2023-2024学年北京市八年级上期中数学分类汇编：新情境新定义（原卷版）

2023〜2024学年北京市八年级上期中数学分类一一新情境新定义

1.(2023秋•北京四中期中)为了比较两个实数的大小，常用的方法是判定这两个数的差的符号，我们称

这种方法为“作差比较法”.要比较两个代数式的大小，同样可以采用类似的方法.因此，可以利用不

等式比较大小.如果要证明/>3,只需要证明/-8>0；同样的，要证明只需要证明

例如：

小明对于命题：任意的实数0和6,总有片+庐》2a6,当a=6并且只有a=6时，等号成立，给出了如

下证明：

证明：'.'a2+b2-2ab—(a-b)2^0,

a2+b2^2ab,当a=6并且只有a=6时，等号成立.

(1)请仿照小明的证明方法，证明如下命题：

若a,b,x,y20,且则(a-x)2+(b-y)Ca+b-x)2+y2.

(2)若...》即20,bi2b22....，瓦20,

==

JEL。1+。2+...+anb\+bi+...+bn1>

求(ai-bi)2+(02-62)2+...+(a”-bn)2的最大值.

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2.（2023秋•北京师大附属实验中学期中）我国古代数学曾有许多重要的成就，其中“杨辉三角”（如图）

就是一例.这个三角形给出了（。+6）"（〃=0,1,2,3,4,5,6）的展开式（按a的次数由大到小顺

序排列）的系数规律.例如，第三行的三个数1,2,1,恰好对应（a+b）2=片+2仍+店展开式中各项

的系数；第五行的五个数1,4,6,4,1,恰好对应着（a+b）4=a4+4a36+6a2y+4仍3+方4展开式中各项

的系数.

（1）（a+b）5展开式中03庐的系数为；

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3.(2023秋•北京师大附属实验中学期中)对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，可以得到一

个数学等式，例如由图①可以得到Q+b)(a+26)=a2+3ab+2b2.请回答下面的问题:

ba

a厂

<2口bb

ba

图1图2图3

(1)写出图②中所表示的数学公式.

(2)利用(1)中所得到的结论，解决下面的问题：已知a+6+c=10,aW+c2=64,求仍+ac+6c的值.

(3)图③中给出了若干个边长为。和边长为6的小正方形纸片，若干个长为6,宽为。的长方形纸片,

利用所给的纸片拼出一个几何图，使得计算它的面积能得到数学公式(2a+b)(3a+26)=6a2+7ab+2b2.

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4.(2023秋•北京四中期中)阅读下列材料：

对于多项式，+x-2,如果我们把x=l代入此多项式，发现d+x-2的值为0,这时可以确定多项式中

有因式(x-1)；同理，可以确定多项式中有另一个因式(x+2),于是我们可以得到：/+x-2=(x-1)

(x+2).

又如：对于多项式2/-3x-2,发现当x=2时，2/-3x-2的值为0,则多项式27-3x-2有一个因

式(x-2),我们可以设2«-3x-2=(x-2)(mx+n),解得机=2,n=1.

于是我们可以得到：2x2-3x-2=(x-2)(2x+l)

请你根据以上材料，解答以下问题：

(1)当》=时，多项式6f-x-5的值为0,所以多项式6/-X-5有因式,从而

因式分解6x2-x-5=；

(2)以上这种因式分解的方法叫“试根法”，常用来分解一些比较复杂的多项式，请你尝试用试根法分

解多项式：x3-7x+6.

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5.（2023秋^一学校期中）在平面直角坐标系中，对于点P,点M给出如下定义：如果点P与原点

。的距离为。，点M与点P的距离是。的左倍“为整数），那么称点M为点P的。倍关联点

（1）当p（2.5,0）时，

①如果点尸1的4倍关联点M在x轴上，那么点M的坐标为；

②如果点是点Pi的左倍关联点，且满足x=2.5,54y46/7,那么整数k的最大值为;

（2）已知在RtZX/BC中，ZABC=90°,ZACB=3Q°,A（2b-1,0）,B（26+1，0）.若放（-1,

0）,且在△4BC的边上存在点P2的4倍关联点0,求6的取值范围.

