经济数学-线性代数课件：线性方程组

线性方程组第一节线性方程组的解一、线性方程组有解的判定条件定理3.1.1

n元线性非齐次方程组即并且①当时，有惟一解

②当时，有无穷解（1）无解的充分必要条件是（2）有解的充分必要条件是证明：设（1）若，则会得到同解方程组出现矛盾，因此原方程组无解（2）若，则得到因此原方程组有惟一解（2）若，则得到同解方程组称为自由未知量，个数是个。

定理3.1.1可以简单记为：

n元线性方程组有解的充分必要条件是，并且自由未知量的个数为个.例3.1.1

求解非齐次线性方程组解对增广矩阵B进行初等变换故方程组无解例3.1.2

求解非齐次线性方程组解对增广矩阵B进行初等变换故方程组有解，且有4－2＝2个自由未知量同解方程组为取为自由未知量,得行最简矩阵所以方程组的通解为令，则即有无穷解的充分必要条件是并且自由未知量的个数为个齐次线性方程组只有零解定理3.1.2

n元线性齐次方程组例3.1.3

解线性方程组解故有无穷解，并且自由未知量的个数为4－2＝2个因此得同解方程组为取为自由未知量,得原方程组通解为令，则例3.1.4

设有线性方程组问取何值时，①有惟一解？②无解？③有无穷解？并求其通解。解:（1）当且时，故方程组有唯一解（2）当时，故方程组无解。（3）当时，故方程组通解为：方程组解有无穷组解练习解线性方程组解故有无穷解，并且自由未知量的个数为5－2＝3个因此得令，则练习解线性方程组答案同解方程组为原方程组同解为二、小结有无穷多解.Û()()nBRAR<=齐次线性方程组只有零解有非零解一定注意：n指的是未知量的个数或系数矩阵A的列数非齐次线性方程组Û无解Û()()nBRAR==唯一解第二节向量组及其线性组合3.2.1、向量组与矩阵定义3.2.1

n个有次序的数所组成的数组称为n维向量.记为：或

n维向量写成一行，称为行向量，也就是行矩阵，通常用等表示。

n维向量写成一列，称为列向量，也就是列矩阵，通常用等表示。注意

１.行向量和列向量总被看作是两个不同的向量；

２.行向量和列向量都按照矩阵的运算法则进行运算；

３.当没有明确说明是行向量还是列向量时，都当作列向量。

若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合叫做向量组。例如是一个三维向量组。是一个四维向量组。向量组与矩阵的关系向量组称为矩阵的列向量组。记为：向量组

：这时，矩阵也可记为：向量组,,…，称为矩阵A的行向量组。3.2.2线性组合与线性表示定义3.2.4（1）线性组合就是向量组A的一个线性组合。例如定义3.2.4（2）给定向量组和另一个向量，如果存在一组数，使则称向量可由向量组线性表示。显然，零向量可由任何向量组线性表示。定理3.2.1：向量可由向量组线性表示的充分必要条件是矩阵的秩等于矩阵的秩。例3.2.5设判断：能否由向量组线性表示，若能求出线性表达式解：由于，所以能由线性表示。设同解方程组为取为自由未知量，得令取任意常数，因此有练习1设证明：可由线性表示，并求表达式而不可由线性表示。答案：练习2设且可由线性表示，求解：因此3.2.3向量组的等价设有两个向量组和若向量组中的每一个向量都可由向量组线性表示，则称向量组能由向量组线性表示。定理3.2.3向量组能由向量组线性表示的充分必要条件是定义3.2.5若向量组和向量组能够相互线性表示，则称这两个向量组等价。向量组等价也有以下三个性质：（1）反身性；（2）对称性；（3）传递性推论：3.2.1向量组和向量组等价的充分必要条件是例3.2.6设证明：与等价证：显然，又故所以，和等价。四、小结（1）可由线性表示向量方程有解（2）向量组可由向量组线性表示（3）向量组与向量组等价第三节线性相关性概念3.3.1线性相关性的概念注意1.如果向量组线性无关，则只有当时，才有：定义3.3.1则称向量组A是线性相关的，否则称它线性无关。（零向量）5.两个向量相关的充要条件是这两个向量对应的分量成比例.例3.3.2已知向量组线性无关，证明：向量组也线性无关。证：设这就说明无关。故方程组只有零解，因此

定理3.3.1

向量组（当时）线性相关的充分必要条件是中至少有一个向量可由其余个向量线性表示。证明充分性即有

设中有一个向量（比如）能由其余向量线性表示。故因这个数不全为0，故线性相关。必要性设线性相关，则有不全为0的数使因中至少有一个不为0，不妨设则有即能由其余向量线性表示。

推论3.3.1

向量组（当时）线性无关的充分必要条件是其中任何一个向量都不能由其余的向量线性表示.例如：由于，所以相关向量组线性相关方程组：有非零解3.3.2线性相关性的判定定理3.3.2向量组：线性相关的充要条件是向量组：线性无关的充要条件是因此n维单位坐标向量组是线性无关的.称为n维单位坐标向量组.解：向量组线性相关；向量组线性无关；练习设是一组n维向量，已知n维单位坐标向量组能由它们线性表示，证明：线性无关证：只须证明。一方面，另一方面，由于能由线性表示，因此故记住：n+1个n维向量必相关。必相关推论3.3.1m个n维向量组成的向量组，当维数n小于向量个数m时一定线性相关.定理3.3.3设向量组线性无关，而向量组线性相关，则向量必能由向量组线性表示，且表示式惟一。无关，相关，定理3.3.4若向量组线性相关，则向量组也线性相关；反之，若向量组线性无关，则向量组也线性无关。显然相关，故B也显然相关。

