经济数学课件-多因素方案的分析与选择

多因素方案的分析与选择

名言笛卡尔当我怀疑一切事物的存在时，我却不用怀疑我本身的思想，因为此时我惟一可以确定的事就是我自己思想的存在。

故事据说有一天，笛卡尔生病卧床，病情很重，尽管如此他还反复思考一个问题：几何图形是直观的，而代数方程是比较抽象的，能不能把几何图形和代数方程结合起来，也就是说能不能用几何图形来表示方程呢？要想达到此目的，关键是如何把组成几何图形的点和满足方程的每一组“数”挂上钩，他苦苦思索，拼命琢磨。这时，他看见屋顶角上的一只蜘蛛，拉着丝垂了下来，一会功夫，蜘蛛又顺着丝爬上去，在上边左右拉丝．蜘蛛的“表演”使笛卡尔的思路豁然开朗．他想，可以把蜘蛛看作一个点，它在屋子里可以上，下，左，右运动，能不能把蜘蛛的每一个位置用一组数确定下来呢？他又想，屋子里相邻的两面墙与地面交出了三条线，如果把地面上的墙角作为起点，把交出来的三条线作为三根数轴，那么空间中任意一点的位置就可以在这三根数轴上找到有顺序的三个数．反过来，任意给一组三个有顺序的数也可以在空间中找到一点与之对应.这就是笛卡尔坐标系的雏形．

目录最小成本最大收益问题及解决方案

1.使用微软数学讨论多元极值

2.多元极值问题典型案例

3.进一步学习的数学知识：多元微分学

4.第一节最小成本最大收益问题及解决方案一、问题引入问题分析两种商品的需求量和成本不再只跟其中一种商品单价有关，而是受两种商品的单价共同作用，所以，总利润函数也由两种商品的单价共同决定。

引例

设分别为商品的需求量，需求函数为

，总成本函数为最大？为商品的价格，试问价格

取何值时可使利润那么，总利润关于商品单价的导数与第三章的导数有什么关系？如何求这样的导数？又如何确定利润最大值点？这些正是我们所需要学习的内容。在该引例中，需要确定两种商品的单价，使总利润达到最大，属于多元函数的最大值、最小值问题。根据第四章的讨论，可以从利润关于商品单价的导数等于0的点(即驻点)中去寻找利润最大值点。第一节最小成本最大收益问题及解决方案二、典型问题解决方案它的经济意义是：当其中一个经济量变化一个单位时(其他经济量保持不变)总经济量的变化量。与一元函数类似，多元函数关于其中每个自变量的导数在经济上表示边际经济量。在经济分析中，不同的经济函数，边际函数被赋予不同的名称。第一节最小成本最大收益问题及解决方案例如，某工厂生产A、B两种产品，当A、B产品的产量分别为x和y单位时，总利润函数为L=f(x,y)。导数称为关于A产品的边际利润，它是当B产品的产量固定时，总利润L关于x的边际利润.

其经济意义是：当B产品的产量固定在y处，A产品的产量在x的基础上再生产一个单位时利润大约增加。关于B产品边际利润的讨论类似。第一节最小成本最大收益问题及解决方案问题1：解决总利润L=f(x,y)的最大值问题方案方案：利润最大，则产量x,y满足条件上式表明产出的边际收益等于边际成本，在经济学中称为“最大利润原则”。第一节最小成本最大收益问题及解决方案解：总收益函数总利润函数

第一节最小成本最大收益问题及解决方案案例1

设分别为商品的需求量，需求函数为

，总成本函数为最大？为商品的价格，试问价格

取何值时可使利润为了使得总利润最大，解方程组得驻点

，由于只是惟一的驻点，且实际问题是

存在最大利润的，故大利润为164.25。

时可获最大利润，最第一节最小成本最大收益问题及解决方案案例2：某工厂生产两种型号的机密机床，其产量分别为x,y台，总成本函数根据市场调查预测，共需要这两种机床8台，如何合理安排生产，才能使得总成本最小？这是一个含有约束条件(共需要这两种机床8台)的最小值问题，解决这类问题的常见办法就是作拉格朗日乘数法.解决方案:第一节最小成本最大收益问题及解决方案把问题转化为求函数的最小值。解方程组解得

