高考重难点题型归纳32讲上册（学生版）

目录第1讲幂指对三角函数值比较大小10类 9【题型一】临界值比较：0、1临界 9【题型二】临界值比较：选取适当的常数临界值（难点） 9【题型三】差比法与商比法 10【题型四】利用对数运算分离常数比大小 10【题型五】构造函数：lnx/x型函数 11【题型六】构造函数综合 12【题型七】放缩（难点） 12【题型八】函数奇偶性和单调性等综合 13【题型九】三角函数值比较大小 13【题型十】数值逼近 14第2讲中心对称、轴对称与周期性7类 17【题型一】中心对称性质1：几个复杂的奇函数 17【题型二】中心对称性质2：与三角函数结合的中心对称 17【题型三】轴对称 18【题型四】中心对称和轴对称构造出周期性 19【题型五】画图：放大镜 19【题型六】利用对称解决恒成立和存在型 20【题型七】函数整数问题 21第3讲零点10类 23【题型一】水平线法：参变分离 23【题型二】基础图像交点法 24【题型三】分段函数含参 24【题型四】研究直线斜率（临界是切线）寻找交点关系 25【题型五】“放大镜”函数的交点 26【题型六】函数变换： 26【题型七】对数函数绝对值“积定法” 27【题型八】高斯函数型 28【题型九】与三角函数结合 29【题型十】借助周期性 29第4讲 复合二次型和镶嵌函数的零点11类 33【题型一】一元二次复合型基础型：可因式分解 33【题型二】一元二次复合型：根的分布型 33【题型三】一元二次复合型：参变分离与判别式、求根公式型 34【题型四】一元二次复合型（老高考）：线性规划型 35【题型五】一元二次复合型：函数性质综合型 35【题型六】嵌套函数基础型 36【题型七】嵌套函数常规型：无参双坐标系换元转换法 37【题型八】嵌套函数含参型：解析式含参 38【题型九】嵌套函数含参型：参数在方程 38【题型十】嵌套函数含参型：双函数型 39【题型十一】嵌套函数双复合型 40第5讲 导数切线方程11类 43【题型一】求切线基础型：给切点求切线 43【题型二】求切线基础型：有切线无切点求切点 44【题型三】求切线基础：无切点求参 44【题型四】无切点多参 45【题型五】“过点”型切线 45【题型六】判断切线条数 45【题型七】多函数（多曲线）的公切线 46【题型八】切线的应用：距离最值 46【题型九】切线的应用：距离公式转化型 47【题型十】切线的应用：恒成立求参等应用 48【题型十一】切线的应用：零点等 48第6讲 函数单调性含参讨论16类 50【题型一】讨论思维基础：求导后一元一次型参数在常数位置（单参） 50【题型二】讨论思维基础：求导后一元一次型参数在系数位置（单参） 51【题型三】讨论思维基础：求导后一元一次型参数在“斜率”和常数位置（双参） 52【题型四】上下平移思维基础：反比例函数型 53【题型五】上下平移：指数型 53【题型六】上下平移：对数函数型 54【题型七】一元二次可因式分解型 55【题型八】一元二次不能因式分解：判别式+韦达定理+求根公式 56【题型九】双线法：指数型 57【题型十】双线法：对数型 58【题型十一】含三角函数型讨论 59【题型十二】二阶求导讨论型 60【题型十三】已知单调性求参 61【题型十四】不确定单调增或减求参 61【题型十五】存在单调增（减）区间 62【题型十六】非单调函数求参 63第7讲导数构造函数13类 67【题型一】利用xnf（x）构造型 67【题型二】利用f（x）/xn构造型 68【题型三】利用enxf（x）构造型 69【题型四】用f（x）/enx构造型 69【题型五】利用sinx与f（x）构造型 70【题型六】利用cosx与f（x）构造型 72【题型七】复杂型：en与af（x）+bg(x)等构造型 72【题型八】复杂型：（kx+b）与f（x）型 73【题型九】复杂型：与ln（kx+b）结合型 74【题型十】复杂型：基础型添加因式型 75【题型十一】复杂型：二次构造 76【题型十二】综合构造 77【题型十三】技巧计算型构造 78第8讲 导数和函数压轴小题11类（1） 82【题型一】整数解 82【题型二】零点 83【题型三】同构 83【题型四】恒成立求参：移项讨论型 84【题型五】恒成立求参：代入消参型（虚设根型） 85【题型六】恒成立求参：构造函数 85【题型七】恒成立求参：分离参数（常规） 86【题型八】恒成立求参：分离参数（洛必达法则） 87【题型九】恒成立求参：倍函数 87【题型十】恒成立求参：双函数最值型 88【题型十一】数列与导数： 89第9讲 导数与函数压轴小题10类（2） 91【题型一】 导数中的“距离”1：利用同底指数和对数关于y=x对称关系（原函数与反函数） 91【题型二】导数中的“距离”2：构造型距离 92【题型三】导数中的“距离”3：其他距离 93【题型四】极值点偏移 93【题型五】嵌套函数求参 94【题型六】多参型1：复杂讨论型 95【题型七】多参型2：凸凹翻转型 95【题型八】多参型3:比值代换等代换 95【题型九】多参型4：韦达定理型 96【题型十】多参型5：“二次”最值型 97第10讲 导数压轴大题14类（1） 99【题型一】求参1：端点值讨论型 99【题型二】求参2：“存在”型 100【题型三】求参3：“恒成立”型 100【题型四】求参4：分离参数之“洛必达法则” 101【题型五】同构求参5：绝对值同构求参型 102【题型六】同构求参6：x1与x2构造新函数型 102【题型七】零点型 103【题型八】不确定根型 104【题型九】取整讨论型 104【题型十】证明不等式1：基础型 105【题型十一】证明不等式2：数列不等式之单变量构造型 105【题型十二】证明不等式3：数列不等式之无限求和型 106【题型十三】证明不等式4：构造单变量函数型 107【题型十四】证明不等式5：凑配主元型 107第11讲导数压轴大题14类（2） 110【题型一】不等式证明6:凹凸翻转型 110【题型二】不等式证明7：三角函数与导数不等式 111【题型三】不等式证明8：极值点偏移之不含参型 112【题型四】不等式证明9：极值点偏移之含参型 112【题型五】不等式证明10：三个“极值点（零点）”不等式 113【题型六】不等式证明11：比值代换（整体代换等） 113【题型七】不等式证明11：非对称型（零点x1与x2系数不一致） 114【题型八】不等式证明12：韦达定理型 115【题型九】不等式证明13：利用第一问 115【题型十】不等式证明14：含ex和lnx型 116【题型十一】不等式证明15：先放缩再证明 117【题型十二】不等式证明16.