2022年中考数学三轮复习：数与式附答案解析

2022年中考数学三轮复习：数与式

选择题（共io小题）

s+s+••,+S

1.（2021•任城区二模）记5及=41+〃2+・・・+劭，令Tn=—i-----.............-,则为41,CL2,…，

n

an,这列数的“凯森和”.已知。2,…〃500的“凯森和”为2004,那么18,a\,ai,…

4500的“凯森和”为（）

A.2018B.2019C.2020D.2021

2.（2021•娄底模拟）a是不为1的有理数,我们把」一称为a的差倒数,如2的差倒数为。

l_a1_2

=-1,-1的差倒数——J、已知。1=5,42是的差倒数，〃3是42的差倒数，

1-（-1.：12

44是〃3的差倒数…，依此类推，42020的值是（）

A.AB.-AC.AD.5

543

3.（2021•阳谷县一模）我国南宋数学家杨辉用“三角形”解释二项和的乘方规律，称之为

“杨辉三角”，这个“三角形”给出了Q+b）nCn=l,2,3,4,•••）的展开式的系数

规律（按”的次数由大到小的顺序）.

11(a+b)i=a+b

121(a+))2=屏+2而+出

1331(〃+))3=a5+3屏方+iab2+b3

14641(〃+i)4=a^+4(fb+6a1b2+4ab3+bA

请依据上述规律，写出殴工）2021展开式中含/019项的系数是（）

X

A.-2021B.2021C.4042D.-4042

4.（2021•开平区一模）古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1,3,6,10……这样的数称为“三

角形数”，而把1,4,9,16…….这样的数称为“正方形数”.从图中可以发现，任何一个

大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和.下列等式中，根据上面

的规律，用含有〃（〃为大于等于1的整数）的等式表示上面关系正确的是（）

4=1+39=3+616=6+10

A.〃+〃+2="2

B.n(n+3)=n2

C.31)(n-1)=n2-1

n(n+l)(n+1)(n+1+1),2

D.--------2---------=(n+l)

22”

5.(2021•怀宁县模拟)已知实数aWbWcWO,且满足£=a+6,£_=b+6,贝i]y——-也

abccc

的值为（）

A.-1B.1C.-2D.2

6.（2021•渝中区校级三模）用大小相同的圆点摆成如图所示的图案，按照这样的规律摆放,

则第8个图案中共有圆点的个数是（）

n=ln=2n=3n=4

A.34B.40C.49D.59

7.(2021•嘉善县一模)已知一列数al,ai,03,…，具有如下规律:a2n+t~an+an+l,a2n

=a,i("是正整数).若＜71=1,则437的值为()

A.1B.5C.7D.11

8.(2021•云南模拟)观察下列关于尤的单项式，探究其规律：

-x,47,-7x3,10x4,-13%5,16/，...

按照上述规律，则第2020个单项式是()

A.606lx2020B.-606lx2020C.6058%2020D.-6O58x2020

9.(2020•江汉区模拟)把所有正奇数从小到大排列，并按如下规律分组，(1),(3,5,7),

(9,11,13,15,17),(19,21,23,25,27,29,31)…，若AM=(i,j)表示正奇

数M是第，•组第j个数(从左往右数)，若由=(2,3),则42019=()

A.(32,26)B.(32,49)C.(45,42)D.(45,80)

10.（2020•新野县三模）如图，在一张白纸上画1条直线，最多能把白纸分成2部分［如图

（1）］,画2条直线，最多能把白纸分成4部分［如图（2）］,画3条直线，最多能把白

纸分成7部分［如图（3）］,当在一张白纸上画20条直线，最多能把白纸分成（）部

分.

（1）（2）（3）

A.190B.191C.210D.211

二.填空题（共5小题）

11.（2021•北京模拟）《孙子算经》是中国南北朝时期重要的数学专著，其中包含了“鸡兔

同笼”“物不知数”等许多有趣的数学问题.《孙子算经》中记载：“今有物不知数，三三

数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”其译文为：“有一个正整数，除

以3余2,除以5余3,除以7余2,求符合条件的正整数.”请用含有上的代数式表示满

足条件的所有正整数.

