2022-2023学年人教版八年级数学下册压轴题：菱形的判定和性质（解析版）

2022-2023学年人教版八年级数学下册精选压轴题培优卷

专题09菱形的判定和性质

一.选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）

1.（2分）（2022春•南岗区校级期中）如图，菱形2故?中，然与必交于点，CD=2OB,£为切延长线上

一点，使得〃£=切，连结能分别交ZC、助于点尸、G,连结。G,AE,则下列结论：①N4%'=120。；

②0G,AB；③四边形切比与四边形曲G的面积相等；④由点力、B、D、片构成的四边形是菱形・其

中正确的结论个数是（）

A.4B.3C.2D.1

解：・・,四边形Z四是菱形，

：.BC=CD=AB,AB//CD,OB=OD,

・：CD=2OB,

：.BC=DC=BD,

・•・△切「是等边三角形，

：.ZBCD=60°,

■:AB//CD,

：.ZABaZBCD=180°,

：.ZABC=120°,故①正确；

9：AB//CD,

：.ABAG=AEDG,

VAB=CD,CD=DE,

：.AB=DE,

在△4比和△颂中，

<ZBAG=ZEDG

,NAGB=NDGE，

AB=DE

二△ABG^XDEG(AAS),

：.AG=DG,BG=GE,

'：BO=DO,AB//DE,

：.0G//AB//DE,OG=^AB,%到之间的距离=0G到庞之间的距离（设距离为方），

2

:四边形/好的面积S=L（DE+OG）h,四边形烟G的面积S'=工QAB+OG）h,AB=DE,

22

...四边形勿跖与四边形侬1G的面积相等，故②正确，③正确；

,:AG=DG,BG=GE,

四边形4叫应是平行四边形，

"：DE=CD=BD,

.,.四边形ABDE是菱形，故④正确；

即正确的个数是4,

故选：A.

2.（2分）（2022春•留坝县期末）已知：如图，四边形26磔是菱形，E、户是直线/C上两点，AF=CE.求

证：四边形与劭是菱形.几名同学对这个问题，给出了如下几种解题思路，其中正确的是（）

甲：利用全等，证明四边形女曲四条边相等，进而说明该四边形是菱形；

乙：连接初，利用对角线互相垂直的平行四边形是菱形，判定四边形冲切是菱形；

丙：该题目错误，根据已知条件不能够证明该四边形是菱形.

A.甲、乙B.乙、丙C.甲.乙、丙D.甲、丙

解：甲：二•四边形48"是菱形，

：.AB=BC=CD=AD,ABAC=ADAC=ZBCA=ADCA,

ZBAF=ZDAF=ZBCE=ZDCE,

在△掰尸和△物尸中，

'AB=AD

，ZBAF=ZDAF-

tAF=AF

：./\BAF^/\DAF{SAS'）,

：.BF=DF,

同理：△DCE^XBCE〈SAS,△掰&△比F（必S）,

:.BE=DE,BF=BE,

：.BF=DF=BE=DE,

二四边形/次”是菱形；

乙：连接劭交立于0,如图所示：

•..四边形4题?是菱形，

0A=OC,OB=OD,ACLBD,

,:AF=CE,

：.OA+AF=OC+CE,

即0F=OE,

...四边形必必是平行四边形，

又,：AC1BD,

平行四边形射是菱形；

综上所述，甲对、乙对，

故选：A.

3.（2分）（2022春•白河县期末）如图所示，以的直角边/向△/以外构造等边E为AB

的中点，连接区DE,/4GB=9Q,ZABC^30°.下列结论：①4a龙；②四边形比班'是平行四边形;

③四边形血匕？是菱形；④S四边形砥E=3S§@.其中正确的结论有（）

C.3个D.4个

解：⑦=90°,ZABC=30°,

：.ZBAC=60°，AC=^-AB,

2

•.•△力切是等边三角形，

：.ZACD^60°,

：.ZACD=Z.BAC,

CD//AB,

为四的中点,

：.BE=AE=^AB,

2

J.BE//CD,CABE=AE,

...四边形故加为平行四边形，故②正确；四边形是平行四边形,

VZACB=9Q0,AE=BE,

：.CE=AE=^-AB,

2

四边形四是菱形，故③正确；

•.•四边形6侬为平行四边形，

：.DF//BC,

:.AC1DE,故①正确；

设AC=x,则AB=2x,

S»AC产2/龙=/鹿=

4

***S四边形BCDE=2S^BCE=2S^ACD,故④错误;

故选：C.