因为只有惟一的驻点，且实际问题的最小值是存在的，因此驻点(5,3)是函数的最小值点,因此当两种型号的机器各生产5台和3台时，其总成本最小，最小值为。即构造拉格朗日函数第一节最小成本最大收益问题及解决方案综上所述，对于经济上最小成本最大收益的实际问题，其解决步骤可归纳如下：第三步将所求驻点代人目标函数表达式中，求出最值。第一步根据题意写出所求最值的目标函数表达式。第二步求出目标函数对于每一个自变量的导数(一般称之为偏导数)，并且令偏导数等于0，然后解方程组求出驻点(对于实际问题通常只有一个驻点)。注意：如果求给定条件G(x,y)=0下目标函数z=f(x,y)

的最值，则需要引进拉格朗日函数第一节最小成本最大收益问题及解决方案第二节使用微软数学讨论多元极值一、典型案例让我们继续来研究第一节的案例，求出两种型号机器的产量x,y的值，使取到最小值，即求

的最小值。

二、解决方案要求出

的最小值，需要完成三个任务:

第一，分别求出

对于

的导数；

第二，令三个导数等于0，解关于的方程组，求出驻点；第三，求成本函数在驻点处的函数值。

第二节使用微软数学讨论多元极值三、微软数学演算步骤第一步：在主界面左侧的计算器键盘中依次点击】。【微积分】→【第二步：在右侧工作表输入窗口的括号“()”中输入函数如图6-1所示。

图6-1输入拉格朗日函数第二节使用微软数学讨论多元极值第三步：单击工作表右下角的【输入】，将计算出，如图6-2所示。

图6-2计算拉格朗日函数关于x的导数第二节使用微软数学讨论多元极值得到如图6-3和6-4所示的结果第四步：分别把改为和

，重复上述操作，图6-3计算拉格朗日函数关于y的导数图6-4计算拉格朗日函数关于λ的导数第二节使用微软数学讨论多元极值第五步：单击菜单栏的【方程求解器】，在“解1个方程”下拉菜单中选中“解含3个方程的方程组”，依次输入图6-2至图6-4对应的三个方程，如图6-5所示。图6-5输入方程组第二节使用微软数学讨论多元极值第六步，单击“方程求解器”右下方的“求解”，求解结果如图6-6所示。图6-6求出驻点第二节使用微软数学讨论多元极值第七步：在工作表中输入如下内容，如图6-7所示，得最小成本为

。

图6-7计算最小成本第二节使用微软数学讨论多元极值第三节多元极值问题典型案例案例1确定原料搭配以使利润最大某工厂在生产中使用甲、乙两种原料，已知使用x单位甲种

原料，y单位乙种原料可生产P单位的产品,且已知甲、乙两种原料每单位的价格分别为10元和30元,产品的单位售价为100元,产品的固定成本为1000元,求该工厂的最大利润.二、解决方案设L为该工厂的利润,则有由方程组求得惟一驻点(5,8)。根据问题的实际意义，得L(x,y)在(5,8)处取得极大值L(5,8)=16000,即该工厂的最大利润为16000元.第三节多元极值问题典型案例案例2广告策略问题某企业通过电视和报纸两种媒体做广告,已知销售收入R(万元)与电视广告费x(万元)、报纸广告费y

(万元)的关系为系为如果计划提供1.5万元广告费，求最佳的广告策略.第三节多元极值问题典型案例二、解决方案广告费为1.5万元时的最佳广告策略，就是在x+y=1.5

的条件下求R(x,y)的最大值问题.作拉格朗日函数解方程组第三节多元极值问题典型案例得惟一可能极值点(0,1.5)。由问题本身可知最大值一定存在，所以当报纸广告费y=1.5