：切线放缩证明两根差型（剪刀模型） 117【题型十三】不等式证明17：条件不等式证明 118【题型十四】综合证明：x1与x2型 119第12讲 三角函数性质、最值和W小题16类 122【题型一】图像与性质1：“识图” 122【题型二】图像与性质2：求周期 124【题型三】图像与性质3：正余弦函数的对称轴 124【题型四】图像和性质4：对称中心 125【题型五】最值与范围1：辅助角 126【题型六】最值与范围2：一元二次正余弦有界性 127【题型七】最值与范围3：sinx与cosx积和（差）换元型 127【题型八】最值与范围4：分式型 128【题型九】最值与范围5：绝对值型 129【题型十】三角换元1：圆代换 129【题型十一】三角换元2：双变量消元代换 130【题型十二】三角换元3：无理根号代换 130【题型十三】三角换元4：正切代换 130【题型十四】三角换元5：向量中的三角换元 131【题型十五】三角函数中w求解 131【题型十六】数列与三角函数 132第13讲正余弦定理与解三角形小题15类（1） 135【题型一】解三角形基础：角与对边 135【题型二】判断三角形形状 136【题型三】最值与范围1：先判断角 136【题型四】最值与范围2：余弦定理 137【题型五】最值与范围3：辅助角 138【题型六】最值与范围4：均值不等式 138【题型七】最值与范围5：周长最值 139【题型八】面积1:消角 139【题型九】面积2：正切代换 140【题型十】最值与范围6：建系设点 141【题型十一】最值与范围7：求正切的最值范围 141【题型十二】图形1：中线 142【题型十三】图形2：角平分线 143【题型十四】图形3：高 144【题型十五】图形4：四边形 144第14讲 正余弦定理与解三角形小题9类（2） 147【题型一】图形5：“扩展线” 147【题型二】向量 148【题型三】四心1：外心 149【题型四】四心2：内心 149【题型五】四心3：重心 150【题型六】四心4：垂心 151【题型七】解三角形应用题 151【题型八】超难压轴小题1 153【题型九】超难压轴小题2 154第15讲 三角函数与解三角形大题18类 157【题型一】 Asin（x)图像与性质1:给图求解析式和值域（最值） 157【题型二】 Asin（x)图像与性质2:二倍角降幂公式恒等变形 159【题型三】 Asin（x)图像与性质3:恒等变形（“打散”-重组-辅助角） 160【题型四】 Asin（x)图像与性质4:零点求参 161【题型五】解三角形基础：正弦定理、角与对边 162【题型六】解三角形基础2：余弦定理变形 162【题型七】解三角形1：面积最值 163【题型八】解三角形2：周长最值 164【题型九】解三角形3：边长最值 165【题型十】解三角形4：不对称型最值 165【题型十一】解三角形5：中线 166【题型十二】解三角形6：角平分线 167【题型十三】三角形存在个数 168【题型十四】四边形转化为解三角形 169【题型十五】解三角形：四边形求最值 170【题型十六】三角形中证明题 172【题型十七】解三角形综合 173【题型十八】建模应用 174第16讲 向量小题14类 180【题型一】向量基础：“绕三角形”（基底拆分） 180【题型二】系数未知型“绕三角形” 182【题型三】求最值型“绕三角形” 183【题型四】数量积 184【题型五】数量积最值型 184【题型六】向量模 185【题型七】投影向量 186【题型八】向量技巧1：极化恒等式 186【题型九】向量技巧2：等和线 187【题型十】向量技巧3：奔驰定理与面积 187【题型十一】解析几何中的向量 188【题型十二】向量四心 189【题型十三】综合应用 190【题型十四】超难小题 191第1讲幂指对三角函数值比较大小10类【题型一】临界值比较：0、1临界【典例分析】设alog54,blog14,c0.50.2，则a,b,c的大小关系是（）5A．abcB．bacC．cbaD．cab【变式演练】111.已知a20222021,blog20222021,clog2022，则a，b，c的大小关系为（）2021A．a>b>cB．b>a>cC．c>a>bD．a>c>b若a20.3,blog0.3,c0.32,dlog0.32，则，，，d的大小关系为（）2.2abcA．a<b<c<dB．d<b<c<aC．b<d<c<aD．d<c<b<a3.alog0.70.8,blog0.9,c1.10.9的大小关系是（）1.1A.cabB.abcC.bcaD.cba【题型二】临界值比较：选取适当的常数临界值（难点）【典例分析】已知a3,clog2e，则a，b，c的大小关系为（）3,b24A．acbB．abcC．bacD．bca【变式演练】1.已知a6ln，b3ln2，c4ln1.5，则a、b、c大小关系为（）A．cbaB．cabC．bacD．bca2.已知alog52,b1,c0.70.3，则a，b，c的大小关系为（）log0.10.7A．acbB．abcC．bcaD．cab若a0.50.6,b0.60.5,clog3，则a,b,c的大小关系是（）3.9A．abcB．cabC．cbaD．bca【题型三】差比法与商比法【典例分析】1已知实数a､b､c满足a6,blog23log64,5b12b13c，则a､b､c的关系是（）3A．bacB．cbaC．bcaD．cab【变式演练】1.已知a0.80.4，blog53，clog85，则（）A．abcB．bcaC．cbaD．acblog3.4log3.61log30.32.已知a52,b54,c，则（）5A．abcB．bacC．acbD．cab3.已知3a6b10，则2，ab，ab的大小关系是（ ）A．abab2C．2abab