4.（2分）（2022春•江北区期末）如图是一个由5张纸片拼成的菱形/阿〃相邻纸片之间互不重叠也无空

隙，其中周围四张小平行四边形纸片都全等，中间一张纸片的面积为，.连结阳BG,DE,DG,四边形

戚G的面积为如若无至、/则周围小平行四边形的宽与长的比值为（）

'31

A.亚B.—C.亚D.A

4433

解：如图，过点〃作"L比1,交成的延长线于尸，交的的延长线于0,

设小平行四边形的宽是X,长是x,Dgh,Pgh\,

•••周围四张小平行四边形纸片都全等，

":EH=GH=FG=EF=y-x,

二四边形口如是菱形，

VS2=|S1，

.包即(xnO(h+hi)-2yh「2xhi_5

S[3(y-x)(h-hj)3

.(x+y)(h-h1)_5

(y-x)(h-hj)3

•••x—_—1—.

y4

故选：B.

5.（2分）（2022春•高邑县期末）如图，在N/W的两边上分别截取如，OB,使刃=如；再分别以点4B

为圆心，以长为半径作弧，两弧交于点C；再连接ZC,BC,AB,OC.若AB=2,OC=4.则四边形4以

解：由题意得:

OA=AC=BC=OB,

；・四边形OACB是菱形,

9：AB=2,OC=4,

，菱形"⑵的面积=工。。/6

2

=JLX4X2

2

=4,

故选：C.

6.（2分）（2021秋•垦利区期末）如图，菱形/5以中，/BAD=6Q°,4C与BD交于点、0,£为缪延长线上

一点，豆CD=DE,连结庞，分别交/于点穴G,连结。C,则下列结论:

①OG=?B；②S四边形勿Q>S.巾③由点月、B、D、£构成的四边形是菱形；④S△位=45即其中正确的

结论是（）

A.①②B.①②③C.①③④D.②③④

解：；四边形/版是菱形，

：.AB=BC=CD=DA,AB//CD,OA=OC,OB=OD,ACLBD,

/BAG=NEDG,

"：CD=DE,

：.AB=DE,

在44泓和△颇中，

,ZAGB=ZDGE

-ZBAG=ZEDG>

LAB=DE

：./\ABG^/\DEG(A4S),

：.AG=DG,

是加的中位线，

：.OG=LAB,故①正确；

2

'：AB//CE,AB=DE,

二四边形4位应是平行四边形，

■：NBCD=NBAD=6Q°,

:.XABD、"是等边三角形，

J.AB^BD^AD,/阪=60°,

平行四边形力应应是菱形，故③正确；

,/0A=OC,AG=DG,

是△力切的中位线，

：.0G//CD//AB,OG=^CD,

2

,•S^ACD―4必/华，

•SAAO(^SRBOG，

**•s^ACD=^s^B0G,故④正确；

连接演，如图：

•・•△/必是等边三角形，A0平分/BAD,BG平分/ABD,

・•・分到三边的距离相等，

,•S^BDF_S&ABF_2S&BOF_2S&DOF一S四边形ODGF,

S四边形ODGF=S»ABF，故②错误；

正确的是①③④,

故选：c.

B

/\/G\^\

CDE

7.（2分）（2022春•礼县期末）两张全等的矩形纸片/况〃/叱按如图方式交叉叠放在一起，AB=AF,AE

A.2B.V3C.SD.A

33

解：设式'交/£于。AD交CF于H,如图所示：

;四边形46切、四边形/比F是全等的矩形，

：.AB=CE,/B=/E=90°,AD//BC,AE//CF,

四边形方是平行四边形，

rZB=ZE

在和△四G中，，ZAGB=ZCGE>

kAB=CE

：./\ABG^/\CEG（AAS）,

：.AG=CG,

...四边形力笫7是菱形，

设AG=CG=x,贝l]BG=BC-CG=3-x,

在RtzX/a?中，由勾股定理得：J+（3-X）2=/,

解得：x=$,

3

：.CG=^~,

3

菱形/G纺的面积=CGX/6=$X1=S,

33

即图中重叠（阴影）部分的面积为5；

3

故选：c.