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6.(2023秋•首师大二附中期中)在平面直角坐标系xOy中，点P,。分别在线段O/,08上，如果存在

点M使得(点M,P,。逆时针排列)，则称点〃是线段尸。的“关联点”,

如图1,点M是线段尸。的“关联点”.

(1)如图2,已知点/(4,4),B(8,0),点P与点N重合.

①当点。是线段03中点时，在Mi(4,2),跖(6,2)中，其中是线段P。的“关联点”的是；

②已知点M(8,4)是线段P。的“关联点”，则点。的坐标是.

(2)如图3,已知。/=。2=4,NAOB=6Q°.

①当点尸与点N重合，点。在线段08上运动时(点。不与点。重合)，若点M是线段P。的“关联

点”，判断线段与。/的位置关系，并说明理由；

②当点P。分别在线段CU,08上运动时，直接写出线段P0的“关联点”M形成的区域的周长.

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7.(2023秋•汇文中学期中)在平面直角坐标系xOy中，对于任意三点/,B,C我们给出如下定义：“横

长”«：三点中横坐标的最大值与最小值的差，“纵长”6：三点中纵坐标的最大值与最小值的差.若三

点的横长与纵长相等，我们称这三点为正方点.

例如：点/(-2,0),点3(1,1),点C(-1,-2),则4,B,C三点的“横长"。=|1-(-2)|

=3,A,B,C三点的“纵长"6=|1-(-2)|=3,因为。=6,所以/,B,C三点为正方点.

(1)在点R(3,5),S(3,-2),7(-4,-3)中，与点4,3为正方点的是；

(2)点尸(0,/)为y轴上一动点，若/,B,尸三点为正方点，贝心的值为；

(3)已知点。(1,0).平面直角坐标系中的点£满足以下条件：点/,D,£三点为正方点，且a=b

=3.

①在图中画出所有符合条件的点E组成的图形;

②当△/QE为等腰三角形时，称E点为等腰正方点，直接写出所有位于x轴上方的等腰正方点.

yAyA

3-3-

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8.(2023秋•八一学校期中)在平面直角坐标系xOy中，对于点尸，点M给出如下定义：如果点尸与原点

。的距离为。，点M与点P的距离是。的左倍“为整数)，那么称点〃为点P的“左倍关联点”.

(1)当尸1(-1.5,0)时，

①如果点Pi的3倍关联点M在x轴上，那么点M的坐标为.

②如果点是点尸i的4倍关联点，且满足了=-1.5,-20W4,那么整数人的最大值为:

(2)已知在RtzMBC中，ZABC=90°,ZACB=30°,A(b,0),B(6+1,0).若尸2(7,0)

且在A/BC的边上存在点尸2的2倍关联点0,求6的取值范围.

5-

4-

3-

2-

1-

-3-2-1012345f

-1-

一2-

-3-

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9.(2023秋•文汇中学期中)在平面中，对于点M,N,P,若/MPN=90。，且PM=PN,则称点尸是点

M和点N的“垂等点”.

在平面直角坐标系xOy中，

(1)已知点M-3,2),点N(1,0),则点为(0,3),尸2(-2,-1),P3(-5,-2)中是点M

和点N的“垂等点”的是；

(2)已知点/(-4,0),B(0,b)(6>0).

①若在第二象限内存在点C,使得点8是点N和点C的“垂等点”，写出点C的坐标(用含b的式子

表示)，并说明理由；

②当6=4时，点。，点E是线段/。，8。上的动点(点。，点E不与点N,B,。重合).若点歹是

点。和点E的“垂等点”，直接写出点尸的纵坐标/的取值范围.

yA

GL

r-r-rr-r1Irr-r-r-r

9

r_n-r-nr

aIIIII

n_r-r-rn

7II-I-II

r_rrrr

6II-I-II

r_rrrr

2

--L-2-3-4-5-6x

11111k

r-r-r-r-r-^z~

_'_b_

备用图1备用图2

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10.(2023秋•东城区171中学期中)平面直角坐标系xQy中，等边△/8C的顶点/在y轴正半轴上，顶

点、B、C都在x轴上，给出如下定义：若点P为x轴上一点，且点尸与△/2C的一个顶点的距离恰好等

于△48C的边长，则称点尸为△N3C的友好点，这个距离称为点P和△/BC的友好距离，记作d.

