广东省梅州市2024届高三下学期总复习质检（二模）数学试题

广东省梅州市2024届高三下学期总复习质检（二模）数学试题姓名：__________班级：__________考号：__________题号一二三四总分评分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．常言道：“不经历风雨，怎么见彩虹”．就此话而言，“经历风雨”是“见彩虹”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件2．已知集合A={x|y=ln(x−1)}，A．(1,+∞) B．[−4,1) C．3．三个函数f(x)=x3+x−3，g(x)=lnx+x−3，h(x)=A．a<b<c B．c<a<b C．a<c<b D．b<c<a4．如图，两根绳子把物体M吊在水平杆子AB上.已知物体M的重力大小为20牛，且∠AOM=150°，在下列角度中，当角θ取哪个值时，绳OB承受的拉力最小.（）A．45° B．60° C．90° D．120°5．若把函数f(x)=sinx+acosx的图象向左平移A．3 B．−3 C．33 6．据一组样本数据(x1,y1)，(x2,y2)，⋅⋅⋅，(xA．0.5 B．0.6 C．0.7 D．0.87．某学校为参加辩论比赛，选出8名学生，其中3名男生和5名女生，为了更好备赛和作进一步选拔，现将这8名学生随机地平均分成两队进行试赛，那么两队中均有男生的概率是（）A．37 B．47 C．578．已知点F为双曲线C：x23−y2=1的右焦点，点N在x轴上（非双曲线顶点），若对于在双曲线C上（除顶点外）任一点A．(2,143) B．(2,17二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．设z1，zA．若z12=0，则z1=0C．|z1−i⋅z110．已知数列{an}的通项公式为an=3n，n∈N*，在{an}中依次选取若干项（至少3项）ak1，A．若取k1=1，kB．满足题意的{kC．在{an}D．如果把{an}11．如图，平面ABN⊥α，|AB|=|MN|=2，M为线段AB的中点，直线MN与平面α的所成角大小为30°，点P为平面α内的动点，则（）A．以N为球心，半径为2的球面在平面α上的截痕长为2πB．若P到点M和点N的距离相等，则点P的轨迹是一条直线C．若P到直线MN的距离为1，则∠APB的最大值为πD．满足∠MNP=45°的点P的轨迹是椭圆三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．某中学1500名同学参加一分钟跳绳测试，经统计，成绩X近似服从正态分布N(150,σ2)，已知成绩大于170次的有300人，则可估计该校一分钟跳绳成绩13．已知数列{an}的通项公式an=(−1)n14．在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，定义P(x1,y1)、Q(x2,y2)两点之间的“直角距离”为四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知椭圆C：x2a2+y2b（1）求椭圆C的方程：（2）求椭圆C上的点到直线l：y=2x的距离的最大值．16．在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，3acosB−b（1）求A的大小：（2）点D在BC上，（Ⅰ）当AD⊥AB，且AD=1时，求AC的长；（Ⅱ）当BD=2DC，且AD=1时，求△ABC的面积S△ABC17．如图，在四棱锥P−ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，底面ABCD为直角梯形，△PAD为等边三角形，AD//BC，AD⊥AB，AD=AB=2BC=2．（1）求证：AD⊥PC；（2）点N在棱PC上运动，求△ADN面积的最小值；（3）点M为PB的中点，在棱PC上找一点Q，使得AM//平面BDQ，求PQQC18．已知函数f(x)=ex，g(x)=x2+1（1）证明：当x∈(0,+∞)时，（2）讨论函数F(x)=f(x)−h(x)在(0,19．已知{an}是由正整数组成的无穷数列，该数列前n项的最大值记为Mn，即Mn=max{a1,a2,⋅⋅⋅（1）若an=3n，求其生成数列（2）设数列{pn}的“生成数列”为{（3）若{pn}是等差数列，证明：存在正整数n0，当n≥n0时，an

答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】解：充分性：“经历风雨”不一定“见彩虹”，充分性不满足；

必要性：“见彩虹”一定要“经历风雨”，必要性满足；

所以，“经历风雨”是“见彩虹”的必要不充分条件.

故答案为：B.