8.（2分）（2022春•白水县期末）如图，在菱形/颇中，对角线/C与初相交于点。，/ABC=60°,点

E,b分别是比；。的中点，劭分别与力£,"'相交于点融N,连接第OF,下列结论：（1）△/第是

等边三角形；（2）四边形砥火是菱形；（3）OFVAE-,（4）BM=MN=ND.其中正确的结论有（)

A.1个B.2个C.3个D.4个

解：：四边形力时是菱形,

：.AB=BC=CD=AD,NADC=NABC=60°,OA=OgLlC,OB=OD^^BD,ACLBD,

22

:ZBC、是等边三角形,

如是等边三角形/比'的高,

丁点£是宽的中点，

.•.46时等边三角形46c的高,

：.AE=OB,

同理：AF=OD,

：.AE=AF,

••.点区户分别是8C切的中点,

绪是465的中位线，

:.EF=LBD=OB,EF//BD,

2

：.AE=AF=EF,

即△/绪是等边三角形,

/.(1)正确；

■:点E,尸分别是比；切的中点，ACVBD,

：.OE=LBC=CE,OF=LCD=CF,

22

：.OE=OF=CE=CF,

...四边形函加是菱形，

(2)正确；

•..四边形画加是菱形，

：.OF//BC,

'：AE1BC,

：.OFLAE,

A(3)正确；

:小方。是等边三角形/呢的中线，

：.AM=BM,

同理：AN=ND,

:△4项是等边三角形，

：.ZAEF=ZAFE=60°,

'：EF//BD,

：.AAMN=ZAEF=6Q0,/ANM=NAFE=6Q°,

：.AAMN=AANM=^°,

：.AM=AN,

:.BM=MN=ND,

：.(4)正确;

正确的结论有4个，

故选：D.

9.(2分)(2021春•莱阳市期末)如图，在菱形/四中，/BAQ6Q。，然与划交于点。，£为切延长线

上的一点，ACD=DE,连接座分别交4C、AO于点、F、G,连接。G,则下列结论：

①OG^AB；

②与△〃跖全等的三角形共有5个;

③四边形勿跖与四边形期G面积相等；

④由点/、B、D、£构成的四边形是菱形.

其中一定成立的是（）

A.①③④B.①②③C.①②④D.②③④

解：..•四边形5是菱形，

:.AB=BC=CD=DA,AB//CD,04=OC,OB=OD,ACLBD,

：.ABAG=AEDG,△/反匡△比'隹隹△/勿(SSS),

'：CD=DE,

：.AB=DE,

在△9和△颂中，

，ZBAG=ZEDG

-ZAGB=ZDGE>

tAB=DE

工△ABMXDEG(MS'),

：.AG=DG,

是的中位线，

：.OG=LCD=LAB,故①正确；

22

'：AB//CE,AB=DE,

二四边形4皿应是平行四边形，

•:/BCD=/BAD=6Q°,

:.XABD、△阅9是等边三角形，

:.AB=BAAD,/勿C=60°,

OD=AG,四边形4应后是菱形，故④正确；

J.ADLBE,

由菱形的性质得：△台物丝△灰屋△灰»(555),

在曲和△口切中,

AG=D0

ZBAG=ZCD0.

AB=DC

.△BGAQXCOD（囱S）,

./\AOB^△COB^△COD^!\AOD^/\BGA^/\BGD^/\EGD,故②不正确;

"OB=OD,

•S&BOG—SaDOG，

,四边形ABDE是菱形,

•$AABG-SADAE，

.四边形山/笫与四边形四4G面积相等，故③正确;

故选：A.

10.（2分）（2021春•两江新区期末）如图，。是菱形465的对角线力G加的交点，E,户分别是小，OC

的中点.下列结论中正确的是（）

①为3=aOBF；

②四边形座必是菱形;

③四边形46缪的面积为OCXOD-,

④NABE=NOBE.

