2023-2024学年八年级数学下册单元速记·巧练（苏科版）第十二章 二次根式（复合二次根式化简和应用拓展）（解析版）

第十二章二次根式复合二次根式化简典例1阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数．形如，如果你能找到两个数、，使，且，则可变形为．从而达到化去一层根号的目的．例如化简，且，．(1)填上适当的数：______；(2)当时，化简．【答案】(1)，，(2)【分析】本题主要考查了二次根式的性质与化简，正确应用完全平方公式，掌握完全平方公式的特征是解题的关键．（1）将8写成，将写成，然后将被开方数变形成完全平方公式的形式，即可得出答案．（2）将x写成，然后将被开方数变形成完全平方公式的形式，即可得出答案．【详解】（1）解：，故答案为：，，；（2），，，，，．典例2阅读材料：小明在学习了二次根式后，发现一些含有根号的式子可以写成另一个式子的平方，如．这样就可以将进行化简，即：．善于思考的小明进行了以下探索：对于，若能找到两个数m和n，使且，则可变为，即变成，从而使得．（其中a，b，m，n均为正整数）例如：∵，∴．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：(1)化简；(2)化简；(3)若，求a的值．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）仿照题中的计算方法以及完全平方公式求解即可；（2）仿照题中的计算方法以及完全平方公式求解即可；（3）仿照题中的计算方法以及完全平方公式求解即可．【详解】（1）解：∵，∴；（2）解：∵，∴；（3）解：∵，∴，则．【点睛】本题考查二次根式的化简、完全平方公式，理解题中计算方法，利用类比思想求解是解答的关键．跟踪训练1先阅读材料，然后回答问题．(1)小张同学在研究二次根式的化简时，遇到了一个问题：化简．经过思考①，②，③，④，在上述化简过程中，第步出现了错误，化简的正确结果为；(2)请根据你从上述材料中得到的启发，化简：①②【答案】(1)④，(2)①；②【分析】本题考查了二次根式的性质和化简，掌握被开方数化成完全平方的形式，利用二次根式的性质进行化简是解题的关键．（1）根据二次根式的性质即可求解；（2）根据（1）中的材料化简即可．【详解】（1）解：①，②，③，④，在上述化简过程中，第④步出现了错误，故答案为：④，；（2）解：①原式；②原式．跟踪训练2阅读材料：小李同学在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如．善于思考的小李同学进行了以下探索：设（其中a、b、m、n均为整数），则有．∴，．这样小李同学就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法．请你仿照小李同学的方法探索并解决下列问题：(1)当a、b、m、n均为正整数时，若，用含m、n的式子分别表示a、b，得：______，______；(2)若且a、m、n均为正整数，求a的值．(3)化简：．【答案】(1)(2)或(3)【分析】（1）利用完全平方公式将展开即可求解；（2）由（1）中所得结论结合a、m、n均为正整数，即可求解；（3），据此即可求解．【详解】（1）解：∵∴．故答案为：．（2）解：∵∴，由（1）中结论可知：，∴，∵m、n均为正整数，∴或，当时，；当时，；∴a的值为或．（3）解：，∴．【点睛】本题考查复合二次根式的化简．正确理解题意是解题关键．二次根式应用问题典例3如图，在长方形中无重叠放入面积分别为和的两张正方形纸片则图中空白部分的面积为（

）．A． B． C． D．【答案】A【分析】本题主要考查二次根式的应用，算术平方根的实际应用，根据正方形的面积求出两个正方形的边长即可得出结果．【详解】解：∵两张正方形纸片面积分别为和，∴它们的边长分别为，，∴，，∴空白部分的面积故选：A．典例4【阅读下列材料】：若，，则，，∴．（注：）∵，，∴．“”称为“基本不等式”，利用它可求一些代数式的最值及解决一些实际问题．（a、b为正数；积定和最小；和定积最大；当时，取等号．）【例】：若，，，求的最小值．解：∵，，

