高中数学方法技巧专题上册(学生版)

目录专题01 函数的图像 4一、函数的图像知识框架 4二、函数的图像备用知识扫描 4三、函数的图像题型分析 5【一】函数图象的作法 5【二】函数图象的识别 6【三】根据图像识别解析式 8【四】函数图像的应用 9专题02 方程的根与函数的零点问题 14一、方程的根与函数的零点问题知识框架 14二、函数零点存在性判断 14三、方程的根与函数零点个数 15四、利用函数的零点求参数范围 16专题03 导数与切线方程 19一、导数与切线方程问题知识框架 19二、导数与切线方程问题题型分析 20【一】已知切点求切线 20【二】过某点求切线 20【三】利用切线求参数 21【四】切线与其他知识综合运用 22专题4 函数单调性、极值、最值与导数问题 26一、函数单调性、极值、最值知识框架 26二、函数单调性、极值、最值问题题型 27【一】判断函数单调性 27【二】根据单调性求参数 29【三】函数的极值问题 29【四】函数的最值问题 31专题5 函数中恒成立与存在性问题 34一、函数中恒成立与存在性问题知识框架 34二、函数中恒成立问题 35【一】分离参数法 35【二】函数性质法 36【三】数形结合法 37三、函数中存在性问题 38四、函数中恒成立与存在性的综合问题 39专题06 函数不等式的证明 42一、函数不等式的证明知识框架 42二、构造辅助函数证函数不等式 42三、函数不等式的变形原理 44【一】幂函数与lnx的积商形式 44【二】幂函数、ex与lnx的混合形式 45四、函数不等式的单零点—隐零点问题 46五、函数不等式的双零点问题 48【一】双零点是二次函数的零点 48【二】极值点偏移问题 50专题07 三角恒等变换 54一、三角恒等变换问题知识框架 54二、三角恒等变换方法技巧 55【一】公式顺用、逆用及其变形用 55【二】拆凑角问题 57【三】常值代换 58【四】辅助角公式 58专题08 三角函数的图像和性质 63一、三角函数的图像和性质知识框架 63二、根据解析式研究三角函数性质 63【一】化为同角同函型 63【二】化为二次函数型 64三、根据图像和性质确定解析式 65【一】图像型 65【二】性质型 66四、图像变换问题 68五、三角函数值域（最值） 69六、平面向量为载体的三角函数综合问题 70专题09 解三角形 75一、解三角形问题知识框架 75二、解三角形题型分析 75（一）三角形中的求值问题 75（二）三角形中的最值或范围问题 78（三）解三角形的实际应用 79专题10 平面向量 84一、平面向量知识框架 84二、平面向量的线性运算及其坐标表示 84【一】向量的概念 84【二】平面向量的线性表示 86【三】向量共线的应用 87【四】平面向量基本定理及应用 88【五】平面向量的坐标运算 89【六】向量共线（平行）的坐标表示 90三、平面向量的数量积 91【一】平面向量数量积的概念 91【二】平面向量数量积的性质 93【三】平面向量的综合应用 94专题11 数列求通项问题 97一、数列求通项常用方法知识框架 97二、数列求通项方法 97【一】归纳法求通项 97【二】公式法求通项 98【三】累加法求通项 98【五】Sn法（项与和互化求通项） 100【六】构造法求通项 101【七】其他求通项方法 102【八】特征根和不动点法求通项（自我提升） 103专题12 数列求和问题 109一、数列求和的常用方法知识框架 109二、数列求和方法 109【一】公式求和法 109【二】分组求和法 111【三】奇偶并项求和法 111【四】倒序相加法求和 112【五】错位相减求和 113【六】裂项求和 114【七】其他方法 117专题13 不等式的解法与基本不等式 121一、不等式的解法与基本不等式知识框架 121二、不等式的解法 121【一】一元二次不等式的解法 121【二】分式不等式的解法 123三、基本不等式 124【一】配凑型 124【二】条件型 125【三】换元型 126【四】实际应用 126专题14 不等式的性质与线性规划 129一、不等式的性质与线性规划知识框架 129二、不等式的性质 130【一】不等式的性质 130【二】比较数（式）大小 131三、二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题 132【一】二元一次不等式组表示的平面区域 132【二】求解目标函数的取值范围（最值） 133【三】求解目标函数中参数的取值范围 134【四】简单线性规划问题的实际运用 135专题01 函数的图像一、函数的图像知识框架二、函数的图像备用知识扫描关于函数图像常用结论1．函数图象自身的轴对称(1)f(－x)＝f(x)⇔函数y＝f(x)的图象关于y轴对称；(2)函数y＝f(x)的图象关于x＝a对称⇔f(a＋x)＝f(a－x)⇔f(x)＝f(2a－x)⇔f(－x)＝f(2a＋x)；(3)若函数y＝f(x)的定义域为R，且有f(a＋x)＝f(b－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a＋b对称．22．函数图象自身的中心对称(1)f(－x)＝－f(x)⇔函数y＝f(x)的图象关于原点对称；(2)函数y＝f(x)的图象关于(a,0)对称⇔f(a＋x)＝－f(a－x)⇔f(x)＝－f(2a－x)⇔f(－x)＝－f(2a＋x)；(3)函数y＝f(x)的图象关于点(a，b)成中心对称⇔f(a＋x)＝2b－f(a－x)⇔f(x)＝2b－f(2a－x)．3．两个函数图象之间的对称关系(1)函数y＝f(a＋x)与y＝f(b－x)的图象关于直线x＝b－2a对称(由a＋x＝b－x得对称轴方程)；(2)函数y＝f(x)与y＝f(2a－x)的图象关于直线x＝a对称；(3)函数y＝f(x)与y＝2b－f(－x)的图象关于点(0，b)对称；(4)函数y＝f(x)与y＝2b－f(2a－x)的图象关于点(a，b)对称4．函数图象的变换(1)平移变换a>0，右移a个单位①y＝f(x)的图象――――――――→y＝f(x－a)的图象；a<0，左移|a|个单位b>0，上移b个单位②y＝f(x)的图象――――――――→y＝f(x)＋b的图象．b<0，下移|b|个单位“左加右减，上加下减”，左加右减只针对x本身，与x的系数,无关，上加下减指的是在fx整体上加减.(2)对称变换关于x轴对称①y＝f(x)的图象―――――→y＝－f(x)的图象；关于y轴对称②y＝f(x)的图象―――――→y＝f(－x)的图象；关于原点对称③y＝f(x)的图象――――――→y＝－f(－x)的图象；关于直线y＝x对称④y＝ax(a>0且a≠1)的图象 ―――――――→ y＝logax(a>0且a≠1)的图象．