A.①②B.②④C.②③D.③④

解：：四边形/颇是菱形,

：.AO=CO,BO=DO,ACVBD,

■:E、/分别是OA、%的中点,

：.AE=EO=FO=CF,

,•邑W—S号OBP故①正确;

■:EgOF,BO^DO,

四边形旗必是平行四边形,

又‘：ACLBD

四边形旗烟是菱形，故②正确；

•..菱形/9的面积初=2%•勿，故③错误；

2

•.•四边形及他是菱形，

：.Z.OBF=/OBE,NABE#/OBE,故④错误；

故选：4

二.填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）

11.（2分）（2022春•惠民县期末）如图，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，重合的部分构成

了一个四边形，转动其中一张纸条，则下列相等关系：

①AD=4B；

②AD=BC；

③/DAC=/ACD；

®AO=BO,

其中一定成立的是②.（只填序号）

解：由题意可知：AB//CD,AD//BC,

四边形46徵为平行四边形，

：.AD=BC,

故答案为：②.

12.（2分）（2022春•锡山区期中）如图，四边形/四中，AD//BC,ZC=90°,AB=AD,连接被作■乙BAD

角平分线AE交即、%于点然E.若a^3,CD=4,那么/£长为2、乐

D

C

解：连接班：

在直角三角形。应中，EC=3,缪=4,根据勾股定理，得庞=5.

'：AB=AD,AELBD,

垂直平分如，NBAE=/DAE.

:.DE=BE=3.

'：AD//BC,

：.ZDAE=NAEB,

：.4BAE=Z.AEB,

:.AB=BE=3,

：.BC=BE+EC=3,

四边形力颇是菱形，

由勾股定理得出BD=>\/CD2+BC2=^42+82=4V5'

^=VBE2-B02=^52-（2V5）2幸'

:.AE=20E=2限,

故答案为：2遥.

13.（2分）（2021春•华容县期末）如图，在平行四边形力皿中，AD=2AB,"，/夕于点£,点户、G分别

是柩理的中点，连接/EF、FG,下列五种说法①加做②四边形四亦是菱形③BC=2EG；④N

DFC=/EFG；⑤）2AEF=2EGB.正确的有①②③④.（填序号）

D

E叱\

解：•.•四边形出■必是平行四边形,

J.AD//BC,AD=BC,

":点、F、C分别是47、a'的中点，

：.AF=^AD,BG=^BC,

22

:.AF=BG,

'：AF//BG,

...四边形/叱是平行四边形，

：.AB//FG,

,：CELAB,

:.CE1FG；故①正确；

,:AD=2AB,AA2AF,

：.AB=AF,

四边形"戚'是菱形，故②正确;

CEVAB,

:.NBECS,

•点G是欧的中点，

：.BC=2EG,故③正确；

延长须，交切延长线于弘

•.•四边形46W是平行四边形,

：.AB//CD,

：.NZ=/MDF,

•・•尸为49中点,

：.AF=FD,

在和△力的中，

2A=NFDM

<AF=DF，

,ZAFE=ZDFM

:.△AEF^XDMF(ASA),

:・FE=MF,/AEF=/M,

*.•CELAB,

：.ZAEC=90°

：.ZAFC=ZECD=90°,

■:FM=EF,

：.FC=EF=FM,

：.CF=^EM,

2

：.ZECM=QO°,

・•・ZFCD=/M=AFCE=N阳7=45

・・,四边形然切是平行四边形，

：.AB=CD,AD//BQ

9

：AF=DF,AD=2ABf

：.DF=DC,

：.ADCF=/DFC,

■:DF=AF=LD,CD=AB=^AD,

22

・・・四边形CW是菱形，

：.FG//CD,

:・/DCF=/CFG,

■:FGLCE,

\/EFC=/CFG,

：.AEFG=ZDFC,故④正确,

YEG=BG,

：./B=/BEG,

：.ZEGB=180°-2ZB,

*：EF力FG,

:・/FEG#/FGE,

:./FEGW/FGE,

♦：/FGE=/BEG=/B,

:・/FEG丰/B,

・・・NZ绪=180°-ABEG-ZFEG=180°-ZB-AFEG,

:・/AEF千/EGB,故⑤错误；

故答案为：①②③④.