孙

子

算

经

12.（2021•洪泽区二模）将2021个边长为1的正方形按如图所示的方式排列，点A,Ai,

Ai,A3,…，A2021和点M,M\,Mi,…，M2020是正方形的顶点，连接AA/i,AMi,AM3,…,

AM2020,分别交正方形的边AiM,A2M1,MMi,•••,A2020M2019于点M,Ni,N3,…，

N2020,则N2020A2020长为.

13.（2021•徐汇区二模）古希腊数学家把下列一组数：1、3、6、10、15、21、…叫做三角

形数，这组数有一定的规律性，如果把第一个三角形数记为XI,第二个三角形数记为

XI,•••,第W个三角形数记为切，那么%-1+X”的值是（用含W的式子表示）.

14.（2021•长沙模拟）规定：在一个矩形中，先剪下一个最大的正方形称为裁剪1次，再在

剩余的图形中剪下一个最大的正方形称为裁剪2次，……依次进行，若裁剪〃次后，最

后剩余的图形也是一个正方形，我们把这样的矩形称为完美矩形.已知在完美矩形中，

两条相邻边长分别为4,a,若。=7,则Jn=；若1<«<3,且〃=3,贝！Ja=.

15.（2021•咸宁模拟）下面是一组有规律的算式，根据其中规律，第"个算式为：12+22+32+...

+n2=.

12=1X2虫;第1个算式

6

12+22=2义论5；第2个算式

6

12+22+32=3X4X7；第3个算式

6

2222

1+2+3+4=4X5X9；第4个算式

6

三.解答题（共5小题）

16.（2021•五莲县模拟）（1）计算：

（_]_）2021+（-2）?+（⑶14-兀）0-4cos30°+12-V12I;

222

（2）先化简，再求值a-jab”.aabg,其中°,6满足Q-2）向=（）•

17.（2021•重庆模拟）一个三位自然数a,满足各数位上的数字之和不超过10,并且个位数

字与百位数字不同，我们称这个数为“完美数”.将。的个位数字与百位数字交换得到一

个新数。'，记G（a）=生工-例如，当a=125时，a'=521,G（125）=l±5-5z.l=

1111

-36；当a=370时，a'=73,G（370）=3"。-在=27.

11

（1）判断236（选填“是”或“不是”）完美数，计算G（321）=；

（2）已知两个“完美数”m,n,满足m=l00a+10+b,n=100c+d（0Wb<aW9,OWc

W9,0WdW9,a,b,c,d为整数）,若G（m）能被7整除，且GCm）+G（n）=9（d+2）,

求优-〃的最小值.

18.（2021•德州模拟）阅读下面的材料：

按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项.排在第

一位的数称为第一项，记为ai,排在第二位的数称为第二项，记为。2,依次类推，排在

第"位的数称为第”项，记为所以，数列的一般形式可以写成：«1,。2,。3,…，

一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，那么这个

数列叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用d表示.如：数列1,3,

5,7,…为等差数列，其中41=1,〃4=7,公差为d=2.

根据以上材料，解答下列问题：

(1)等差数列5,10,15,…的公差d为,第5项是.

(2)如果一个数列41,及，〃3,…，砺…，是等差数列，且公差为d,那么根据定义可

至:42—=d,〃3—42=d,Q4—〃3=d,***,Cln~-1=d,***.

所以a2=ai+d,

〃3=〃2+d=(〃i+d)+d=〃i+2d,

〃4=〃3+d=(〃i+2d)+d=ii+3d,

由此，请你填空完成等差数列的通项公式：即=〃1+()d.

(3)-4040是不是等差数列-5,-8,-11…的项？如果是，是第几项？

(4)如果一个数列二,a2,03,…，an---,是等差数列，且公差为d,前〃项的和记为

Sn,请用含41,几,d的代数式表示S〃，Sn=.

19.(2021•重庆模拟)任意一个正整数小都可以表示为：n=aXbXcQaWbWc,a,b,c

均为正整数)，在〃的所有表示结果中，如果|26-(〃+c)|最小，我们就称aXbXc是〃

的“阶梯三分法”，并规定：F(«)=生工，例如：6=1X1X6=1X2X3,因为|2X1-

b

(1+6)|=5,|2X2-(1+3)|=0,5>0,所以1X2X3是6的阶梯三分法，即/(6)

=lt3=2.