(3)伸缩变换a>1，横坐标缩短为原来的1纵坐标不变①y＝f(x)的图象 ――――――――――――――1a―――――→ y＝f(ax)的图象．0<a<1，横坐标伸长为原来的a倍，纵坐标不变a>1，纵坐标伸长为原来的a倍，横坐标不变②y＝f(x)的图象 ――――――――――――――――――――→ y＝af(x)的图象．0<a<1，纵坐标缩短为原来的a倍，横坐标不变(4)翻折变换x轴下方部分翻折到上方①y＝f(x)的图象 ――→ y＝|f(x)|的图象；轴及上方部分不变y轴右侧部分翻折到左侧②y＝f(x)的图象 ――→ y＝f(|x|)的图象．原 轴左侧部分去掉，右侧不变三、函数的图像题型分析【一】函数图象的作法函数图象的作法：(1)直接法：当函数表达式是基本函数或函数图象是解析几何中熟悉的曲线(如圆、椭圆、双曲线、抛物线的一部分)时，就可根据这些函数或曲线的特征直接作出．(2)转化法：含有绝对值符号的函数，可去掉绝对值符号，转化为分段函数来画图象．(3)图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称变换得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序．对不能直接找到熟悉的基本函数的要先变形，并应注意平移变换的顺序对变换单位及解析式的影响．1.例题【例1】作出下列函数的图象．(1)|y1x；(2)y＝|log2(x＋1)|；2(3)y＝2x－1；(4)y＝x2－2|x|－1.x－1【例2】为了得到函数y＝log2x－1的图象，可将函数y＝log2x图象上所有点的()A．纵坐标缩短为原来的12，横坐标不变，再向右平移1个单位B．纵坐标缩短为原来的12，横坐标不变，再向左平移1个单位C．横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再向左平移1个单位D．横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移1个单位【例3】设函数y＝2xx－－21，关于该函数图象的命题如下：①一定存在两点，这两点的连线平行于x轴；②任意两点的连线都不平行于y轴；③关于直线y＝x对称；④关于原点中心对称．其中正确的是( )A．①② B．②③ C．③④ D．①④2.巩固提升综合练习【练习1】分别画出下列函数的图象：(1)y＝|lg(x－1)|；(2)y＝2x＋1－1；(3)y＝x2－|x|－2；(4)y＝2xx－－11.【二】函数图象的识别识别函数图象的两种方法：(1)直接根据函数解析式作出函数图象，或者是根据图象变换作出函数的图象．(2)间接法筛选错误与正确的选项可从如下几个方面入手：①从函数的定义域判断图象的左右位置，从函数的值域判断图象的上下位置；②从函数的单调性判断图象的上升、下降趋势；③从函数的奇偶性判断图象的对称性；④从函数的周期性判断图象的循环往复；⑤从特殊点出发排除不符合要求的选项．1.例题【例1】已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，则正比例函数y＝(b＋c)x与反比例函数y＝a－b＋c在同一坐标系中的大致图象是( )x【例2】函数y＝－x4＋x2＋2的图象大致为( )2.巩固提升综合练习【练习1】在同一直角坐标系中，函数 ， (a>0，且a≠1)的图象可能是（ ）【练习2】函数y=2|x|sin2x的图象可能是（ ）A B C D【例3】若函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数y＝－f(x＋1)的图象大致为( )【三】根据图像识别解析式通过图象变换识别函数图象要掌握的两点(1)熟悉基本初等函数的图象(如指数函数、对数函数等函数的图象)；(2)了解一些常见的变换形式，如平移变换、翻折变换．1.例题【例1】如图所示的函数图象，对应的函数解析式可能是（ ）A．y2xx21B．y2xsinxC．yxD．yx22xexlnx【例2】已知图①中的图象是函数y＝f(x)的图象，则图②中的图象对应的函数可能是( )A．y＝f(|x|) B．y＝|f(x)| C．y＝f(－|x|) D．y＝－f(－|x|)2.巩固提升综合练习【练习1】函数yf(x),）的图象如图所示则f(x)的解析式可以为（A．f(x)1exB．f(x)1x3C．f(x)1x2D．f(x)1lnxxxxx【练习2】已知函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式可能是（）A．f(x)1x3B．f(x)1x32x12x1C．f(x)1x3D．f(x)1x32x12x1【四】函数图像的应用函数图像的应用：(1)利用函数图象研究函数性质，一定要注意其对应关系．(2)利用函数的图象研究方程根的个数：当方程与基本函数有关时，可以通过函数图象来研究方程的根，方程f(x)＝0的根就是函数f(x)的图象与x轴交点的横坐标，方程f(x)＝g(x)的根就是函数f(x)与g(x)图象交点的横坐标．(3)利用函数的图象研究不等式：当不等式问题不能用代数法求解但其与函数有关时，常将不等式问题转化为两函数图象的上、下关系问题，从而利用数形结合求解．1.例题【例1】已知函数f(x)＝x|x|－2x，则下列结论正确的是( )A．f(x)是偶函数，递增区间是(0，＋∞)B．f(x)是偶函数，递减区间是(－∞，1)C．f(x)是奇函数，递减区间是(－1,1)D．f(x)是奇函数，递增区间是(－∞，0)【例2】函数f(x)是周期为4的偶函数，当x∈[0,2]时，f(x)＝x－1，则不等式xf(x)＞0在(－1,3)上的解集为( )A．(1,3)B．(－1,1)C．(－1,0)∪(1,3)D．(－1,0)∪(0,1)b，a－b≥1，【例3】对任意实数a，b定义运算“⊙”：a⊙b＝a，a－b<1，设f(x)＝(x2－1)⊙(4＋x)＋k，若函数f(x)的图象与x轴恰有三个交点，则k的取值范围是()A．(－2,1)B．[0,1]C．[－2,0)D．[－2,1)2.巩固提升综合练习【练习1】已知函数f(x)＝|log3x|，实数m，n满足0<m<n，且f(m)＝f(n)，若f(x)在[m2，n]上的最大值为2，则n＝________.m【练习2】已知f(x)＝|lgx|，x>0，则函数y＝2[f(x)]2－3f(x)＋1的零点个数是__________．2|x|，x≤0，四、课后自我检测1．要得到g(x)＝log2(2x)的图象，只需将函数f(x)＝log2x的图象( )A．向左平移1个单位