该定理可以推广为：一个向量组若部分相关，则整体也相关；若整体无关，则部分也无关。显然无关，也无关。若向量组无关，则向量组也无关；反之，若相关，则也相关。无关，也无关定理3.3.5相关，还是相关。思考题练习设向量组线性相关，向量组线性无关，证明：（1）能由线性表示；（2）不能由线性表示。证明：（1）因为线性无关，故也无关又相关，所以可由线性表示（2）假设可由线性表示，而由（1）又可由线性表示，因此可由线性表示，这与无关矛盾。第四节齐次线性方程组

解的结构复习推论

n元线性方程组有无穷解的充分必要条件是（1）无解的充分必要条件是n元线性方程组并且①有惟一解：（2）有解的充分必要条件是②有无穷解：3.4.1齐次线性方程组解的性质（1）若为的解，则

也是的解.

证明（2）若为的解，为实数，则也是的解.证明用表示齐次方程组的全体解向量所组成的集合，则由这两个性质知中一定含有无穷多个解向量，因此是一个含有无穷多个向量的向量组，故只要找到的一个最大无关组，就能把表示出来。定义3.4.1设齐次方程组有非零解，如果它的s个解向量满足：（1）线性无关；（2）的任何一个解都可以由线性表示，即则称是方程组的基础解系.3.4.2齐次线性方程组解的结构并且方程组的通解为：定理3.4.1

n元齐次方程组，设系数矩阵的秩，则的基础解系存在：

其中，为的一个基础解系，

为任意实数例3.4.1

求线性方程组的基础解系，并写出其通解。解令为自由未知量，得：代入上述方程组，得

原方程组的一个基础解系为：

故原方程组的通解为上面的方法是先写出基础解系，再写出通解而3.1节介绍的方法是先写通解，再写出基础解系即由得到上式中令，则从而，原方程通解为由上述通解，可得是原方程组的一个基础解系另外，在若取得则得到不同的基础解系从而通解为练习1：求齐次方程组的基础解系和通解。得基础解系：令得基础解系：若令练习2.求，使齐次方程组有非零解，并求通解。解：所以，当＝0即=0或1时，有非零解。（1）将＝0代入原方程组，得到由于，基础解系含有一个解向量，取为自由未知量，得同解方程组为令＝1，则基础解系为通解为，其中为任意常数。（2）同理将＝1代入原方程组，得到由于，基础解系含有一个解向量，取为自由未知量，得同解方程组为令＝1，则基础解系为通解为其中为任意常数。第五节非齐次方程组

解的结构证明3.5.1非齐次线性方程组解的性质（1）设都是的解向量，则为对应的齐次方程的解。证明（2）设是的解，是对应的齐次方程的解，则仍是非齐次方程的解。设是的任意解，是的一个特解，则就是的任意解。又设是的基础解系，则非齐次线性方程组的通解为其中为非齐次方程的一个特解，为对应的齐次方程的通解。

3.5.2非齐次线性方程组解的性质例3.5.1

求下述方程组的通解解：由于，所以方程组有无穷解。令，得方程组的一个特解为又原方程组对应的齐次方程组的同解方程组为：其基础解系为：取为自由未知量，同解方程组为：故原方程组通解为：其中，为任意常数。解练习1

求下述方程组的解所以方程组有无穷多解.且原方程组等价于方程组所以原方程组的一个特解为又原方程组对应的齐次方程组的同解方程组为：

令得齐次方程组的基础解系为：故原方程组通解为：练习2求方程组的通解主要内容典型例题第三章矩阵的初等变换

与线性方程组

习题课

矩阵的初等变换初等变换等价矩阵初等矩阵秩的定义相关定理及性质矩阵的秩相关定理行阶梯形矩阵行最简形矩阵矩阵的标准形有解判别定理方程组的解法线性方程组１初等变换的定义初等变换逆变换

三种初等变换都是可逆的，且其逆变换是同一类型的初等变换。反身性传递性对称性２矩阵的等价由单位矩阵E经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵。三种初等变换对应着三种初等矩阵。３初等矩阵

（１）换法变换：对调两行（列），得初等矩阵E(i,j)。

（２）倍法变换：以数k（非零）乘某行（列），得初等矩阵E(i(k))。

（３）消法变换：以数k乘某行（列）加到另一行（列）上去，得初等矩阵E(ij(k))。经过初等行变换，可把矩阵化为行阶梯形矩阵，其特点是：可画出一条阶梯线，线的下方全为0；每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线（每段竖线的长度为一行）后面的第一个元素为非零元，也就是非零行的第一个非零元。例如４行阶梯形矩阵经过初等行变换，行阶梯形矩阵还可以进一步化为行最简形矩阵，其特点是：非零行的第一个非零元为1，且这些非零元所在列的其它元素都为0。例如５行最简形矩阵对行阶梯形矩阵再进行初等列变换，可得到矩阵的标准形，其特点是：左上角是一个单位矩阵，其余元素都为0。例如６矩阵的标准形所有与A等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类，标准形F是这个等价类中形状最简单的矩阵。定义７矩阵的秩定义定理行阶梯形矩阵的秩等于非零行的行数。８矩阵秩的性质及定理定理定理９线性方程组有解判别定理

齐次线性方程组：把系数矩阵化成行最简形矩阵，写出通解。

非齐次线性方程组：把增广矩阵化成行阶梯形矩阵，根据有解判别定理判断是否有解，若有解，把增广矩阵进一步化成行最简形矩阵，写出通解