2

(1)如果一个正整数p是另一个正整数g的立方，那么称正整数p是立方数，求证：对

于任意一个立方数比，总有尸(m)—2.

(2)，是一个两位正整数，r=10x+y(1WXW9,0WyW9,且xNy,x+yW10,x和y均

为整数)，r的23倍加上各个数位上的数字之和，结果能被13整除，我们就称这个数t

为“满意数”，求所有“满意数”中尸C)的最小值.

20.(2021•威远县一模)阅读下列材料：

按照一定顺序排列着的一列数称为数列，排在第一位的数称为第1项，记为m,依此类

推，排在第w位的数称为第〃项，记为斯.

一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数，那么这个

数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示（qWO）.如:

数列1,3,9,27,…为等比数列，其中m=l,公比为q=3.

然后解决下列问题.

（1）等比数列3,6,12,…的公比q为,第4项是.

（2）如果已知一个等比数列的第一项（设为fli）和公比（设为《）,则根据定义我们可

依次写出这个数列的每一项：ai,a\q,ax'q1,….由此可得第"项即=（用

ai和q的代数式表示）.

（3）若一等比数列的公比4=2,第2项是10,求它的第1项与第4项.

（4）己知一等比数列的第3项为12,第6项为96,求这个等比数列的第10项.

2022年中考数学三轮复习：数与式

参考答案与试题解析

一.选择题(共10小题)

s+s+•••+s

1.(2021•任城区二模)记即=〃1+〃2+3+即，令----------—,贝!］及为ai,…，

n

an,这列数的“凯森和”.已知41,a2,…“500的“凯森和”为2004,那么18,m,ai,…

4500的“凯森和”为()

A.2018B.2019C.2020D.2021

【考点】规律型：数字的变化类.

【专题】规律型；推理能力.

【分析】先根据已知求出了500的值，再设出新的凯森和小，列出式子，把得数代入，即

可求出结果.

++

【_解答_】解E：・.・"=」S1_+S9J--«-.-.---S巴„，

n

7500=2004,

・•・51+52+……+5500=2004X500=1002000,

18,ai,CL2,…4500的“凯森和”为

18+(18+S1)+(18+S2)+..........+(18+S500)

T501=501

18X501+S।+S2+--•■+S5QQ

―501

=18X501+1002000

501

=18+2000

=2018.

故选：A.

【点评】此题考查了数字的变化类，解题的关键是掌握“凯森和”这个新概念，找出其

中的规律，再根据新概念对要求的式子进行变形整理即可.

2.(2021•娄底模拟)a是不为1的有理数,我们把」一称为a的差倒数,如2的差倒数为。

l_a1_2

=-1,-1的差倒数一=1,已知。1=5,及是的差倒数，6Z3是«2的差倒数，

1-(-1)2

“4是。3的差倒数…，依此类推，Q2020的值是()

A.AB.-Ac.AD.5

543

【考点】规律型：数字的变化类；倒数.

【专题】规律型；数感；运算能力.

【分析】根据差倒数的定义分别求出前几个数便不难发现，每3个数为一个循环组依次

循环，用2020除以3,根据余数的情况确定出与。2020相同的数即可得解.

【解答】解：：ai=5,

〃2=11

4

4

1-号)5

〃445

数列以5,-X刍三个数依次不断循环,

45

V20204-3=673-l,

••42020==5,

故选：D.

【点评】本题是对数字变化规律的考查，理解差倒数的定义并求出每3个数为一个循环

组依次循环是解题的关键.

3.（2021•阳谷县一模）我国南宋数学家杨辉用“三角形”解释二项和的乘方规律，称之为

“杨辉三角”，这个“三角形”给出了（〃+方）〃（〃=1,2,3,4,…）的展开式的系数

规律（按九的次数由大到小的顺序）.

11(a+))i=a+b

121(a+>)2=屏+2々匕+b2

1331(a+i)3=a5+3屏匕+3a^+b3

14641(a+i)4=a^+4a3b+6a2b2+4ab3+b4

请依据上述规律，写出（X」-）2021展开式中含尤2019项的系数是（）

X

A.-2021B.2021C.4042D.-4042

【考点】完全平方公式；数学常识；规律型：数字的变化类.