B．向右平移1个单位C．向上平移1个单位

D．向下平移1个单位e2x＋12．函数f(x)＝的图象()exA．关于原点对称B．关于直线y＝x对称C．关于x轴对称D．关于y轴对称3．已知函数y＝f(x)的定义域为{x|x∈R，且x≠0}，且满足f(x)－f(－x)＝0，当x＞0时，f(x)＝lnx－x＋1，则函数y＝f(x)的大致图象为( )4．设奇函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数，且f(1)＝0，则不等式fx－f－x<0的解集为()xA．(－1,0)∪(1，＋∞)B．(－∞，－1)∪(0,1)C．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D．(－1,0)∪(0,1)5．已知函数f(x)的部分图象如图所示，则该函数的解析式可能是（）A．f(x)xlnx．f(x)xexBC．f(x)lnxD．f(x)exxx6．设函数fxxR满足fxfx0,fxfx2,则yfx的图象可能( )A．B．C．D．7．函数f（x）=3x3的大数图象为（）4x4A． B．C． D．11x8．若函数ym的图象与x轴有公共点，则m的取值范围是________．29．已知函数f(x)＝log2x，x>0，且关于x的方程f(x)－a＝0有两个实根，则实数a的取值范围是________．2x，x≤0，10．定义在R上的函数f(x)＝lg|x|，x≠0，关于x的方程f(x)＝c(c为常数)恰有三个不同的实数根x1，x2，1，x＝0，x3，则x1＋x2＋x3＝________.11．已知函数y＝f(x)及y＝g(x)的图象分别如图所示，方程f(g(x))＝0和g(f(x))＝0的实根个数分别为a和b，a＋b＝________.12．已知函数f(x)＝x|m－x|(x∈R)，且f(4)＝0.(1)求实数m的值；(2)作出函数f(x)的图象；(3)根据图象指出f(x)的单调递减区间；(4)若方程f(x)＝a只有一个实数根，求a的取值范围．13．已知函数f(x)的图象与函数h(x)＝x＋1x＋2的图象关于点A(0,1)对称．(1)求f(x)的解析式；(2)若g(x)＝f(x)＋ax，且g(x)在区间(0,2]上为减函数，求实数a的取值范围．14．已知函数f(x)＝2x，x∈R.(1)当m取何值时方程|f(x)－2|＝m有一个解？两个解？(2)若不等式[f(x)]2＋f(x)－m>0在R上恒成立，求m的取值范围．专题02 方程的根与函数的零点问题一、方程的根与函数的零点问题知识框架二、函数零点存在性判断1、函数零点存在性判断：（此定理只能判断出零点存在，不能确定零点的个数）若函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图像是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，即f(a)·f(b)＜0，则在区间(a，b)内，函数y＝f(x)至少有一个零点，即相应方程f(x)＝0在区间(a，b)内至少有一个实数解．2、求函数零点所在区间的方法：(1)解方程法：当对应方程f(x)＝0易解时，可先解方程，再看解得的根是否落在给定区间上．(2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断．1.例题【例1】设f(x)＝lnx＋x－2，则函数f(x)的零点所在的区间为()A．(0，1)B．(1，2)C．(2，3)D．(3，4)1【例2】函数y＝ln(x＋1)与y＝的图象交点的横坐标所在区间为()xA．(0，1)B．(1，2)C．(2，3)D．(3，4)【例3】函数（）的导函数的图象如图所示：（1）求的值并写出的单调区间；（2）若函数有三个零点，求的取值范围．2.巩固提升综合练习【练习1】函数f(x)＝3x－7＋lnx的零点位于区间(n，n＋1)(n∈N)内，则n＝________．【练习2】若a＜b＜c，则函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位于区间( )A．(a，b)和(b，c)B．(－∞，a)和(a，b)C．(b，c)和(c，＋∞)D．(－∞，a)和(c，＋∞)【练习3】已知函数fxcosx1x21.4 , ； 2 2（2）判断yfx的零点个数，并给出证明过程.三、方程的根与函数零点个数1、方程的根与函数零点的关系：函数y＝f(x)有零点⇔方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与函数y＝0(即x轴)有交点．2、求方程的根与函数零点个数的方法：(1)解方程法：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理法：利用定理不仅要求函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点或零点值所具有的性质．(3)数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题．先画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．1.例题【例1】已知函数f(x)＝x－2，x>0，满足f(0)＝1，且f(0)＋2f(－1)＝0，那么函数g(x)＝f(x)＋x的－x2＋bx＋c，x≤0零点个数为________．【例2】函数f(x)2xlog0.5x1的零点个数为()A．1B．2C．3D．4【例3】已知函数.（1）求在处的切线方程；（2）试判断在区间上有没有零点？若有则判断零点的个数.2.巩固提升综合练习【练习1】已知函数f(x)＝2－|x|，x≤2，函数g(x)＝3－f(2－x)，则函数y＝f(x)－g(x)的零点个数为()x－22，x＞2，A．2B．3C．4D．5【练习2】若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，且当x∈[0，1]时，f(x)＝x，则函数y＝f(x)－log3|x|的零点个数是________．【练习3】已知函数（，）．（1）若在上单调递减，求的取值范围；（2）当时，判断关于的方程的解的个数．【练习4】已知函数f(x)lnxa,(aR).x（Ⅱ）判断函数f(x)在区间[e2,)上零点的个数.四、利用函数的零点求参数范围已知函数有零点(方程有根)求参数取值范围常用的方法：(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决．