北师大版初中数学八年级上册《第7章-平行线的证明》单元测试卷含答案解析

北师大新版八年级上学期《第7章平行线的证明》单元测试卷一．选择题（共15小题）1．下列说法正确的有（）①两点之间的所有连线中，线段最短；②相等的角叫对顶角；③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；⑤两点之间的距离是两点间的线段；⑥在同一平面内的两直线位置关系只有两种：平行或相交．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2．同一平面内的两条线段，下列说法正确的是（）A．一定平行 B．一定相交 C．可以既不平行又不相交 D．不平行就相交3．下列说法中可能错误的是（）A．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 B．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．两条直线相交，有且只有一个交点 D．若两条直线相交成直角，则这两条直线互相垂直4．下列说法正确的是（）A．不相交的两条射线一定平行 B．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与这条直线平行 C．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与这条直线垂直 D．直线外一点与直线上任一点的连线段叫做点到直线的距离5．如图，直线l3⊥l4，且∠1=∠4，则下列判断正确的是（）A．l1∥l2 B．∠1+∠4=∠2+∠3 C．∠1+∠4=90° D．∠2=∠46．如图，△ABC中，∠ABC、∠ACB的三等分线交于点E、D，若∠BFC=120°，∠BGC=102°，则∠A的度数为（）A．34° B．40° C．42° D．46°7．如图，△ABC中，BD、BE分别是高和角平分线，点F在CA的延长线上，FH⊥BE，交BD于点G，交BC于点H．下列结论：①∠DBE=∠F；②2∠BEF=∠BAF+∠C；③∠F=∠BAC﹣∠C；④∠BGH=∠ABE+∠C．其中正确个数是（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D在AB边上，将△CBD沿CD折叠，使点B恰好落在AC边上的点E处，若∠A=26°，则∠ADE度数为（）A．71° B．64° C．38° D．45°9．如图，BD，CD分别是内角∠ABC和外角∠ACE的平分线，若∠A=70°，则∠D=（）A．30° B．35° C．40° D．45°10．如图，∠ABD、∠ACD的角平分线交于点P，若∠A=55°，∠D=15°，则∠P的度数为（）A．15° B．20° C．25° D．30°11．下列命题中，是真命题的是（）A．任何数都有平方根 B．只有正数才有平方根 C．负数没有立方根 D．存在算术平方根等于本身的数12．对于命题“若a2＞b2，则a＞b．”下列关于a，b的值中，能说明这个命题是假命题的是（）A．a=2，b=3 B．a=﹣3，b=2 C．a=3，b=﹣2 D．a=﹣2，b=313．命题：①一个三角形中至少有两个锐角；②垂直于同一条直线的两条直线垂直；③如果两个有理数的积小于0，那么这两个数的和也小于0．其中为真命题的有（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个14．小柔要榨果汁，她有苹果、芭乐、柳丁三种水果，且其颗数比为9：7：6，小柔榨完果汁后，苹果、芭乐、柳丁的颗数比变为6：3：4，已知小柔榨果汁时没有使用柳丁，关于她榨果汁时另外两种水果的使用情形，下列叙述何者正确？（）A．只使用苹果 B．只使用芭乐 C．使用苹果及芭乐，且使用的苹果颗数比使用的芭乐颗数多 D．使用苹果及芭乐，且使用的芭乐颗数比使用的苹果颗数多15．小明、小林和小颖共解出100道数学题，每人都解出了其中的60道，如果将其中只有1人解出的题叫做难题，2人解出的题叫做中档题，3人都解出的题叫做容易题，那么难题比容易题多多少道（）A．15 B．20 C．25 D．30二．填空题（共15小题）16．平面上不重合的四条直线，可能产生交点的个数为个．17．下列说法中：①棱柱的上、下底面的形状相同；②若AB=BC，则点B为线段AC的中点；③相等的两个角一定是对顶角；④在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线；⑤直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短．正确的有．（只填序号）18．已知：a∥b，b∥c，则a∥c．理由是．19．已知直线a∥b，b∥c，则直线a、c的位置关系是．20．