经济数学课件-微分方程与经济决策

微分方程与经济决策故事上个世纪80年代末和90年代初，日本、“四小龙”及一些东盟国家和地区，经济发展比我们快，处于高速发展时期；而我们一方面围绕姓“社”姓“资”问题争论不休，另一方面又因强调治理整顿而放慢了经济发展的步伐。1989—1991年3年间，GDP只比上年分别增长了4％、5％、4％。正在这个改革开放的关键时刻，邓小平提出了“发展才是硬道理”的著名论断。邓小平这样说：“对于我们这样发展中的大国来说，经济要发展得快一点，不可能总是那么平平静静、稳稳当当。要注意经济稳定、协调地发展，但稳定和协调也是相对的，不是绝对的，发展才是硬道理，这个问题要搞清楚。”目录国内生产总值问题及解决方案1.使用微软数学求解微分方程2.路线问题典型案例3.进一步深入学习的数学知识：微分方程4.第一节国内生产总值问题及解决方案一、问题引入

引例（中国的GDP真的可以超越美国吗？）中国2010年GDP超过日本成全球第二大经济体，中国GDP何时超越美国，这成为很多人讨论的话题。2010年我国的国内生产总值（GDP）约为5.98万亿美元，如果我国能保持每年10.4%的相对增长率；而美国2010年的国内生产总值（GDP）为14.6万亿美元，如果美国能保持每年5.8%的相对增长率，问到2030年我国的GDP能否超过美国？第一节国内生产总值问题及解决方案求2030年中美两国的GDP这一类的问题，其中相关变量随时间的变化都有相似的规律，都有相同的解决路线，即在一定约束条件下，所研究的量在任一时刻（减少或增大）的速率与该时刻量的简单函数，或某一量的函数成正比，根据此条路线可直接建立微分方程，然后运用数学工具求解微分方程，在此基础上对相关的经济问题做出更好地决策。【问题分析】第一节国内生产总值问题及解决方案在许多实际问题中，当直接导出变量之间的函数关系较为困难，但导出包含未知函数的导数或微分的关系式较为容易时，可用建立微分方程的方法来研究该问题

因此要获得相关经济问题的解决，首先要弄清楚什么是微分方程，怎样求解微分方程，这些是我们接下来要学习的内容。第一节国内生产总值问题及解决方案二、典型问题解决方案含有未知函数及其导数或微分的方程称为微分方程．其中未知函数为一元函数的微分方程，称为常微分方程．微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数，称为微分方程的阶．如果一个函数代入微分方程后，能使该方程变成恒等式，这样的函数称为微分方程的解．

如第一节国内生产总值问题及解决方案如果微分方程的解中所含独立的任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解称为微分方程的通解．

在微分方程中，函数和的导数都等于，所以它们都是该微分方程的解。如上例中的解第一节国内生产总值问题及解决方案

如果通解中的任意常数取某定值，或利用附加条件求出任意常数应取的值，所得的解叫做微分方程的特解．

确定通解中任意常数的附加条件称为初始条件．

如上例中的解是的特解.

一阶常微分方程的初始条件是:其中都是定值.第一节国内生产总值问题及解决方案

形如

的一阶微分方程，称为可分离变量的微分方程．分离变量法的具体步骤是：

第一步：分离变量，得：第一节国内生产总值问题及解决方案

第二步：两边积分，得：第三步：求积分，得：其中分别是的原函数.第一节国内生产总值问题及解决方案

例1

已知某曲线通过点（1，3），且在该曲线上任意点M处的切线的斜率为，求该曲线的方程．解:

根据导数的几何意义,可知所求曲线应满足方程

分离变量，得:两边积分，得:求得积分为:

，其中C是任意常数.

第一节国内生产总值问题及解决方案因为曲线通过点，将条件代入得故所求曲线方程为

第一节国内生产总值问题及解决方案

问题：国内生产总值问题解决方案目的：国内生产总值问题的解决方案：通过寻找某种函数关系，得到量与量之间的变化规律，建立微分方程例2

中国的GDP真的可以超越美国吗？【问题分析】根据本例的已知条件，我们要把每年GDP的相对增长率（每年GDP的相对增长率指GDP的增长率和当年GDP的比值）作为突破口，建立微分方程运用数学工具解微分方程，从而获得2030年中美GDP的预测值.第一节国内生产总值问题及解决方案

(1)建立微分方程解:记代表2010年，并设第t年的GDP为从2010年起，我国GDP的相对增长率为10.04%，即：.由题意知，得微分方程为：其中为微分方程的初始条件.第一节国内生产总值问题及解决方案

(2)求通解方程两边同时积分，得

通解为:

(3)求特解

将代入通解，得，所以从2010年起第年我国的GDP为:第一节国内生产总值问题及解决方案

将代入上式，得2030年我国的GDP的预测值为47.87(万亿美元)．

同理，可求得2030年美国的GDP为:46.57(万亿美元).两国的GDP值随时间变化而变化的规律如图所示

第一节国内生产总值问题及解决方案

从图中可以看出，交点所对应的年份就是中国GDP即将超过美国的时候，这为我们判断两国宏观经济运行状况，为决策者制订战略目标提供了一条决策路线。当然在实际操作过程中，还要配合其他因素综合考虑。第一节国内生产总值问题及解决方案(1)理解表示导数的常用词,如在经济学中“边际成本”,“边际收益”;在生物学中常用种群的“增长速率”;在化学反应中常用“扩散速率”等.在此类问题解决过程中，建立微分方程是非常关键的一步，怎样才能做好这一关键步骤呢？【具体步骤】：第一节国内生产总值问题及解决方案

(3)根据已给的实际问题确定条件,这些条件是关于系统在某一特定时刻或边界上的信息,它们独立于微分方程而成立,用以确定有关常数.当然给定的条件和已建立的方程能完整地以数学形式描述实际问题.

