2024年沪科版高三数学下册月考试卷含答案

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2024年沪科版高三数学下册月考试卷含答案考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五六总分得分评卷人得分一、选择题(共9题，共18分)1、两条直线分别垂直于一个平面和与这个平面平行的一条直线，则这两条直线（）A.互相平行B.互相垂直C.异面D.位置关系不能确定2、在同一坐标系中，将曲线y=2sin3x变为曲线y=sinx的伸缩变换是（）A.B.C.D.3、点（1，2）到直线x=-2的距离是（）A.1B.2C.3D.44、已知向量=（cos，sin），=（cos，-sin），且x∈[0，]，若|+|=2•，则sin2x+tanx=（）A.-1B.0C.2D.-25、已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，双曲线-=1的渐近线与椭圆有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆的方程为（）A.+=1B.+=1C.+=1D.+=16、已知A（0，-1），B（2，2），C（4，-6），则在方向上的投影为（）A.B.C.D.7、已知棱长为1的正方体容器ABCD-A1B1C1D1，在棱AB，BB1以及BC1的中点处各有一个小孔E；F、G；若此容器可以任意放置，则该容器可装水的最大容积为（）

A.

B.

C.

D.

8、【题文】4名同学争夺三项冠军，冠军获得者的可能种数有（）A.43B.34C.D.9、设全集U={1,2,3,4,5,6,7,8}；集合A={1,2,3,5}，B={2,4,6}，则图中的阴影部分表示的集合为（）

A.{2}B.{4,6}C.{1,3,5}D.{4,6,7,8}评卷人得分二、填空题(共6题，共12分)10、向量=（-1，2）在=（3，4）方向上的投影等于____．11、已知扇形的圆心角为2，面积为4，则扇形的周长为____．12、数一数，三棱锥、三棱柱、四棱锥、四棱柱，正方体，正八面体等的几何体的面数（F），顶点数（V），棱数（E），由此归纳出一般的凸多面体的面数（F），顶点数（V），棱数（E）满足的关系为：____．13、a、b、c∈R，则下列命题为真命题的是____．

①若a＞b，则ac2＞bc2

②若ac2＞bc2，则a＞b

③若a＜b＜0，则a2＞ab＞b2

④若a＜b＜0，则＜．14、函数y=sin（2x-）的图象在（-π，π）上有____条对称轴．15、掷两颗骰子得两个数，若两数的差为d，则d∈{-2，-1，0，1，2}出现的概率的最大值为______（结果用最简分数表示）评卷人得分三、判断题(共7题，共14分)16、函数y=sinx，x∈[0，2π]是奇函数．____（判断对错）17、已知函数f（x）=4+ax-1的图象恒过定点p，则点p的坐标是（1，5）____．（判断对错）18、判断集合A是否为集合B的子集；若是打“√”，若不是打“×”．

（1）A={1，3，5}，B={1，2，3，4，5，6}．____；

（2）A={1，3，5}，B={1，3，6，9}．____；

（3）A={0}，B={x|x2+1=0}．____；

（4）A={a，b，c，d}，B={d，b，c，a}．____．19、函数y=sinx，x∈[0，2π]是奇函数．____（判断对错）20、已知函数f（x）=4+ax-1的图象恒过定点p，则点p的坐标是（1，5）____．（判断对错）21、已知A={x|x=3k-2，k∈Z}，则5∈A．____．22、任一集合必有两个或两个以上子集．____．评卷人得分四、作图题(共3题，共12分)23、已知函数f（x）=4cosxsin（x+）-1．

（Ⅰ）求f（x）的最小正周期及在区间[-，]上的最大值和最小值．

（Ⅱ）画出函数在[0，π]上的图象．24、若函数f（x）是定义在R上的偶函数，在（-∞，0]上为减函数，且f（2）=0，则使得f（x）＜0的x的取值范围是____．25、（1）利用“五点法”画出函数在长度为一个周期的闭区间的简图．

x________________________________________y____________________（2）说明该函数图象可由y=sinx（x∈R）的图象经过怎样平移和伸缩变换得到的．