B．ab2abD．2abab【题型四】利用对数运算分离常数比大小【典例分析】已知m＝log4ππ，n＝log4ee，p＝e1，则m，n，p的大小关系是（其中e为自然对数的底数）（）3A．p＜n＜mB．m＜n＜pC．n＜m＜pD．n＜p＜m【变式演练】1.log23､log812､lg15的大小关系为（）A．log23log812lg15B．log812lg15log23C．log23log812lg15D．log812log23lg15b12.已知ab0,ab1，若x,ylog2ab,za，则logx3x，logy3y，logz3z的大小关系2ab为（）A．logx3xlogy3ylogz3zB．logy3ylogx3xlogz3zC．logx3xlogz3zlogy3yD．logy3ylogz3zlogx3x3.已知alog315，blog440，2c3，则（）A．a＞c＞bB．c＞a＞bC．b＞a＞cD．a＞b＞c【题型五】构造函数：lnx/x型函数【典例分析】设a4ln4，b1，cln2，则a，b，c的大小关系为（e2e2A．acbB．cabC．abcAa=3ln2b=2ln3c=3lnπ【变式演练】1.已知π，π，，则下列选项正确的是（．B．C．

）D．bacb>c>aD．2.以下四个数中，最大的是（ ）1lnπA．ln3B．C．D．15ln153e)π303.下列命题为真命题的个数是(①ln3<3ln2；②lnπ<πe；③215<15；④3eln2<42A．1B．2C．3D．4【题型六】构造函数综合【典例分析】已知实数a、b，满足alog56log2625，3a4a5b，则关于a、b下列判断正确的是（）A．a＜b＜2B．b＜a＜2C．2＜a＜bD．2＜b＜a【变式演练】若2020x2020yxy（x,yR），则（）1.20212021A．lnyx10B．lnyx10C．lnxy0D．lnxy02.已知a2a2,b3b2，则blga与algb的大小关系是（）A．blgaalgbB．blgaalgbC．blgaalgbD．不确定3.已知a6ln，b3ln2，c4ln1.5，则a、b、c大小关系为（）A．cbaB．cabC．bacD．bca【题型七】放缩（难点）【典例分析】若alog23，blog34，clog45，则a、b、c的大小关系是（）A．abcB．bcaC．bacD．cba【变式演练】1.设alog2019blog2020c20191，则a,b,c的大小关系是（2020,2019,）2000A．abcC．cab

B．acbD．cbaA458<<<<，2.设，，则（）．B．C．D．3.已知a2，b5，clog25，d2，则下列大小关系正确的为（）322A．cadbB．acdbC．adcbD．adbc【题型八】函数奇偶性和单调性等综合【典例分析】已知fx为R上的奇函数，gxxf(x)，若gx在区间,0上单调递减.若ag2，bg23，cg1，则a，b，c的大小关系为（）A．abcB．cbaC．bacD．bca【变式演练】1.已知函数fxx，若af30.2,bf0.23,cflog0.23，则a,b,c的大小关系是（3x）A．abcC．cab

B．bacD．cba2.已知函数f(x)满足f(x)f(x)0，且当x(,0)时，f(x)xfx0成立，若a20.6f20.6，11，则a，b，c的大小关系是（b(ln2)f(ln2)，clog2flog2）88A．abcB．cbaC．acbD．cab3.已知fxf2x，xR，当x1,时，fx为增函数．设af1，bf2，cf1，则a、b、c的大小关系是（ ）A．abcC．cab

B．bacD．cba【题型九】三角函数值比较大小【典例分析】三个数cos3，sin1，sin7的大小关系是（）4210A．cos3sin1sin7B．cos3sin7sin121042410C．cos3sin1sin7D．sin7cos3sin121044210【变式演练】1.asin5,b3sin4,c3cos4已知44343，则a,b,c的大小关系为（）A．abcB．bcaC．acbD．bac2.设x,y0,，若sinsinxcoscosy，则cossinx与sincosy的大小关系为（）A．B．C．D．以上均不对3.sin3，cossin2，tancos3的大小关系是（）A．cos(sin2)sin3tan(cos3)B．cos(sin2)tan(cos3)sin3C．sin3cos(sin2)tan(cos3)D．tan(cos3)sin3cos(sin2)【题型十】数值逼近【典例分析】199101已知a,be,cln，则a，b，c的大小关系为（100）101100A．abcB．acbC．cabD．bac【变式演练】1.设c3，blog3，alog4，则，，的大小关系为（）445abcA．bcaB．bacC．abcD．cba2.设a2ln1.01，bln1.02，c1．则（）1.04A.abcB.bcaC.bacD.cab【课后练习】1.若alog14，bln3，c1，则3442A．abcB．bacC．cabD．acb设alog3，blog4，c1.6，则a，b，c的大小关系是（）2.23A．abcB．bacC．cabD．cba已知a0.75，b2log52，c1log3，则a、b、c的大小关系是（）3.22A．acbB．abcC．bacD．cba314,dlog45，则a,b,c,d的大小关系为（）4.已知a2,b3,clog342A．badcB．bcadC．bacdD．abdc已知0.75，b2log2，c1log3，则a、、c的大小关系是（）5.a52b2A．acbB．abcC．bacD．cba6.若2alog2a4b2log4b，则（）A．a2bB．a2bC．ab2D．ab27.已知alog311，blog1127，c，则a，b，c的大小关系是（）3A．bcaB．bacC．cbaD．abc8.若正实数a，b，c满足a2a2，b3b3，clog4c4，则正实数a,b,c之间的大小关系为（A．bacB．abcC．acdD．bca已知(0,π)，aln(2cos21)2，bln(cos1)2，cln(sin1)2，则a,b,c的大小关系为（）6(2cos21)2(cos1)2(sin1)29.A．bcaB．acbC．abcD．cab已知1e，1，1，其中e是自然对数的底数，则a，b，c的大小关系是（1bc4eA．cabB．abcC．cbaD．bac

