2024年人民版高三数学下册阶段测试试卷

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2024年人民版高三数学下册阶段测试试卷397考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五总分得分评卷人得分一、选择题(共6题，共12分)1、如果一个等腰三角形的底边长是周长的，那么它的一个底角的余弦值为（）A.B.C.D.2、若一个几何体的三视图都是三角形，则这个几何体可能是（）A.圆锥B.四棱锥C.三棱锥D.三棱台3、【题文】和两条异面直线都平行的直线（）A.只有一条B.两条C.无数条、D.不存在4、已知偶函数满足当x>0时，则等于(）A.B.C.D.5、已知i

为虚数单位，则复数鈭�1+i

的模等于(

)

A.12

B.22

C.2

D.2

6、已知f(x)

是定义在R

上的偶函数，且在区间(鈭�隆脼,0)

上单调递增，若实数a

满足f(2|a鈭�1|)>f(鈭�2)

则a

的取值范围是(

)

A.(鈭�隆脼,12)

B.(鈭�隆脼,12)隆脠(32,+隆脼)

C.(12,32)

D.(32,+隆脼)

评卷人得分二、填空题(共5题，共10分)7、若f（x）=ax3+bx+1-b是定义在区间[-6+a，a]的奇函数，则a+b=____．8、在平行四边形中，AB=4，AD=3，∠BAD=60°，点E在BC上，且=2，F是DC的中点，则•=____．9、（2014秋•建邺区校级期中）如图，过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F的直线l交抛物线于点A、B，交其准线于点C，若BC=2BF，且AF=4，则此抛物线的方程为____．10、【题文】若向量则__________11、将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端异色．若只有五种颜色可供使用，则不同的染色方法种数为____．评卷人得分三、判断题(共9题，共18分)12、判断集合A是否为集合B的子集；若是打“√”，若不是打“×”．

（1）A={1，3，5}，B={1，2，3，4，5，6}．____；

（2）A={1，3，5}，B={1，3，6，9}．____；

（3）A={0}，B={x|x2+1=0}．____；

（4）A={a，b，c，d}，B={d，b，c，a}．____．13、已知函数f（x）=4+ax-1的图象恒过定点p，则点p的坐标是（1，5）____．（判断对错）14、判断集合A是否为集合B的子集；若是打“√”，若不是打“×”．

（1）A={1，3，5}，B={1，2，3，4，5，6}．____；

（2）A={1，3，5}，B={1，3，6，9}．____；

（3）A={0}，B={x|x2+1=0}．____；

（4）A={a，b，c，d}，B={d，b，c，a}．____．15、函数y=sinx，x∈[0，2π]是奇函数．____（判断对错）16、已知函数f（x）=4+ax-1的图象恒过定点p，则点p的坐标是（1，5）____．（判断对错）17、已知A={x|x=3k-2，k∈Z}，则5∈A．____．18、空集没有子集．____．19、任一集合必有两个或两个以上子集．____．20、若b=0，则函数f（x）=（2k+1）x+b在R上必为奇函数____．评卷人得分四、解答题(共4题，共20分)21、已知a1=2，a2=3，an+1=6an-1-an（n≥2），求an．22、已知函数f（x）=10sincos+10cos2．

（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；

（Ⅱ）将函数f（x）的图象向右平移个单位长度；再向下平移a（a＞0）个单位长度后得到函数g（x）的图象，且函数g（x）的最大值为2．

（i）求函数g（x）的解析式；

（ii）证明：存在无穷多个互不相同的正整数x0，使得g（x0）＞0．23、某市直小学为了加强管理；对全校教职工实行新的临时事假制度：“每位教职工每月在正常的工作时间，临时有事，可请假至多三次，每次至多一小时”．现对该制度实施以来50名教职工请假的次数进行调查统计，结果如下表所示：

。请假次数0123人数5102015根据上表信息解答以下问题：

（1）从该小学任选两名教职工，用η表示这两人请假次数之和，记“函数f（x）=x2-ηx-1在区（4；6）上有且只有一个零点”为事件A，求事件A发生的概率P；

（2）从该小学任选两名职工，用ξ表示这两人请假次数之差的绝对值，求随机变量ξ的分布列及数学期望Eξ．24、设f（x）是定义在R上的函数，证明：f（x）+f（-x）是偶函数，f（x）-f（-x）是奇函数．评卷人得分五、计算题(共4题，共40分)25、对于数列{an}，定义数列{an+1-an}的数列{an}的“差数列”，若a1=2，{an}的“差数列”的通项公式为2n．