评卷人得分五、解答题(共2题，共16分)26、为丰富市民的文化生活，市政府计划在一块半径为200m，圆心角为120°的扇形地上建造市民广场．规划设计如图：内接梯形ABCD区域为运动休闲区，其中A，B分别在半径OP，OQ上，C，D在圆弧上，CD∥AB；△OAB区域为文化展示区，AB长为m；其余空地为绿化区域；且CD长不得超过200m．

（1）试确定A；B的位置，使△OAB的周长最大？

（2）当△OAB的周长最大时；设∠DOC=2θ，试将运动休闲。

区ABCD的面积S表示为θ的函数，并求出S的最大值．27、大楼共有n层，现每层指派一人，共n个人集中到第k层开会试问如何确定k，能使各位参加会议人员上、下楼梯所走路程总和最小？（假设相邻两层楼梯长都一样）评卷人得分六、综合题(共3题，共21分)28、如图，斜三棱柱ABC-A1B1C1，已知侧面BB1C1C与底面ABC垂直且∠BCA=90°，∠B1BC=60°，BC=BB1=2，若二面角A-B1B-C为30°；

（Ⅰ）证明：面AA1C1C⊥平面BB1C1C及求AB1与平面AA1C1C所成角的正切值；

（Ⅱ）在平面AA1B1B内找一点P，使三棱锥P-BB1C为正三棱锥，并求此时的值．29、f（x）是定义在R上的偶函数，当x＜0时，xf′（x）-f（x）＜0且f（-4）=0，则不等式的解集为____．30、已知关于t的方程t2-2t+a=0的一个根为

（1）求方程的另一个根及实数a的值；

（2）是否存在实数m，使对x∈R时，不等式loga（x2+a）≥m2-2km+2k对k∈[-1，2]恒成立？若存在，试求出实数m的取值范围；若不存在，请说明理由．参考答案一、选择题(共9题，共18分)1、D【分析】【分析】由题意，画出图形，根据线面垂直的性质定理进行说明．【解析】【解答】解：由题意如图，已知直线a，b，c，a⊥α，c∥α，b⊥c；

则直线a，b的位置关系有平行；异面或者相交；

故选：D．2、B【分析】【分析】将曲线y=2sin3x变为曲线y=sinx（写成：y′=sinx′），横坐标变为原来的3倍，纵坐标变为原来的倍，故可得伸缩变换．【解析】【解答】解：将曲线y=2sin3x变为曲线y=sinx即y′=sinx′；

横坐标变为原来的3倍，纵坐标变为原来的倍；

将曲线y=2sin3x变为曲线y=sinx的伸缩变换是：；

故选B．3、C【分析】【分析】点（1，2）到直线x=-2的距离=1-（-2），即可得出．【解析】【解答】解：点（1；2）到直线x=-2的距离=1-（-2）=3．

故选：C4、B【分析】【分析】首先求出|+|和2•，然后利用两角和与差的三角函数公式、倍角公式等化简求值．【解析】【解答】解：因为向量=（cos，sin），=（cos，-sin），且x∈[0，]；

所以=（cos+cos，sin-sin），所以|+|===2cosx；

=coscos-sinsin=cos2x；

因为|+|=2•；

所以2cosx=2cos2x，所以2cosx=4cos2x-2，解得cosx=1或cosx=（舍去）；所以sinx=0；

所以sin2x+tanx=2sinxcosx+0=0；

故选B．5、D【分析】【分析】由题意，双曲线-=1的渐近线方程为y=±x，根据以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，可得（2，2）在椭圆C：+=1（a＞b＞0），利用e=，即可求得椭圆方程．【解析】【解答】解：由题意，双曲线-=1的渐近线方程为y=±x