））11.已知asin1.5cos1.5,bsin1.5cos1.5,ccos1.5sin1.5,dsin1.5cos1.5，则a,b,c,d的大小关系为（ ）A．bcdaC．dbca12.已知当m，n[1，1)时，A．mnC．mn

B．bdcaD．dcbasinmsinnn3m322，则以下判断正确的是()B．|m||n|D．m与n的大小关系不确定已知定义在0,上的函数fx的导函数fx是连续不断的，若方程fx0无解，且x0,，ff(x)log2016x2017，设af20.5,bflog43,cflog3，则a,b,c的大小关系是________.第2讲中心对称、轴对称与周期性7类【题型一】中心对称性质1：几个复杂的奇函数【典例分析】已知函数fx1exex，若不等式fax2f12ax1对xR恒成立，则实数a的取值范围是21（）A．0,eB．0,eC．0,1D．0,1【变式演练】1.对于定义在D上的函数fx，点Am,n是fx图像的一个对称中心的充要条件是：对任意xD都有xf2mx2n，判断函数fxx32x23x4的对称中心______.2.设函数fxlnx21x，若a，b满足不等式fa22af2bb20，则当1a4时，2ab的最大值为A．1B．10C．5D．83.已知函数fxxeexe2e2018e2019e2019ab，其中ln，若ffff2ex20202020202022020b0，则1a的最小值为2ab35A．B．C．D．22442【题型二】中心对称性质2：与三角函数结合的中心对称【典例分析】已知函数ysinx1与yx2在[a，a]（aZ，且a2017）上有m个交点(x1，y1)，(x2，y2)，……，x(xm，ym)，则(x1y1)(x2y2)(xmym)A．0B．mC．2mD．2017【变式演练】1.函数f(x)12sin[(x1)]在x[3,5]上的所有零点之和等于______.x122.若关于

的函数

的最大值为

，最小值为

，且

，则实数的值为___________．3.已知函数fx2x+1sinxlnx21x，若不等式f3x9xfm3x34对任意xR均成立，则m的取值范围为（）A．,21B．,21C．21,21D．21,33333【题型三】轴对称【典例分析】已知函数fx2ex21a2x222xa2有唯一零点，则负实数a（）2A．2B．1C．1D．1或122【变式演练】x4xeex1m,MmM1.fx2x22x已知函数在区间1,5的值域为，则（）A．2fxxB．4fmx=fa-xC．6y=|x-ax-5|D．8xx1y12.已知函数Ry=f（）（∈）满足（）（），若函数与（）图象的交点为（，），（x2，y2），…，（xm，ym），且i1xi=2m，则a=（）D．4A．1B．2C．33.已知函数fxsinx，下面是关于此函数的有关命题，其中正确的有21x22x2x①函数fx是周期函数；②函数fx既有最大值又有最小值；③函数fx的定义域为R，且其图象有对称轴；④对于任意的x1,0，fx0（fx是函数fx的导函数）A．②③ B．①③ C．②④ D．①②③【题型四】中心对称和轴对称构造出周期性【典例分析】()+1−2+4[−9   10]22已知函数为定义域为的偶函数，且满足，当，时，.若函数在区间，上的所有零点之和为．【变式演练】1.定义在R上的奇函数fx满足f2xfx，且在0,1上单调递减，若方程fx1在0,1上有实数根，则方程fx1在区间1,11上所有实根之和是（