(2)建立瞬时表达式,根据自变量Δt有微小改变时,因变量的增量Δy,建立起在Δt时段上的增量表达式,令Δt→0,得到dy/dt的表达式.

第二节使用微软数学求解微分方程一、典型案例

中国的GDP真的可以超越美国吗？选用第一节引例提出的问题作为本案例.二、解决方案我们根据中美两国2010年的GDP以及两国每年GDP的相对增长率等已知条件，建立微分方程，然后在分离变量法的基础上两边积分求出通解和特解，从而获得2030年中美两国GDP的预测值。

将建立的微分方程分离变量，两边积分后利用微软数学软件求出微分方程的通解和特解，从而获得2030年中美两国GDP的预测值.第二节使用微软数学求解微分方程三、微软数学演算步骤第一步：在主界面左侧的计算器键盘中依次点击【微积分】→【∫】改为第二步：在右侧工作表输入窗口出现“”，将在积分号后输入，如图所示.第二节使用微软数学求解微分方程

第三步：单击【输入】，显示计算结果为，如图.用同样的方法求得因此有即通解为第二节使用微软数学求解微分方程

得，利用软件求得：

第四步：在通解的基础上求特解，将代入通解，从而2030年我国的GDP的预测值约为

47.87(万亿美元)同理2030年美国的GDP的预测值约为

46.57(万亿美元).第三节路线问题典型案例案例1：日本家用电器业界建立的电饭煲销售模型记时刻已售出的电饭煲总数为的电饭煲起着宣传品的作用，吸引着尚未购买的顾客；因此，

刻产品销量的增长率与成正比，同时，考虑到产品销量存在一，统计表明与尚未购买该产品的潜在顾客的数量。由于使用方便，已在使用定的市场容量也成正比,试确定能描述上述规律的销售函数。时第三节路线问题典型案例【问题分析】：

和与尚未购买该产品的潜在顾客数量

⑴前提：

已知条件为

时刻已售出的电饭煲总数为刻产品销量的增长率与;时成正比；约束条件为:⑵目的：找出电饭煲销售规律。该产品的潜在顾客的数量

成正比，建立微分方程。⑶方案：通过

时刻产品销量的增长率与和与尚未购买第三节路线问题典型案例2.解决方案在问题分析的基础上，我们可以建立如下微分方程其中为比例系数。对上述微分方程分离变量并积分，得：第三节路线问题典型案例

结果如图所示.要研究产品销售量的变化情况，

利用微软数学求出和，整理之后，即为第三节路线问题典型案例显然，，即单调增加。由，可得存在满足上式的一个时刻，此时

，即时刻界点是一个分，当

时，，

单调增加；当时，单调减小。销售增长曲线图如图所示。

根据产品销售增长曲线这条路线分析表明：在销售量小于最大销量(需求量)的一半时，销售速度是不断增大的；销售量达到最大需求量的一半时，该产品最为畅销，其后销售速度开始下降。第三节路线问题典型案例以上销售增长曲线与实际调查结果比较吻合，推广速率的增长过程一般在达到最大需求量的一半时结束。国外研究普遍认为：从20％用户到80％用户采用某一新产品这段时期，应为该产品正式大批量生产的较合适的时期，初期应采取小批量生产并加以广告宣传，后期则应适时转产，这样做可以取得较高的经济效益。

第三节路线问题典型案例案例2：价格调整模型变化率可以认为与该商品在同一时刻的超额需求量正比，试确定这种商品的价格随时间

某商品在t时刻的售价为P，市场对该商品的需求量和供给量，。则在t时刻的价格的变化规律。分别为的P函数对于时间t的成【问题分析】：根据已知条件，即有微分方程

在确定的情况下，可解出价格与时间t的函数关系。第三节路线问题典型案例【解决方案】：一般地，商品的价格变化主要服从市场供求关系,通常情况下，商品供给量S是价格P的单调递增函数，商品需求量Q是价格P的单调递减函数,不妨设该商品的供给函数与需求函数分别为其中均为常数，且.当供给量等于需求量时，得供求平衡时的价格为

称为均衡价格.（1）第三节路线问题典型案例通常情况下（1）时，商品供不应求，该商品价格要上升；

（2）时，商品供大于求，该商品价格要下降.

因此，假定t时刻的价格

的变化率与超额需求量成正比，则有方程其中，用来反映价格的调整速度.将(1)代入方程得，其中常数第三节路线问题典型案例上述方程为一阶线性微分方程，可用下一节介绍的微分方程知识求其通解为

假设初始价格，代入上式，得上述价格的调整模型的解为

由得时，.说明随时间的延续，实际价格将逐渐趋近均衡价格，与经济学价格原理相一致.第四节进一步深入学习的数学知识：微分方程一阶线性微分方程

定义１方程

称为一阶线性微分方程，

其中和都是的连续函数．

当时，

方程称为一阶线性齐次微分方程；

称为一阶线性非齐次微分方程．

当时，方程接下来，我们讨论一阶线性齐次微分方程的通解。第四节进一步深入学习的数学知识：微分方程

（1）分离变量后，得（2）两边积分，得即

这就是一阶线性齐次微分方程的通解公式

.解:第四节进一步深入学习的数学知识：微分方程下面再讨论一阶线性非齐次方程的解法．一阶线性非齐次方程可用常数变易法来解，就是将其相应的齐次方程的通解中任意常数

用一个待定的函数来代替，即解上述方程可得一阶线性非齐次方程的通解公式为：

其中各个不定积分都只表示了对应的被积函数的一个原函数．

一阶线性非齐次方程的通解等于它的一个特解与对应的齐次方程的通解之和．

(2)第四节进一步深入学习的数学