∴，∴．∴时，的最小值为8．【解决问题】(1)用篱笆围成一个面积为的长方形菜园，当这个长方形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长是多少；(2)用一段长为的篱笆围成一个长方形菜园，当这个长方形的边长是多少时，菜园面积最大？最大面积是多少；(3)如图，四边形的对角线相交于点O，、的面积分别为2和3，求四边形面积的最小值．【答案】(1)这个长方形的长、宽分别为米，米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是米；(2)菜园的长为50m，宽为m时，面积最大为；(3)四边形面积的最小值为．【分析】本题主要考查完全平方公式的应用，二次根式的应用．（1）设这个长方形垂直于墙的一边的长为x米，则平行于墙的一边为米，则，，所以所用篱笆的长为米，再根据材料提供的信息求出的最小值即可；（2）设垂直于墙的一边为xm，利用矩形的面积公式得到菜园的面积关于x的关系式，再利用非负数的性质求解即可；（3）设点B到的距离为，点D到的距离为，又、的面积分别是2和3，则，，，从而求得，然后根据材料提供的信息求出最小值即可．【详解】（1）解：设这个长方形垂直于墙的一边的长为x米，则平行于墙的一边为米，则，∴，∴所用篱笆的长为米，，∵当且仅当时，的值最小，最小值为，∴或（舍去）．∴这个长方形的长、宽分别为米，米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是米；（2）解：设垂直于墙的一边为xm，则平行于墙的一边长为m，∴菜园的面积，又∵，∴当时，菜园的面积有最大值为1250，答：菜园的长为50m，宽为m时，面积最大为；（3）解：设点B到的距离为，点D到的距离为，又∵、的面积分别是2和3，∴，，∴，∴∵．∴当且仅当时，取等号，即的最小值为，∴四边形面积的最小值为．跟踪训练3如图，长方形内有两个相邻的正方形：正方形和正方形，面积分别为1和2，那么图中阴影部分的面积为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查求阴影部分的面积，二次根式的混合运算．正确的识图，确定长方形的长和宽，是解题的关键．分别求出两个正方形的边长，进而得到长方形的长和宽，利用长方形的面积减去两个正方形的面积即可得解．【详解】解：∵两个正方形的面积分别为1和2，∴它们的边长分别为：和，由图可知，长方形的长为两个正方形的边长之和，即为，宽为大正方形的边长，即为，∴阴影部分的面积为；故选：B．跟踪训练4阅读理解：由得，；如果两个正数，，即，，则有下面的不等式：，当且仅当时，取到等号．例如：已知，求式子的最小值．解：令，，则由，得，当且仅当时，即正数时，式子有最小值，最小值为4．请根据上面材料回答下列问题：(1)当，式子的最小值为；(2)如图1，用篱笆围一个面积为50平方米的长方形花园，使这个长方形花园的一边靠墙（墙长20米，篱笆周长指不靠墙的三边），这个长方形的长、宽各为多少米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少米？