如图，添加一个条件（不再添加字母），使得AB∥CD，你添加的条件是．21．如图，△ABC中，∠ACB=90°，沿CD边折叠△CBD，使点B恰好落在AC边上点E处，若∠A=32°；则∠BDC=°．22．在△ABC中，∠B=58°，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，则∠AEC=．23．如图，在△ABC中，AD是高，AE平分∠BAC，∠B=50°，∠C=80°，则∠DAE=．24．如图，△ABC沿直线AB向下翻折得到△ABD，若∠ABC=25°，∠ADB=110°，则∠DAC的度数是．25．如图，△ABE和△ACD是△ABC分别以AB、AC为对称轴翻折180°形成的，若∠1：∠2：∠3=29：4：3，则∠α的度数为．26．“若实数a，b，c满足a＜b＜c，则a+b＜c”，能够说明该命题是假命题的一组a，b，c的值依次为．27．举反例说明命题对于“对于任意实数x，代数式x2﹣1的值总是正数”是假命题，你举的反例是x=（写出一个x的值即可）．28．下列命题：①若a2=b2，则a=b；②点（﹣2，1）关于y轴的对称点为（2，1）；③两组对边分别相等的四边形是平心四边形，其中真命题有（填写序号）．29．重庆一中乘持“尊重自由、激发自觉”的教育理念，开展了丰富多彩的第二课堂及各种有趣有益的竟赛活动．其中“小棋王”争霸赛得到同学们的涵跃参与，经过初选、复试最后十位同学进入决赛这十位同学进行单循环比赛（每两人均赛一局），胜一局得2分、平局得1分、负一局得0分，最后按照每人的累计得分的多少进行排名，得分最高者就是第一名，以此类推．赛完后发现每人最后得分均不相同，第一名和第二名的同学均没负一局，他们两人的得分之和比第三名同学多20分，第四名同学的得分刚好是最后四名同学得分的总和，则第五名的同学得分为分．30．小敏中午放学回家自己煮面条吃．有下面几道工序：①洗锅盛水2min；②洗菜3min；③准备面条及佐料2min；④用锅把水烧开7min；⑤用烧开的水煮面条和菜要3min．以上各道工序，除④外，一次只能进行一道工序．小敏要将面条煮好，最少需要min．三．解答题（共20小题）31．填空并完成以下证明：已知，如图，∠1=∠ACB，∠2=∠3，FH⊥AB于H，求证：CD⊥AB．证明：FH⊥AB（已知）∴∠BHF=．∵∠1=∠ACB（已知）∴DE∥BC（）∴∠2=．（）∵∠2=∠3（已知）∴∠3=．（）∴CD∥FH（）∴∠BDC=∠BHF=．°（）∴CD⊥AB．32．如图，已知直线AB、CD被直线EF所截，FG平分∠EFD，∠1=∠2=80°，求∠BGF的度数．解：因为∠1=∠2=80°（已知），所以AB∥CD（）所以∠BGF+∠3=180°（）因为∠2+∠EFD=180°（邻补角的性质）．所以∠EFD=．（等式性质）．因为FG平分∠EFD（已知）．所以∠3=∠EFD（角平分线的性质）．所以∠3=．（等式性质）．所以∠BGF=．（等式性质）．33．如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B，CB=CE．求证：CE∥AD．34．如图，已知∠1=∠2求证：a∥b．35．已知：如图，∠1=∠2，∠C=∠D．求证：∠A=∠F．证明：∵∠1=∠2（已知），又∠1=∠DMN（），∴∠2=∠（等量代换），∴DB∥EC（），∴∠DBC+∠C=180°（两直线平行，），∵∠C=∠D（），∴∠DBC+=180°（等量代换），∴DF∥AC（，两直线平行），∴∠A=∠F（）36．（1）如图（a），如果∠B+∠E+∠D=360°，那么AB、CD有怎样的关系？为什么？解：过点E作EF∥AB①，如图（b），则∠ABE+∠BEF=180°，（）因为∠ABE+∠BED+∠EDC=360°（）所以∠FED+∠EDC=°（等式的性质）所以FE∥CD②（）由①、②得AB∥CD（）．（2）如图（c），当∠1、∠2、∠3满足条件时，有AB∥CD．（3）如图（d），当∠B、∠E、∠F、∠D满足条件时，有AB∥CD．37．填空，如图，已知∠1=∠2，∠C=∠D，求证：∠A=∠F．证明：∵∠1=∠2（已知）又∠1=∠DMN（）∴∠2=∠DMN（等量代换）∴DB∥EC（）∴∠DBC+∠C=180°（）∵∠C=∠D（已知）∴∠DBC+=180°（等量代换）∴DF∥AC（）∴∠A=∠F（）38．如图，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为D，点E在BC上，EF⊥AB，垂足为F．（1）CD与EF平行吗？为什么？（2）如果∠1=∠2，且∠3=115°，求∠ACB的度数．39．如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，AE平分EBAC．（1）若∠B=70°，∠C=40°，求∠DAE的度数．