(1)若点P和△NBC的友好距离4=6,写出△NBC的顶点2的坐标,顶点C的坐

标;

(2)如图，等边△/2C的顶点2坐标为(-1,0),顶点C坐标为(1,0),

①在尸1(-3,0),Pi(-1,0),P3(2,0)中，△/8C的友好点是；

②己知点£坐标为(m,0),点尸坐标为(m+4,0),若线段£尸上恰有两个△/3C的友好点，直接写

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IL（2023秋•师大附中期中）在平面直角坐标系xOy中，已知点P（xo,川），若存在点Pi（xi,yi）、Pi

（X2,夕2）,满足关系：xo-xi=xi-xi,yo-yi=yi-J2,则称点P为以尸i和尸2为端点的线段的关联点.

（1）线段。的两个端点坐标分别为（1,2）和（3,-2）,则下列点是线段。的关联点的是；

（填写序号即可）

①尸1（-1,6）；②P2（2,0）；③P3（4,-4）；④尸4（5,-6）.

（2）已知点/（2,2）,点8在过点/且垂直于〉轴的直线上，M（m,2）,N（m+1,2）.

①如图1,当加=0时，点M是线段的关联点，求满足条件的点3的坐标；

②如图2,点。（5,2）,在线段4D任取两点连接的线段中，若线段上存在其中某条线段的关联

点，直接写出m的取值范围.

y、

4-4-

cMA

L-•2。.-A•-------------D•

025力025x

图1图2

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12.(2023秋•北师大二附西城实验学校期中)在平面直角坐标系xOy中，对于给定的两点尸，Q,若存在

点使得△VP0的面积等于1,即S△必0=1,则称点M为线段P。的“单位面积点”，解答下列问

题：

如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为(1,0).

(1)在点/(I,2),8(-1,1),C(-1,-2),。(2,-4)中，线段OP的“单位面积点”是；

(2)已知点£(0,3),F(0,4),将线段O尸沿y轴向上平移/。＞0)个单位长度，使得线段斯上

存在线段OP的“单位面积点”，直接写出/的取值范围.

(3)已知点。(1,-2),H(0,-1),点跖N是线段尸0的两个“单位面积点”，点M在的延

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13.(2023秋•三帆中学期中)在平面直角坐标系xOy中，对于点尸(x,y)和数6,将点。(-x,y+6)

称为点尸的“6-关联点”.例如，点(1,-1)的“3-关联点”为(-1,2).

(1)若点0是点尸(3,2)的“1-关联点”，则点。的坐标为；

(2)P(-1,t-1),N⑵，5t)的“6-关联点”分别是点尸1,Ni,且点尸1在x轴上，△OPM的

面积为1,求才和6的值；

(3)点/(1,-1),5(5,-1),以AB为边在直线48的下方作正方形48CD,点E(-4,0),尸

(-3,2),G(-2,1)的“6-关联点”分别为Ei，Fi,Gi，若△EFiGi与正方形48co的边有公

共点，直接写出b的取值范围.

*A

X

4^一

L-;3-二

.

.-二

.

.U:

.T

备

用图

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14.(2023秋701中学期中)设等腰三角形的底边长为w,底边上的高长为力，定义左=为为等腰三角形的

W

“胖瘦度”.设坐标系内两点尸(xi，yi),Q(X2,”)，X1#X2,尹力”，若P，。为等腰三角形的两个

顶点，且该等腰三角形的底边与某条坐标轴垂直，则称这个等腰三角形为点P,。的“逐梦三角形”.

(1)设是底边长为2的等腰直角三角形，则△A8C的“胖瘦度”k=；

(2)设尸(5,0),点。为y轴正半轴上一点，若尸，。的“逐梦三角形”的“胖瘦度”左=5,直接写

出点0的坐标：；

(3)以x轴，y轴为对称轴的正方形的一个顶点为/(a,a),且点/在第一象限，点P(12+L,

2

8+2),若正方形边上不存在点。使得P,。的“逐梦三角形”满足左=5且〃W5,直接写出。

3

的取值范围：.

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15.(2023秋•北京八中期中)在平面直角坐标系xQy中，若点P和点P关于y轴对称，点P和点22关

于直线/对称，则称点2是点尸关于y轴、直线/的“二次对称点”.