(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．1.例题【例1】已知方程|x2－a|－x＋2＝0(a＞0)有两个不等的实数根，则实数a的取值范围是()A．(0，4)B．(4，＋∞)C．(0，2)D．(2，＋∞)1【例2】已知f(x)是定义在R上且周期为3的函数，当x∈[0，3)时，f(x)x22x．若函数2f(x)a在区间[－3，4]上有10个零点(互不相同)，则实数a的取值范围是________．【例3】已知函数(1)求曲线在点处的切线方程；(2)若函数恰有2个零点，求实数的取值范围.2.巩固提升综合练习【练习1】若函数f(x)＝ax2－x－1有且仅有一个零点，则实数a的取值为()A．0B．－1C．0或－1D．244【练习2】已知函数f(x)log21xx，若实数x0是方程f(x)0的解，且0x1x0，则f(x1)的3值为()A．恒为负B．等于零C．恒为正D．不小于零【练习3】已知x∈R，符号[x]表示不超过x的最大整数，若函数f(x)＝[xx]－a(x≠0)有且仅有3个零点，则a的取值范围是()3，4∪4，3B．3，4∪4，31，2∪5，3D．1，2∪5，3A．45324532C．23422342【练习4】【2018年理数全国卷II】已知函数．（1）若，证明：当时，；（2）若在只有一个零点，求．【练习5】11.已知函数,aR.（Ⅰ）当时,求的单调区间和极值；（Ⅱ)若关于的方程恰有两个不等实根,求实数的取值范围；五、课后自我检测1．已知函数f(x)6log2x，在下列区间中，包含f(x)零点的区间是()xA．(0，1)B．(1，2)C．(2，4)D．(4，＋∞)2．方程log3xx3的根所在的区间为()A．(0，1)B．(1，2)C．(2，3)D．(3，4)3．设a1，a2，a3均为正数，λ1＜λ2＜λ3，则函数f(x)＝a1＋a2＋a3的两个零点分别位于区间()x－λ1x－λ2x－λ3A．(－∞，λ1)和(λ1，λ2)内B．(λ1，λ2)和(λ2，λ3)内C．(λ2，λ3)和(λ3，＋∞)内D．(－∞，λ1)和(λ3，＋∞)内6．已知函数f(x)x1,x1，则函数f(x)的零点为()21log2x,x1A．1，0B．－2，0C．1D．0227．已知函数f(x)＝2x－1，x＞0，若函数g(x)＝f(x)－m有3个零点，则实数m的取值范围是________．－x2－2x，x≤0，8．已知函数f(x)＝2x－a，x≤0，有三个不同的零点，则实数a的取值范围是________．x2－3ax＋a，x＞09.已知函数的两个零点为．（1）求实数m的取值范围；（2）求证：．10、已知函数fxexxaaR.（1）当a0时，求证：fxx；（2）讨论函数fx零点的个数.11.【2017课标1，理21】已知函数f(x)ae2x(a2)exx.（1）讨论f(x)的单调性；（2）若f(x)有两个零点，求a的取值范围.12.已知函数f（x）=x3ax14,g(x)lnx.（1）当a为何值时，x轴为曲线yf(x)的切线；表示m,n中的最小值，设函数h(x)minf(x),g(x)(x0)，讨论h（x）零点（2）用minm,n的个数.专题03 导数与切线方程一、导数与切线方程问题知识框架二、导数与切线方程问题题型分析【一】已知切点求切线已知切点(x0,y0)求切线方程表述：在某点处的切线方程，该点为切点。求切线方程的基本思路（1） 求导：利用求导公式进行求导f’(x)（2） 求k:将切点的横坐标x0代入f’(x0)=k（3） 求线：利用点斜式y-y0=f’(x0)(x-x0)注意：如果切点的横坐标已知，求纵坐标，可以将切点的横坐标代入原函数（曲线）求纵坐标。记得切点即在切线方程上也在原函数上。1.例题1xe4xx2在点0,f【例】曲线f0处的切线方程是（）A．3xy10B．3xy10C．3xy10D．3xy10【例2】函数f(x)2xlnx的图象在x1处的切线方程为（）A．xy10B．xy10C．2xy10D．2xy10【例3】已知函数f(x)的导函数为f'(x)，且满足f(x)cosxxf'()，若曲线yf(x)在x0处的2切线为l，则下列直线中与直线l垂直的是（）A．2xy10B．2xy10C．x2y20D．x2y102.巩固提升综合练习【练习1】若函数()=ln2，则()在点(1,0)处的切线方程为（）A．=0B．2−4−x1=0C．2+4−1=0D．2−8−1=0【练习】曲线在点1,f1处的切线方程为．【练习3】曲线yxex2x21在点（0,1）处的切线方程为________.【二】过某点求切线未知切点求切线方程1.表述：过某点且与函数（曲线）相切的切线方程2.求切线方程的基本思路（1）判断：判断点是否在曲线上将点代入曲线①曲线等式成立即点在曲线上，那该点可能是切点可能不是切点，分类讨论；一类该点是切点，参考以上一的求法求切线方程，一类不是切点，请参考下面的方法求切点。②曲线等式不成立，即该点不是切点（2）该点(x1,y1)不是切点但在切线上时，求切线方程的思路①设点：设切点(x0，y0) ′( )=y1−y0 =f(x)②求x0：利用斜率的关系求切点横坐标k＝fx0 y1−x0和y 0（即将切点代入原函数）联立解x0③求k:利用k＝f′(x0)④求线：利用点斜式y-y0=f’(x0)(x-x0)或利用点斜式y-y1=f’(x0)(x-x1)1.例题【例1】已知函数fxx3，则过（1,1）的切线方程为__________．【例2】已知曲线()=1，则过点(−1,3)，且与曲线=()相切的直线方程为。【练习2.巩固提升综合练习的切线，则切线方程为_______________________.【练习1】过点作曲线2,________.】过坐标原点作曲线的切线则切线方程为【三】利用切线求参数1.例题【例1】已知曲线yxlnx在点1,1处的切线与抛物线yax2a2x1相切，则a的值为（）A．0B．0或8C．8D．1【例2】已知函数()=+2.若曲线=()存在两条过(1,0)点的切线，则的取值范围是（）A．(−∞,1)∪(2,+∞)xB．(−∞,−1)∪(2,+∞)CD．．1e在x1处的切线l与直线2x3y0垂直，则实数a的值为______.【例3】已知曲线yxa【练习1】已知函数2.巩固提升综合练习的切线与直线=1+3垂直，则+=()A．−32B．−20xC．25D．42【练习2】已知函数f(x)aeb(a,bR)在点(0,f(0))处的切线方程为y2x1，则ab_______．3y1alnxlnax1处的切线与直线x3y10垂直，则实数a的值为【练习】已知曲线在x______.