）A．30

B．14

C．12

D．62.R的函数f3f0，若曲线yf已知定义域为x的图像关于原点对称，且fxxx在6,f6处切线的斜率为4，则曲线yfx在2022,f2022处的切线方程为（）A．y4x8088B．y4x8088C．y1x1011D．y1x101124243.若函数yf(x)是R上的奇函数，又yf(x1)为偶函数，且-1£x1<x2£1时，[f(x2)f(x1)](x2x1)0，比较f(2017)，f(2018)，f(2019)的大小为（）A．f(2017)f(2018)f(2019)B．f(2018)f(2017)f(2019)C．f(2018)f(2019)f(2017)D．f(2019)f(2018)f(2017)【题型五】画图：放大镜【典例分析】设函数yf(x)的定义域为D，如果存在非零常数T，对于任意xD，都有f(xT)Tf(x)，则称函数f(x)是“似周期函数”，非零常数T为函数yf(x)的“似周期”．现有下面四个关于“似周期函数”的命题：①如果“似周期函数”yf(x)的“似周期”为1，那么它是周期为2的周期函数；②函数f(x)2x是“似周期函数”；③如果函数f(x)cosx是“似周期函数”，那么“2k,kZ或(2k1),kZ”．以上正确结论的个数是（）A．0B．1C．2D．3【变式演练】1.已知函数f(x)满足当x0时，2f(x2)f(x)，且当x(2,0]时，f(x)|x1|1；当x0时，f(x)logax(a0且a1).若函数f(x)的图象上关于原点对称的点恰好有3对，则a的取值范围是（）．(625,．(4,64)．(9,625)．(9,64)A)BCD2.R，满足f(x1)2f(x)，且当x(0,1]时，f(x)x(x1)．若对任意x(,m]，设函数f(x)的定义域为都有f(x)1，则m的取值范围是（）2310,,2A．B．24510,,2C．D．24定义在上函数q满足fx11fx，且当x0,1时，fx12x1则使得fx1在m,上3.R2.16恒成立的m的最小值是（）A．7B．9C．13D．152244【题型六】利用对称解决恒成立和存在型【典例分析】x1m已知函数f(x)lg(xx21)，且对于任意的x(1，2]，f()f[]0恒成立，则m的取值x1(x1)2(x6)范围为（）．(，0]．，A(0)BC．[4，)D．(12，)【变式演练】1.已知函数f(x)2xm（0x1），函数g(x)(m1)x（1x2）.若任意的x10,1，存在x21,2，2x1使得fx1gx2，则实数m的取值范围为（）5B．2,3555A．1,C．2,D．,32231x212.已知fx是定义在R上的函数，且fx1关于直线x14,0x2，对称.当x0时，fx22logx,x22若对任意的xm,m1，不等式f22xfxm恒成立，则实数m的取值范围是（）1,01C．1,1A．B．,1D．,422已知f(x)2sin|x|，，若对于x2,1，xe1,e2使得fxgx，2msin|x|36则实数m的取值范围是_________．【题型七】函数整数问题【典例分析】定义：Nf(x)g(x)表示不等式f(x)g(x)的解集中的整数解之和.若f(x)|log2x|，g(x)a(x1)22，Nf(x)g(x)6，则实数a的取值范围是A．(,1]B．(log232,0)C．(2log26,0]D．(log232,0]4【变式演练】定义在R上的奇函数f(x)满足f(2x)f(2x)，当x0,2时，f(x)4x28x.若在区间a,b上，存1.m1在m(m3)个不同的整数x(i1,2,...,m)，满足f(x)f(xi1)72，则ba的最小值为i1A．15B．16C．17D．182.已知偶函数f(x)满足f(3x)f(3x)，且当x[0,3]时，f(x)xex，若关于x的不等式在[150,150]上2有且只有150个整数解，则实数t的取值范围是（）11331A．(0,e)B．(e,3e)C．(3e,2e1)D．(e,2e1)2222223.定义在R上的偶函数fx满足f5xfx3，且fx2x4x,0x1，若关于x的不等式15x2lnx,1x4f2xa1fxa0在20,20上有且仅有个整数解，则实数的取值范围是（）A．1,ln22B．2ln33,2ln22C．2ln33,2ln22D．22ln2,32ln3【课后练习】1.已知函数fxcosxlgx，则其图像可能是（）x21A．B．C．D．2.设函数f(x)sinxexexx1，则满足f(x)f(32x)2的x取值范围是（）A．(3,)B．(1,)C．(,3)D．(,1)3.已知函数fx2sinx，则2020x1fln1fln2fln3fln2020fln1fln1fln1（）232020A．4038B．4039C．4040D．40414.R的偶函数，且满足f(x)f(2x)，当x[0,1]时，f(x)x，则函数已知函数f(x)是定义域为F(x)f(x)x4在区间[9,10]上零点的个数为（）12xA．9B．10C．18D．20x1,1x0125.已知fxfx11,x0，则函数gxfx3x3零点的个数为___________.46.Rx都有f(x)f(x)2sinx，当x0时，f(x)1，若已知函数f(x)在上可导，对任意π2πf(t)ft3cost，则实数t的取值范围为_________337.已知函数f(x)ln(x21)2x2x，则使不等式f(x1)f(2x)成立的x的取值范围是_______________8.R上的偶函数，且ff2，当x[0,1]时，f(x)x设函数f(x)是定义在实数集xx3，则函数1,5g(x)|cosx|f(x)在上所有零点之和为___________.22已知函数fx的定义域为R，fx2为偶函数，fx31x0,1axb．若9.1001f41kfk，则k12______．10.