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）设数列{an}的前n项和为Sn，求S1+2S2++nSn．26、执行如图所示的程序框图，如果输入a=2，b=2，那么输出的a值为____．

27、某单位因工作需要，要制作一批操作台面，台面上有两块大小相同的长方形钢化玻璃（图中阴影部分），每块钢化玻璃的面积为1800cm2；每块钢化玻璃需能放置半径为15cm的圆形器皿，每块钢化玻璃周围与操作台边缘要留20cm空白，两块钢化玻璃的间距为50cm，设钢化玻璃长为xcm，操作台面面积为S．

（1）当操作台面长与宽分别为多少时；操作台面面积最小；

（2）若每块钢化玻璃长至少比宽多14cm，则操作台面长与宽分别为多少时，操作台面面积最小？28、若z为复数，且（1-i）z=1+i，则|z|=____．参考答案一、选择题(共6题，共12分)1、B【分析】【分析】先得到3边之间的关系，再由余弦定理可得答案．【解析】【解答】解：设顶角为C，因为l=5c，∴a=b=2c；

由余弦定理得cosB===；

故选B．2、C【分析】【解析】试题分析：因为一个几何体的三视图都是三角形，所以这个几何体可能是三棱锥，故选C。考点：本题主要考查三视图基础知识。【解析】【答案】C3、D【分析】【解析】略【解析】【答案】D4、D【分析】【解答】因为，偶函数满足当x>0时，所以，以代替上式中2，得，联立解得f(2)=即=故选D。

【分析】中档题，此类问题的一般解法，是通过变量代换，转化求得也可以首先布列的方程组，求得5、C【分析】解：|鈭�1+i|=(鈭�1)2+12=2

．

所以，复数鈭�1+i

的模等于2

．

故选C．

复数鈭�1+i

的实部是鈭�1

虚部是1

直接代入复数模的公式进行计算．

本题考查了复数模的计算，复数z=a+bi(a,b隆脢R)

的模为a2+b2

此题是会考常见题型，是基础题．【解析】C

6、C【分析】解：隆脽f(x)

是定义在R

上的偶函数；且在区间(鈭�隆脼,0)

上单调递增；

隆脿f(x)

在(0,+隆脼)

上单调递减．

隆脽2|a鈭�1|>0f(鈭�2)=f(2)

隆脿2|a鈭�1|<2=212

．

隆脿|a鈭�1|<12

解得12<a<32

．

故选：C

．

根据函数的对称性可知f(x)

在(0,+隆脼)

递减，故只需令2|a鈭�1|<2

即可．

本题考查了函数的单调性，奇偶性的性质，属于中档题．【解析】C

二、填空题(共5题，共10分)7、略

【分析】【分析】直接利用奇函数的性质，求出a、b的值，即可求解a+b．【解析】【解答】解：f（x）=ax3+bx+1-b是定义在区间[-6+a；a]的奇函数；

所以-6+a=-a；解得a=3；

又0∈[-3；3]，∴f（0）=0；

则1-b=0，解得b=1；

则a+b=4．

故答案为：4．8、略

【分析】【分析】建立平面直角坐标系，求出的坐标进行计算即可．【解析】【解答】以AB为x轴；以A为原点建立平面直角坐标系，如图；

则A（0，0），B（4，0），C（，），D（，），E（5，），F（，）．

∴=（5，），=（-，）；

∴•=5×（-）+×=2．

故答案为：2．9、略

【分析】【分析】设出直线方程，与抛物线联立消去y得到关于x的一元二次方程，求得xAxB的表达式，根据BC=2BF确定关于p的等式，求得p，则抛物线方程可得．【解析】【解答】解：设直线AC的方程为ky=x-（k≠0）