【四】切线与其他知识综合运用1.例题1x4yxky1()【例】已知直线ykx2与抛物线2相切，则双曲线222的离心率等于3A．B．6C．D．35222fxRx0fxln3x1ex则曲线yf【例】已知偶函数的定义域为，且当时，x在点处的切线斜率为（）1,f1A．1eB．1eC．3eD．3e42422.巩固提升综合练习f(x)3f(x)x2x1xR【练习1】若3对恒成立，则曲线yfx在点1,f1处的切线方程为（）A．5x2y50B．10x4y50C．5x4y0D．20x4y1502yx32x22A处的切线方程为y4x6，且点A在直线mxny10（其【练习】若曲线在点中m0，n0）上，则12的最小值为（）mnA．4B．32C．64D．82222【练习3】抛物线y2x2图象在第一象限内一点ai,2ai2处的切线与x轴交点的横坐标记为ai1，其中iN，若a232.，则a2a4a6 ______．三、课后自我检测1．已知过点P(1,1)且与曲线yx3相切的直线的条数有（）．A．0B．1C．2D．32.曲线fxlnxx2x1在点1,1处的切线方程是（）A．2xy10B．2xy10C．2xy10D．2xy103．曲线yx34x4在点(1,1)处的切线的倾斜角为（）A．30B．45C．60D．1352sinx4．若点P是函数y=图象上任意一点，直线l为点P处的切线，则直线l斜率的范围是（）sinxcosxA．,1B．0,1C．1,D．0,15Rfxx0fxx32xmP2f2．已知定义在上的奇函数（），当时，（），则曲线y（fx）在点（，（））处的切线斜率为（）A．10B．-10C．4D．与m的取值有关6．过抛物线x22pyp0上两点A,B分别作抛物线的切线，若两切线垂直且交于点P1，2，则直线AB的方程为（）A．y1x2B．y1x3C．y1x3D．y1x224247C:y3x42x39x24CllC．设曲线，在曲线上一点M1，4处的切线记为，则切线与曲线的公共点个数为（）A．1B．2C．3D．48．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x0时，f(x)12ln(x)，则曲线yf(x)在点x(1,f(1))处的切线方程为（）A．3xy20B．3xy40C．3xy40D．3x+y-4=09．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x0时，f(x)12ln(x)，则曲线yf(x)在点x(1,f(1))处的切线方程为（）A．3x+y-4=0B．3xy40C．3xy20D．3xy4010．已知函数f(x)xlnxa在xe处的切线经过原点，则实数f(1)（）A．eB．1C．1D．0e11．设函数fxxexaex的导函数为fx，若fx是奇函数，则曲线yfx在点1,f1处切线的斜率为（）A．1B-1C．eD2e．．2e912．曲线fxx3x23x在点1,f1处的切线斜率为_____________.213．已知f(x)为奇函数，当x0时，f(x)x4x，则曲线yf(x)在x1处的切线方程是_________.14．函数fxexx2在0,f0处切线方程是______．15．已知函数f(x)lnx的图像在点1,f1处的切线过点0,a，则a_____．x16．过坐标原点O作曲线C:yex的切线l，则曲线C、直线l与y轴所围成的封闭图形的面积为______17．若函数f(x)xalnx在点(1,1)处的切线方程为y2x1，则实数a_________.18．曲线yacosx在x处的切线l的斜率为1，则切线l的方程为_____．6219．曲线f(x)1x2xlnx在点(1，f(1))处的切线与直线axy10垂直，则a________.220．已知函数fxexax的图象在点0,f0处的切线与曲线ylnx相切，则a______．21yaxlnx1,a___________．若曲线2在点处的切线平行于x轴，则该切线方程为。22．若曲线yx22lnx的一条切线的斜率是3，则切点的横坐标为________．23．若x1是函数f(x)lnxkx的极值点，则函数f(x)lnxkx在点(1,f(1))处的切线方程是e______．=()=2=3+1(2)+(2)=______．24．已知函数的图像在处的切线方程是，则252__________．已知恰有两条不同的直线与曲线和都相切，则实数的取值范围是．26．已知函数fxxalnxb在点x1处的切线方程为y4x2，则ab．__________27．函数f（x）＝x−2在x＝2处的切线方程为_____．()=+cos28．设函数的图象上任意一点处的切线为，若函数的图象上总存在一点，__________使得在该点处的切线满足，则的取值范围是．29．曲线ylnxax在x2处的切线与直线axy10平行，则实数a_______．30．若函数f(x)a1nx,(aR)与函数g(x)，在公共点处有共同的切线，则实数a的值为______．x31．已知函数f(x)ax21的图像在点A(1,f(1))处的切线与直线x8y0垂直，若数列{1}的前nf(n)项和为Sn，则Sn__________．32f(x)x1xa1g(x)eaxbx．已知函数1的图象是以点(1,1)为中心的中心对称图形，x2，曲线yf(x)在点(1,f(1))处的切线与曲线yg(x)在点(0,g(0))处的切线互相垂直，则b__________．33．已知函数fxx22ax，gx4a2lnxb，设两曲线yfx，ygx有公共点P，且在P点处的切线相同，当a0,时，实数b的最大值是______．34．已知函数fxex在点Px1,fx1处的切线为l1,gxlnx在点Qx2,gx2处的切线为l2，且l1与l2的斜率之积为1，则PQ的最小值为__________．35．已知曲线f(x)23在点1,f(1)处的切线的倾斜角为，则sin2cos2x的值为32sincoscos2__________．4−4−=0>0恰有三个公共点，这三个点的横坐标从36．已知函数=cos2的图象与直线小到大分别为1,2,3，则2−1________.==37．若直线=+=ln+2___________38．已知函数()=3sin+13在=0处的切线与直线−−6=0平行，则(+1−2)的展开式__________中常数项为 + ． e =ln(+2) =39．若直线 是曲线 的切线，也是曲线 的切线，则 ___________．专题4 函数单调性、极值、最值与导数问题一、函数单调性、极值、最值知识框架二、函数单调性、极值、最值问题题型【一】判断函数单调性1.例题【例1】已知函数fxaxex判断函数fx的单调性。