已知anf(0)f(1)f(2)f(n1)f(1)(nN*)，又函数F(x)f(x1)1是R上的奇函数，则n2nn数列{an}的通项公式为（）A．ann1B．annC．ann1D．ann2第3讲零点10类【题型一】水平线法：参变分离【典例分析】2x1,x1,已知函数fx{2x函数gxfxm，则下列说法错误的是（）12x,x1,2xA．若m3，则函数gx无零点B．若m3，则函数gx有零点22C．若3m3，则函数gx有一个零点D．若m3，则函数gx有两个零点222【变式演练】1.已知函数fx{xx1,x0，若函数yf3x2a恰有三个不同的零点，则实数a的取值范42x,x0围是___2.已知函数()=312−38+5,>2()=()−，若函数存在四个不同的零点，则实数的取值范3.已知函数()=|log|,>0,若函数=()−+1有四个零点,零点从小到大依次为,,,,则围是_______.|+2|−1,≤0++()的值为A．2B．C．D．【题型二】基础图像交点法【典例分析】设函数f(x)logx(1)x，f(x)log1x(1)x的零点分别为x,x，则（）12222122【变式演练】1.已知函数f(x)x22ax2alnx(aR)，则下列说法不正确的是（）．．．A.当a0时，函数yf(x)有零点B.若函数yf(x)有零点，则a2C.存在a0，函数yf(x)有唯一的零点D.若函数yf(x)有唯一的零点，则a22.设()={24−4(≤1)，()=log2，则的零点个数是__________．−4+3(>1)ℎ()=()−()3.已知函数f(x)x4k有三个不同的零点，则k的取值范围是__________.x【题型三】分段函数含参【典例分析】x1,xa，若a0，方程fx0的解集是______；若方程fx0的解集中恰有3已知fx23x2,xax个元素，则a的取值范围是______.【变式演练】x,xm,1.已知函数f(x)＝其中m>0.若存在实数b，使得关于x的方程f(x)＝b有三个不同的根，x22mx4m,xm,则实数m可能的值有（）A．2B．3C．4D．522.aR3a，函数f，若函数g(x)f(x)3有且仅有设(x)(xa),x0个零点，则的取值范围是x1a,x0x___________.3.f(x)3,xa,若存在实数b，使函数g(x)f(x)b有两个零点，则a的取值已知函数x2,xa.x范围是（）A．(,1)(0,)B．(,0)(1,)C．(,0)D．(0,1)【题型四】研究直线斜率（临界是切线）寻找交点关系【典例分析】25x3,x1x,则函数g(x)f(x)x已知函数f(x)2的零点个数为21(x2)2,3x1A.1B.2C.3D.4【变式演练】1.已知函数fx2,xm，若方程fxx0恰有三个根，那么实数m的取值范围是（）24x2,xmxA．1,2B．1,2C．2,D．,1x22x,x01，若关于x的方程fxax3有四个不同的实数根，则实数a的取值范2.已知函数fx,x0x围是（）A．,42B．423,3D．0,423C．0,4233.(x)22fxx11gxfxtx1已函数f，当x(0,1]时，2，若在区间，内，有两个f(x1)不同的零点，则实数t的取值范围是______．【题型五】“放大镜”函数的交点【典例分析】1x,0x11x已知函数fx为偶函数，且当x0时，fx1fx1,x1，则当x2,2时，方程fx的33根有（）个A．3B．5C．7D．9【变式演练】1.定义在(0,)上的函数f(x)满足：①当x[1,3)x1,1x2,②f(3x)3f(x).时，f(x)x,2x3,3（i）f(6)_____；（ii）若函数F(x)f(x)a的零点从小到大依次记为x1,x2,,xn,，则当a(1,3)时，x1x2x2n1x2n_______.2.已知函数fxlnx，0xe，函数Fxfxax有2个零点，则实数a的取值范围是f2ex，ex2e____________．sinx,x0,23.对于函数fx，下列5个结论正确的是__________（把你认为正确的答案全部写1fx2,x2,2上）．（1）任取x1,x20,，都有fx1fx22；（2）函数yfx在4,5上单调递增；30,（）fx2kfx2kKN，对一切x恒成立；（4）函数yfxlnx1有3个零点；（5）若关于x的方程fxmm0有且只有两个不同的实根x1，x2，则x1x23.【题型六】函数变换：【典例分析】2mx,x0，若关于x的方程f(x)f(x)20已知函数f(x)x有且仅有四个互不相等的实根，则实数x22x,x0m的取值范围是（）A．（-∞，7]B．（6，+∞）C．（2+∞）D．[8，+∞）【变式演练】x,1x011,0x1，若方程fx=2t在区间1,1内有且仅有两个根，则实数t的取值范1.设函数fxfx1围是（）1B．,011A．,C．,0D．,02222.已知函数fx34x,x0,，若关于x的方程2fxfxk0有且只有3个实数根，则实数k的2x2,x0,x取值范围是___________.3.xRg(x)x已知函数yf(x)对于恒有f(2x)f(x)2，若f(x)与函数的图像的点交为x1(x1,y1),(x2,y2)...(xn,yn)，则(x1y1)(x2y2)...(xnyn)=____________【题型七】对数函数绝对值“积定法”【典例分析】设函数，若关于的方程有四个不同的解，，，，且，则的取值范围是（）A.B.C.D.【变式演练】1.已知x，x是方程ex2lnx的两个解，则（）12A.0xx1B.1xx1C.1xxeD.xxe12ee1212122.已知函数()=2log2,>0，方程()−=0有四个不相等的实数根1,2,3,4，且满足：1<2<3<432(8+42)的取值范围是（）A．(−∞,−2)D．(−∞,−22]B．[−3,−22]C．(−3,−2)3.