(1)已知点/(3,5),直线/是经过(0,2)且平行于x轴的一条直线，则点/〃为点/关于y轴，

直线/的“二次对称点”，则点的坐标为；

(2)如图1,正方形/8C。的顶点坐标分别是4(0,1),B(0,3),C(2,3),D(2,1)；点E的

坐标为(1,1),若点M为正方形(不含边界)内一点，点为点M关于y轴，直线OE的''二

次对称点"，则点M'的横坐标x的取值范围是；

(3)如图2,T(60)G20)是x轴上的动点，线段RS经过点T,且点R、点S的坐标分别是R(?)

1),S4,-1),直线/经过(0,1)且与x轴夹角为60°,在点7的运动过程中，若线段RS上存在

点N,使得点N'是点N关于了轴，直线/的''二次对称点"，且点N'在y轴上，则点N'纵坐标y的

取值范围是.

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16.（2023秋•人大附中朝阳学校期中）在平面直角坐标系xQy中，直线/为一、三象限角平分线.点P关

于夕轴的对称点称为P的一次反射点，记作Pi,为关于直线/的对称点称为点P的二次反射点，记作

P2,例如，点、P（-2,5）的一次反射点为P（2,5）,二次反射点为P2（5,2）.根据定义，回答下

列问题：

（1）点（2,5）的一次反射点为，二次反射点为；

（2）若点/在第二象限，点小，血分别是点/的一次、二次反射点，/4。42=50°,求射线。/与

x轴所夹锐角的度数.

（3）若点/在y轴左侧，点小，山分别是点力的一次、二次反射点，△441出是等腰直角三角形，请

直接在平面直角坐标系中画出由符合题意的点/所构成的图形.

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17.(2023秋•陈经纶中学期中)在平面直角坐标系xOy中，直线/为一、三象限角平分线，点P关于y轴

的对称点称为P的一次反射点，记作为；P关于直线/的对称点称为点P的二次反射点，记作尸2.例

如，点(-2,5)的一次反射点为(2,5),二次反射点为(5,2).根据定义，回答下列问题：

(1)点(4,3)的一次反射点为,二次反射点为；

(2)当点N在第三象限时，点M(-4,1),N(3,-1),。(-1,-5)中可以是点力的二次反射

点的是；

(3)若点/在第二象限，点〃，上分别是点/的一次、二次反射点，N/ICM2=40°,则射线0/与

x轴所夹锐角的度数是.

(4)若点/在y轴左侧，点由，山分别是点/的一次、二次反射点，△//1血是等腰直角三角形，请

直接写出点/在平面直角坐标系xOy中的位置.

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18,(2023秋•十一学校分校期中)在平面直角坐标系xOy中，将点MG,y)到％轴和〉轴的距离的较大

值定义为点M的“相对轴距”，记为d(M).即:如果恸2例,那么d(M)=恸；如果恸V[y],那么d

(W=[y].例如：点M(1,2)的“相对轴距"d(M)=2.

(1)点尸(-2,1)的“相对轴距"d(尸)=；

(2)请在图1中画出“相对轴距”与点尸(-2,1)的“相对轴距”相等的点组成的图形；

(3)已知点4(1,1),B(2,3),C(3,2),点N是△45。内部(含边界)的任意两点.

①直接写出点M与点N的“相对轴距”之比且如的取值范围；

d(N)

②将△45C向左平移左(左＞0)个单位得到△/5C,点M与点N为△48C内部(含边界)的任意两

点，并且点加与点”的“相对轴距”之比d(M')的取值范围和点M与点N的“相对轴距”之比旦坦

d(『)d(N)

的取值范围相同，请直接写出左的取值范围.

yk

6-

5

4

3

2

1

-6-5-4-3-2-J^123456x

-2

-3

-4

-5

-6

图1备用图

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19.(2023秋•十一学校分校期中)对于平面直角坐标系xQy中的点尸(a,6)与图形〃，我们给出如下定

义：若同》回.将图形〃关于直线x=a对称，得到图形*'；若同〈回，将图形7r向上平移|臼个单

位长度，得到图形并称〃'为图形"的“斗转星移图”.

