E7V的比值.

(1)请按照小明的思路写出求解过程.

(2)小东又对此题作了进一步探究,得出了6=的的结论.你认为小东的这个结论正

确吗如果正确，请给予证明；如果不正确，请说明理由.

(第22题)

(1)解：过石作直线平行于3C交。C,AB分别于点尸，G,

EMEF

那么箓噜GF=BC=12.

EN~EG

VDE=EP,：.DF=FC.............................................................................2分

AEF=-CP=-x6=3,£G=GF+EF=12+3=15.

22

.EMEF31

4分

•,西一访一15-5.

(2)证明：作MH〃BC交AB于点H,...................................................................5分

那么MH=CB=CD,ZMHN=90°.

VZDCP=180°-90o=90°,

JZDCP=ZMHN.

VZMNH=ZCMN=ZDME=900-ZCDP,ZDPC=900-ZCDP,

：.ZDPC=ZMNH・・•・ADPC=AMNH..................................................7分

・•・DP=MN.8分

7.[2022山东威海，24,11分)如图，ABC。是一张矩形纸片，AD=BC=1,AB=CD=5.在

矩形ABCD的边AB上取一点M,在CD上取一点N,将纸片沿MN折叠，使MB与DN

交于点K,得到

11)假设/1=70°,求/MNK的度数.

[2)的面积能否小于1假设能，求出此时/I的度数；假设不能，试说明理由.

2

〔3〕如何折叠能够使△MVK的面积最大请你利用备用图探究可能出现的情况，求出最

大值.

〔备用图〕

【答案】解：:ABC。是矩形，

：.AM//DNf

：.ZKNM=Z1.

AM

■:/KMN=/\,

：.ZKNM=ZKMN.

VZ1=7O°,

AZKNM=ZKMN=70°.

:./MNK=4。°.

⑵不能.

过M点作MELON,垂足为点E,那么ME=AD=1,

由（1）知/KNM=/KMN.

：.MK=NK.

又MKNME,

・・・NKN1.

：.S"=gNK-ME《

...△MVK的面积最小值为工，不可能小于

22

⑶分两种情况：

情况一：将矩形纸片对折，使点B与点。重合,此时点K也与点。重合.

设MK=MD=x,那么4W=5-x,由勾股定理，得

C

12+(5-X)2=%2,(为17

回7?

AM

解得，x=2.6.

即VD=ND=2.6.

【情况一）

情况二:将矩形纸片沿对角线AC对折，此时折痕为AC.

设MK=AK=CK=x,那么。K=5-x,同理可得

即人放=人敢=2.6.

：.AMNK的面积最大值为1.3.（情况二）

8.（2022山东烟台，24,10分）：如图，在四边形ABC。中，ZABC=9Q°,CD±AD,AD2

+CD2=2AB2.

（1）求证：AB=BC；

（2〕当于E时，试证明：BE^AE+CD.

B

【答案】〔1）证明：连接AC,小、

•.*ZABC=90°,/

:.AB-+BC2=AC2./

'：CD±AD,.,.AD2+CD2=AC2,AE

'：AD2+CD2=2AB2,：.AB1+BC2=2AB2,

：.AB=BC.

[2）证明：过C作CF_LBE于E

,：BELAD,；.四边形CDEF是矩形.

：.CD=EF.

VZABE+ZBAE=90°,ZABE+ZCBF=90°,

：.NBAE=ZCBF,：.ABAE咨△CBF.

：.AE=BF.

：.BE=BF+EF^AE+CD.

9.（2022浙江湖州，22,8）如图E、尸分别是28a（的边BC、上的点，＞BE=DF.

（1）求证：四边形AECF是平行四边形；

（2）假设8C=10,ZBAC=90°,且四边形AECP是菱形，求BE的长.

【答案】（1）证明：•.•四边形ABC。是平行四边形，...AD〃BC,且AO=8C,/〃EC,

\"BE=DF,

：.AF=EC,，四边形AECF是平行四边形.

[2)：四边形AECF是，:.AE=CE,.\Z1=Z2,VZBAC=90°,N3=/90°—N2,

N4=N90°-Zl,；.N3=N4,:.AE=BE,；.BE=AE=CE=LBC=5.

2

10.〔2022宁波市，23,8分)如图，在28CD中，E、/分别为边A8CD的中点，BD是

对角线，过A点作AGD3交CB的延长线于点G.

(1)求证：DE//BF-,

(2)假设NG=90,求证四边形。E2F是菱形.

解：[1)DABCD中，AB〃CD,AB=CD

■:E、尸分别为A3、CD的中点

：.DF=^DC,BE=^AB

J.DF//BE,DF=BE

...四边形DEBF为平行四边形

J.DE//BF

(2)证明：'：AG//BD

.\ZG=ZDBC=90°

ADBC为直角三角形

又为边CD的中点.

：.BF=^DC=DF

又：四边形为平行四边形

.•.四边形。EBF是菱形

11.(2022浙江衢州,22,10分)如图，AABC中，AO是边上的中线，过点A作AEBC,

过点。作DE|AB,DE与AC.AE分别交于点。、点E,连接EC

求证：AD=EC;

当NA4C=RtN时，求证：四边形ADCE是菱形；

在(2)的条件下，假设AB=AO,求tanNQAZ)的值.