∵以这四个交点为顶点的四边形的面积为16；故边长为4；

∴（2，2）在椭圆C：+=1（a＞b＞0）上。

∴；

∵e=，∴；

∴a2=4b2

∴a2=20，b2=5

∴椭圆方程为+=1．

故选D．6、B【分析】【分析】利用数量积运算和投影的意义即可得出．【解析】【解答】解：∵=（2，2）-（0，-1）=（2，3），=（4；-6）-（0，-1）=（4，-5）．

∴=2×4+3×（-5）=-7．

∴在方向上的投影===．

故选：B．7、D【分析】

以E，B1；G三点组成的平面去截正方体。

截去一个三棱锥。

其底面为△EBB1，面积S=a×1×=

高为h=1

截去一个三棱锥体积为V=S•h=••1=

当E，B1；G三点在同一水平面时，F点在水平面之上。

E；F，G三点都不漏水。

其可装水最大容积1-=

故选D

【解析】【答案】根据正方体的几何特征，我们选取过E，B1；G三点的平面去截正方体，根据棱锥的体积公式，易求出切下的小三棱锥的体积，进而求出剩下的即容器可装水的容积，进而得到答案．

8、A【分析】【解析】略【解析】【答案】A9、B【分析】【分析】由venn图可知阴影部分表示的集合为由已知故选B.二、填空题(共6题，共12分)10、略

【分析】【分析】根据向量的数量积定义得到向量的投影等于数量积除以向量的模．【解析】【解答】解：向量=（-1，2）在=（3，4）方向上的投影为==1；

故答案为：1．11、略

【分析】【分析】利用扇形的面积计算公式和弧长公式即可得出．【解析】【解答】解：∵扇形的圆心角为2，面积为4，∴4=，解得r=2．

∴扇形的周长=2r+αr=2×2+2×2=8．

故答案为：8．12、略

【分析】【分析】通过列举正方体、三棱柱、三棱锥的面数F、顶点数V和棱数E，得到规律：V+F-E=2，进而发现此公式对任意凸多面体都成立，由此得到本题的答案．【解析】【解答】解：凸多面体的面数为F；顶点数为V和棱数为E；举例如下。

①正方体：F=6；V=8，E=12，得V+F-E=8+6-12=2；

②三棱柱：F=5；V=6，E=9，得V+F-E=5+6-9=2；

③三棱锥：F=4；V=4，E=6，得V+F-E=4+4-6=2．

根据以上几个例子；猜想：凸多面体的面数F；顶点数V和棱数E满足如下关系：V+F-E=2

再通过举四棱锥；六棱柱、等等；发现上述公式都成立．

因此归纳出一般结论：V+F-E=2

故答案为：V+F-E=2．13、略

【分析】【分析】根据不等式的性质，分析当c=0时，①的结论不成立；根据ac2＞bc2，结合实数平方的非负性，可得c2＞0，结合不等式的性质，可判断②；根据不等式的性质，不等式两边同乘（除）一个正数，不等号方向不发生改变，根据不等式的性质，不等式两边同乘（除）一个负数，不等号方向发生改变，可判断③④．【解析】【解答】解：当c=0时，ac2=bc2；故①不成立；

若ac2＞bc2，则c2≠0，即c2＞0，则a＞b；故②成立；

若a＜b＜0，则a2＞ab且ab＞b2，故a2＞ab＞b2；故③成立；

若a＜b＜0，则ab＞0，故＜，即＞；故④不成立。

故②③为真命题。

故答案为：②③14、略

【分析】

由2x-=+kπ，k∈Z，求得对称轴方程为x=+k∈Z．

由-π＜+＜π，k∈Z，解得-＜k＜．

再由k∈Z；可得k=-2，-1，0，1，故对称轴有4条；

故答案为4．

【解析】【答案】不能在虚线上填答案．

由2x-=+kπ，k∈Z，求得对称轴方程为x=+k∈Z．再由-π＜+＜π；k∈Z，解得k的范围，结合k∈Z，可得k的值，从而得出结论．

15、略

【分析】解：掷两颗骰子得两个数；共有36种情况，d=-2，有4种情况，d=-1，有5种情况，d=0，有6种情况，d=1，有5种情况，d=2，有4种情况；

∴d∈{-2，-1，0，1，2}出现的概率的最大值为=．

故答案为．

掷两颗骰子得两个数；共有36种情况，d=-2，有4种情况，d=-1，有5种情况，d=0，有6种情况，d=1，有5种情况，d=2，有4种情况，即可求出d∈{-2，-1，0，1，2}出现的概率的最大值．

