2022-2023学年人教版中考数学复习《圆综合压轴题》解答题突破训练

2022-2023学年人教版中考数学复习《圆综合压轴题》解答题专题突破训练（附答案）

1.如图，是。。的直径，且AB=10,弦COLAB于点E,G是弧AC上一点，连接AD

AGfGD,BC.

（1）若G是弧AC上任意一动点，请找出图中和/G相等的角（不在原图中添加线段或

字母），并说明理由.

（2）当点C是弧8G的中点时，

①若/G=60°,求弦。G的长，

②连接8G,交CD于点/，若BE=2,求线段CP的长.

2.如图，等腰△ABC内接于O。，AB^AC,连结。C,过点3作AC的垂线，交O。于点

D,交0C于点交AC于点E,连结AD

（1）若NZ）=a,请用含a的代数式表示N0C4；

（2）求证：CE2=EM*EB；

（3）连接CD,若BM=4,DM=3,求tan/BAC的值及四边形ABC。的面积与△BMC

面积的比值.

3.已知：4?为。。的直径，BC=AC，。为弦AC上一动点（不与A、C重合）.

（1）如图1,若平分NCA4,连接0c交8。于点E.

①求证：CE=CD；

②若OE=2,求的长.

（2）如图2,若3。绕点。顺时针旋转90°得DF,连接AF.求证：A尸为。。的切线.

图1图2

4.如图，点。是以A8为直径的O。上一点，过点B作。。的切线，交4。的延长线于点

C,E是8C的中点，连接。E并延长与A8的延长线交于点尸.

(1)求证：。/是。。的切线；

(2)若OB=BF,EF=4.求。。的半径；

(3)在(2)条件下，求BE、DE、弧前围成的阴影部分的面积.

5.如图1,OO的弦8c=6,A为8C所对优弧上一动点且sin/8AC=2,△ABC的外角

5

平分线AP交O。于点尸，直线AP与直线BC交于点E.

(1)求证：点P为砒的中点；

(2)如图2,求。。的半径和PC的长；

(3)若△ABC不是锐角三角形，求B45E的最大值.

6.如图，点P在y轴的正半轴上，。尸交x轴于3、C两点，以AC为直角边作等腰RtA

ACD,8。分别交y轴和。尸于区F两点，连接AC、FC,AC与8。相交于点G.

(1)求证：/ACF=NADB；

(2)求证：CF=DF；

(3)/DBC=°；

(4)若。8=3,OA=6,则△GOC的面积为.

7.如图，O。是直角三角形ABC的外接圆，直径AC=4,过C点作O。的切线，与A2延

长线交于点。，〃为的中点，连接OM,且8C与相交于点N.

(1)求证：与。。相切；

(2)当NBAC=60°时，求弦48和弧所夹图形的面积；

(3)在(2)的条件下，在弧48上取一点R使NA8P=15°,连接。尸交弦AB于点

H,求切的长度是多少？

8.如图，AB是O。的直径，AC是弦，尸为AB延长线上一点，ZBCP=ZBAC.NACB的

平分线交。。于点。，交于点E,

(1)求证：PC是。。的切线；

(2)求证：△PEC是等腰三角形；

(3)若AC+BC=2时，求C。的长.

9.圆内接四边形ABC。，A8为。。的直径.

①求NDCB的度数；

②求四边形ABCD面积的最大值.

(2)如图2,对角线AC,BD交于点、E,连结0E并延长交C£)于点R若OE=3EF=3,

求AB的长.

10.已知：NMBN=90°,点A在射线3M上，点C在射线BN上，£＞在线段54上，QO

是△AC。的外接圆；

(1)若。。与8N的另一个交点为E,如图1,当BC=1，8。=1，&。=2时，求CE的长；

(2)如图2,当时，判断BN与O。的位置关系，并说明理由；

(3)如图3,在8N上作出C点，使得/AC。最大，并求当AZ)=2,AC=2«BD时，。。

的半径.

BDAM

图1图2图3

11.如图1,C、。为半圆。上的两点，且点。是弧BC的中点.连结AC并延长，与BD

的延长线相交于点E.