（2）若∠B﹣∠C=30°，则∠DAE=．（3）若∠B﹣∠C=α（∠B＞∠C），求∠DAE的度数（用含α的代数式表示）40．如图，在△ABC中，∠1=∠2，∠3=∠4，∠BAC=54°，求∠DAC的度数．41．在△ABC中，∠C＞∠B，AE平分∠BAC，F为射线AE上一点（不与点E重合），且FD⊥BC于D．（1）如图①，当点F与点A重合，且∠C=50°，∠B=30°时，求∠EFD的度数，并直接写出∠EFD与（∠C﹣∠B）之间的数量关系．（2）如图②，当点F在线段AE上（不与点A重合），∠EFD与∠C﹣∠B有怎样的数量关系？并说明理由．（3）当点F在△ABC外部时，在图③中画出符合题意的图形，并直接写出∠EFD与∠C﹣∠B的数量关系．42．如图，AB和CD相交于点O，EF∥AB，∠C=∠COA，∠D=∠BOD．求证：∠A=∠F．43．如图所示，在△ABC中，BO、CO是角平分线．（1）∠ABC=50°，∠ACB=60°，求∠BOC的度数，并说明理由．（2）题（1）中，如将“∠ABC=50°，∠ACB=60°”改为“∠A=70°”，求∠BOC的度数．（3）若∠A=n°，求∠BOC的度数．44．如图，在小学我们通过观察、实验的方法得到了“三角形内角和是180°”的结论．小明通过这学期的学习知道：由观察、实验、归纳、类比、猜想得到的结论还需要通过证明来确认它的正确性．受到实验方法1的启发，小明形成了证明该结论的想法：实验1的拼接方法直观上看，是把∠1和∠2移动到∠3的右侧，且使这三个角的顶点重合，如果把这种拼接方法抽象为几何图形，那么利用平行线的性质就可以解决问题了．小明的证明过程如下：已知：如图，△ABC．求证：∠A+∠B+∠C=180°．证明：延长BC，过点C作CM∥BA．∴∠A=∠1（两直线平行，内错角相等），∠B=∠2（两直线平行，同位角相等）．∵∠1+∠2+∠ACB=180°（平角定义），∴∠A+∠B+∠ACB=180°．请你参考小明解决问题的思路与方法，写出通过实验方法2证明该结论的过程．45．在数学实践课上，老师在黑板上画出如下的图形（其中点B、F、C、E在同一条直线上），并写出四个条件：①AB=DE，②∠1=∠2．③BF=EC，④∠B=∠E，交流中老师让同学们从这四个条件中选出三个作为题设，另一个作为结论，组成一个真命题．（1）写出所有的真命题．（用序号表示题设、结论）（2）请选择一个给予证明．46．如图，∠ABC的两边分别平行于∠DEF的两条边，且∠ABC=45°．（1）图1中：∠DEF=，图2中：∠DEF=；（2）请观察图1、图2中∠DEF分别与∠ABC有怎样的关系，请你归纳出一个命题．47．如图，在△ABC和△DCB中，AC与BD交于点E，现有三个条件：①AB=DC；②∠A=∠D，③∠1=∠2，请你从三个条件中选出两个作为条件，另一个作为结论，组成一个真命题，并给予证明．（1）条件是；结论是（填序号）；（2）证明．48．某学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段．下表为10名学生的预赛成绩，其中有三个数据模糊．学生序号12345678910立定跳远（单位：米）1.961.921.821.801.781.761.741.721.681.6030秒跳绳（单位：次）63a7560637270a﹣1b65在这10名学生中，进入立定跳远决赛的有8人，同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人，请你根据表中数据猜一下2号，5号，8号，9号学生哪一个进入30秒跳绳决赛．说明你的理由．49．四个足球队进行单循环比赛，规定胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，有一个队一场都没输过，排名却倒数第一，你觉得可能吗？如果可能，请举出这情况何时出现；如果不可能，请说明理由．50．我们的数学教材中有一个“抢30的游戏”，现在改为“甲、乙二人抢20”的游戏．游戏规则是：甲先说“1”或“1、2”乙接着甲的数往下说一个或两个数，然后又轮到甲再接着乙的数往下说一个或两个数，甲、乙反复轮流说，每次每人说一个或两个数都可以，但不能连续说三个数，也不能一个数也不说．谁先抢到20，谁就获胜．因为甲先说，你认为谁会获胜？请你分析获胜策略、推理说明获胜的道理．