14.（2分）（2021春•朝阳区校级月考）如图，两把完全一样的直尺叠放在一起，重合的部分构成一个四边

形，这个四边形一定是一菱形，依据是一邻边相等的平行四边形是菱形.

解：过点〃作废文/夕于幺DFLBC千F,如图所示:

二•两把完全一样的直尺叠放在一起，

：.AB//CD,AD//Ba两把直尺的宽度相等，

・•・四边形/用力是平行四边形，DE=DF,

又,・♦平行四边形48口的面积=册加三加1•0；

：.AB=BC,

・•・平行四边形/颇为菱形，

故答案为：菱形，邻边相等的平行四边形是菱形.

DC

15.（2分）（2020•寿光市二模）如图所示，四边形相切中，ACLBD于点0,AO=CO=^,BO=DO=3,点、P

为线段力。上的一个动点.过点尸分别作物工力〃于点瓶作恒2c于点儿连接阳，在点尸运动过程中,

/外1的最小值等于7.8.

解：'：AO=CO=4,BO=DO=3,

：.AC=8,四边形力阅9是平行四边形，

劭于点0,

平行四边形ABCD是菱形，AD=^A02+D02=V42+32=5,

.'.CD=AD=5,

连接如，如图所示：

•SXAD铲SRCDP—SMADC，

：.工A"p岭LDGPN=工/OOD,

222

即JLX5X加工X5X掰一工X8X3,

222

.\5X(/WW)=8X3,

:.PgPN=4.8,

当以最短时，小即加有最小值,

由垂线段最短可知：当HL47时，加最短，

当点?与点。重合时，即/M阳有最小值，最小值=4.8+3=7.8,

故答案为：7.8.

16.（2分）（2020春•深口区期末）如图，在RtZk46C中，ZBAC=90°,N4比1的平分线交47于〃过点4

作/吐正于£,交劭于G,过点，作外上火于汽，过点G作阳〃阳交”于点〃，则下列结论：

①/BAE=NC；

②丛回:SAEBG=AB：BE-,

③4ADF=22CDF；

④四边形/魏?是菱形；

忌CH=DF.

解：①为「=90°,

：.ZBA&-ZCAE=9Q°,

'：AEVBC,

/NG4£=90°,

：.ZBAE=ZC,①正确；

②作/〃〃切交⑦的延长线于弘如图所示:

则N斤/侬/BAM=/ABD,

,:BD平■64ABC,

：.ZCBD=ZABD,

：./后ZBAM,

：.AB=BM,

'：AM//BD,

：.AGxGE=BM：BE,

：.AG：GE=ABzBE,

•SYBG：SMB尹AG：GE,

:•SXABG：S^EBG=ABZBE；②正确；

(4)VAAGD=AABIAABAE,/ADG=/CBIA/C,/BAE=/C,/CBD=/ABD,

：.AAGD=AADG,

：.AG=AD,

'：ZBAC=90°,BD平分/ABC.DFLBC,

：.AD=DF,

：.AG=DF,

■:AELBC,

：.AG//DF,

・・・四边形4670是平行四边形，

又•：AG=AD,

・・・四边形/皿是菱形；④正确；

⑤・・,四边形力皿是菱形；

：.AAGD=AFGD,GF=DF,/ADB=/FDB,

:・/AGB=/FGB,

在△28G和△冲G中，

'NABG=NFBG

<BG=BG，

tZAGB=ZFGB

:.△ABgXFBG(ASA),

：.ABAE=/BFG,

,:4BAE=/C,

:・/BFG=/C,

：.GF//CH,

GH//BC,

・・・四边形67s是平行四边形，

：.GF=CH,

:・CH=DF,⑤正确；

③•：4ADF=2/ADB,

当/C=30°,/CDF=60°,

则//所=120°,

:./ADF=2/CDF；③不正确;

故答案为：①②④⑤.

17.（2分）（2019春•仓山区期中）如图，已知以点/为圆心，恰当长为半径画弧，分别交力£,//于

点、B,D,继续分别以点6,，为圆心，线段长为半径画弧交于点G连接加；CD,则所得四边形40

为菱形，判定依据是：四条边相等的四边形是菱形.