【专题】规律型；猜想归纳；整式；数感；运算能力；推理能力.

【分析】根据特殊到一般的数学思想进行分析归纳.

2020

【解答】解：由题意得，含/019项为2021x.（2）=-4042/019.

X

（X」-）2021展开式中含7019项的系数是-4042.

x

故选：D.

【点评】本题主要考查完全平方公式，熟练掌握特殊到一般的数学思想是解决本题的关

键.

4.（2021•开平区一模）古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1,3,6,10……这样的数称为“三

角形数”，而把1,4,9,16….…这样的数称为“正方形数”.从图中可以发现，任何一个

大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和.下列等式中，根据上面

的规律，用含有w（w为大于等于1的整数）的等式表示上面关系正确的是（)

4=1+39=3+616=6+10

A.n+n+2=n2

B.n(w+3)=ir

C.(n+1)(n-1)="2-1

n(n+l)Jn+l)(n+l+l)

D.(n+1)2

22

【考点】数学常识；规律型：数字的变化类；平方差公式；函数关系式.

【专题】猜想归纳；数感；运算能力.

【分析】根据特殊到一般的数学思想解决此题.

【解答】解：第1个图形，（1+1）2=4=1+（1+2）；

第2个图形，（2+1）2=9=1+2+（1+2+3）；

第3个图形，（3+1）2=16=1+2+3+（1+2+3+4）；

第4个图形，（4+1）2=25=1+2+3+4+（1+2+3+4+5）；

第〃一1个图形,(H-1+1)2=〃2=I+2+3+・・・+〃・I+(1+2+3+…+几)；

第〃个图形，(n+1)2=1+2+3+…+几+(1+2+3+—Fn+n+l).

(n+1)Jn+1)(n+2)

•••(n+1产・

~2-12

故选：D.

【点评】本题主要考查规律型，熟练掌握特殊到一般的数学思想是解决本题的关键.

22”

5.(2021•怀宁县模拟)已知实数aWbWcWO,且满足£=Q+6,—=/?+6,则且—+上_-9目

abccc

的值为()

A.-1B.1C.-2D.2

【考点】分式的化简求值.

【专题】分式；运算能力.

【分析】根据£=〃+6,£=8+6,通过变形，可以得到a+b的值，然后再将所求式子变

ab

形，即可得到所求式子的值.

【解答】解：,.•£=〃+6,—=/?+6,

ab

・・。=。2+6。,C=Z?2+6Z?,

4Z2+6«=/?2+6Z?,a2=c-6a,b2=c-6b,

a2-b2=-6(〃-b),

/.(o+Z?)(a-b)=-6(a-b),

'.a-bWO,

・・a+b=:16,

2-i2QU

.・._a_+b__3b

ccc

=c-6a6b36

ccc

=2c-6(a+b)-36

c

=2.6-(-6)+36

c

=2-0

=2,

故选：D.

【点评】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是求出。+人的关系.

6.(2021•渝中区校级三模)用大小相同的圆点摆成如图所示的图案，按照这样的规律摆放，

则第8个图案中共有圆点的个数是()

n=ln=2n=3n=4

A.34B.40C.49D.59

【考点】规律型：图形的变化类.

【专题】压轴题；规律型；猜想归纳；推理能力.

【分析】观察与比较每个图案相同点与不同点，得出后一个图案总是在与之相邻的前一

个图案基础上有规律地增加圆点数，即在前一个图案的基础上增加比图案序号数多一个

的圆点数，从而解决该题.

【解答】解：当〃=1时，第1个图案的圆点的个数是声=5+2=7个.

当n=2时，第2个图案的圆点的个数是y2=yi+3=5+2+3=10个.

当”=3时，第3个图案的圆点的个数是*=”+4=5+2+3+4=14个.

当”=4时，第4个图案的圆点的个数是声="+5=5+2+3+4+5=19.

以此类推，第〃个图案的圆点的个数是加=5+2+3+4+...+（n+1）

->_n（2+n+l）<.n（n+3）小

一2-

..・当〃=8时，第8个图案的圆点的个数是y产”土9个.