北师大新版八年级上学期《第7章平行线的证明》单元测试卷参考答案与试题解析一．选择题（共15小题）1．下列说法正确的有（）①两点之间的所有连线中，线段最短；②相等的角叫对顶角；③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；⑤两点之间的距离是两点间的线段；⑥在同一平面内的两直线位置关系只有两种：平行或相交．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】①根据两点之间线段最短判断．②对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角．③根据平行公理进行判断．④根据垂线的性质进行判断．⑤距离是指的长度．⑥根据在同一平面内，两条不重合的直线的位置关系．【解答】解：①两点之间的所有连线中，线段最短，故①正确．②相等的角不一定是对顶角，故②错误．③经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故③错误．④平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故④错误．⑤两点之间的距离是两点间的线段的长度，故⑤错误．⑥在同一平面内，两直线的位置关系只有两种：相交和平行，故⑥正确．综上所述，正确的结论有2个．故选：B．【点评】本题主要考查对平行线的定义，两点间的距离，相交线等知识点的理解和掌握，能熟练地运用性质进行说理是解此题的关键．2．同一平面内的两条线段，下列说法正确的是（）A．一定平行 B．一定相交 C．可以既不平行又不相交 D．不平行就相交【分析】根据线段是任意两点之间的距离，它有长度，故同一平面内的两条线段可以既不平行又不相交．【解答】解：根据线段的定义得出：同一平面内的两条线段，可以既不平行又不相交，故选：C．【点评】此题主要考查了线段的定义以及线段之间的位置关系，利用线段定义得出是解题关键．3．下列说法中可能错误的是（）A．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 B．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．两条直线相交，有且只有一个交点 D．若两条直线相交成直角，则这两条直线互相垂直【分析】根据平行公理和相交线、垂线的定义利用排除法求解．【解答】解：A、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故本选项正确；B、应该是同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故本选项错误；C、两条直线相交，有且只有一个交点，故本选项正确；D、若两条直线相交成直角，则这两条直线互相垂直，直线垂直的定义，故本选项正确．故选：B．【点评】本题主要考查公理定义，熟练记忆公理和定义是学好数学的关键．4．下列说法正确的是（）A．不相交的两条射线一定平行 B．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与这条直线平行 C．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与这条直线垂直 D．直线外一点与直线上任一点的连线段叫做点到直线的距离【分析】根据射线在一直线上课判断A；根据平行公理的推论课判断B；根据点到直线的距离定义可判断D；根据垂线的性质可判断C．【解答】解：A、当两射线在一直线上时就不平行，故本选项错误；B、过直线外一点有且只有一条直线平行于已知直线，故本选项错误；C、在同一平面内，过一点有且只有一条直线垂直于已知直线，故本选项正确；D、过直线外一点作直线的垂线，这点和垂足之间的线段的长是点到直线的距离，故本选项错误；故选：C．【点评】本题考查了对平行公理及推论，垂线，点到直线的距离等知识点的应用，关键是能根据定理和性质进行判断．5．如图，直线l3⊥l4，且∠1=∠4，则下列判断正确的是（）A．l1∥l2 B．∠1+∠4=∠2+∠3 C．∠1+∠4=90° D．∠2=∠4【分析】利用两直线平行，同位角相等与垂直的定义，对选项一一分析，排除错误答案．【解答】解：A、正确，∵∠1=∠4，∴l1∥l2（同位角相等，两直线平行）．B、错误，应为∠1+∠2=∠3+∠4．C、错误，应为∠1+∠2=90°或∠3+∠4=90°．D、错误，应为∠2=∠3．故选：A．【点评】本题此题综合考查了两直线平行，同位角相等的性质和垂直的定义．6．如图，△ABC中，∠ABC、∠ACB的三等分线交于点E、D，若∠BFC=120°，∠BGC=102°，则∠A的度数为（）A．34° B．40° C．42° D．46°【分析】设∠GBC=x，∠DCB=y，在△BFC和△BGC中，根据三角形内角和定理列方程，相加可得：3x+3y的值，即可求得∠A的度数．【解答】解：设∠GBC=x，∠DCB=y，在△BFC中，2x+y=180°﹣120°=60°①，在△BGC中，x+2y=180°﹣102°=78°②，解得：①+②：3x+3y=138°，∴∠A=180°﹣（3x+3y）=180°﹣138°=42°，故选：C．【点评】本题考查了三角形的内角和定理、三等分线的定义，利用整体的思想解决问题比较简便．