(1)求证：CD=ED；

(2)连结AO与OC、BC分别交于点只H.

①若CF=CH,如图2,求证：CH=CE-,

②若圆的半径为2,BD=1,如图3,求AC的值.

12.如图，线段42=6,以AB为直径作O。，C为O。上一点，过点B作O。的切线交AC

的延长线于点。，连接BC.

(1)求证：ABCDs^ABD；

(2)若/。=50°,求食的长.

(3)点P在线段AC上运动，直接写出△尸8。的外心运动的路径长.

13.如图，在平面直角坐标系中，已知A(0,3),点3在无轴正半轴上，且/ABO=30°,

C为线段OB上一点，作射线AC交AAOB的外接圆于点D,连接OD,ZCOD=ZOAD.

(1)求NBA。的度数；

(2)在射线AD上是否存在点P,使得直线8尸与△AO8的外接圆相切？若存在，请求

出点尸的坐标；若不存在，请说明理由.

14.如图，在△ABC中，AB=AC,是△ABC的外接圆，直径AE交于点“，点。

在弧AC上，过点E作跖〃BC交的延长线于点凡延长BC交于点G.

(1)求证：EF是。0的切线；

(2)若BC=2,A//=CG=3,求所的长；

(3)在(2)的条件下，直接写出C。的长.

15.如图，45是。。的直径，也是。。的切线，连接OP交。。于点E,点C在。。上,

四边形02CE为菱形，连接PC.

(1)求证：PC是。。的切线；

(2)连接2尸交O。于点R交CE于点G.

①连接OG,求证：OGA.CG；

②若。2=3,求8月的长.

p

16.如图，在平面直角坐标系尤Oy中，直线"：y=，x+上要与x轴交于点A,与y轴交

于点3,点P在直线相上，以点。为圆心，。尸为半径的O。交x轴于点C、。（点C

在点。的左侧），与y轴负半轴交于点E,连接尸E,交x轴于点孔且AF=AP.

（1）判断直线机与。。的位置关系，并说明理由；

（2）求NPEB的度数；

（3）若点0是直线机上位于第一象限内的一个动点，连接交x轴于点G,交。。于

点打，判断是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由.

17.如图，线段AB是O。的直径，过点2作一条射线8C与AB垂直，点尸是射线BC上

的一个动点，连接尸。交O。于点R连接并延长交线段2尸于点E,设O。的半径

为r,PB的长为t（t>0）.

（1）当r=3时，

①若/瑛O=NEPF,求前的长,

②若f=4,求PE的长；

（2）设产后=层力其中〃为常数，且若f-r为定值，求〃的值及/EA8的度

数.

c

18.如图，在Rt^ABC中，ZACB=90°,。为A8边上的一点，以AO为直径作0O,。。

与BC相切于点E,连结AE,过点C作CGL4B于点G,交AE于点R过点E作£尸，

AB于点P.

(1)求证：ZBED=ZEAD；

(2)求证：CE=EP-,

(3)连接PF,若CG=8,PG=6,求四边形CFPE的面积.

19.如图，以△ABC的边A8为直径作。。交BC于点。，过点。作。。的切线交AC于点

E,AB=AC.

(1)求证：Z)E±AC；

(2)延长C4交。。于点R点G在面上，合=正.

①连接8G,求证：AF=BG；

②经过BG的中点M和点。的直线交CF于点M连接。F交A8于点H,若AH：BH=

3：8,AN=7,试求出。E的长.

(备用图)

20.如图，△A3C为。。的内接三角形，AD±BC,垂足为。，直径AE平分NBA。，交BC

于点凡连结BE.

(1)求证：ZAEB=ZAFD.

(2)若AB=10,BF=5,求A。的长.

(3)若点G为AB中点，连结。G,若点。在。G上，求8尸：FC的值.