联合抛物线y2=2px

消去y得x2-（1+2k2）px+=0

∴xAxB=①

依据抛物线的特性。

|AF|=xA+；|BF|=xB+；

∴|CB|：|BF|=

（xB+）：p=|CB|：|CF|=2：3

∴xB=②

∴①②联立求得xA=；

∴|AF|=+=2p=3；

∴抛物线方程y2=3x．

故答案为：y2=3x．10、略

【分析】【解析】因为所以

【解析】【答案】-21211、420【分析】【解答】解：设四棱锥为P﹣ABCD．

下面分两种情况即B与D同色与B与D不同色来讨论；

（1）P：C51，A：C41，B：C31；

B与D同色：D：1，C：C31．

（2）P：C51，A：C41，B：C31；

B与D不同色：D：C21，C：C21．

共有C51•C41•C31•1•C31+C51•C41•C31•C21•C21=420．

故答案为：420．

【分析】首先给顶点P选色，有5种结果，再给A选色有4种结果，再给B选色有3种结果，最后分两种情况即B与D同色、B与D不同色来讨论，根据分步计数原理和分类计数原理得到结果．三、判断题(共9题，共18分)12、√【分析】【分析】根据子集的概念，判断A的所有元素是否为B的元素，是便说明A是B的子集，否则A不是B的子集．【解析】【解答】解：（1）1；3，5∈B，∴集合A是集合B的子集；

（2）5∈A；而5∉B，∴A不是B的子集；

（3）B=∅；∴A不是B的子集；

（4）A；B两集合的元素相同，A=B，∴A是B的子集．

故答案为：√，×，×，√．13、√【分析】【分析】已知函数f（x）=ax-1+4，根据指数函数的性质，求出其过的定点．【解析】【解答】解：∵函数f（x）=ax-1+4；其中a＞0，a≠1；

令x-1=0，可得x=1，ax-1=1；

∴f（x）=1+4=5；

∴点P的坐标为（1；5）；

故答案为：√14、√【分析】【分析】根据子集的概念，判断A的所有元素是否为B的元素，是便说明A是B的子集，否则A不是B的子集．【解析】【解答】解：（1）1；3，5∈B，∴集合A是集合B的子集；

（2）5∈A；而5∉B，∴A不是B的子集；

（3）B=∅；∴A不是B的子集；

（4）A；B两集合的元素相同，A=B，∴A是B的子集．

故答案为：√，×，×，√．15、×【分析】【分析】根据奇函数的定义进行判断即可得到答案．【解析】【解答】解：∵x∈[0；2π]，定义域不关于原点对称；

故函数y=sinx不是奇函数；

故答案为：×16、√【分析】【分析】已知函数f（x）=ax-1+4，根据指数函数的性质，求出其过的定点．【解析】【解答】解：∵函数f（x）=ax-1+4；其中a＞0，a≠1；

令x-1=0，可得x=1，ax-1=1；

∴f（x）=1+4=5；

∴点P的坐标为（1；5）；

故答案为：√17、×【分析】【分析】判断5与集合A的关系即可．【解析】【解答】解：由3k-2=5得，3k=7，解得k=；

所以5∉Z；所以5∈A错误．

故答案为：×18、×【分析】【分析】根据空集的性质，分析可得空集是其本身的子集，即可得答案．【解析】【解答】解：根据题意；空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集；

即空集是其本身的子集；则原命题错误；

故答案为：×．19、×【分析】【分析】特殊集合∅只有一个子集，故任一集合必有两个或两个以上子集错误．【解析】【解答】解：∅表示不含任何元素；∅只有本身一个子集，故错误．

故答案为：×．20、√【分析】【分析】根据奇函数的定义即可作出判断．【解析】【解答】解：当b=0时；f（x）=（2k+1）x；

定义域为R关于原点对称；

且f（-x）=-（2k+1）x=-f（x）；

所以函数f（x）为R上的奇函数．

故答案为：√．四、解答题(共4题，共20分)21、略

【分析】【分析】通过对an+1=6an-1-an（n≥2）变形可知an+1+3an=2（an+3an-1）（n≥2），进而数列{an+3an-1}是以9为首项、2为公比的等比数列，从而an+3an-1=9•2n-2，对其变形可知an-9•2n-1=-3（an-1-•2n-2），进而数列{an-•2n-1}是以为首项、-3为公比的等比数列，计算即得结论．【解析】【解答】解：∵an+1=6an-1-an（n≥2）；