【分析】利用已知条件结合充分性和必要性的判断方法，进而得出“经历风雨”是“见彩虹”的必要不充分条件.2．【答案】D【解析】【解答】解：因为集合A={x|y=ln(x−1)}=x|x-1>0=x|x>1，

B={y|y=3．【答案】B【解析】【解答】解：三个函数f(x)=x3+x−3，g(x)=lnx+x−3，h(x)=ex+x−3均为增函数，且零点分别为a,b,c，

对于函数f(x)=x3+x−3，f(1)=13+1−3=-1<0,f(2)=23+2−3=7>0,

所以，函数f(x)=x3+x−3的零点在区间1，2内，

对于函数g(x)=lnx+x−3，g(2)=ln2+2−3=ln2-1<0,g(3)=ln4．【答案】C【解析】【解答】解：作出示意图，设与物体M平衡的力对应的向量为ON→，则ON→=20，

以ON为对角线作平行四边形OPNQ，则ON→=OP→+OQ→,OQ→是绳OB承受的拉力大小，

由∠AOM=150°,得出∠AON=30°，所以，∠ONQ=∠AON=30°，

在∆ONQ中，由正弦定理可得ONsin∠OQN=OQsin∠ONQ，即20sin180°-θ=OQsin30°，

可得OQ→=OQ=5．【答案】C【解析】【解答】解：因为f(x)=sinx+acosx=12+a2sinx+θ,其中cosθ=11+a2sinθ=a1+a2,

把函数f(x)的图象向左平移6．【答案】C【解析】【解答】解：据一组样本数据(x1,y1)，(x2,y2)，⋅⋅⋅，(x10,y10)，

求得经验回归方程为y=1.2x+0.4，且平均数x=37．【答案】D【解析】【解答】解：这8名学生随机地平均分成两队进行试赛，那么两队中均有男生的情况如下：

一组1男3女，另一组2男2女，那么两队中均有男生的概率是2C31C58．【答案】A【解析】【解答】解：设Nx0,0,Px,y,F2,0,FP→=x-2,y,NP→=x-x0,y,

9．【答案】A,C,D【解析】【解答】解：设复数z1=a1+b1i,a1,b1∈R,z2=a2+b2i,a2,b2∈R,

对于A，因为z12=a1+b1i2=a12+2a1b1i+b12i2=a12-b110．【答案】A,B,D【解析】【解答】解：因为数列{an}的通项公式为an=3n，n∈N*，

在{an}中依次选取若干项（至少3项）ak1，ak2，ak3，⋅⋅⋅，akn，⋅⋅⋅，

使{akn}成为一个等比数列，取k1=1，k2=3，所以，a1,a3,ak3成等比数列，

因为a1=3×1=3,a3=3×3=9,ak3=3k3,所以，a32=a1ak3，所以，911．【答案】B,C【解析】【解答】解：对于A，由于MN与平面α所成的角的大小为30°，

所以，点N到平面α的距离为d=MNsin30°=1，

故半径为R=2的球面在平面α上截面圆的半径为r=R2-d2=3,

故截痕长为2πr=23π,所以A错；

对于B，由于平面ABN⊥平面α，所以，以AB为y轴，在平面α内过M作x⊥AB,

平面ABN作z⊥AB,建立如图所示的空间直角坐标系，

则M0,0,0,B0,1,0,A0,-1,0,N0,3,1,

设Px,y,0，则PM=PN⇒x2+y2=x2+y-32+1,

化简得出y=233，故点P到点M和点N的距离相等，则点P的轨迹是一条直线，所以B对；

对于C，MN→=0,3,1,MP→=x,y,0,所以，点P到直线MN的距离为

MP→2-MP→·MN→MN12．【答案】450【解析】【解答】解：某中学1500名同学参加一分钟跳绳测试，

经统计，成绩X近似服从正态分布N(150,σ2)，

已知成绩大于170次的有300人，所以，成绩大小于130次的有300人，

则可估计该校一分钟跳绳成绩X在130～170次之间的人数有1500-300-300=900人，

再由正态分布对应的函数的图象的对称性，

进而可估计该校一分钟跳绳成绩X在130～150次之间的人数约为9002=450.13．【答案】−【解析】【解答】解：因为数列{an}的通项公式an=(−1)n3n+12n（n∈N*），

所以，当n≤3且n∈N时，an>1，当n≥4且n∈N时，0<an<1，

因为k=1nak=a114．【答案】6【解析】【解答】解：定义P(x1,y1)、Q(x2,y2)两点之间的“直角距离”为d(P,Q)=|x1−x2|+|y1−y2|．