参考答案

1.解：(1)ZAGD=ZB,理由如下:

连接AC,

9：AB是直径，

ZACB=90°,

/.ZACD+ZBCD=9Q°,

VCZ)±AB,

：.ZCEB=90°,

：.ZBCD+ZB=9Q°,

・•・NACD=/B,

•・•ZAGD=ZACDf

：.ZAGD=ZB；

(2)连接OC,OG,OD,OC交。。于”,

VZAGD=ZB=60°,OB=OC,

•••△BOC是等边三角形，

：.ZBOC=60°,

•・•点c是前的中点，

AZCOG=ZCOB=ZBOD=60°,

・・・CD是OO的直径，

：.CD=AB=10；

(3)连接BG,交CD于R连接AC,

CG=BG=BD，

:・/BCD=/GBC,

：.CF=BF,

•・•ZACD=ZABC,ZAEC=NBEC,

：.AACE^ACBE,

：.CE1=AEXBE=SX2=16,

VCE>0,

：.CE=4,

BF=CF=x,贝|Eb=4-x,

(4-X)2+22=/,

解得尤=s,

2

：.CF=^~.

2

2.(1)解：如图，连接。4,OB,

图1

在△AO8与△AOC中,

，AB=AC

<OB=OC，

0A=A0

/.AAOB^AAOCCSSS),

：.ZOAB=ZOAC=^^/^Q,

VAB=AB«

NACB=ND=a,

*：AB=AC,

：.ZABC=ZACB=af

AZBAC=180°-2a,

：.ZOAC=90°-a,

*：OA=OC,

：.ZOCA=ZOAC=90°-a；

(2)证明：*：BD±AC,

：.ZBEC=90°,

：.ZCBE=90°-ZACB=90°-a,

：・/OCA=/CBE,

*：ZCEM=ZCEB,

・••△CEMSABEC,

•・•CE二EM,

BECE

：・C^=EM・EB；

(3)解：如图，连接AO并延长交30于点N,连接CMCD,

'：AB=ACfZOAB=ZOAC,

・・・AO垂直平分5C,

:・BN=CN,

9：ZOCA=ZDAC,

：.OC//AD,

・•・ZDMC=NABD=ZACB,

BC=BG

：.ZBAC=ZCDM,

：.ZDCM=ZABC,

：.NDCM=NDMC,

:,CD=DM=3,

*：AC±BD,

：./AED=/AEN,

ZOAC=ZDAC,AE=AE,

：.AAEN^AAED（ASA）,

:.EN=ED,

二•AC垂直平分。N,

:・CN=CD=3,

:・BN=CN=3,

：.MN=BM-BN=4-3=1,

由EN=DE得:

MN+EM=DM-EM,

.*.1+EM=3-EM,

：.EM=1,

：.EB=BM^EM=4+1=5,

DE=DM-EM=3-1=2,

由（2）知，CE2=EM・EB=1X5=5,

:.CE=4S（负值已舍），

ZBAC=NBDC,NDEC=NAEB,

.•.△DECs^AEB,

・DECE

••———，

AEBE

•.•AE=皆窄=24，

CEV5

在中，

图2

由(2)知，ZOCA^ZCBE^ZCAD,

：.AD//OC,

.CEEM=1

"AE"EDT

，CE=&,

•'•S四边形ABCD=3ACX5£)=£x31/5X7=T5,

S®C=/XBMXCE=/X4X近=2姓，

四边形ABCD的面积与△BMC面积的比值为21.

4

3.(1)①证明：

为。。的直径，

：.ZBCA^90°,

VBC=AC-

：.ZCBA=ZBAC=45°,ZBOC=90°,

：.ZBCO^45°,

：8。平分/。氏4,

：.ZCBD=ZDBA=22.5°,

VZCED=ZCBD+ZBCE=6r7.5°,ZCDE=ZABD+ZBAC=67.5°,

:.NCED=/CDE,

：.CE=CD；

②解：如图1,取8。中点G,连接。G,

B

图1

・・・0为AB的中点，

AOG//AD,AD=2OGf

:・NOGE=/CDE,

•：NOEG=/CED,/CED=/CDE,

：・NOGE=/OEG,

：.0G=0E=2,

：.AD=2OG=4；

(2)证明：如图2,在5C上截取BP=A。，连接。P,

BC=AC

：.BC=ACf

:・CP=CD,

'/ZACB=90°

.,.ZCPD=45°,

AZBPD=135°,

由旋转性质得，ZBDF=90°,BD=FD,

：.ZBDC^-ZFDA=90°,

VZBDC+ZCBD=9Q°,

：.ZCBD=ZADF,

:•丛DFA丝丛BDP(SAS),

：.ZFAD^ZBPD=135°,

：.ZFAB=ZFAD-ZBAC=135°-45°=90°

：.OA±AF,

又・・・。4为半径，

・・・A尸为OO的切线.