故选：C.

【点评】本题主要考查学生的观察能力，运用特殊到一般的数学思想解决此类规律题.

7.（2021•嘉善县一模）已知一列数ai,〃2,〃3,…，具有如下规律：a2n+i=an+an+i,ain

=an（"是正整数）.若〃1=1,则437的值为（）

A.1B.5C.7D.11

【考点】规律型：数字的变化类.

【专题】创新题型；能力层次.

【分析】根据题干公式寻找规律.

【解答】解：由42〃+1=斯+即+1,a2n=an（〃是正整数）可得：

〃37=。18+。19=2〃9+〃10=2（44+〃5）+。5=2。4+3〃5=2。2+3。3=2及+3（。2+。3）=5〃2+3〃3

=8〃1+3〃2=116/1=11.

故选：D.

【点评】考查数字变化规律，解题关键是根据题中规律拆项.

8.(2021•云南模拟)观察下列关于x的单项式，探究其规律：

-x,4尤Z-7x3,10x4,-13X5,16x3

按照上述规律，则第2020个单项式是()

A.606lx2020B.-606lx2020C.6O58%2020D.-6058x2020

【考点】规律型：数字的变化类；单项式.

【专题】规律型；推理能力.

【分析】根据题目中的单项式，可以发现它们的变化规律，从而可以写出第"个单项式,

进而求得第2020个单项式，本题得以解决.

【解答】解：•一列关于x的单项式：-尤,4/,-7?,10x4,-13?,16x6……,

.•.第w个单项式为：(-1)-2)

...第2020个单项式是(-1)2020.(3X2020-2)^2020=6058x2020,

故选：C.

【点评】考查数字的变化类、单项式，解答本题的关键是明确题意，发现单项式的变化

规律.

9.(2020•江汉区模拟)把所有正奇数从小到大排列，并按如下规律分组，(1),(3,5,7),

(9,11,13,15,17),(19,21,23,25,27,29,31)…，若(Z,j)表示正奇

数M是第，组第j个数(从左往右数)，若A7=(2,3),则42019=()

A.(32,26)B.(32,49)C.(45,42)D.(45,80)

【考点】有理数大小比较；规律型：数字的变化类.

【专题】规律型；推理能力.

【分析】由题意可知2019是第1010个数，由1+3+5+7+…+2〃-121010,确定1010在

第32组，第1024个数是1024X2-1=2047,第32组的第一数是2X962-1=1923,则

2019是第202-1923+1=49个数,即可求解.

2

【解答】解：由己知可知，第一组1个奇数，第二组3个奇数，第三组5个奇数，…

2019是第1010个数，

设2019在第"组，则1+3+5+7+…+2〃-1R010,

.">31,

当”=31时，1+3+5+7+-+61=961,

当”=32时，1+3+5+8+―+63=1024,

...1010个数在第32组，

第1024个数是1024X2-1=2047,

第32组的第一数是2X962-1=1923,

则2019是第20197923+1=49个数，

2

.♦.2019是第32组第49个数.

故选：B.

【点评】本题考查数字的变化规律；理解题意，利用奇数和给出的分组特点，逐步确定

具体位置是解题的关键.

10.(2020•新野县三模)如图，在一张白纸上画1条直线，最多能把白纸分成2部分［如图

(1)］,画2条直线，最多能把白纸分成4部分［如图(2)］,画3条直线，最多能把白

纸分成7部分［如图(3)］,当在一张白纸上画20条直线，最多能把白纸分成（）部

分.

HUB1•

(1)(2)(3)

A.190B.191C.210D.211

【考点】规律型：图形的变化类.

【专题】规律型；运算能力.

【分析】根据题意可得〃=1,«1=1+1；n=2,a2=ai+2；〃=3,〃3=“2+3，，・；n=llf（In

=珈一1+"，以上式子相加整理可得一般式，进而可得结果.

【解答】解：根据题意得：

71=1,。］=1+1；n—2,<72=41+2；"=3,。3=。2+3…；n=-〃，Cln=Cln-1+〃，

以上式子相加整理得，@/1+1+2+3+…5口必要.