解：•.•已知N4以点力为圆心，恰当长为半径画弧，分别交/£,AF于点、B,D,

：.AB=AD,

•••分别以点6,〃为圆心，线段4?长为半径画弧交于点乙

：.BC=CD=AB,

:.AB=AgBC=CD,

所得四边形/颇为菱形，判定依据是：四条边相等的四边形是菱形.

故答案为：四条边相等的四边形是菱形.

18.（2分）（2017•安徽模拟）如图，平行四边形题力中，AELBC,AFLCD,垂足分别为£,F,连接即

给出下列判断：①若△/所是等边三角形，则/6=60°,②若/夕=60°,则△/环是等边三角形，③若

AE=AF,则平行四边形49是菱形,④若平行四边形/9是菱形，则AE=AF,其中，结论正确的是①③

④（只需填写正确结论的序号）.

B■D

ET

C

解：①•.•△4颜是等边三角形，

：.ZBAF=6Q0,AE=AF,

又‘：AELBC,AFICD,

：.ZC=12Q°,

•.•四边形/题是平行四边形，

J.AB//CD,/。=/勿9=120°,

...NQ180°-ZC=60°,故①正确;

②•.•/人/夕=60°,

：.ZBAE=ZDAF=90°-60°=30°,

：.ZEAF=12Q°-30°-30°=60°,

但是//不一定等于4尸，故②错误；

③若/£=AF,则/£=Ac»AF,

22

：.BC=CD,

.••平行四边形/四是菱形，故③正确；

④若平行四边形/四是菱形，

则BC=CD,

:.LBQAE=LC»AF,

22

：.AE=AF,故④正确；

故答案为：①③④.

19.（2分）（2021•朝天区模拟）如图，在平行四边形4加刀中，AD=2AB,〃，力夕于点£，点尺G分别是

AD,欧的中点，连接/EF、FG,下列四种说法：QCE1FG；②四边形被孑是菱形；③BC=2EG；④/

DFC=ZEFG.正确的有①②③④.（填序号）

AD

解：•.•四边形出■必是平行四边形，

J.AD//BC,AD=BC,

":点、F、G分别是42、a7的中点，

：.AF=^AD,BG=LBC,

22

:.AF=BG,

'：AF//BG,

...四边形/叱是平行四边形，

：.AB//FG,

'：CELAB,

:.CE1FG；故①正确；

,:AD=2AB,AA2AF,

：.AB=AF,

四边形4a犷是菱形，故②正确；

CEVAB,

:.NBEC=9G,

,点G是欧的中点，

:.BC=2EG,故③正确；

延长用，交切延长线于弘

,/四边形46。是平行四边形，

：.AB//CD,

：.N4=AMDF,

•.•户为4?中点，

：.AF=FD,

，ZA=ZFDM

在△45F和△力物中，＜AF=DF

LZAFE=ZDFM

二△AEF^XDMF(ASA),

：.FE=MF,/AEF=/M,

CELAB,

：.ZAEC=90°,

：.2AEC=』ECD=9N,

YFM=EF,

：.FC=EF=FM,

CF=LEM,

2

:・/ECM=9G,

:■/FCD=/M=/FCE=/FEC=45°,

・・,四边形/题是平行四边形，

：.AB=CD,AD//BC,

■:AF=DF,AD=2AB,

：.DF=DC,

:・/DCF=/DFC,

*:DF=AF=LAD,CD=AB=^AD,

22

・••四边形两是菱形，

:・FG〃CD,

:・/DCF=/CFG,

YFG1CE,

：.AEFG=ACFG,

：.ZBFG=ZDFC,故④正确，

故答案为：①②③④.

BG

20.（2分）（2020春•和平区期末）如图，在中，ZABC^9Q°,劭为47边上的中线，过点。作㈤1

BD千点、E,过点/作物的平行线，交位的延长线于点尸，在/尸的延长线上截取bG=初，连接阳、

解："：AG//BD,BD=FG,

四边形而如是平行四边形，

CFY.BD,

：.CFVAG,

又：点〃是“7中点，

:.BD=DF=LC,

2

.,.四边形叨是菱形，

:.GF=BG=3,贝!|/6=13-5=8,40=2X5=10,

•.•在RtZ\45F中，/宓=90。，

：.AP+CP=AC,即82+b=1。2,

解得：CF=6.

