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二次型一、二次型的概念及其矩阵称为二次型.定义4.4.1只含有平方项的二次型称为二次型的标准形(法式).例如都为二次型；为二次型的标准形.如果标准型的系数只在1，0，-1三个数中取，即称为二次型的规范型.系数为实数的二次型称为实二次型；系数为复数的二次型称为复二次型.注：若没有特别说明，本节中所讨论的为实二次型.1.用和号表示对二次型二次型的表示方法2.用矩阵表示记：则二次型可记为：在二次型的矩阵表示中，任给一个二次型，就唯一地确定一个对称矩阵；反之，任给一个对称矩阵，也可唯一地确定一个二次型。这样，二次型与对称矩阵之间存在一一对应的关系。对称矩阵A叫做二次型f的矩阵；f叫做对称矩阵A的二次型；对称矩阵A的秩叫做二次型f的秩。解例设二、化二次型为标准形对于二次型，我们讨论的主要问题是：寻求可逆的线性变换，将二次型化为标准形。证明即B为对称矩阵.定理4.4.1注意：称这样的矩阵与合同。要使二次型f经可逆变换X=CY变成标准型，就是要使定理4.4.2推论4.4.1用正交变换化二次型为标准形的具体步骤1.写出二次型的矩阵解1.写出对应的二次型矩阵，并求其特征值例1将二次型通过正交变换x=Py

，使其化为标准形。接下来利用例4.3.2的结果，求出正交矩阵于是有正交变换x=Py，使f化为标准形如果要把二次型f化为规范形，只需令即得f的规范形三、惯性定理一个实二次型，既可以通过正交变换化为标准形，也可以通过拉格朗日配方法化为标准形，显然，其标准形一般来说是不唯一的，但标准形中所含有的项数是确定的，项数等于二次型的秩。下面我们限定所用的变

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