•..20条直线最多能把白纸分为：i+2°j21=2ii部分.

故选：D.

【点评】本题考查了规律型：图形的变化类，解决本题的关键是根据图形的变化寻找规

律.

二.填空题（共5小题）

11.（2021•北京模拟）《孙子算经》是中国南北朝时期重要的数学专著，其中包含了“鸡兔

同笼”“物不知数”等许多有趣的数学问题.《孙子算经》中记载：“今有物不知数，三三

数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”其译文为：“有一个正整数，除

以3余2,除以5余3,除以7余2,求符合条件的正整数.”请用含有左的代数式表示满

足条件的所有正整数105R23.

孙

子

算

经

【考点】列代数式.

【专题】整式；符号意识；运算能力；推理能力.

【分析】先确定出除以21余2的最小正整数为23,此时也满足除以5余3,再确定出3,

5,7的最小公倍数，即可得出结论.

【解答】解：；一个正整数，除以3余2,除以7余2,

.•.这个正整数除以21也余2,

,除以21余2的最小正整数为23,

而234-5=4*3,

满足条件的最小正整数为23,

V3,5,7的最小公倍数为3X5X7=105,

符合条件的正整数为105左+23,

故答案为1054+23.

【点评】此题主要考查了列代数式，同余问题，最小公倍数的求法，确定出满足条件的

最小正整数为23是解本题的关键.

12.（2021•洪泽区二模）将2021个边长为1的正方形按如图所示的方式排列，点A,Ai,

Ai,—3,…,A2021和点A/,Mi,Mi,…，M2020是正方形的顶点，连接AMi,AMi,AM3,…,

AM2020,分别交正方形的边A2M1,A3M2,…，A2020M2019于点Ni,N2,N3,…，

N2020,则N2020A2020长为"'ZU

—2021—

【专题】几何图形；几何直观.

【分析】因为图形是由边长为1的正方形组成，所以图象里有多个三角形相似，可以利

用“A字型”相似求解即可.

【解答】解：由题意可得

.N1A—AA1

儿送2AA2

:正方形的边长都为1,

.'.MAI=A.

2

同理可得△A42020N2020SAAA2021Af2020,

...一。2口以2。2。=4=202口

^2020^2021^^20212021

N2020A2020=202°..

2021

【点评】此题考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形对应边的比相等是解题的关键.

13.（2021•徐汇区二模）古希腊数学家把下列一组数：1、3、6、10、15、21、…叫做三角

形数，这组数有一定的规律性，如果把第一个三角形数记为XI,第二个三角形数记为

XI,第”个三角形数记为X",那么X"一1+.切的值是/（用含”的式子表示）.

【考点】数学常识；列代数式；规律型：数字的变化类.

【专题】创新题型；解题思想；数感；推理能力；应用意识.

【分析】此题注意对数据（数列）的分析：（1）数据依次差2,3,4,5,6,…；（2）数

据扩大2倍，形成新数据：2,6,12,20,30,42,--可以依次改成相邻两个正整数

的乘积.这样可以得到第一个数的规律.

【解答】将条件数据1、3、6、10、15、21、…,依次扩大2倍得到：2,6,12,20,30,

42,・・・，

这组新数据中的每一个数据可以改写成两个相邻正整数的乘积，即2=1X2,6=2X3,

12=3X4,20=4X5,…，

.•=nX（n+1）,（自）.

n2

所以=（n-l）Xn+nX（n+l）2.

An-1An211

故答案是：n2.

【点评】此题是对数字规律的考查，关键是对数字有“数感”，从特殊到一般的探寻.

14.（2021•长沙模拟）规定：在一个矩形中，先剪下一个最大的正方形称为裁剪1次，再在

剩余的图形中剪下一个最大的正方形称为裁剪2次，……依次进行，若裁剪〃次后，最

后剩余的图形也是一个正方形，我们把这样的矩形称为完美矩形.已知在完美矩形中，

两条相邻边长分别为4,a,若。=7,则〃=4；若1ca<3,且"=3,贝!I°=&>或

—5―

_8

【考点】规律型：图形的变化类.

【专题】推理填空题；分类讨论；数据分析观念.