解法1：因为DE//AB,AE//BC,所以四边形ABDE是平行四边形，

所以AE〃BD且AE=BD,又因为AD是边BC上的中线，所以BD=CD,

所以AE平行且等于CD,所以四边形ADCE是平行四边形，所以AD=EC.

解法2：DE//AB,AE//BC,

又AD是边5c上的中线

⑵解法1：

证明〔ZBAC=RtZ,是斜边上的中线

又一四边形ADCE是平行四边形

四边形ADCE是菱形

解法2

证明：DE//AB,ABAC=RtZ

又「四边形AOCE是平行四边形

四边形ADCE是菱形

解法3

证明：ZBAC=RtZ,AD是斜边BC上的中线

四边形A8DE是平行四边形

『AD=EC

又

AD=CD=CE=AE

四边形ADCE是菱形

解法1

解：一四边形AOCE是菱形

是AABC的中位线，那么。。=

2

解法2

解：四边形ADCE是菱形

12.12022浙江省嘉兴，23,12分）以四边形A8CZ）的边A8、BC、CD、D4为斜边分别

向外侧作等腰直角三角形，直角顶点分别为E、F、G、H,顺次连结这四个点，得四边形

EFGH.

[1）如图1,当四边形ABC。为正方形时，我们发现四边形斯G8是正方形；如图2,

当四边形ABC。为矩形时，请判断：四边形EPG8的形状〔不要求证明）；

[2）如图3,当四边形ABC。为一般平行四边形时，设乙4DC=a（0°<cz<90°）,

①试用含a的代数式表示/HAE；

②求证：HE=HG；

③四边形EFGH是什么四边形并说明理由.

（第23题图1）（第23题图2）（第23题图3）

【答案】（1）四边形是正方形.

（2）①/H4E=90°+a.

在nABCD中，AB〃CD,/.ZBA£>=180°-ZADC=180°-£?；

:AHAD和^EAB都是等腰直角三角形，；.ZHAD=ZEAB=45°,

：.ZHA£=360°-ZHAD-ZEAB-ZBAD=360°-45°-45°-=90°+a.

②;△AEB和AOGC都是等腰直角三角形，.•.AE=42AB,DG=-CD,

22

在必3。£）中，AB=C。，：.AE=DG,：△小。和△GDC都是等腰直角三角形，

，ZDHA=ZCDG=45°,ZHDG=ZHAD+ZADC+ZCDG=90°+a=ZHAE.

：△HAO是等腰直角三角形，：.HA=HD,:.XHAE空MHDG,：.HE=HG.

③四边形EFGH是正方形.

由②同理可得：GH=GF,FG=FE,,:HE=HG[己证），:.GH=GF=FG=FE,

，四边形£FGH■是菱形；:△H4Eg△/TOG[已证），AZDHG=ZAHE,

又,?ZAHD=ZAHG+/DHG=9。。,：.ZEHG=ZAHG+ZAHE=90。，

，四边形EFG”是正方形.

13.〔2022福建泉州，21,9分）如图，将矩形A2CD沿对角线AC剪开，再把△AC£）沿

CA方向平移得到△4G。.

(1)证明：AAIAA^ACCIB；

(2)假设ZACB=30°，试问当点Ci在线段AC上的什么位置时，四边形A8CQ1是菱形.(直

接写出答案)

【答案】

•矩形ABCD

；.BC=AD,BC〃AD

/.ZDAC=ZACB

,把△ACD沿CA方向平移得到△AiCiDi.

二ZAi=ZDAC,AiDI=AD,AAI=CCI

•INAkNACB,AIDI=CB。Z1

：./\AiAD^/\CCiB(SASJo....................6分

当Ci在AC中点时四边形ABCjDi是菱形............9分

14.(2022甘肃兰州，27,12分)：如下列图的一张矩形纸片ABCD(AD>AB),将纸片折

叠一次，使点A与点C重合，再展开，折痕EF交AD边于点E,交BC边于点F,分别连

结AF和CEo

[1)求证：四边形AFCE是菱形；

⑵假设AE=10cm,ZkABF的面积为24cm2,求4ABF的周长；

[3)在线段AC上是否存在一点P,使得2AE2=AC-AP假设存在，请说明点P的位置,

并予以证明；假设不存在，请说明理由。

BFC

【答案】（1）由折叠可知EFLAC,AO=CO

VAD/7BC

ZEAO=ZFCO,ZAEO=ZCFO

.,.△AOE^ACOF

.,.EO=FO

四边形AFCE是菱形。

[2[由（1）得AF=AE=10

设AB=a,BF=6,得

a2+b2=100①，"=48②

①+2X②得3+6）2=196,得a+b=14（另一负值舍去）

.,.△ABF的周长为24cm

[3）存在，过点E作AD的垂线交AC于点P,那么点P符合题意。

证明：VZAEP=ZAOE=90°,/EAP=/OAE

.,.△AOE^AAEP

AOAE,,

...——=——，得ZBAE2=AO•AP即Rn2AE2=2AO•AP

AEAP

又AC=2AO

.\2AE2=AC•AP

15.〔2022广东株洲，23,8分）如图，矩形ABCD中，点P是线段AD上一动点，。为BD

的中点，P0的延长线交BC于Q.

[1）求证：OP=OQ；

12）假设AD=8厘米，AB=6厘