4.解：(1)连接OD,BD,

TAB为。。的直径，

AZADB=ZBDC=90°,

在RtZXBCD中，BE=EC,

：・DE=EC=BE,

；.NEBD=/EDB,

・・,BC是。。的切线，

：.AB±BC,

：.ZEBD+ZDBO=90°,

：.ZEDB+ZDBO=90°,

OD=OB,

：.ZDBO=ZBDO,

：・NEDB+/BDO=90°,

即NO。尸=90°,

：.DF±OD,

・・・。。为OO的半径，

・・・。尸为。。的切线；

(2)・：OB=BF,

：.OF=2OB=2OD,

sinF=0D=^

OF~2

.\ZF=30°,

：.OB=BF=EF'cosF=4Xcos30°=2«,

即O。的半径为2«；

(3)由(2)知，。。=2«,ZBOD=90°-ZF=60°,

：.DF=tanN8OZ)=2y囱X«=6,

V£F=4,ZF=30°,

：.BE=EF-sin300=2,

：阴影部分的面积=三角形ODF的面积-三角形FEB的面积-扇形BOD的面积,

:・S阴=Sz\OO尸-S/\FEB-S扇形BOO

=LOD-DF--BF'BE-ifOD2

22360

x2V3X6-^X2V3X2-^xnx(2^3)2

NNb

=4&-2n,

••・阴影部分的面积为4近-2m

5.(1)证明：①如图1,连接OC,AB,

平分/BAF,

：.ZBAP^ZRiF,

VZE4F+ZB4C=180°,

ZB4C+ZPBC=180°,

：.ZPAF=ZPBC,

又/BAP=NPCB,

：./PBC=/PCB,

：.PB=PC,

.,•PB=PC-

，点尸为确的中点；

(2)解：连接。8,OC,过。作。M_LBC于M,

OM垂直平分BC,

：.BM^CM^—BC^3,ZB0M=—ZBOC^ZBAC,

22

：sin/BAC=3,

5

：.smZBOM=^=^-,

OB5

：.OB=5,

•••OO的半径是5,

在RtzXOMC中，0知=4“2_-l2=4,

在RtZXPWC中，PM=0M+0P=9,

PC=VPM2+MC2=3V15；

(3)VZACE+ZBCA=ZBPE+ZBCA=ISO°,

NACE=ZBPE,

同理，/CAE=/PBC=/BiB,

：.^ACE^AAPB,

.AC=AE

AP而’

：.PA-AE^AC-AB,

如图4,过C作CQLAB于。，

：sin/BAC=%，

AC

CQ=AC-sinZBAC,

：.&ABC=^AB-CQ=-^-AB'AC,

210

PA'AE--^-SAABC,

3

「△ABC非锐角三角形，且2C=6,

.,.当A运动到使NACB=90°时，

△ABC面积最大，

在Rt^ABC中，BC=6,AB=10,

•'-AC=VAB2-BC2=8,

S^ABC——BC,AC—24,

2

.,.此时，24・AE=80,

即PA'AE的最大值为80.