∴an+1+3an=2（an+3an-1）（n≥2）；

又∵a2+3a1=3+3•2=9；

∴数列{an+3an-1}是以9为首项；2为公比的等比数列；

∴an+3an-1=9•2n-2；

∴an-•2n-1=-3（an-1-•2n-2）；

又∵a1-=2-=；

∴数列{an-•2n-1}是以为首项；-3为公比的等比数列；

∴an-•2n-1=•（-3）n-1；

∴an=•2n-1+•（-3）n-1；

又∵a1=2、a2=3满足上式；

∴an=•2n-1+•（-3）n-1．22、略

【分析】【分析】（Ⅰ）先化简函数的解析式；进而求出最小正周期；

（Ⅱ）（i）先求出每一步函数变换的函数解析式；再根据g（x）的最大值为2，容易求出a的值，然后进而写出g（x）的解析式；

（ii）就是要证明存在无穷多个互不相同的正整数x0，使得10sinx0-8＞0，即sinx0，由＜知，存在0＜α0＜，使得sinα0=

由正弦函数的性质当x∈（2kπ+α0，2kπ+π-α0）（k∈Z）时，均有sinx，即可证明．【解析】【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=10sincos+10cos2=5sinx+5cosx+5=10sin（x+）+5；

∴所求函数f（x）的最小正周期T=2π；

（Ⅱ）（i）将函数f（x）的图象向右平移个单位长度后得到y=10sinx+5的图象；

再向下平移a（a＞0）个单位长度后得到函数g（x）=10sinx+5-a的图象；

∵函数g（x）的最大值为2；∴10+5-a=2，解得a=13；

∴函数g（x）=10sinx-8．

（ii）要证明存在无穷多个互不相同的正整数x0，使得g（x0）＞0；

就是要证明存在无穷多个互不相同的正整数x0，使得10sinx0-8＞0，即sinx0；

由＜知，存在0＜α0＜，使得sinα0=；

由正弦函数的性质可知，当x∈（α0，π-α0）时，均有sinx；

因为y=sinx的周期为2π，所以当x∈（2kπ+α0，2kπ+π-α0）；

（k∈Z）时，均有sinx．

因为对任意的整数k，（2kπ+π-α0）-（2kπ+α0）=π-2α0＞＞1；

所以对任意的正整数k，都存在正整数xk∈（2kπ+α0，2kπ+π-α0），使得sinxk；

即存在无穷多个互不相同的正整数x0，使得g（x0）＞0．23、略

【分析】【分析】（1）由已知得η=4或η=5．当η=4时，=，当η=5时，=；由η=4与η=5为互斥事件，能求出事件A发生的概率．

（2）从该小学任选两名教职工，用ξ表示这两人请假次数之差的绝对值，则ξ的可能取值分别是0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和数学期望．【解析】【解答】解：（1）函数f（x）=x2-ηx-1过（0；-1）点，在区间（4，6）上有且只有一个零点；

则必有，即；

解得；

所以；η=4或η=5．（3分）

当η=4时，=；

当η=5时，=；（5分）

η=4与η=5为互斥事件；

由互斥事件的概率公式，得事件A发生的概率（6分）

（2）从该小学任选两名教职工；用ξ表示这两人请假次数之差的绝对值；

则ξ的可能取值分别是0；1，2，3；

P（ξ=0）==；

P（ξ=1）==；

P（ξ=2）==；

P（ξ=3）==；（10分）

从而ξ的分布列：

。ξ0123Pξ数学期望：Eξ==．（12分）24、略

【分析】【分析】令F（x）=f（x）+f（-x），G（x）=f（x）-f（-x），其定义域为R，利用函数的奇偶性的定义即可判断出．【解析】【解答】证明：令F（x）=f（x）+f（-x）；G（x）=f（x）-f（-x）；

其定义域为R；

而F（-x）=f（-x）+f（x）=F（x）；G（-x）=f（-x）-f（x）=-G（x）；

∴函数F（x）是偶函数，G（x）是奇函数．五、计算题(共4题，共40分)25、略

【分析】【分析】（1）通过“差数列”的定义可知a1=2，利用累加法计算可知当n≥2时an=2n；进而可得结论；

（2）通过（1）及等比数列的求和公式可知Sn=2n+1-2，利用错位相减法计算可知数列{n•2n+1}的前n项和，进而利用分组求和法计算即得结论．【解析】【解答】解：（1）依题意，a1=2；

当n≥2时，an=（an-an-1）+（an-1-an-2）++（a2-a1）+a1

=2n-1+2n-2++2+2

=2+

=2n；

综上所述，an=2n；

（2）由（1）可知Sn==2n+1-2；

∴nSn=n•2n+1-2n；

记数列{n•2n+1}的前n项和为Tn；则。

Tn=1•22+2•23++n•2n+1；

2Tn=1•2