(3)如图2，四边形的对角线相交于点，的面积分别是6和12，求四边形面积的最小值．

【答案】(1)6(2)20米(3)【分析】本题主要考查完全平方公式的应用，二次根式的应用，阅读材料，材料阅读题是中学阶段所学习的重要内容，体会材料中的数学思想与方法，学会用新方法去解决数学中的问题，对学生的要求较高，是一道拔高型的综合题目．（1）根据材料提供的信息解答即可．（2）设这个长方形垂直于墙的一边的长为x米，则平行于墙的一边为米，则，，所以所用篱笆的长为米，再根据材料提供的信息求出的最小值即可．（3）设点B到的距离为，点D到的距离为，又、的面积分别是6和12，则，，，从而求得，然后根据材料提供的信息求出最小值即可．【详解】（1）解：令，，则由，得，当且仅当时，即正数时，式子有最小值，最小值为6．（2）解：设这个长方形垂直于墙的一边的长为x米，则平行于墙的一边为米，则，∴，∴所用篱笆的长为米，∵当且仅当时，的值最小，最小值为20，∴或（舍去）．∴这个长方形的长、宽分别为10米，5米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是20米．（3）解：设点B到的距离为，点D到的距离为，又∵、的面积分别是6和12，∴，，∴，∴∵．∴当且仅当时，取等号，即的最小值为，∴四边形面积的最小值为．1、如图，将长、宽的长方形剪拼成一个正方形，则正方形边长为．【答案】【分析】本题主要考查图形的拼接，根据正方形的面积等于长方形的面积进行计算即可．【详解】解：∵长方形的长、宽∴长方形的面积为：，∵正方形是由这样的长方形拼接面成的，∴正方形的面积为，因此正方形的边长为，故答案为：．2．我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了下面的公式：如果一个三角形的三边长分别为，则该三角形的面积为．已知的三边长分别为，则的面积是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查了二次根式的应用，根据三角形的面积公式可求得结果，准确化简二次根式是解题的关键．【详解】解：∵的三边长分别为，∴，故选：C．3、阅读下列材料，解决问题：①∵∴∴②∵∴∴……由此可知，部分含有双重二次根式的式子可以运用以上方法进行化简．(1)化简：；(2)现有长度分别为，，的三条线段，以这三条线段的长为边能否构成三角形？请说明理由.【答案】(1)(2)能，理由见解析【分析】（1）根据例题以及二次根式的性质，进行计算即可求解；（2）先化简双重二次根式，然后根据三角形三边关系即可求解．【详解】（1）解：∵∴；（2）能，理由如下，∵∴∵，∵∴∵∴即∴长度分别为，，的三条线段，以这三条线段的长为边能构成三角形【点睛】本题考查了二次根式的应用，三角形三边关系定理，掌握二次根式的运算法则、完全平方公式以及三角形三边关系定理是解题的关键．4、先阅读材料，然后回答问题．（1）小张同学在研究二次根式的化简时，遇到了一个问题：化简经过思考，小张解决这个问题的过程如下：①②③④在上述化简过程中，第________步出现了错误，化简的正确结果为________；（2）化简；（3）请根据你从上述材料中得到的启发，化简：．【答案】（1）④，；（2）；（3）【分析】（1）第④步出现了错误，；（2）类比例题，将9分别拆为两个二次根式的平方的和，再用完全平方公式变形，计算求值即可；（3）类比例题，将8分别拆为两个二次根式的平方的和，再用完全平方公式变形，计算求值即可．【详解】解：（1）第④步出现了错误，正确解答如下：；（2）；（3）．【点睛】本题考查了二次根式的化简和完全平方公式的运用，能够将数据拆为正确的完全平方公式是解题的关键．5、阅读材料：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么这个三角形的面积S=．这个公式叫“海伦公式”，它是利用三角形三条边的边长直接求三角形面积的公式．中国的秦九韶也得出了类似的公式，称三斜求积术，故这个公式又被称为“海伦—秦九韶公式”完成下列问题：如图，在中，，，．(1)求的面积；(2)设边上的高为，边上的高为，求的值．【答案】(1)(2)【分析】此题主要考查三角形面积的计算，二次根式的运算，解题的关键是根据题意及所学的三角形的面积公式进行求解．（1）先计算，再代入海伦公式即可求解；（2）根据三角形的面积求法即可求出，，即可计算2的值．【详解】（1）解：根据题意知，所以，∴的面积为；（2）∵，∴∴，；∴．6、阅读材料：已知a，b为非负实数，，，当且仅当“”时，等号成立．这个结论就是著名的“均值不等式”，“均值不等式”在一类最值问题中有着广泛的应用．例：已知，求代数式最小值．解：令，，则由，得．当且仅当，即时，代数式取到最小值，最小值为4．根据以上材料解答下列问题：(1)已知，则当______时，代数式到最小值，最小值为______；(2)用篱笆围一个面积为的矩形花园，则当这个矩形花园的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短？最短的篱笆的长度是多少米？(3)已知，则自变量x取何值时，代数式取到最大值？最大值为多少？(4)若x为任意实数，代数式的值为m，则m范围为______．【答案】(1)，(2)这个矩形花园的长、宽均为10米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆的长度是40米(3)自变量时，函数取最大值，最大值为(4)【分析】本题主要考查了“均值不等式”的应用，解题关键是理解例题，借助例题求解．（1）根据例题，可得，故当且仅当时，函数取到最小值，最小值为，即可获得答案；（2）设这个矩形的长为米，篱笆周长为米，可得函数解析式为，根据例题，即可获得答案；（3）将原函数变形为，由取最小值，即可确定自变量取何值时，函数取到最大值，并求得最大值．（4）分，三种情况进行讨论求解即可．【详解】（1）解：∵，∴，当且仅