【例2】已知函数f(x)lnxax12，其中a∈R，讨论并求出f(x)在其定义域内的单调区间．2.巩固提升综合练习【练习1】已知函数f(x)ex，gxax2x1a0.设Fxgx，讨论函数Fx的单调性；fx【练习2】已知f(x)(ax2x)lnx12ax2x，求f(x)单调区间.【二】根据单调性求参数1.例题【例1】（1）若函数f(x)x22(a1)x2在区间,4上是减函数，则实数a的取值范围是.（2）函数fxex2x24x4在区间k1,k1上不单调，实数k的范围是（）（3）若函数fxlog1x24x5在区间3m2,m2内单调递增，则实数m的取值范围2为.（4）若函数fxax2xlnx存在增区间，则实数a的取值范围为.【例2】已知函数f(x)ax33x2x(xR)恰有三个单调区间，则实数a的取值范围为（）A．3,B．3,00,C．,00,3D．3,2.巩固提升综合练习132[1,2]上单调递增，则实数a的取值范围是（【练习1】函数f(x)axxa在）A．a1B．a1C．a2(−3,−3)D．a2范围是（）【练习2】已知函数（）在21内存在单调递减区间，则实数的取值A．(0,3]B．(−∞,3]2C．(3,+∞)D．(3,3)【练习3】若函数f(x)lnxx在区间[t,t2]上是单调函数，则t的取值范围是（）xA．[1,2]B．[1,)C．[2,)D．(1,)【三】函数的极值问题(1)函数的极小值：函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其它点的函数值都小，f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．(2)函数的极大值：函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近的其他点的函数值都大，f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．极小值点，极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值．1.例题【例1】(1)函数f(x)12xx3的极大值点是_______，极大值是________。(2)函数f(x)1x3ax的极大值为2，则实数a__________．33x12(1)f(x)xaxbxaa7，则a（【例】函数322在处有极值为）A．-3或3B．3或-9C．3D．-3(2)若函数f(x)exaxa2在R上有小于0的极值点，则实数a的取值范围是（）A．(1,0)B．(0,1)C．(,1)D．(1,)2.巩固提升综合练习【练习1】已知函数f(x)alnxbx2，a,bR，若f(x)在x1处与直线y=-1相切．2（1）求a,b的值；（2）求f(x)在[1e,e]上的极值．ex1【练习2】若函数fxaxlnx在,2内有两个不同的极值点，则实数a的取值范围是（）2xA．2e,eB．2e,ee2e2C．,2eD．,2e22【练习3】已知函数f(x)x3mx2(m6)x1既存在极大值又存在极小值，则实数m的取值范围是（）A．(1,2)B．(,3)(6,)C．(3,6)D．(,1)(2,)【四】函数的最值问题求函数最值的五种常用方法及其思路(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值．(2)图像法：先作出函数的图像，再观察其最高点、最低点，求出最值．(3)基本不等式法：先对解析式变形，具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值．(4)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值．(5)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值．1.例题【例1】已知函数f(x)1x3ax2bx1，当x3时，函数f(x)有极小值8.3（2）求f(x)在[0,4]上的值域.【例2】（1）已知()=−13+在区间(,10−2)上有最大值，则实数a的取值范围是（）A．<−1B．−2≤2<3C．−2≤<1D．−3<<1（2）已知函数fxx1ax3a在区间1,2上有最大值无最小值，则实数a的取值范围（）exA．,4B．[1,)C．4,1D．4,12.巩固提升综合练习【练习1】若x1是函数fxx2ax5ex的极值点，则fx在2,2上的最小值为______.【练习2】已知函数()=3−2在(−1，1)上没有最小值，则的取值范围是________________．三、课后自我检测1fxxalnx不是单调函数，则实数a的取值范围是（.．若函数）A．[0,+∞）B．（﹣∞，0]C．（﹣∞，0）D．(0,+∞）2．已知函数f(x)mln(x1)x2mx在(1,)上不单调，则m的取值范围是（）A．(4,)B．(,4]C．(,0)D．(0,)3．对于任意x，x[1,)，当xx时，恒有alnx22(x2x1)成立，则实数a的取值范围是（）1221x1A．(,0]B．(,1]C．(,2]D．(,3]4．已知函数f(x)＝x3＋sinx，x∈(－1，1)，则满足f(a2－1)＋f(a－1)>0的a的取值范围是()A．(0，2)B．(1，)C．(1，2)D．(0，)225．f(x)1xcosx在0,上的极小值为（）2551D．1A．3B．C．32122121221226．f(x)x33x22在区间[1，5]上的最大值是（）A．-2B．0C．52D．27．若函数()=−3−在区间(0,1)内有最小值，则的取值范围是（）A．0≤<1B．0<<1C．−1<<1D．0<<218．已知函数f(x)1ln(x1)(x2),若f(x)k恒成立,则整数k的最大值为()x1x2A．2B．3C．4D．59．已知f（x）=-x3-ax在（-∞，-1]上递减，且g（x）=2x-在区间（1，2]上既有最大值又有最小值，则a的取值范围是（）10．已知函数()=+ln，()=−3+2+5，若对任意的1,2∈21,2，都有(1)−(2)≤0成立，则实数的取值范围是（）A．−∞,2−4ln2B．−∞,1C．2−4ln2,1+1ln2D．−∞,1+1ln2在(1,2)上有最大值无最小值，则实数a的取值范围为（．若函数32）A．a3B．a5C．5a3D．5a343343412．已知f(x)x3ax2bx满足f(1x)f(1x)220，则f(x)的单调递减区间是。= −sin2+sin −∞,+∞13．若函数3 在单调递增，则的取值范围是__________．14．