经济数学课件-概率计算与成果因素分析

概率计算与成果因素分析名言安东尼•罗宾成功呈概率分布，关键是你能不能坚持到成功开始呈现的那一刻。故事美国的“乐透”彩票上印有1-54的数字，由买者任意选择6个数字涂黑，经电脑记录后就算成交。开奖时，6个数字全部填对为第一大奖，5个数字猜对为二等奖，……。未中奖的奖金则挪到下一次作为累积奖金，越积越多，据计算，获第一大奖的概率为2580万分之一。到目前为止，获得最高奖金的是1988年佛罗里达州的一位63岁的女士，她得了5500万美元的巨额奖金。当时，她拿出一份报纸，从第一页到第六页各找出一个新闻记事上的数字来；然后，按序涂在彩票上，她就是这样发了大财。这真可谓是“点数成金”了。目录彩票设计问题及解决方案1.使用Excel进行概率计算2.可能性与机遇问题典型案例3.进一步学习的数学知识：概率初步4.第一节彩票设计问题及解决方案一、问题引入

引例：目前流行的彩票主要有“传统型”和“乐透型”两种类型。“传统型”中奖情况如表11-1所示（X表示未选中的号码）。表11-1传统型中奖等级情况表中奖等级10选6+1（6+1/10）基本号码特别号码说明一等奖abcdefg选7中6+1二等奖abcdef选7中6三等奖abcdeXXbcdef选7中5四等奖abcdXXXbcdeXXXcdef选7中4五等奖abcXXXXbcdXXXXcdeXXXXdef选7中3六等奖abXXXXXbcXXXXXcdXXXXXdeXXXXXef选7中2第一节彩票设计问题及解决方案

“乐透型”有多种不同的玩法，比如“33选7”的方案。

表11-2乐透型中奖等级情况表中奖33选7（7/33）36选6+1（6+1/36）等级基本号码特别号码说明基本号码特别号码说明一等奖●●●●●●●选7中7●●●●●●★选7中6+1二等奖●●●●●●○★选7中6+1●●●●●●选7中6三等奖●●●●●●○选7中6●●●●●○★选7中5+1四等奖●●●●●○○★选7中5+1●●●●●○选7中5五等奖●●●●●○○选7中5●●●●○○★选7中4+1六等奖●●●●○○○★选7中4+1●●●●○○选7中4七等奖●●●●○○○选7中4●●●○○○★选7中3+1第一节彩票设计问题及解决方案问题分析与假设：

（1）“传统型”要求基本号码是连号。（2）“传统型”的抽奖号码可以重复，而“乐透型”抽取

号码不允许重复；（3）单注投注金额为两元，总奖金为当期销售总额的50％。（4）低项奖单注奖金固定，高项奖金额按比例分配为浮动值。（5）假定各个不同方案均是在公正公平的原则下实施，而且

彩民购买和对奖的方便程度相同。第一节彩票设计问题及解决方案解决方案：（1）“传统型”彩票中奖概率第一节彩票设计问题及解决方案（2）“乐透型”彩票中奖概率第一节彩票设计问题及解决方案第一节彩票设计问题及解决方案进一步，各方案奖项获奖概率及获奖总概率的计算如下表第二节使用Excel进行概率计算一、彩票的中奖概率

1.典型案例：福利彩票中奖概率计算。

2.解决方案：问题变为无放回的随机抽样(超几何分布)，根据其概率分布（详见本章第四节）即可计算出相应的概率值。3.解决办法：利用Excel中的超几何分布函数(HYPGEOMDIST函数)可计算出相应参数下超几何分布的概率。第二节使用Excel进行概率计算4.使用Excel的求解步骤第一步：新建一个工作表。第二步：输入已知参数:N=35，M=7，n=7，x=7。第三步：运用HYPGEOMDIST求7个球中全为红球的概率第二节使用Excel进行概率计算1.典型案例：运用泊松分布求概率。二、保险赔付概率2.解决方案：将二项分布的概率值由参数为的泊松分布的概率值近似。3.解决办法：利用Excel中的泊松分布函数(POISSON函数)可计算出相应参数下的概率。第二节使用Excel进行概率计算4.使用Excel的求解步骤第一步：新建Excel工作表第二步：输入己知参数第三步：求该公司对于这批投保人的赔付总额等于30万元的概率第四步：求该公司对于这批投保人的赔付总额小于30万元的概率第三节可能性与机遇问题典型案例案例1车床故障维修问题问题分析：用X表示同一时刻发生故障的车床数。情形1：X服从的二项分布情形2：X服从的二项分布2.解决方案第一步：新建Excel工作表第二步：输入已知参数值第三步：求车床发生故障时不能及时维修的概率。第三节可能性与机遇问题典型案例应用二项分布求概率第三节可能性与机遇问题典型案例案例2排队等候问题1.问题分析：等待时间X服从的指数分布，先求出的概率p，则Y服从的二项分布。2.解决方案第一步：新建Excel工作表一第二步：输入己知参数，。