故答案是：6.

三.解答题（共9小题，满分60分）

21.（6分）（2023•黔江区一模）如图，在口45磔中，对角线47,初交于点。，£是/〃上一点，连接并

延长，交比'于点尸.连接/尸，CE,EF平分ZAEC.

（1）求证：四边形加还是菱形；

（2）若/%C=60°,47=2,求四边形"T石的面积.

（1）证明：：四边形/四是平行四边形

J.AD//BC,AgCO,

：.ZAEF=ZCFE,

'/AEF=/CFE

在和△呼中，■ZAOE=ZCOF-

AO=CO

:.匕AQ-XCOF(A4S),

0F=OE,

'：AO^CO,

.♦.四边形加还是平行四边形；

■:EF平分'NAEC,

：./AEF=4CEF,

：.ZCFE=ACEF,

：.CE=CF,

.•.四边形加还是菱形；

(2)解:由(1)得：四边形"'四是菱形，

J.ACLEF,4ggL「=l,

2

：.ZAOE=90°,

'：ZDAC=6Q°,

ZAEO=30°,

:.OE=MAO=M，

:.EF=20E=2M，

四边形血迹的面积=/=春X2X2强=2百.

22.(6分)(2022春•海安市期中)如图，AE//BF,AC平分/BAD,且交班'于点C,BD平%/ABC,且交初

于点。,连接⑦

(1)求证：四边形4灰刀是菱形；

(2)若47=6,龙=8,过点4作/“La'于点〃，求/〃的长.

BH

(1)证明：9：AE//BF,

ADB=/DBC,ZDAC=ABCA,

♦:AC平分/BAD,BD平分/ABC,

：.ADAC=ABAC,AABD=ADBC,

：.ABAC=AACB,AABD=Z.ADB,

/.AB=BC,AB=AD,

：.AD=BC,

9：AD//BC,

四边形4?必是平行四边形，

又；AMAB,

，平行四边形/四是菱形；

（2）解：由（1）可知，四边形/比，是菱形，

：.0A=0C=^-AC=3,OB=OD=^BD=^,ACLBD,

22

:.NB0C=9Q°,

BC=7OB2K）C2=V42+32=5，

'：AHVBC,

S菱形ABCD=BC*AH=^-AC*BD,

即54#=工X6X8,

2

解得：AH=生,

5

即就的长为处.

5

23.（6分）（2022春•南岗区校级期中）在等腰△/a'中，AC=BC,D、E、尸分别是46、AC,6c边上的中点,

连接应'、DF.

（1）如图1,求证：四边形"还是菱形；

（2）如图2延长龙至点G,梗EG=DE,连接廖CG,在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2

中所有的平行四边形（不包括菱形师'）.

AA

(1)证明：：点〃E,尸分别是AC,&'的中点,

:.DE、小都是△45C的中位线，

：.DE//CF,DE=^BC,DF//CE,DF=Lc,

22

四边形F是平行四边形，

"：AC=BC,

:.DE=DF,

平行四边形如龙是菱形；

(2)解：:久E、户分别是/反AC.比'边上的中点，

:.AD=BD,杼'是△4欧的中位线，

：.EF//AB,EF=LAB=AABD,

2

二四边形4W、四边形飒F是平行四边形，

,:BC=2DE,EG=DE,

：.BC=DG,

'：DE//BC,

...四边形BCGD、四边形瓦TG是平行四边形，

即图2中所有的平行四边形(不包括菱形所")为平行四边形/〃阳平行四边形应跖平行四边形

BCGD、平行四边形图方.

24.(6分)(2022春•鼓楼区校级期中)如图，在口四力中，AD>AB,/力欧的平分线交于点户，EF//AB

交比'于点E.

(1)求证：四边形/庞F是菱形；

(2)若羽=5,BF=3,口/65的面积为42,求怎的长.