图2

图1

6.(1)证明：连接A3,

:.BO=CO,

：.AB=AC,

又

：.AB=ADf

：.NABD=/ADB,

又丁ZABD=ZACFf

：.ZACF=ZADB；

(2)证明：9：AC=AD,

：.ZACD=ZADC,

丁ZACF=ZADF,

•・•ZACD-ZACF=ZADC-NADF,

即N尸。D=NfDC,

・•・CF=DF；

(3)解：连接AR

由(2)知CF=DF,

则点尸在CD的垂直平分线上，

VAC=AZ),

・・・点A在CD的垂直平分线上，

・・・A/是C。的垂直平分线，

二•A/平分NCA。，

AZCAF=45°,

：.ZCBD=45°,

故答案为：45；

(4)解：作CHLBD于H,

,：0B=0C=3,ZDBC=45°,

:.CH=BH=3血,

；0A=6,0C=3,

；.AC=3遥，

CD—A/^AC—3、］0,

•'-DH=7CD2-CH2=V90-18=672'

:.DB=BH+DH=9屁,

,/ZACD^ZDBC,ZCDG=ZBDC,

：.ADCGsADBC,

:.DC2=DG-DB,

•••（3V10）2=DG・9瓜

:.DG=5M，

△GOC的面积为/XDGXCH卷xW^xM=15,

故答案为：15.

7.（1）证明：如图，连接0B,

1/OO是直角三角形ABC的外接圆，

/.ZABC=ZDBC=90°.

在RtZ\DBC中，M为CZ）的中点，

：.BM=MC,

：.NMBC=/MCB.

y."：OB=OC,

J.ZOCB^ZOBC.

：CO为。。的切线，

ZAC£>=90°.

AZMCB+ZOCB=ZMBC+ZOBC=9Q°,

即OBIBM.

又为。。的半径，

与。O相切；

(2)解：'：ZBAC=60°,OA=OB,

：.△ABO为等边三角形，

/.ZAOB=60°.

；AC=4,

：.OA=2,

：.弦AB和弧AB所夹图形的面积=5庸形AOB-S^AOB

2

—60兀X2V3vn22Hr

(3)解：连接05,ZABF=15°时，NAO尸=30°,

・•・等边△A30中，O尸平分NA03,

・•・OFLAB.

在RtZVlOH中，AO=2,ZAOH=30°,

：.AH=1,

:・OH=g,

：.FH=2-«.

TAB为直径,

ZACB=90°,

ZACO+ZOCB=9Q°,

VOA=OC,

AZBAC=NACO,

NBCP=/BAC,

：.ZBCP=ZACOf

：.ZBCP+ZOCB=90°,

.\ZOCP=90°，

：.OCLPC,

oc为半径，

•••PC是G)o的切线；

(2)证明：:NACB的平分线交O。于点。，

/ACD=/BCD,

'：/PCE=ZPCB+ZBCD,ZPEC=ZBAC+ZACD,

：.ZPEC=ZPCE,

：.△PEC是等腰三角形；

(3)解：作。M_LAC于ON_LC3交C2的延长线于N,

•.•CD平分/AC8,DM1.ZAC,DNLCB,

：.DM=DN,AD=BD>

•：/AMD=NBND=90°,

/.RtAAMD^RtABA©(HL),

：.AM=BN,

'：NDMC=/MCN=/CND=90°,

四边形CMDN为矩形,

"；DM=DN,

矩形CMDN为正方形,

•••CN=$D，

"：AC+BC=CM+AB+CB=2CN,

：.AC+BC=^2.CD,

'：AC+BC=2,

:.CD=M.

9.解：(1)①;AB为直径，。为窟的中点,

ZA=45°,

.,.ZZ)CB=180°-ZA=180°-45°=135°,

②连接BD,AC交于点E,

图1

当四边形ABC。面积最大时，即△BCD面积最大，

当。C_LB。时，CE最大,

'：AB=4,

:.BD=AD=2瓜

：.OE=y/2>

・"△BCD最大值为班也

;

.,.SMABCD的最大值为：)也+SABCD=272+2

(2)直线。尸交。。于点M,N,过产作PQ〃A8交直线8。，AC于点P,Q,

'：ZQ=ZA=ZCDEf

:.丛PFDs丛CFQ,

；・PF*FQ=FD・FC,

•:/N=/MDF,ZMFD=ZCFN,

：.AMFDsACFN,

:.MF・FN=FD・FC,

:.PF・FQ=MF・FN,

：PQ//AB,

.PF_EFFQ_EF

，,OB"EO'OA'EO"