本题考查概率的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．【解析】三、判断题(共7题，共14分)16、×【分析】【分析】根据奇函数的定义进行判断即可得到答案．【解析】【解答】解：∵x∈[0；2π]，定义域不关于原点对称；

故函数y=sinx不是奇函数；

故答案为：×17、√【分析】【分析】已知函数f（x）=ax-1+4，根据指数函数的性质，求出其过的定点．【解析】【解答】解：∵函数f（x）=ax-1+4；其中a＞0，a≠1；

令x-1=0，可得x=1，ax-1=1；

∴f（x）=1+4=5；

∴点P的坐标为（1；5）；

故答案为：√18、√【分析】【分析】根据子集的概念，判断A的所有元素是否为B的元素，是便说明A是B的子集，否则A不是B的子集．【解析】【解答】解：（1）1；3，5∈B，∴集合A是集合B的子集；

（2）5∈A；而5∉B，∴A不是B的子集；

（3）B=∅；∴A不是B的子集；

（4）A；B两集合的元素相同，A=B，∴A是B的子集．

故答案为：√，×，×，√．19、×【分析】【分析】根据奇函数的定义进行判断即可得到答案．【解析】【解答】解：∵x∈[0；2π]，定义域不关于原点对称；

故函数y=sinx不是奇函数；

故答案为：×20、√【分析】【分析】已知函数f（x）=ax-1+4，根据指数函数的性质，求出其过的定点．【解析】【解答】解：∵函数f（x）=ax-1+4；其中a＞0，a≠1；

令x-1=0，可得x=1，ax-1=1；

∴f（x）=1+4=5；

∴点P的坐标为（1；5）；

故答案为：√21、×【分析】【分析】判断5与集合A的关系即可．【解析】【解答】解：由3k-2=5得，3k=7，解得k=；

所以5∉Z；所以5∈A错误．

故答案为：×22、×【分析】【分析】特殊集合∅只有一个子集，故任一集合必有两个或两个以上子集错误．【解析】【解答】解：∅表示不含任何元素；∅只有本身一个子集，故错误．

故答案为：×．四、作图题(共3题，共12分)23、略

【分析】【分析】（Ⅰ）化简可得f（x）=sin2x+cos2x，可得f（x）的最小正周期为π，由-≤x≤，可得-≤2x+≤于是可求在区间[-，]上的最大值和最小值．

（Ⅱ）根据五点作图法即可画出函数在[0，π]上的图象．【解析】【解答】解：（Ⅰ）因为f（x）=4cosxsin（x+）-1

=4cosx（sinx+cosx）-1

=sin2x+2cos2x-1

=sin2x+cos2x

=2sin（2x+）；

所以f（x）的最小正周期为π；

因为-≤x≤，所以-≤2x+≤；

于是，当2x+=，即x=时；f（x）取得最大值2；

当2x+=-，即x=-时；f（x）取得最小值-1．

（Ⅱ）函数在[0，π]上的图象如下：24、（-2，2）【分析】【分析】可根据题目给定的条件，用特殊图象法，画出符合所有条件的函数图象，易得不等式的解集．【解析】【解答】解：根据题意：可作满足条件的函数图象：

如图：f（x）＜0的x的取值范围是（-2；2）

故答案为：（-2，2）25、-0π2π020-20【分析】【分析】（1）先列表如图确定五点的坐标，后描点并画图，利用“五点法”画出函数在长度为一个周期的闭区间的简图．