第三步：利用EXPONDIST函数求等待时间小于10分钟的概率。第四步：新建Excel工作表二第三节可能性与机遇问题典型案例第五步：输入己知参数，。

第六步：求“未等到服务而离开窗口的次数”的概率第三节可能性与机遇问题典型案例案例3合理的订货量问题打印机每周的销售量服从N(200,30)的正态分布，问题需要求出每周的缺货概率不超过6%对应的订货量临界值2.解决方案第一步：新建Excel工作表第二步：输入己知参数,。第三步：计算不超过6%对应的订货量临界值1.问题分析第四节进一步学习的数学知识：概率初步1.随机试验：一般地，称满足下述三个条件的实验为一个随机试验，记作E（1）试验可以在相同的情形下重复进行；（2）试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；（3）每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果。一、随机事件及其概率2.基本事件和样本空间：随机试验的每一个可能结果，称为基本事件（样本点）。它们的全体，称作基本空间（样本空间），常用w表示基本事件，用W表示样本空间。从集合角度看，基本事件又是样本空间的一个元素，可记作W={w

}。第四节进一步学习的数学知识：概率初步4.事件的关系与运算（1）包含关系：如果事件A发生必然导致事件B发生，则称B包含了A，并记为或。（2）相等关系：如果有、同时成立，则称事件A与B

相等，记作。

第四节进一步学习的数学知识：概率初步（3）两事件的和事件：事件A与B中至少有一个发生，这样的一个事件称作事件A与B的和（或并），记作。（4）两事件的积（或交）事件：事件A与B同时发生，这样的一个事件称作事件A与B的积（或交），记作（或AB）。（5）两事件的差事件：事件A发生而B不发生，这样的事件称为事件A与B的差，记作A-B。（6）互不相容事件或互斥事件：若事件A与B不能同时发生，

则称事件A与B互不相容（或互斥）。（7）对立事件或逆事件：若A与B互不相容，且它们的和为必

然事件，则称A与B为对立事件或互为逆事件，第四节进一步学习的数学知识：概率初步5.概率：事件A的概率是描述事件A在试验中出现的可能性大小的一种度量，记事件A出现的可能性大小为，称为事件A的概率。6.古典概型:若随机试验E具有下述特征：⑴样本空间的基本事件数只有有限个，不妨设为n个，并记它们为;⑵每个基本事件出现的可能性是相等的，即有

.则称这种等可能性的数学模型称为古典概型。二、概率的性质与运算法则1.概率的性质⑴非负性：对任一事件A，有：；⑵规范性：，；

2.概率的加法法则法则一：若事件A与B为两个互斥事件，即，则

法则二：对于任意两个随机事件A与B，有⑶可列可加性：若随机事件两两互斥，则第四节进一步学习的数学知识：概率初步第四节进一步学习的数学知识：概率初步3.条件概率与独立事件⑴条件概率在“已知事件B发生”的附加条件下，求A发生的概率,记作⑵乘法公式

条件概率与概率、有以下关系由上式可知，对任意两个事件A、B，若，则有⑶独立性

若事件A、B满足,则称事件A、B相互独立。

第四节进一步学习的数学知识：概率初步4.全概率公式及贝叶斯公式

⑴全概率公式:设个事件,,…

互不相容，，，事件B满足，则称为全概率公式。(2)贝叶斯公式:设个事件,,…

互不相容，，，事件B满足，则称为贝叶斯公式（后验概率公式）。

第四节进一步学习的数学知识：概率初步例2

某考生回答一道4选1的考题，假设他知道正确答案的概率为1/2，而他不知道正确答案时猜对的概率应该为1/4。考试结束后发现他答对了，那么他知道正确答案的概率是多大呢?解

分别定义事件A={该考生答对了}，B={该考生知道正确答案}，根据已知条件有，，，。利用贝叶斯公式计算得到

第四节进一步学习的数学知识：概率初步三、离散型随机变量及其分布

第四节进一步学习的数学知识：概率初步⑶超几何分布：二项分布由于每次实验相互独立，可以看作有放回的抽样对应的分布而无放回对应的抽样样本的分布即为超几何分布。超几何分布对应的概率