已知函数f(x)1gxa,0x3，（其中aR），若f(x)的四个零点从小到大依次为x1，x2，lg(6x)a,3x64x3，x4，则x1x2xi的值是（）i1A．16B．13C．12D．10【题型八】高斯函数型【典例分析】设x表示不超过x的最大整数，如11,0.50，已知函数fxxxk(x0)，若方程fx0有且仅有3个实根，则实数k的取值范围是（）12]23]34]45]A.（，B.（，C.（，D.（，23344556【变式演练】1.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，设xR，用x表示不超过x的最大整数，yx也被称为“高斯函数”，例如2,12，33，1,52，设x0为函数fxlog2x3x1的零点，则x0（ ）.A．2 B．3 C．4 D．52.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，为了纪念数学家高斯，人们把函数yx,xR称为高斯函数，其中x表示不超过x的最大整数.设xxx，则函数fx2xxx1的所有零点之和为（）A．1B．0C．1D．23.高斯函数fx[x]（x表示不超过实数x的最大整数），若函数gxexex2的零点为x0，则0gfx（）A．1e2B．C．e12D．e212eee22【题型九】与三角函数结合【典例分析】设a∈R，函数f(x)cos2x2ax＜a，若函数f(x)在区间（0，+∞）内恰有6个零点，则a的取22a1xa25xax值范围是（）A．（2，9]∪（5，11]B．（7，2]∪（5，11]424424C．（2，9]∪[11，3）D．（7，2）∪[11，3）4444【变式演练】1.已知定义在R上的奇函数，满足f(2x)f(x)0，当x0,1时，f(x)logx，若函数2m的取值范围是（），A．3.5，4B．3.5,4C．5,5.5D．5，5.52.若函数f(x)x2axcosxa有且只有一个零点，又点P(3a,1)在动直线m(x1)n(y1)0上的投影x21为点M若点N（3，3），那么MN的最小值为__________.3.函数f(x)12sin[(x1)]在x[3,5]上的所有零点之和等于______.x12【题型十】借助周期性【典例分析】1函数fx是定义在R上的奇函数，且fx1为偶函数，当x0，1时，fxx2，若函数gxfxxb恰有一个零点，则实数b的取值集合是（）2k1，2k12k1，2k5A．，kzB．，kz44224k1，4k14k1，4k15C．，kzD．，kz4444【变式演练】1.R上的偶函数f(x)满足f(2x)f(x)，且当x[1,2]时，f(x)lnxx1，若函数g(x)f(x)mx定义在有7个零点，则实数m的取值范围为．1ln2,1ln2ln21,ln21ln21,ln21A．B．8666881ln2,1ln21ln2,ln21C．D．86862.R的奇函数fx满足fx24，则函数已知定义域为x1f3x，当x0,2时，fxfxaaR在区间4,8上的零点个数最多时，所有零点之和为__________．2x0x124x51x3,且f(x4)f(x)a，若存在实3.已知函数yf(x)的定义域是[0,)，满足f(x)x2x83x4数k，使函数g(x)f(x)k在区间[0,2021]上恰好有2021个零点，则实数a的取值范围为____【课后练习】已知函数f(x)24x2,x1，函数g(x)f(x)kx有三个零点，则的取值范围是（）k1.1x1,x1211A．,01,422B．,022D．1,422C．1,42214,x0xx，若关于x的方程f2k有6个不同的实数根，则实数2.（多选题）已知函数fxx1x,x0xk的值可以是（）A．0B．1C．2D．123x22x21k，给出下列四个命题，其中是真命题的为（3.（多选题）关于x的函数fx1）．A．存在实数k，使得函数恰有2个零点；B．存在实数k，使得函数恰有4个零点；C．存在实数k，使得函数恰有5个零点；D．存在实数k，使得函数恰有8个零点；114.给出定义：若xm,m（其中m为整数），则m叫做与实数x“亲密的整数”记作xm，在此基22础上给出下列关于函数f(x)xx的四个说法：①函数yf(x)在0,1是增函数；②函数yf(x)的图象关于直线xkkZ对称；21③函数yf(x)在k,kkZ上单调递增；2④当x0,2时，函数g(x)f(x)212x有两个零点.2其中说法正确的序号是__________.5.已知函数f(x)x1|xa|,g(x)ax1，其中a0，若f(x)与g(x)的图像有两个交点，则a的取值范2围是_________6.对于实数a和b，定义运算“”：a*ba2ab,ab，设f(x)(2x1)(x1)，且关于x的方程为abb2ab,(x)m(mR)恰有三个互不相等的实数根，则m的取值范围是___________.x2x1，x0，2117.设函数fx1则函数yfxx的零点个数为_______；若gxkx，且x2x，x02函数Fxfxgx有偶数个零点，则实数k的取值范围是____________．8.已知函数fx满足fx1x24x1，函数gx{fx4,xm有两个零点，则m的取值范x4,xm围为__________．9.f(x),g(x)R上的两个周期函数，f(x)4g(x)2.设是定义在的周期为，的周期为，且f(x)是奇函数当k(x2),0x1x(0,2]时，f(x)1(x1)21，其中k>0.若在区间(0，9]上，关于x的，g(x),1x22方程f(x)g(x)有8个不同的实数根，则k的取值范围是_____.10.高斯是世界著名的数学家之一，他一生成就极为丰硕仅以他的名字“高斯”命名的成果就多达110个，为数学家中之最．对于高斯函数yx，其中x表示不超过x的最大整数，如1.71，1.22，x表示实数x的非负纯小数，即xxx，如1.70.7，1.20.8．若函数yx1logax（a0，且a1）有且仅有3

