第08讲-利用导数研究方程的根(学生版)

第08讲利用导数研究方程的根（核心考点精讲精练）1.4年真题考点分布4年考情考题示例考点分析关联考点2022年新I卷，第22题,12分利用导数研究方程的根由导数求函数的最值(含参)2021年新Ⅱ卷，第21题,12分利用导数研究方程的根求离散型随机查量的均值均值的实际应用2.命题规律及备考策略【命题规律】本节内容是新高考卷的必考内容，设题稳定，难度较大，分值为12分【备考策略】1能用导数证明函数的单调性2能结合方程的根的定义用导数解决方程的根的问题【命题预测】导数的综合应用是高考考查的重点内容,也是高考压轴题之一近几年高考命题的趋势，是稳中求变、变中求新、新中求活，纵观近几年的高考题,导数的综合应用题考查多个核心素养以及综合应用能力,有一定的难度,一般放在解答题的最后位置，对数学抽象、数学运算、逻辑推理等多个数学学科的核心素养都有较深入的考查，需综合复习知识讲解利用导数研究函数方程的根的方法(1)通过最值(极值)判断零点个数（方程的根）的方法借助导数研究函数的单调性、极值后，通过极值的正负，函数单调性判断函数图象走势，从而判断零点个数（方程的根）或者通过零点个数（方程的根）求参数范围.(2)数形结合法求解零点（方程的根）对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性，画出草图数形结合确定其中参数的范围.(3)构造函数法研究函数零点（方程的根）①根据条件构造某个函数，利用导数确定函数的单调区间及极值点，根据函数零点的个数（方程的根）寻找函数在给定区间的极值以及区间端点的函数值与0的关系，从而求解.②解决此类问题的关键是将函数零点、方程的根、曲线交点相互转化，突出导数的工具作用，体现转化与化归的思想方法．考点一、利用导数研究方程的根1．（2021·全国·统考高考真题）已知且，函数．（1）当时，求的单调区间；（2）若曲线与直线有且仅有两个交点，求a的取值范围．2．（2022·全国·统考高考真题）已知函数和有相同的最小值．(1)求a；(2)证明：存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．3．（2022·浙江·统考高考真题）设函数．(1)求的单调区间；(2)已知，曲线上不同的三点处的切线都经过点．证明：（ⅰ）若，则；（ⅱ）若，则．（注：是自然对数的底数）1．（2023·湖南·校联考二模）已知函数．(1)求的最小值；(2)证明：方程有三个不等实根．2．（2023·吉林长春·统考模拟预测）函数．(1)求证：；(2)若方程恰有两个根，求证：．3．（2023·云南·校联考模拟预测）已知函数，.(1)求函数的极值；(2)请在下列①②中选择一个作答（注意：若选两个分别作答则按选①给分）.①若恒成立，求实数的取值范围；②若关于的方程有两个实根，求实数的取值范围.4．（2023·安徽阜阳·安徽省临泉第一中学校考三模）已知函数，为的导函数.(1)讨论的单调性；(2)当时，有且只有两根，（）.①若，求实数a的取值范围；②证明：.5．（2023·重庆·统考模拟预测）已知函数和在同一处取得相同的最大值．(1)求实数a；(2)设直线与两条曲线和共有四个不同的交点，其横坐标分别为（），证明：．【基础过关】1．（2023·江西南昌·统考一模）已知函数．(1)若时，函数有2个极值点，求的取值范围；(2)若，，方程有几个解？2．（2023·江西宜春·校联考模拟预测）设，，且a、b为函数的极值点(1)判断函数在区间上的单调性，并证明你的结论；(2)若曲线在处的切线斜率为，且方程有两个不等的实根，求实数m的取值范围.3．（2023·河南·校联考模拟预测）已知函数，的导函数为．(1)讨论的极值点的个数；(2)当时，方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围．4．（2023·广东广州·广州市从化区从化中学校考模拟预测）已知函数.(1)求的单调区间；(2)若关于的方程有两个不相等的实数根，记较小的实数根为，求证：.5．（2023·四川成都·统考二模）已知函数，其中，．(1)当时，求函数的单调区间；(2)若方程恰有两个不相等的实数根，求的取值范围．【能力提升】1．（2023·广西桂林·统考一模）已知函数.(1)当时，求函数的最大值；(2)若关于x的方1有两个不同的实根，求实数a的取值范围.2．（2023·浙江·校联考模拟预测）已知函数，为其导函数.(1)若，求的单调区间；(2)若关于的方程有两个不相等的实根，求实数的取值范围.3．（2023·陕西宝鸡·统考一模）已知函数.(1)求曲线在点处的切线方程；(2)若函数的图像与的图像最多有一个公共点，求实数的取值范围.4．（2023·全国·模拟预测）已知函数，．(1)证明：；(2)若存在直线，其与两条曲线和共有四个不同的交点，设从左到右的四个交点的横坐标分别为，，，，证明：．5．（2023·河南·长葛市第一高级中学统考模拟预测）设函数.(1)求函数的单调区间；(2)若方程有两个不相等的实数根，，证明：.6．（2023·江苏连云港·统考模拟预测）已知函数．(1)求函数在区间上的最大值；(2)若关于的方程有两个不相等的实数根，求实数的取值范围．7．（2023·山西阳泉·统考二模）已知函数在点处的切线方程为，(1)求的值域；(2)若，且，，证明：①；②.8．（2023·山东济宁·统考二模）已知函数为实数．(1)若恒成立，求实数的取值范围;(2)若方程恰有3个不同的实数根，求实数的值9．（2023·湖南娄底·统考模拟预测）已知函数（其中），．(1)证明：函数在区间上单调递增；(2)判断方程在R上的实根个数．10．（2023·河北衡水·河北枣强中学校考模拟预测）已知函数和有相同的最小值．(1)求a；(2)证明：存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．【真题感知】1．（·全国·高考真题）已知函数.证明：（1）存在唯一的极值点；（2）有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数.2．（福建·高考真题）已知函数（1）求在区间上的最大值