万元时，销售收入达到最高为R(0,1.5)=40.5

万元，即只做报纸广告为最佳的策略.第三节多元极值问题典型案例案例3生产批量计划问题某公司有两种产品，市场每年的需求量分别为1200件和2000件，如果分批生产，其每批生产准备费分别为40元和70元，每年每件产品库存费均为0.15.设两种产品每批总生产能力为1000件，试确定两种产品每批生产的批量，使生产准备费和库存费之和最少.第三节多元极值问题典型案例二、解决方案设两种产品每批生产的批量分别为x和y，在均匀售出情况下平均库存量为批量的一半，一年的库存费为一年的批次分别为和

,所以一年的总生产准备费为第三节多元极值问题典型案例于是,总的费用为约束条件是作拉格朗日函数第三节多元极值问题典型案例解得,这是惟一可能的极值点,由问题

的实际意义知存在总费用的最小值,故当两种产品的批量分别为369和631时总费用最小。解方程组第三节多元极值问题典型案例第四节进一步学习的数学知识：多元微分学一、二元函数的概念在许多自然现象和实际问题中，往往是多因素相互制约，若用函数反映它们之间的联系便表现为存在多个自变量．例１圆柱体的体积V和它的底半径r、高h之间具有关系这里

当r,h在集合

内取定一对值

(r,h)时

V的值就随之确定

即V依赖于r和h的变化而变化．

1．二元函数的定义定义1设有三个变量x,y和z,如果当变量x,y在一定范围内任意取定一对数值时,变量z按照一定的规律f总有唯一确定的值与它们对应,则称z是x,y的二元函数．记为Z=f(x,y),其中x,y称为自变量,z称为因变量．自变量x,y的取值范围称为函数的定义域．二元函数在点所取得的函数值记为第四节进一步学习的数学知识：多元微分学例2

设,求

．

解

第四节进一步学习的数学知识：多元微分学2．二元函数的定义域

同一元函数一样,定义域和对应规律是二元函数定义的两要素．对于以算式表示的二元函数,其定义域就

是使算式有意义的自变量的取值范围．二元函数的定义域比较复杂,可以是全部坐标平面,也可以是由曲线所围成的部分平面．全部坐标平面或由曲线所围成的部分平面称为区域．常用字母

D表示．围成区域的曲线称为区域的边界．不包括边界的区域称为开区域,连同边界在内的区域称为闭区域；开区域内的点称为内点,而边界上的点称为边界点．如果一个区域D内任意两点之间的距离都不超过某一正常数M,则D称为有界区域,否则称为无界区域．

第四节进一步学习的数学知识：多元微分学以点

为中心,为半径的圆所围的开区域,称为点的邻域．记为

．

即

第四节进一步学习的数学知识：多元微分学例3求二元函数

的定义域D,并画出D的图形．

解由函数的要求可知,函数的定义域应满足，如图6-8.图6-8例4

求二元函数

的定义域D,并画出D的图形．

解由对数函数性质可知x,y必须满足.

如图6-9.第四节进一步学习的数学知识：多元微分学图6-9

二、偏导数的定义及求法在一元函数微分学中,通过研究函数的变化率引入了导数的的概念,同样多元函数也要研究类似问题.但多元函数的自变量不止一个,函数关系更为复杂,为此,我们仅考虑函数对于某一个自变量的变化率,也就是在其中一个自变量发生变化,而其余自变量都保持不变的情形下，考虑函数对于该自变量的变化率.第四节进一步学习的数学知识：多元微分学定义2设函数

z=f(x,y)在点的某一邻域内有定义，

当y固定在

，而x在

处取得增量时，相应的函数的增量为

(称为偏增量).