【分析】第一空可以直接代入数字进行推理.第二空给了a的取值范围，因此第一次裁

剪后可以得到两边分别为a，4-a.第二次裁剪不能确定两个邻边的大小，所以需要分情

况讨论.再根据第三次裁剪是正方形，可以列等式求出a的值.

【解答】解：（1）由题中裁剪方法知，当a=7时，

第一次裁剪后剩余的边长分别为3,4；

第二次裁剪后剩余的边长分别为1,3；

第三次裁剪后剩余的边长分别为1,2；

第四次裁剪后剩余的边长分别为LL

.*.n=4.

（2）Vl<a<3,且〃=3,

・•・第一次裁剪后剩余的边长分别为。，4-〃

①若4-a>a,即〃V2.第二次裁剪后剩余的边长分别为4-2ma.

I若4-2a>a,即。<廷，则第三次裁剪后剩余的边长分别为4-3a,a,此图形为正方

3

形,

・・4-

.*.<2=1（舍去）.

II若4-2a<a,即a>4,则第三次裁剪后剩余的边长分别为3a-4,4-2a,

3

/.3a-4=4-la,

.\a=—.

5

②若即。>2,则第二次裁剪后剩余的边长分别为4-4，2〃-4.

I若4-a>2a-4,即则第三次裁剪后剩余的边长分别为8-3a,2a-4.

3

•..第三次裁剪后的图形为正方形，

.".8-3a—2a-4,

5

II若4-a<2a-4,即。>区,则第三次裁剪后剩余的边长分别为4-a,3a-8.

3

•..第三次裁剪后的图形为正方形，

.*.4-a=3a-8,

:・a=3（舍去）.

故答案为4；空■或旦.

55

【点评】此题考查的是图形的推理能力，分析图形的关系并掌握分情况讨论是解题的关

键.

15.（2021•咸宁模拟）下面是一组有规律的算式，根据其中规律，第〃个算式为：P+22+32+…

+〃2=n（n+l）（2n+l）

—6一,

12=1X2工3；第1个算式

6

12+22^2X3X5.第2个算式

6

12+22+32=3'X4X7；第3个算式

6

12+22+32+42^4X5X9；第4个算式

6

【考点】规律型：数字的变化类；有理数的混合运算.

【专题】规律型；推理能力.

【分析】根据所给算式分母为6,分子为a(〃+1)(2〃+1)求解.

【解答】解：>=1>(1+1)X(2义1+1),第一个算式，

6

12+22=2X(2+1)><(2X2+1),第二个算式，

6

:+22+32=3X(3+1)x(2X3+1),第三个算式，

6

12+22+3?+…+"2=“/l”匕n+1),第n个算式.

6

故答案为：n(n+l)(2n+l)

6

【点评】本题考查数字变化的规律，解题关键是通过前三个算式找出数字变化规律.

三.解答题(共5小题)

16.(2021•五莲县模拟)(1)计算：

(_1)2。21+(_2)?+((3.14-兀)0-4cos30°+12-V12I'

222

(2)先化简，再求值a,ab\b.a_ab_2,其中①6满足Q-2)24A而=()•

a-baa

【考点】分式的化简求值；零指数幕；负整数指数幕；特殊角的三角函数值；非负数的

性质：偶次方；非负数的性质：算术平方根；实数的运算.

【专题】实数；分式；运算能力.

【分析】(1)根据有理数的乘方、负整数指数塞、零指数塞、特殊角的三角函数值和绝

对值可以解答本题；

(2)根据分式的除法和减法可以化简题目中的式子，然后根据Q-2产+7^71=0.可

以得到a、b的值，然后代入化简后的式子计算即可.

【解答】解:(1)(-1)2021+(-2)-2+((3.14-K)°-4cos30°+|2-V12l

=(-1)+A+1-4x2^1+712-2

42

=(-1)+A+1-2y+2在-2

4

=-7-.»

4

z9\a2-Zab+b」.a」-ab2

a2-b2-a

2

=(a-b)a_2

(a+b)(a-b)a(a-b)a+b

=L2^

a+ba+b

=.1,

a+b

v(a-2)2-tVb+l=0,

-2=0,b+l=0,

解得a=2,b=-1,

当a—2,b--1时，原式=---------=-1.