:.FP=FQ=JO&,

o

设半径为r,

：.(r-4)0+4)=—2,

9rT

*.•r>0,

：.『3如,

：.AB=6->/2-

10.解：⑴连接AE,

图1

VZA£C+ZADC=180°,

ZBDC+ZADC^ISO°,

ZBDC=ZAEC,

'：ZCBD=ZABE,

：.AABE^ACBD,

•.•BE二AB,

BDBC

VBC=—,AD=2,BD=1,

2

：.AB=AD+BD=2+1=3,

,'T=T,

~2

BE=2,

；.CE=BE-BC=工;

2

(2)3N是O。的切线，理由如下:

连接CO并延长交OO于点R连接OR

图2

则NCQ/=90°,

：.ZCFD+ZFCD=90°,

•；NBCA=NBDC,NB=NB,

：.ZBAC=ZBCD,

*：ZCAD=ZCFD,

:・/CFD=NBCD,

：.ZFCB=/FCD+/BCD

=ZFCD+ZCFD

=90°,

C.BCLOC,

・・・OC是半径，

・・・8C是。。的切线，

即3N是OO的切线；

(3)过点A,C,。三点作。0,当BC是。。的切线时，NACQ最大，连接CO并延长

图3

则NCQG=90°,ZCAG=90°,

AZCGD+ZDCG=90°,

是。。的切线，

\BCLOC,

\ZBCO=90°,

\ZBCD+ZDCG=9Q°,

•・NBCD=NCGD,

:/CGD=/CAD,

•・/BCD=/BAC,

△BCDs^BAC,

・BCBA

•=—，

BDBC

\BC2=BD・BA,

；A£>=2,

\BA=BD+AD=BD+2,

,.BC^^BD(80+2)=BD1+2BD,

：BC2+BA2=AC2,AC=2-/jBD,

,.B^^AC1-BA1^2-(B£>+2)2=11B£>2-4BD-4,

•.11BD2-ABD-4=BD2+2BD,

\5BD2-3BD-2=0,

,.BD=-2(舍去)或瓦)=1,

5

•.胡=8。+4。=1+2=3,AC=2V^BO=2«,

：ZB=90°,

,.ABLBC,

：CG±BC,

,.CG//AB,

\ZBAC=ZACG,

：ZB=ZCAG=90°,

,.△BAC^AACG,

•••-B-A-=-A--C,

ACCG

.3273

2^3CG

ACG=4,

OC=2,

即。。的半径为2.

11.(1)证明：如图1中，连接2c.

图1

:点。是弧8C的中点.

•••DC=BD-

:./DCB=/DBC,

,：AB是直径，

ZACB=ZBCE=90°,

：.ZE+ZDBC=9Q°,ZECD+ZDCB=90°,

NE=ZDCE,

：.CD=ED；

(2)①证明：如图2中,

：.ZCFH=ZCHF,

・・・ZCFH=ZCAF+ZACF,ZCHA=NBAH+/ABH,

•：/CAD=/BAH,

：.ZACO=ZOBC,

*：OC=OB,

：・NOCB=NOBC,

：.ZACO=ZBCO=^ZACB=45°,

2

：.ZCAB=ZABC=45°,

：.AC=BC,

VZACH=ZBCE=90°,NCAH=NCBE,

：.AACH^ABCE(ASA),

：.CH=CE；

②解：如图3中，连接0。交8C于G.设0G=x,贝|DG=2-x.

图3

VCD=BD-

：.ZCOD=ZBODf

•・•0C=0B,

：.0D±BC,CG=BG,

在RtAOCG和RtABG。中，则有-(2-x)2

；・x=工,即OG=—,

44

'：OA=OB,

・•・OG是△A5C的中位线，

.・.0G=LC,

2

：.AC=­.