已知两定点A(−1,0)，B(1,0)，设点M(x，y)，

则d(M,A)=x+1+y-0,d(M,B)=x-1+y-0,

所以，满足d(M,A)+d(M,B)=4的点M的轨迹为x+1+x-115．【答案】（1）解：由椭圆的离心率为12，可得e=可得3a2=4b2又因为椭圆经过点T(1,解得t2所以椭圆的方程为：x2（2）解：设与直线y=2x平行的直线的方程为y=2x+m，联立y=2x+mx24Δ=162m2−4×19×所以直线y=2x+m到直线y=2x的距离d=19所以椭圆C上的点到直线l:y=2x的距离的最大值为【解析】【分析】（1）利用已知条件结合椭圆的离心率公式得出a，b的关系式，从而设出椭圆的标准方程，再利用椭圆的标准方程以及点代入法，进而得出t的值，从而得出椭圆的标准方程。

（2）利用已知条件结合两直线平行斜率相等，从而设与直线y=2x平行的直线的方程为y=2x+m，联立直线与椭圆的方程，从而结合判别式法得出m的值，进而得出与直线y=2x平行的直线的方程，再利用两平行直线的距离公式得出直线y=2x+m到直线y=2x的距离，再结合几何法得出椭圆C上的点到直线l:16．【答案】（1）解：因为3a所以由正弦定理可得3sin又sinC=所以−sin因为B为三角形内角，sinB>0所以−sinA=3因为A∈(0,（2）解：（Ⅰ）此时AB=2=2AD，AD⊥AB，所以DB=AB2在△ABC中，由正弦定理可得ACsin（Ⅱ）设∠CAD=α，由S△ABC可得3b=2sin(有bsin由于BD=2DC，所以bsin所以b=sin(则S△ABC【解析】【分析】（1）利用已知条件结合正弦定理和三角形内角和为180°的性质，再结合两角和的正弦公式和三角形中角的取值范围，进而得出角B的正弦值的正负，所以−sinA=3（Ⅱ）设∠CAD=α，由S△ABC=S△BAD+S△CAD结合三角形的面积公式和正弦定理以及BD=2DC，进而得出sin17．【答案】（1）证明：取AD的中点H，连接PH，CH，则AH//BC且AH=BC，又AD⊥AB，所以四边形ABCH为矩形，所以CH⊥AD，又△PAD为等边三角形，所以PH⊥AD，PH∩CH=H，PH,CH⊂平面所以AD⊥平面PHC，又PC⊂平面PHC，所以AD⊥PC.（2）解：连接HN，由AD⊥平面PHC，又HN⊂平面PHC，所以AD⊥HN，所以S△ADH要使△ADN的面积最小，即要使HN最小，当且仅当HN⊥PC时HN取最小值，因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PH⊂平面PAD，所以PH⊥平面ABCD，又HC⊂平面ABCD，所以PH⊥HC，在Rt△HPC中，CH=2，PH=3，所以PC=当HN⊥PC时HN=PH⋅CH所以△ADN面积的最小值为221（3）解：连接AC交BD于点G，连接MC交BQ于点F，连接FG，因为AD//BC且AD=2BC=2，所以△CGB∽△AGD，所以CGAG因AM//平面BDQ，又AM⊂平面ACM，平面BDQ∩平面ACM=GF，所以GF//AM，所以CFFM在△PBC中，过点M作MK//PC，则有MKCQ=MFCF=2，所以【解析】【分析】（1）取AD的中点H，连接PH，CH，再利用中位线的性质判断出线线平行，再结合等腰三角形三线合一，从而证出线线垂直，再结合矩形的定义判断出四边形ABCH为矩形，所以CH⊥AD，再利用三角形△PAD为等边三角形三线合一，所以PH⊥AD，再利用线线垂直证出线面垂直，所以AD⊥平面PHC，再由线面垂直的定义证出线线垂直，从而证出AD⊥PC.

（2）连接HN，由AD⊥平面PHC结合线面垂直的定义证出线线垂直，所以AD⊥HN，再利用三角形的面积公式得出S△ADH=HN，要使三角形△ADN的面积最小，即要使HN最小，当且仅当HN⊥PC时HN取最小值，再利用面面垂直的性质定理证出线线垂直，则PH⊥HC，再结合勾股定理得出PC的长，由HN⊥PC结合同一三角形面积相等得出HN的最小值，从而得出三角形△ADN面积的最小值.

(3)连接AC交BD于点G，连接MC交BQ于点F，连接△CGB∽△AGD，再结合两