2+(-1)

【点评】本题考查分式的化简求值、特殊角的三角函数值、有理数的混合运算，熟练掌

握运算法则是解答本题的关键.

17.(2021•重庆模拟)一个三位自然数a,满足各数位上的数字之和不超过10,并且个位数

字与百位数字不同，我们称这个数为“完美数”.将。的个位数字与百位数字交换得到一

个新数。'，记G(a)=宣支例如，当。=125时，4=521,G(125)=125-521=

1111

-36；当a=370时，a'=73,G(370)=迎匕至=27.

11

(1)判断236不是(选填"是”或“不是”)完美数，计算G(321)=18；

(2)已知两个“完美数”〃3n,满足m=100.7+10+/?,n=100c+d(0W6<aW9,OWc

W9,OWdW9,a,b,c,d为整数)，若G(M能被7整除，且G(M+G(〃)=9(d+2),

求m-n的最小值.

【考点】列代数式；因式分解的应用.

【专题】整式.

【分析】(1)根据定义可直接判断236不是完美数，根据新定义的运算法则算出G(321)

即可；

(2)先算出G(机)和G(«)的值，写出a,c,［的关系，再由已知条件列出可能的情

况，根据完美数的定义确定c,d的值，最后求出机

【解答】解:(1)V2+3+6=11>10,

A236不是完美数，

根据题意，G(321)=32卜123:⑻

11

故答案为：不是；18.

(2)Vm=100^+10+/?,

加=100。+10+。，

,.•〃=100c+d,

\'=100d+c,

：.G(m)+G(")=m-m'+n-n'=9(6/+2),

112

•\a-Z?+c=2d+2,

设G(m)=7%,x为整数，

.・.99a-99b=7〃,gp9(a-b)=7x,

11

•・・0W/?<〃W9,

・,・满足条件的。只有7或8或9,

当。=9时，机不是完美数，故舍去，

当。=8时，。=1,这个数是811,是完美数，

此时，8-l+c=2d+2,即c=2d-5,

•・・0WcW9,0WdW9,

・"=3,c=l时，几=301,

贝!]m-〃=510；

d=4,c=3时，〃=403,

贝!Jm-n=811-403=408；

d=5,c=5时，〃=505,

贝ij机-〃=811-505=306；

d=6,c=7(舍去)，

・••共有三种情况，最小的为306；

当。=7时，b=0,这个数是710,是完美数，

此时，7-0+c=2d+2,即c=2d-5,

•・・0WcW9,0WdW9,

：.d=3,c=l时，〃=301,

贝!)徵-〃=710-301=409；

d=4,c=3时，〃=403,

贝|徵-〃=710-403=302；

d—5,c—5时，〃=505,

则机-w=710-505=205；

<7=6,c=7(舍去)，

...共有三种情况，最小的为205；

综上，相的最小值为205.

【点评】本题主要考查新定义的运算和应用，正确理解新定义的运算是解题的关键.

18.(2021•德州模拟)阅读下面的材料：

按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项.排在第

一位的数称为第一项，记为排在第二位的数称为第二项，记为。2,依次类推，排在

第九位的数称为第〃项，记为所以，数列的一般形式可以写成：42,。3,…，

ant….

一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，那么这个

数列叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用d表示.如：数列1,3,

5,7,…为等差数列，其中ai=l,。4=7,公差为d=2.

根据以上材料，解答下列问题：

(1)等差数列5,10,15,…的公差d为5,第5项是25.

(2)如果一个数列。2,。3,…，而…,是等差数列，且公差为d,那么根据定义可

彳导至［］：a2~ai=d,a3~。2=d,CIA-a3=d,***?cin-Un-1d,,■■.

所以a2—a\+d,

a3=a2+d=(m+d)+d=ai+2d,

aA—as+d—(m+2d)+d—a\+3d,

由此，请你填空完成等差数列的通项公式：an=ai+(n-1)d.

(3)-4040是不是等差数列-5,-8,-11…的项？如果是，是第几项？

(4)如果一个数列ai,02,。3,…，an-,是等差数列，且公差为d,前〃项的和记为

Sn,请用含ai,n,1的代数式表示Sw,Sn=—