已知函数f(x)x32x2ax1在区间(0,1)上不是单调函数，则实数a的取值范围是_________.15．已知a为实数,函数=3− 2+2−1在区间(-∞,0)和(1,+∞)上都是增函数,则a的取值范围是______.16．设函数fxlnxax232x，若x1是函数fx是极大值点，则函数fx的极小值为________17．已知函数f(x)axlnx，当x(0,e]（e为自然常数），函数f(x)的最小值为3，则a的值为_____________.18．设函数fx3，，若fx无最大值，则实数a的取值范围是__．x3xxa2x，xax3.191（1）求函数fx的解析式；（2）求函数fx在2,4的最值.（Ⅰ）若函数()=ln−+(∈).20．已知函数[1,+∞)（）若.在上单调递减，求实数的取值范围；，求的最大值21．设函数f(x)＝aex(x＋1)(其中e＝2.71828…)，g(x)＝x2＋bx＋2，已知它们在x＝0处有相同的切线．(1)求函数f(x)，g(x)的解析式；(2)求函数f(x)在[t，t＋1](t＞－3)上的最小值．已知函数f(x)lnxx23ax1，讨论函数f(x)的单调性；23．已知函数fxlnx12x2axaR，讨论fx的单调性；.24．已知函数f(x)lnxax12，其中a∈R.(1)当a＝4时，求f(x)的极值点；(2)讨论并求出f(x)在其定义域内的单调区间．专题5 函数中恒成立与存在性问题一、函数中恒成立与存在性问题知识框架二、函数中恒成立问题【一】分离参数法利用分离参数法来确定不等式fx,0,（xD,为实参数）恒成立中参数的取值范围的基本步骤:①将参数与变量分离,即化为gfx（或gfx）恒成立的形式；②求fx在xD上的最大（或最小）值；③解不等式gf(x)max(或gfxmin),得的取值范围.1.例题【例1】不等式x3exalnxx1对任意x(1,)恒成立，则实数a的取值范围（）A．(,1e]B．(,22]．(,2]D．(,3]eC【例2】已知函数f(x)axxlnx的图象在点xe（e为自然对数的底数）处的切线的斜率为3．(1)求实数a的值；(2)若f(x)kx2对任意x0成立,求实数k的取值范围.2.巩固提升综合练习【练习1】已知函数f(x)logax,g(x)2loga(2xt2),其中a0且a1,tR．(1)若t4,且x[14,2]时,F(x)g(x)f(x)的最小值是－2,求实数a的值；(2)若0a1,且x[14,2]时,有f(x)g(x)恒成立,求实数t的取值范围.【练习2】若x(0,)，ex1xlnxa恒成立，则a的最大值为（x）A．1B．1C．0D．ee【练习】已知aR，设函数f(x)x22ax2a,x1若关于x的不等式f(x)0在R上恒成立，1xalnx,x则a的取值范围为（）A．B．0,2C．0,eD．1,e0,1【二】函数性质法利用函数性质求解恒成立问题，常见的是利用函数单调性求解函数的最大、最小值。因含有参数，大多要分类讨论.①x∈D均有fx)>A恒成立,则f(x)min>A；③∈D,均有f(x)A恒成立,则f(x)max<A∴；②∈,均有(﹤恒成立则；∀xD,均有fx>g(x),F(x)=f(x)-g(x)>0,F(x)min>0xDf(x)g(x),F(x)=f(x)-g(x)<0,F(x)max<0④∈()﹤恒成立则∴；⑥∈∈E,均有f(x1)>g(x2)恒成立,则f(x)min>g(x)max⑤∈,∈均有恒成立则；∀x1D,∀x2E,f(x1)<g(x2),f(x)max<g(x)min.1.例题x2x,x0,13【例1】定义域为R的函数fx满足fx22fx，当x0,2时，fx1x，2,x1,22若当x4,2时，不等式fxm21恒成立，则实数m的取值范围是（m）42A．2,3B．1,3C．1,4D．2,4【例2】若对xI，x2m,，且x1x2，都有x1lnx2x2lnx11，则m的取值范围是（）注:x2x1（e为自然对数的底数，即e2.71828…）1B．e,C．1,D．1,A．,e【例3】已知函数f(x)1x2alnxx1，对任意x∈[1，＋∞)，当f(x)mx恒成立时实数m的最22大值为1，则实数a的取值范围是．2.巩固提升综合练习【练习1】已知函数，，当时，不等式恒成立，则实数的取值范围为（）A．-，eeeB．（-，e）C．（-，）D．-，222R上的偶函数f在[0,)上递减，若不等式【练习】已知定义在x2f(axlnx1)f(axlnx1)3f1对x1,3恒成立，则实数a的取值范围是（）A．2,eB．[1,)C．[1,e]D．[1,2ln3]eee3【练习3】若，满足恒成立，则实数的取值范围为__________．【三】数形结合法对于参数不能单独放在一侧的,即不能用分离参数法解决问题时，可以利用函数图象来解：利用数形结合解决恒成立问题,应先构造函数,作出符合已知条件的图形,再考虑在给定区间上函数与函数图象之间的关系,得出答案或列出条件,求出参数的范围.（1）对于一次函数f(x)kxb,x[m,n]有：(x)0恒成立f(m)0,f(x)0恒成立f(m)0f(n)0f(n)0（2）对于二次函数f(x)ax2bxc(a0),f(x)0在xR上恒成立a0且0；f(x)0在xR上恒成立a0且0.1.例题【例1】已知函数fxx22kx2,在x1恒有fxk,求实数k的取值范围.【例2】已知函数f(x)＝－|x3－2x2＋x|，x<1，若对于∀t∈R，f(t)≤kt恒成立，则实数k的取值范围是lnx，x≥1，________．2.巩固提升综合练习【练习1】已知定义在R上的奇函数fx满足:当x0时,fxx3,若不等式f4tf2mmt2对任意实数t恒成立,则实数m的取值范围是（）A．,B．2,02C.,02,D．,2,2x21【练习2】若不等式2x1m对任意m1,1恒成立,实数x的取值范围是.【练习】已知函数f(x)3lnx,x1,若不等式f(x)|2xa|对任意x(0,)上恒成立，则6,x1x24x实数a的取值范围为（）1B．[3,3ln5]C．[3,4ln2]1A．3,3D．3,5ee三、函数中存在性问题x0D,使得f(x0)A成立,则f(x)maxA；②.x0D,使得f(x0)A成立,则f(x)minA；③.xD,使得f(x)g(x)成立,设F（x）f(x)g(x),∴F（x）0；000max④.xD,使得f(x)g(x)成立,设F（x）f(x)g(x),∴F（x）0；000minx1D,x2E,使得f(x1)g(x2)成立,则f(x)maxg(x)min；x1D,x2E,均使得f(x1)g(x2)成立,则f(x)ming(x)max.⑦.xD,xE,均使得f(x)g(x)成立,则AB.（其中Ayyf(x)、1212Byyg(x)）1.