(1)证明：・・,四边形/题是平行四边形，

C.AD//BC,

“：EF"AB,

・・・四边形4座F是平行四边形，

*：BF平分/ABC,

：.AABF=/EBF,

■:AF//BC,

:"AFB=/FBE,

：.ZABF=AAFB,

：.AB=AF,

.二四边形4座F是菱形；

(2)解：•・•四边形/应尸是菱形，

C.AELBF,B0=0F=4,AO=OE,AB=BE=3,

^=7BE2-B02=V52-42=3,

:・AE=2OE=6,

**•S菱形z颂="^■力"BF-X6X8—24,

•:AD〃BC,AB//EF//CD,

・・・四边形的/是平行四边形，

:,SBFD广42-24=18，

.c_24_4

,,Dc菱形ABEF：。口EFDCTTT一—，

183

:.BE：CE=生,

3

，*=3庞=3义5=".

444

25.（6分）（2022春•澄海区期末）已知：如图，四边形/四是平行四边形，分别以4?、为腰作等腰三

角形△/郎和等腰三角形△/阳且顶角/掰々/物£,连结M绪相交于点G,即与//相交于点〃

(1)求证：BD=EF\

(2)若/GHF=/BFG,求证：四边形/四是菱形；

(3)在(2)的条件下，当/BAF=/DAE=9G°时，连结庞，若BF=4,求△废尸的面积.

(1)证明：'：ZBAF=ZDAE,

：.ZBAFVZFAD=/DAE+/FAD,

即N的

■:AB=AF,AD=AE,

:.MBA恒XFAE(第S),

：.BD=EF.

(2)°：/GHF=/BFG,

:・2GFH=/GBF,

由(1)可知/GFH=/ABD,

：.ZABD=AGBF,

9：AD//BC,

：.AADB=ZGBF,

：.AABD=AADB,

：.AB=AD,

・・・四边形力为切是菱形；

(3)延长必交火于〃

E

■:/DAE=90°.

:・EM工AD,

•・,四边形/比〃是菱形，

：.AD//BC,

C.EMLBF,

U：AB=AF,BF=4,

：.BM=FM=2,

ZBAF=90°,

AM-|-BF=2，

，AB=2询，

•••AE=AD=AB=2V2-

:.EM=AE+AM=2近+2,

=4

SAEBF-|BF'EM=yX4X(2V2+2)V2+4.

26.(8分)(2022春•桂平市期末)如图，在口四切中，/曲〃的平分线交理于点£,交加的延长线于尸,

以及；CF为邻边作口£0%.

(1)证明口£0%是菱形；

(2)若//比'=120°,连接BD、CG,求/瓦右的度数；

(3)若/4?C=90°,AB=<o,49=8,〃是庚的中点，求血的长.

解：（1）证明：

•:AF平分NBAD,

：.ABAF=/DAF,

・・,四边形/四是平行四边形，

：.AD//BC,AB//CD,

:・/DAF=/CEF,/BAF=/CFE,

:・/CEF=/CFE,

：.CE=CF,

又,:四边形式为G是平行四边形，

・・・四边形£0%为菱形；

（2）•・,四边形力戈力是平行四边形,

：.AB//DC,AB=DC,AD//BC,

ZABC=120°,

:・/BCD=60。,ZBCF=120°

由（1）知，四边形CF6尸是菱形，

:.CE=GE,/BCG=L/BCF=60°,

2

：.CG=GE=CE,ZDCG=120°,

•:EG"DF,

：.ZBEG=120°=/DCG,

・・・/£是N掰〃的平分线，

・•・/DAE=/BAE,

'：AD//BC,

：./DAE=AAEB,

：.ZBAE=/AEB,

:・AB=BE,

：.BE=CD,

・・・△砥丝△次石（S4S）,

：.BG=DG,ZBGE=ZDGC,

：.ABGD^ACGE,

'：CG=GE=CE,

，△这是等边三角形,

；./，曲=60°,

:.NBGD=60°,

'：BG=DG,

△初G是等边三角形,

：.ZBDG=60°；

(3)如图2中，连接掰MC,

•：ZABC=9Q°,四边形49(6是平行四边形,

，四边形46缪是矩形，

又由(1)可知四边形以'G为菱形，

/ECF=9Q°,

四边形即%为正方形.

YNBAF=ADAF,

：.BE=AB=DC,

•.•〃为颐中点，

：.ACEM=AECM=^>a,

:"BEM=Z.DCM=\33°,

在△颇'和△畋中，

'BE=CD

工