个不同的零点，则实数a的取值范围是（

）A．2,3

B．2,3

C．3,4

D．3,411.（多选题）高斯是德国著名数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设xR，用x表示不超过x的最大整数，则yx称为高斯函数，例如2.13，2.12.已知函数fxsinxsinx，函数gxfx，则（）A．函数gx的值域是0,1,2B．函数gx是周期函数C．函数gx的图象关于x对称D．方程gxx只有一个实数根2212.已知函数f(x)Asinx，g(x)k(x7)，(k0)，已知A1时，函数h(x)f(x)g(x)的所有2221__________A2时，函数h(x)f(x)g(x)的所有零点的和为零点和为，则当．第4讲复合二次型和镶嵌函数的零点11类【题型一】一元二次复合型基础型：可因式分解()【典例分析】2值范围是已知函数，若关于的方程C．−∞,1−e有且仅有三个不同的实数解，则实数的取A．−2e,1−eB．1−e,0D．1−e,2e【变式演练】有10个不同的实数解，则实数的取−2ln,≥11()−=0−2,−1∪{2ln2−2}）−2,2ln2−2值范围是（A．B．的取()={1|−1|+1,≠12()−(2+3)()+3=0值范围是（2）3.已知函数=ln2+1−2−2=04，若关于的方程有个不同的实数解，CDAB）．．．．【题型二】一元二次复合型：根的分布型（【典例分析】，若关于的方程22已知函数）有三个不同的实数解，则的取值范围是A．0,21∪−1,0B．−1,21C．−1,1D．−∞,21不可能的是()（=||−）12()+()+=0,【变式演练】11.已知函数，若关于的方程恰有6个不同的实数解，则的取值情况C．−1<<0=0D1++>0>0B．A．，，，4．，,>0数a2.设函数恰好有六个不同的实数解，则实3233A．(2－2，B．(－2－2，2－2)C．(3，＋∞)D．(2－2，＋∞)3.设定义域为的函数5−1−1,≥0，若关于的方程22=0有7个不同的实数解，则+4+4,<0=6=−6=6=B．=2C．或2D．A．【题型三】一元二次复合型：参变分离与判别式、求根公式型则实【典例分析】．数的取值范围是（ln）．恰有3个不同的实数解（为自然对数的底数），已知A<1B≥−1C．<−1D．≥1【变式演练】22121.已知函数，设关于的方程有个不同的实数解，则的所有可能的值为（）2A．3B．1或3C．4或6D．3或4或6能的值构成的集合为．[()]2+()−2=0(∈)2.已知函数______12有个不同的实数解，则的所有可2−3，若关于的方程2…3.已知f(x)，关于x的不等式[f(x)]2x11(x0)af(x)b20有且只有一个整数解，则实数a的最大值是____．【题型四】一元二次复合型（老高考）：线性规划型【典例分析】=ln()−+=0≠0的取值范围（已知函数），若方程有7个不同的实数解,则2+3A．(2,6)B．(6,9)C．(2,12)D．(4,13)【变式演练】22+1,<0，方程2()−()+=0(≠0)有六个不同的实数解，则3+1.已知函数()={1的取值范围是|2−2+1|,≥0(6,11)(3,11)[6,11]B．[3,11]C．D．A．2.已知函数()=2|ln|,>0，若关于x的方程()2−()+=0(,∈)有8个不同的实数根，则b+c的取值范围是（）C．[0,3]D．(0,3)A．(−∞,3)B．(0,3]【题型五】一元二次复合型：函数性质综合型【典例分析】[−150,150]2，若关于的方程2已知偶函数满足，且当时，在上有300个解，则实数的取值范围是（）A．−2,2B．−2,2C．−2,+∞D．−∞,2【变式演练】．()[−100,100](+2)=(−2)∈[0,2]()=(−2)，的偶函数，且.当时，1.已知函数是定义在若方程有300个不同的实数根，则实数m的取值范围为（）ABCD．．．max{,}2−=06[0,2]()=max{2sin,2cos}2.设，满足关于表示，两者中较大的一个，已知定义在的函数的方程有个不同的解，则的取值范围为(−1,2)B．(1,1+2)A．(1+2,22)C．(2,2)D．3.定义在上的函数满足，且当时，()={454,0≤≤2,若关于的方程()+()+=0（，∈）有且只有6()+1,>2,的取值范围是A．(−2,−4)∪(−4,−1)B．(−2,−1)C．(−2,−4)∪(−1,0)D．(−9,−1)【题型六】嵌套函数基础型【典例分析】定义域和值域均为[﹣a，a]（常数a＞0）的函数y＝f（x）和y＝g（x）的图象如图所示，方程g[f（x）]＝0解得个数不可能的是（ ）A．1 B．2 C．3 D．4【变式演练】（()()=1.若和都是定义在上的函数，且方程有实数解，则下列式子中可以为的是）B．A．22.已知两函数()和()都是定义在 上的函数，且方程 −(())=0有实数解，则(())有可能是（+1）++1C．2−−1D．22−+1A．2B．23.若()和()是定义在实数集上的函数，且方程−[()]=0有实数解，则[()]不可能是A．−1B．cosC．||+1D．2,≤0{−ln,>0【题型七】嵌套函数常规型：无参双坐标系换元转换法【典例分析】已知函数f(x)2x1,x1，则方程f(f(x))1的根的个数为（）|ln(x1),x1A．70+∞B．5C．3D．2=3()−()=2【变式演练】∀∈0,+∞,()−log2'1.已知定义在，上的单调函数满足对,则方程的解所在区间是A．0,1f(x)=B．1,1C．1,2D．2,32.已知函数−4(x−5+6),≥2f(f(x))，则函数的零点的个数为（）A．6B．7C．8D．9【题型八】嵌套函数含参型：解析式含参【典例分析】a,x0已知f(x)的方程f[f(x)]0仅有一解，则1，若关于xa的取值范围是．lgx,x0【变式演练】=0是（=2，若关于的方程有8个不同的实数解，则实数的取值可能1.已知函数+2,＜082B．72A．252C．6D．32t,x0，若函数yf(f(x))恰好有4个不同的零点，则实数t的取值范围是2.已知函数f(x)x3x3x1,x0________．3.已知a02(22a)x,(0xa2)，存在x0满足ffx0x0，且fx0x0，则a，设函数f(x)xax,(xa2)的取值范围是______.【题型九】嵌套函数含参型：参数在方程【典例分析】22x1,x21已知函数fxlog2x2，则方程fx1a恰好有6个不同的解，则实数a的取值范围为,x24x【变式演练】2x1,x01已知函数fx，若方程fx1a恰有个实根，则实数a的取值范围是（x14）x24x3,x0x555A．1,2B．,2C．1,0,2D．1,0,24442.已知()=+sin, ()=ln++1(())−=0，若有四个不同的解，则实数的取值集合为（）,>0D．{1+sin1}A．(0,1+sin1]B．(0,1]C．{1,1+sin1}2−13.已知函数f(x)＝x＋sinx＋，且方程f(|f(x)|－a)＝0有两个不同的实数根，则实数a的取值范围是()A．[0，＋∞)B．(0，＋∞)C．[－1,2)D．(－1,2)【题型十】嵌套函数含参型：双函数型【典例分析】3x1,x1已知mR，函数f(x)1，g(x)x22x2m1，若函数yf[g(x)]m有4个零点，则实log2(x1),xm的取值范围是______.【变式演练】1，x0，2x若函数hxgfxa有六个不同的零点，则实数a的取x1.设函数fxx2x，gx23，x0x值范围为________．=||−21=2+1,≤0−=0若关于x的方程有四个不同的解，则2.已知函数，,1120,1A．ln2B．ln2C．ln2D．2−13.已知函数f(x)＝x＋sinx＋，且方程f(|f(x)|－a)＝0有两个不同的实数根，则实数a的取值范围是()A．[0，＋∞)B．(0，＋∞)C．[－1,2)D．(－1,2)4.已知∈，函数()=+1,<0，()=2−4+1+2，若关于的方程(())=有6个解，则的取值范围是（）A．(0,3)B．(2,3)C．(5,2)D．(0,52)【题型十一】嵌套函数双复合型【典例分析】log2−1>1=−−1已知函数,则函数的零点个数是(）A．7B．6C．5D．4【变式演练】()=|log(−1)|,>121.已知函数，则函数的零点个数是（）．A．4B．5C．6D．71,x0x，则方程ef(f(x))f(x)10（e是自然对数的底数）的实根个数为2.已知函数f(x)xlnx,x0__________.【课后练习】则实数m()={ln,≥1，若关于x的方程2[()]2+(1−2)()−=0有5个不同的实数解，的取值范围是（）则实数()=3−62+9+1,>0[()]−(+1)()+=0，若方程恰有5个不同的实数解，2.已知函数的取值范围为（）A．B．C．D．()=()−(+2)()+3=04>02323D．(23−2,+∞)围为为______．=2−1−+1=04.已知函数，且关于x的方程有3个不同的实数解，则a的取值范围5.函数=1−ln,∈0,1，关于的方程22−4+5−2=0）有4个不同的实数解，则的取值范围是______．=−+−−1=1则实数的有且仅有三个不同的整数解，6.已知函数取值范围是（）．．．．7.定义域和值域均为−,（常数 >0）的函数=和