如果极限

存在，则称此极限为函数z=f(x,y)在点

处对x的偏

导数，记作第四节进一步学习的数学知识：多元微分学类似地，如果极限存在，则称此极限为函数z=f(x,y)在点

处对y的偏

导数，记作

第四节进一步学习的数学知识：多元微分学如果函数z=f(x,y)在某区域D内每一点(x,y)处的偏导数均存在，那么f(x,y)关于x和y的偏导数仍然是x,y的二元函数，我们称它们为f(x,y)的偏导函数，记作或

从偏导数的定义可以看出，求多元函数对一个自变量的偏导数时,实际上只需将其它自变量看成常数,按照一元函数的求导法则进行即可.为了简便，偏导函数也简称为偏导数.对于二元以上的函数，用同样的方法可以定义偏导数.第四节进一步学习的数学知识：多元微分学例4求函数在点(1,2)处的偏导数.

解将y看作常数,对x求导得

将x看作常数,对y求导得

所以

第四节进一步学习的数学知识：多元微分学例5求函数

偏导数.

解

第四节进一步学习的数学知识：多元微分学三、高阶偏导数设函数z=f(x,y)在区域D内处处存在偏导数

和,如果这两个偏导数的偏导数仍存在,则称它们的偏导数为函数f(x,y)的二阶偏导数,按照对变量求导次序

的不同有下列四种二阶偏导数其中偏导数

、

称为二阶混合偏导数.第四节进一步学习的数学知识：多元微分学例6

求函数

的二阶偏导数.解

第四节进一步学习的数学知识：多元微分学及

定理1

如果函数z=f(x,y)的两个二阶混合偏导数在区域D内连续，那么在D内必有

第四节进一步学习的数学知识：多元微分学上例中的两个二阶混合偏导数相等，即.但

这个关系式并不是对所有的二元函数都成立,这里不加证明的给出二阶混合偏导数相等的充分条件.四、复合函数微分法在一元函数微分学中,复合函数的求导法则起着重要的作用,现在我们把它推广到多元复合函数上去。第四节进一步学习的数学知识：多元微分学定理2

设

,

在点(x,y)处有连续偏导数，

z=f(u,v)在相应的点(u,v)处有连续偏导数，则复合函数在点(x,y)处有偏导数，且

为了更清楚地表示复合函数中变量之间的关系,常用图6-10表示,称这种图为函数的结构图.

在进行多元复合函数的求导时,一般是先写出函数与中间变量、自变量的结构图．求函数对某个自变量的偏导数时，看函数到该自变量有几条路线，则求导公式中就有几项，每条路线有几根连线，每项就有几个偏导数相乘.如果只有唯一的自变量，偏导数就成为了一元函数的导数（称为全导数）．图6-10第四节进一步学习的数学知识：多元微分学例7设

,其中

求

解因为所以第四节进一步学习的数学知识：多元微分学例8设

，求

和

解

第四节进一步学习的数学知识：多元微分学五、多元函数的极值问题二元函数极值的定义与一元函数极值的定义是类似的．定义3

设函数z=f(x,y)在点

的某个

邻域内有

定义，如果对该邻域内异于的点

都满足不

等式

，则称

为函数

的极大值；如果都满足不等式

，则称

为函数

的极小值，极大值与极小值统称为

极值，使函数为极值的点

称为极值点．

第四节进一步学习的数学知识：多元微分学例如函数

在点(0,0)处取得极小值z(0,0)=0(见图6-11).图6-11

而函数

在点(0,0)

处既不取

得极大值也不取得极小值,因为在(0,0)处的函数值为零,而在点(0,0)的任一邻域内,总有使函数值为正的点,也有使函数值为负的点.第四节进一步学习的数学知识：多元微分学对于可导的一元函数y=f(x),我们知道在点

处有极值的必要条件是

,对于多元函数我们也有类似的结论.定理3(极值存在的必要条件)设函数

z=f(x,y)在点

处具有偏导数,且在点

处取得极值,则有使和

同时成立的点

称为

函数

的驻点.

第四节进一步学习的数学知识：多元微分学从定理3可知,对可偏导的函数f(x,y),极值点必为驻点,但函数的驻点不一定