（2）依据y=sinx的图象上所有的点向左平移个单位长度，y=sin（x+）的图象；

再把所得图象的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到y=sin（x+）的图象；

再把所得图象的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），得到y=2sin（x+）的图象．【解析】【解答】解：（1）列表如下：x-0π2πy020-20函数在长度为一个周期的闭区间的简图如下：

（2）把y=sinx的图象上所有的点向左平移个单位长度，y=sin（x+）的图象；

再把所得图象的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到y=sin（x+）的图象；

再把所得图象的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），得到y=2sin（x+）的图象．五、解答题(共2题，共16分)26、略

【分析】【分析】（1）设OA=m；OB=n，m，n∈（0，200]，在△OAB中，利用余弦定理，结合基本不等式，即可得出结论；

（2）利用梯形的面积公式，结合导数，确定函数的单调性，即可求出S的最大值．【解析】【解答】解：（1）设OA=m；OB=n，m，n∈（0，200]；

在△OAB中，；

即；2分。

所以，；4分。

所以m+n≤100；当且仅当m=n=50时，m+n取得最大值，此时△OAB周长取得最大值．

答：当OA；OB都为50m时；△OAB的周长最大．6分。

（2）当△AOB的周长最大时；梯形ACBD为等腰梯形．

过O作OF⊥CD交CD于F；交AB于E，则E；F分别为AB，CD的中点；

所以∠DOE=θ，由CD≤200，得．8分。

在△ODF中；DF=200sinθ，OF=200cosθ．

又在△AOE中，；故EF=200cosθ-25.10分。

所以，

==，．12分。

令，，，；

又y=及y=cos2θ在上均为单调递减函数；

故f'（θ）在上为单调递减函数．

因＞0，故f'（θ）＞0在上恒成立；

于是，f（θ）在上为单调递增函数．14分。

所以当时，f（θ）有最大值，此时S有最大值为．

答：当时，梯形ABCD面积有最大值，且最大值为m2．16分．27、略

【分析】【分析】设相邻两层楼梯长为a，则问题转化为下列和式S的最小值的探求：S=S（k）=a[1+2+3+⋅⋅⋅+（k-1）]+a[1+2+⋅⋅⋅+（n-k）]，分类讨论，即可得到结论．【解析】【解答】解：设相邻两层楼梯长为a；则问题转化为下列和式S的最小值的探求：

S=S（k）=a[1+2+3+⋅⋅⋅+（k-1）]+a[1+2+⋅⋅⋅+（n-k）]

=a[k2-（n+1）k+（n2+n）]

目标函数S（k）为k的二次函数；且a＞0；

故当n为奇数时，取k=，S最小；当n为偶数时，取k=或，S最小．六、综合题(共3题，共21分)28、略

【分析】【分析】（1）根据条件和线面垂直的判定定理得：AC⊥面BB1C1C，再由面面垂直的判断定理证明出面BB1C1C⊥面AA1C1C，再根据条件和线面垂直、面面垂直分别做出二面角A-BB1-C的平面角、AB1与面AA1C1C所成的线面角；并分别证明和计算求解；

（2）根据正三棱锥的定义和正三角形重心的性质，找到点P，再由条件求出PP1和点E到平面AA1C1C的距离，代入三棱锥的体积公式求出两个棱锥的体积比值．【解析】【解答】解：（Ⅰ）∵面BB1C1C⊥面ABC，且面BB1C1C∩面ABC=BC；AC⊥BC；

∴AC⊥面BB1C1C，

则面BB1C1C⊥面AA1C1C（3分）

取BB1中点E；连接CE，AE；

在△CBB1中，BB1=CB=2，∠CBB1=60°

∴△CBB1是正三角形，∴CE⊥BB1；

又∵AC⊥面BB1C1C，且BB1⊂面BB1C1C；

∴BB1⊥AE，即∠CEA即为二面角A-BB1-C的平面角为30°；

∵AC⊥面BB1C1C；

∴AC⊥CE，在Rt△ECA中，CE=；