(1)点/(3,3)关于点(1,-2)的“斗转星移图”为；

(2)若点、B(5,-2)关于点(m+2,m)的“斗转星移图”坐标为(5,6),求加的值；

(3)已知点C(2后，1),点。(2〃2+3,1),点P](n2-n+l,—)»点£(“+1,3”)，点/(〃+1,

3〃+3),P2(A,-1),若线段CA关于点P的“斗转星移图”与线段跖关于点为的“斗转星移图”

无公共交点，则n的取值范围是.

yA

5-

।।।iiA

23456%

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20.(2023秋•东直门中学期中)对于平面直角坐标系xQy中的点尸和图形少，给出如下定义：图形少关

于经过点(m,0)且垂直于x轴的直线的对称图形为少，若点尸恰好在图形沙上，则称点P是图形少

关于点(m,0)的“关联点”.

(1)若点尸是点。(3,2)关于原点的“关联点”，则点尸的坐标为；

(2)如图，在△/3C中，A(1,1),B(6,0),C(4,-2).

①点C关于x轴的对称点为。，将线段3。沿x轴向左平移d(d>0)个单位长度得到线段所(E,F

分别是点3,。的对应点)，若线段跖上存在两个△/8C关于点(1,0)的“关联点”，则d的取值范

围是.

②已知点M(加+1,0)和点N(w+3,0),若线段MN上存在△/SC关于点(m,0)的“关联点”，

求〃？的取值范围.

■

T

A

2?)

—

4

1j

，

Ij

IT

—

r

第20页(共25页)

21.(2023秋•首师大附中期中)在平面直角坐标系xOy中，点M是x轴正半轴上的一个点，点M关于y

轴的对称点记作点N.若在坐标系内有一点尸，使得则称点P为点M的“a-关联点”.如

图1,点尸是点M的“50°-关联点”.已知点/(4,0),B(t,0),其中/>0且/W4.

(1)下列各点中，是点/的“45°-关联点”的是；

①尸1(0,4),②尸2(-b3),③P3(1,-3).

(2)若点。是点/的“90°-关联点”，同时也是点3的“60°—关联点”，当N03OW3O°时，求才

的取值范围；

(3)已知线段CD上总存在线段Z8上每个点的“30。一关联点”，若CA的最小值为国，请直接写出

2

f的值.

备用图

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22.(2023秋•北京二中期中)在平面直角坐标系xQy中，称过点(m,0)且与y轴平行的直线为直线x

=m,对于任意图形G,给出如下定义：将图形G先沿直线翻折得到图形Gi,再将图形Gi沿第一、

三象限的角平分线翻折得到图形G2,则称图形Gi是图形G的单变换图形，图形G2是图形G的双变换图

形.

已知点-1),B(m-2,-1),C(w-2,2).

(1)当加=1时，点C的单变换图形点Ci的坐标为,双变换图形点C2的坐标

为;

(2)用含加的式子表示点C的双变换图形点C2的坐标为.

(3)当△/8C单变换图形Gi与双变换图形G2有公共点时，求出机的取值范围；

(4)若△NBC的双变换图形上只存在两个与x轴的距离为2的点，直接写出机的取值范围.

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23.(2023秋•北京师大附属实验中学期中)在平面直角坐标系xOy中，直线/表示过(0,m)且垂直于y

轴的直线，对某图形上的点尸(a,b)作如下变换：当aWH时，作点P(。，6)关于直线/的对称点

尸1,称为I(加)变换；当。>|训时，作点P(a,b)关于y轴的对称点尸2,称为H(m)变换，若某

个图形上既有作I(机)变换的点，又有作II(M)变换的点，则称此图形为加-双变换图形.例如，

已知/(4,1),5(-1,-1),如图1所示，当机=2时，点/应作H(2),变换后为由(-4,1)；

点8应作I(2)变换，变换后为由(-1,5).

(1)当"2=1时，

①已知点P(-1,0),则P作相应变换后的坐标为；

②若点尸(a,b)作相应变换后的点的坐标为(-2,-1),则点P的坐标为；

(2)已知C(1,5),D(4,2),

①若线段CD是m-双变换图形，则m的取值范围为；

②己知点E(-m,m)(m<0)在第四象限角平分线上，若△CDE及其内部(点E除外)组成的图形

是m-双变换图形，且变换后所得图形记为F,直接写出所有图形/所覆盖的区域的面积为.

2

5-

4-

3-

2

4J1-tA

।iiii_______।।____।___।___]a

-5-4-3-2-1012345^

B--1-

-2-