例题【例1】已知函数f(x)＝x|x2－a|，若存在x∈[1，2]，使得f(x)<2，则实数a的取值范围是________．【例2】已知f(x)12x2x,g(x)ln(x1)a,若存在x1,x2[0,2],使得f(x1)g(x2),求实数a的取值范围；【例3】已知f(x)12x2x,g(x)ln(x1)a,若存在x1,x2[0,2],使得f(x1)g(x2),求实数a的取值范围.2.巩固提升综合练习1f(x)(xa)2(exa)20f(x)4，则实数a的值为______【练习】已知函数，若存在x，使得0．ee212ax,x1，若x1、x2R，x1x2，使得f(x1)f(x2)成立，则a【练习2】已知函数f(x)xax1,x1的取值范围是（）．A．a2B．a2C．2a2D．a2或a2x24,x0【练习】已知函数f(x)x，23x14，若存在实数x，使得g(m)f(x)18e,x0x成立，则实数m的取值范围为（）A．(4,7)B．[4,7]C．(,4)(7,)D．(,4][7,)【练习4】已知函数f(x)lnx,h(x)ax(aR).（1）函数f(x)的图象与h(x)的图象无公共点,求实数a的取值范围；（2）是否存在实数m,使得对任意的x(1,),都有函数yf(x)m的图象在g(x)ex的图象的下2xx方？若存在,请求出整数m的最大值；若不存在,请说理由.（参考数据：ln20.6931,ln31.0986,1.6487,31.3956）.ee四、函数中恒成立与存在性的综合问题①.x1D,x2E,使得f(x1)g(x2)成立,则f(x)ming(x)min②.x1D,x2E,使得f(x1)g(x2)成立,则f(x)maxg(x)max.③.x1D,x2E,均使得f(x1)g(x2)成立,则AB.（其中Ayyf(x)、Byyg(x)）1.例题22【例1】已知函数f(x)x,x2,2，g(x)asin(2x)3a,x0,，x12,2，总62x00,2，使得gx0fx1成立，则实数a的取值范围是____________.【例2】已知函数f(x)＝x2－2ax＋1，g(x)＝ax，其中a>0，x≠0.对任意x1,2，都有f(x)g(x)恒成立，求实数a的取值范围；对任意x11,2，任意x22,4，都有f(x1)g(x2)恒成立，求实数a的取值范围；对任意x11,2，存在x22,4，使f(x1)g(x2)成立，求实数a的取值范围；存在x11,2，任意x22,4，使f(x1)g(x2)成立，求实数a的取值范围．【练习1】已知二次函数=2++>0的图象过点1,0若对任意的1∈0,2，存在2.巩固提升综合练习2∈0,21+2>2，使得3，求的取值范围.【练习2】已知函数=12−2+1+2ln∈．（1）若曲线=在=1和=3处的切线互相平行，求的值；（2）求的单调区间；∈0,2，均存在2∈0,2，使得1<2，求的取值范围（3）设=2−2，若对1五、课后自我检测1．已知函数f(x)axxlnx的图象在点xe（e为自然对数的底数）处的切线的斜率为3．(1)求实数a的值；(2)若f(x)kx2对任意x0成立,求实数k的取值范围.2.已知函数f(x)logax,g(x)2loga(2xt2),其中a0且a1,tR．(1)若t4,且x[14,2]时,F(x)g(x)f(x)的最小值是－2,求实数a的值；(2)若0a1,且x[14,2]时,有f(x)g(x)恒成立,求实数t的取值范围.3.设函数fxex2x1axa,其中a1,若存在唯一的整数t,使得ft0,则a的取值范围是（）333333A．,1B．,C．,D．,12e2e42e42e4.已知函数f(x)＝x3－ax2＋10,若在区间[1,2]内至少存在一个实数x,使得f(x)<0成立,求实数a的取值范围．5.若不等式2x1mx21对任意m1,1恒成立,求实数x的取值范围.6.若不等式ln132x1a3xx1ln3对任意的x,1恒成立,则a的取值范围是（）31010C.2,D.,2A.,B.,337.已知函数fx22x,x0,若关于的不等式f2xafx0恰有个整数解,则实数的x2x2x,x0最大值是（）A.B.C.5D.8.已知函数fxx1,若对任意xR,fxax恒成立,则实数a的取值范围是（）exA.,1eB.1e,1C.1,e1D.1e,9.已知函数fxlnxa2x2a4(a0),若有且只有两个整数x1, x2使得fx10,且fx20,则a的取值范围是（ ）A. ln3,2 B. 2ln3,2 C. 0,2ln3 D. 0,2ln310.已知对任意的，总存在唯一的，使得成立（为自然对数的底数），则实数的取值范围是( )A．B．C．D．专题06 函数不等式的证明一、函数不等式的证明知识框架二、构造辅助函数证函数不等式1、解题技巧：把不等式的证明转化为利用导数研究函数的单调性或求最值，从而证得不等式，而如何根据不等式的结构特征构造一个可导函数是用导数证明不等式的关键.2、解题程序：（1）移项（有时需要作简单的恒等变形），使不等式的一端为0，另一端即为所构造的辅助函数f(x)；（2）求f(x)，并求f(x)在指定区间上的单调性；（3）求f(x)在指定区间上的最值，作比较即得所证.1.例题【例1】已知函数f(x)ln(x1)x，求证：当x1时，恒有1 1 ln(x1)xx1【例2】证明当bae,证明abba【例3】证明：对任意的正整数n，不等式ln(11)11都成立.nn2n32.巩固提升综合练习【练习1】已知函数f(x)12x2lnx.求证：在区间(1,)上，函数f(x)的图象在函数g(x)23x3的图象的下方；【练习2】若函数yf(x)在R上可导且满足不等式xf(x)f(证：af(a)bf(b)【练习3】已知函数g(x)xlnx，设0ab,证明：0g(a)

x)恒成立，且常数a,b满足ab，求g(b)2g(ab)(ba)ln2.2三、函数不等式的变形原理【一】幂函数与lnx的积商形式对于这类函数,一般来说，每次求导数，多项式的次数就降低一次，但最终的导数形式需化成不含lnx的式子，如f(x)(x1)lnx，需两次求导才能化成不含lnx的式子，如果把lnx分离出来，只需一次求导就可化成不含lnx的式子，所以，在解决这类问题时，方法是：尽可能把lnx分离出来.1.例题【例1】已知函数f(x)alnxb(x1),曲线yfx在点1,f1处的切线方程为y=2x（1）求a,b的值；（2）当x0且x1时，求证：f(x)(x1)lnxx12.巩固提升综合练习【练习1】已知函数fxlnxaaR.x（1）若曲线yfx在点1,f1处的切线与直线xy10平行，求a的值；（2）在（1）条件下，求函数fx的单调区间和极值；（3）当a1，且x1