2

12.(1)证明：为。。的直径,

ZACB=90°,

：.ZDCB=90°,

切。。于点B,

/.ZABD=90°,

:.NDCB=NABD,

'：ZD=Z.D,

：.ABCDsAABD；

(2)解:连接OC,

'：ZD=50°,ZABD=90°,

ZA=40°,

；.NCOB=2NA=80°,

:直径A8=6,

半径r=3,

二前的长为8°'冗'3=里兀;

1803

(3)解：取8。的中点E,AD的中点尸，连接EF,

当点尸在点C处时，△依。为直角三角形，E为△尸2。的外心,

当点尸在点A处时，△ABD为直角三角形，F为△PBO的外心,

VAB=6,E/为△A3。的中位线，

：.EF=^AB=3,

2

APBD的外心运动的路径长为3.

13.解：(1)VZAOB=90°,ZABO=30°,

：.ZOAB=90°-ZABO=6Q°,

:俞=俞，

:.NCOD=/BAD,

'：ZCOD^ZOAD,

.../2AD=/ft4£)=，NOAB=30°，

即的度数为30°；

(2)如图，

存在点P,使得直线BP与△A08的外接圆相切,

VZAOB=90°,

：.AB是AAOB外接圆的直径，

：.AB±PB,

：.ZABP=9Q°,

：./PBC=90°-ZABO=90°-30°=60°,

由(1)得，ZOAC=30°,

/.ZAC(?=90°-Z(9AC=60",

：.ZPCB=ZACO=60°,

：.△尸8C是等边三角形，

VA(0,3),

；.OA=3,

OC=OA•tanZOAC=3X务次,

o

在RtZ^AOB中，OA=3,ZOAB=60°,

OB=OA,tan60°=3«,

：.BC=OB-OC=3«-y=2、R,

作PQLBC于。，

•••C2=1BC=V3>

:.PQ=CQ，tzm/PCB=M乂6=3,

：.OQ=OC+CQ=2yf3,

：.P(3,-2A/3).

即：存在点尸，使得直线8尸与△AOB的外接圆相切，此时点尸(3,-2«).

,,AB=AC>

,：AE是直径，

••.BE=CE>

：.ZBAE=ZCAE,

5L'：AB=AC,

：.AE±BC,

又TEFI/BC,

：.EF±AE,

是半径，

是。。的切线;

"：AE±BC,

：.CH=BH=^BC=\,

2

"G=//C+CG=4,

/MG=>/AH2-K；H2=49+16=5'

在RtZXOHC中，0»2+。/=。。2,

(3-r)2+1=/,

解得：r=9，

3

.•.AE=12.,

3

■:EF//BC,

：.△AEFs^AHG,

•.•-A-H--H-G-,

AEEF

.J___£

,•犯-EF'

：.EF=^-；

9

(3)解：VAH=3,BH=1,

•'-AB=4AH?+BH2=79+1=V10,

•/四边形ABCD内接于。。，

AZB+ZADC=180°,

VZAZ)C+ZCDG=180°,

:./B=/CDG,

又,：/DGC=NAGB,

:.丛DCGs丛BAG,

•.•-C-D-二CG,

ABAG

•.•~ICD-3?

V105

：.CD=^^-.

5

15.(1)证明：连接。C,

:四边形OBCE为菱形，

：・OB=BC,OB//CE,

：.OB=OC=BC,

•••△08C是等边三角形，

：.ZBOC=ZCOE=60°,

/.ZAOP=ZCOP=60°,

9：OA=OC,OP=OP,

•••△APOdCPO(SAS),

：.ZPCO=ZBAPf

TAB是。。的直径，RI是。。的切线，

：.ZPAO=90°,

：.ZPCO=90°,

•••。。是。。的半径，

・・・PC是。0的切线；

(2)①证明：由(1)知，

ZAOP=60°,ZPAO=90°,

ZAPO=30°,

・.・04=工。尸，

2

：.OE=PE,

:・PE=BC,

■:PO〃BC,

:・/PEG=/BCG,NEPG=/CBG,

AAPEG^ABCG(ASA),

:・EG=CG,

：.OG_LCG；

②解：VOB=3,

：.OA=OB=3,

：.OP=2OA=6,

•*,AP=Vop2-OA2=3«，

PB=VPA2+AB2=7(3>/3)2+62=3"

