经济数学-概率论与数理统计课件：样本及抽样分布

样本及抽样分布第一节总体与样本第二节统计量第三节数理统计中的几种常见分布第四节正态总体的抽样分布第一节总体与样本

从理论上讲，只要对随机变量进行大量的观测(或实验)，被研究的随机变量的概率特征一定能显现出来。如：进行大量射击，则射手的水平高低、平均中靶环数、射中每个环数概率都可大概知晓。可是实际进行的观测（或实验）次数只能是有限的，有的甚至是少量的．因此，我们关心的问题就是怎样有效地利用收集到的有限的资料，尽可能地对被研究的随机变量的概率特征作出精确而可靠的结论．

例如，我们考察某厂生产的一大批灯泡的质量。在正常生产情况下，灯泡的质量主要表现为它们的平均寿命是稳定的.然而，由于生产中各种随机因素的影响，各个灯泡的寿命是不完全相同的．要检验灯泡的平均寿命就需要测试每一个的寿命。实际上，由于受到人力、物力等的限制，不可能对每一个灯泡的寿命进行测试，特别地，测定灯泡寿命的试验具有破坏性，因此对全部灯泡一一进行测试也不可能。一般只是从所有灯泡中抽取一些进行测试，再根据这一部分数据来推断整体的情况。如：上面的例子中，该厂生产的所有灯泡的寿命就是总体，而每一个灯泡的寿命就是个体．一、总体与个体总体：被研究的对象的全体，个体：组成总体的各个元素．

以X表示灯泡的寿命，每个灯泡的寿命对应的X一个取值,则所有灯泡的寿命即为X取值的全体。二、抽样与样本上例中，从所有的灯泡中抽取一个测试其寿命，就相当于对灯泡的寿命这个随机变量X进行一次试验（或观测），得到的一个具体的灯泡寿命的数据。从总体中抽取一个个体，就是对代表总体的随机变量X进行一次试验（或观测），得到的一个试验数据（或观测值）．

从总体中抽取一部分个体，就是对随机变量进行若干次试验（观测），得到的若干个试验数据（或观测值）．从总体中抽取若干个个体的过程称为抽样。抽样得到的一组试验数据（观测值）称为样本。样本中所含个体的数量称为样本容量。

由于样本随每次抽样观察而改变，所以容量为的样本可以看做一个维随机变量，而一旦取定一组样本，就得到了个具体的数，称为样本的一次观测值，简称样本观测值．常用的抽样方式是简单随机抽样：（1）代表性：

这种随机的、独立的抽样方法称为简单随机抽样，由此得到的样本称为简单随机样本．样本中的每一个分量与总体X有相同的分布；（2）独立性：每次抽样的结果既不影响其它各次抽样的结果，也不受其它各次抽样结果的影响，即是相互独立的。如果是从总体X中抽取的简单随机样本，则相互独立且与总体X同分布．

今后，如不加特殊说明，本书中提到的抽样和样本指的都是简单随机抽样和简单随机样本．第二节统计量

为了对总体X进行推断，需要从总体中抽取样本，再对样本进行加工处理，也就是说需要根据不同的问题构造出适用的样本函数．

由于总体X的分布未知，作为分布的重要特征的参数一般也未知，所以作为推断的依据，我们要求构造的样本函数中不含有任何未知参数．定义1设为来自总体X的一个简单随机样本，如果样本函数中不含有任何未知参数，则称这类样本函数为统计量．例如：总体,是其样本，当未知时，因为都是随机变量，所以统计量也是一个随机变量，若是样本观测值，则即为统计量的观测值．不是统计量是统计量(1)样本均值：观测值：(2)样本方差观测值：数理统计中最常用的统计量及其观测值有：(3)样本标准差：观测值：(4)样本k阶原点矩：观测值：(5)样本k阶中心矩：观测值：

例1从总体中抽取一组样本，其样本观测值如下：19.120.021.218.819.620.522.021.619.420.3计算样本均值、样本方差及样本二阶中心矩的观测值．解：把上述10个数据逐个输入计算器或计算机中，不难求得第三节数理统计中的几种常见分布一、分布则称X服从自由度为n的

分布，记为定义1设随机变量相互独立，且都服从标准正态分布,则随机变量其中伽玛函数通过积分来定义。服从的随机变量的概率密度函数为的图像：定义2设连续性随机变量X的概率密度函数为，对于给定的实数和,有则称为随机变量X的分布的上分位点．则称为分布的上分位点。定义3若，且满足例如：已知,．本书附表3中，对于不同的,给出了的值．二、t分布

的图形如图所示:定义4设，，且独立服从自由度为的分布则随机变量记为服从t(n)的随机变量X的概率密度函数为

的图形如图所示:故当足够大时,分布近似于分布。但对于较小的，分布与分布相差较大.的点为分布的上分位点.对于给定的，，称满足条件

t分布的上分位点可由附表4查得。例如：已知随机变量，则．三、F分布

的图形如图所示:定义6且相互独立，服从自由度为的分布则随机变量记为服从分布的随机变量X的概率密度函数为对于给定的,称满足条件的点为分布的上分位点定理3且相互独立，服从自由度为的分布则随机变量记为注：F分布的分位点可由附表5查得。利用这个等式，查附录表，可以计算当时的的值例如从总体X中抽取容量n的样本，第四节正态总体的抽样分布样本均值与样本方差分别是定理1若是来自正态总体的样本，则样本均值与样本方差相互独立，并且

例1设总体，从总体中抽取容量为9的样本，求样本均值与总体均值之差的绝对值小于2的概率,如果（1）已知总体方差；（2）总体方差未知，但已知样本方差的观测值解：（1）解：（2）例1设总体，从总体中抽取容量为9的样本，求样本均值与总体均值之差的绝对值小于2的概率,如果（1）已知总体方差；（2）总体方差未知，但已知样本方差的观测值（2）未知，求。解：（1）例2设总体，从总体中抽取容