连接AF,

,：AB是。。的直径，

：.AF±PB,

SMPB^—AP-AB^^-PB'AF,

22

.._AP-AB_3V3><6_6V21

••/\.rP----------------,

PB3^77_

・s而而=荷一(早产苧

16.解：(1)直线机与OO相切，

理由：连接P0,

'：AP=AF,

：.ZAPF=NAFP,

9：NAFP=NEFO,

：.NAPF=NEFO,

'：OP=OE,

：.ZOPF=ZOEF,

VZFOE=90°,

・•・ZOFE+ZOEF=ZOPF+ZAPF=90°,

AZAPO=90°,

・・・PO_L直线AB,

•・・o尸是。。的半径，

，直线相与。。相切；

(2)・・万=坐了+2g与尤轴交于点A,与y轴交于点5,

・,•令y=0,得力=-2,令x=0,得y=2禽,

.*.A(-2,0),B(0,冬巨)，

3

：.OA=2,

3

，tanN8Ao=9=返，

OA3

/.ZBAO=30°,

ZAOP=6Q°,

VZAOB=90°,

AZBOP=30°,

"：OP=OE,

：.ZOPE=ZEOP,

'：ZBOP=ZOPE+ZOEP=2ZPEB=30°,

•■•ZPEB=-|zPOB=yX300=15°；

(3)连接CE、CH,

"：CD上BE,

：.ZCOE^ZDOE^90°,

ZCHE=ZECG=^-X90°=45°,

2

'：ZCEG=ZHEC,

/.△CEG^AHEC,

•.E•C~EG.

EHEC

：・EG・EG=CE/EC=2.

：.ZOAF=ZOFAf

：.ZPOB=ZOAF+ZOFA=2ZOAF,

/EPF=/OAF,

：.ZPOB=2ZEPFf

VBCXAB,

：.ZOBP=90°,

AZPOB+ZEPF=90°,

：.2ZEPF+ZEPF=90°,

：.ZEPF=30°,

：.ZPOB^60°,

.\n=60,

•:r=OB=3,

；•前的长为60兀乂3二九.

180

②延长FO交。。于点G,连接8尸，BG,

是。。的直径，

ZFBG=90°,

VAB是。。的直径，

ZAFB=90°,

：.ZAFB+ZGBF=1SQ°,

C.AF//BG,

•.•PFPE)

PGPB

•.•OP=[BP24cB2=5,

:.PF=OP-OF=2,

:・PG=0P+0G=8,

VPB=4,

.PE2

••—―-

48

：.PE=1；

(2)•・・/-〃的值为定值，

.\t-r=0,

.\t=r,

：.OB=BP,

O

.­.ZPOB=1(180_/PB0)=45。，

"：OA=OF,

：.ZOAF=ZOFA,

：.ZPOB=ZOAF+ZOFA=2ZOAF,

•,.Z£AB=ZOAF=-j-z/poB=22.5°,

由②同理得A尸〃8G,

.PFPEn2t

••==----=n，

PGPBt

0P=VBP2-K)B2=Vr2+r2=扬，

:.PF=OP-0F=(&-1)r,

PG=OP+OG=(V2+Dr,

.(&-l)r2

•.()+l)r=，

・"2=(血-1)2,

VO<n<l,

:・n=^n-1，

：.ZEAB=22.5°.

18.(1)证明：连结OE,

•・,3C与。。相切于点区

C.OELBC,

；・NBED+N0ED=9U°,

9：AD是直径，

AZAED=90°,

AZEAD+ZADE=9Q°,

OE=OD,

：.ZOED=ZADE,

：.ZBED=ZEAD；

(2)证明：VACXBC,OELBC,

J.AC//OE,

：・NCAE=NAEO,

•：OA=OE,

：.ZEAO=ZAEO,

：.ZCAE=ZEAOf

XVEP±AB,EC±AC,

：.CE=EP；

(3)解：连结尸R

VZACB=90°,CG±AB,

AZCAE+ZAEC=ZAFG^-ZEAP=90°,

9：ZCAE=ZEAP,

：.ZAEC=ZAFG=/CFE,

:.CF=CE,

9：CE=EP,

：.CF=PE,

VCG±AB,EPLAB,