7．如图，△ABC中，BD、BE分别是高和角平分线，点F在CA的延长线上，FH⊥BE，交BD于点G，交BC于点H．下列结论：①∠DBE=∠F；②2∠BEF=∠BAF+∠C；③∠F=∠BAC﹣∠C；④∠BGH=∠ABE+∠C．其中正确个数是（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【分析】①根据BD⊥FD，FH⊥BE和∠FGD=∠BGH，证明结论正确；②根据角平分线的定义和三角形外角的性质证明结论正确；③证明∠DBE=∠BAC﹣∠C，根据①的结论，判断出错误；④根据角平分线的定义和三角形外角的性质证明结论正确．【解答】解：①∵BD⊥FD，∴∠FGD+∠F=90°，∵FH⊥BE，∴∠BGH+∠DBE=90°，∵∠FGD=∠BGH，∴∠DBE=∠F，①正确；②∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE，∠BEF=∠CBE+∠C，∴2∠BEF=∠ABC+2∠C，∠BAF=∠ABC+∠C，∴2∠BEF=∠BAF+∠C，②正确；③∠ABD=90°﹣∠BAC，∠DBE=∠ABE﹣∠ABD=∠ABE﹣90°+∠BAC=∠CBD﹣∠DBE﹣90°+∠BAC，∵∠CBD=90°﹣∠C，∴∠DBE=∠BAC﹣∠C﹣∠DBE，由①得，∠DBE=∠F，∴∠F=∠BAC﹣∠C﹣∠DBE，③错误；④∵∠AEB=∠EBC+∠C，∵∠ABE=∠CBE，∴∠AEB=∠ABE+∠C，∵BD⊥FC，FH⊥BE，∴∠FGD=∠FEB，∴∠BGH=∠ABE+∠C，④正确，∴正确的有①②④，共三个，故选：B．【点评】本题考查的是三角形内角和定理，正确运用三角形的高、中线和角平分线的概念以及三角形外角的性质是解题的关键8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D在AB边上，将△CBD沿CD折叠，使点B恰好落在AC边上的点E处，若∠A=26°，则∠ADE度数为（）A．71° B．64° C．38° D．45°【分析】由折叠的性质可求得∠ACD=∠BCD，∠BDC=∠CDE，在△ACD中，利用外角可求得∠BDC，即可解决问题．【解答】解：由折叠可得∠ACD=∠BCD，∠BDC=∠CDE，∵∠ACB=90°，∴∠ACD=45°，∵∠A=26°，∴∠BDC=∠A+∠ACD=26°+45°=71°，∴∠ADE=180°﹣71°﹣71°=38°故选：C．【点评】本题主要考查折叠的性质，掌握折叠前后图形的对应线段和对应角相等是解题的关键．9．如图，BD，CD分别是内角∠ABC和外角∠ACE的平分线，若∠A=70°，则∠D=（）A．30° B．35° C．40° D．45°【分析】根据角平分线的定义得到∠DCE=∠ACE，∠DBC=∠ABC，根据三角形的外角的性质计算即可．【解答】解：∵BD，CD分别是∠ABC与外角∠ACE的平分线，∴∠DCE=∠ACE，∠DBC=∠ABC，∵∠ACE﹣∠ABC=∠A=70°，∴∠D=∠DCE﹣∠DBC=∠A=35°，故选：B．【点评】本题考查的是三角形的外角的性质，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．10．如图，∠ABD、∠ACD的角平分线交于点P，若∠A=55°，∠D=15°，则∠P的度数为（）A．15° B．20° C．25° D．30°【分析】延长PC交BD于E，根据角平分线的定义可得∠1=∠2，∠3=∠4，再根据三角形的内角和定理可得∠A+∠1=∠P+∠3，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和表示出∠5，整理可得∠P=（∠A﹣∠D），然后代入数据计算即可得解．【解答】解：如图，延长PC交BD于E，∵∠ABD，∠ACD的角平分线交于点P，∴∠1=∠2，∠3=∠4，由三角形的内角和定理得，∠A+∠1=∠P+∠3①，在△PBE中，∠5=∠2+∠P，在△DCE中，∠5=∠4﹣∠D，∴∠2+∠P=∠4﹣∠D②，①﹣②得，∠A﹣∠P=∠P+∠D，∴∠P=（∠A﹣∠D），∵∠A=55°，∠D=15°，∴∠P=（55°﹣15°）=20°．故选：B．【点评】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质并作辅助线然后整理出∠A、∠D、∠P三者之间的关系式是解题的关键．11．下列命题中，是真命题的是（）A．任何数都有平方根 B．只有正数才有平方根 C．负数没有立方根 D．存在算术平方根等于本身的数【分析】根据平方根的定义，结合正数有两个平方根；0的平方根是0；负数没有平方根逐一进行判定即可．【解答】解：A、因负数没有平方根，故任何数都有平方根错误；B、因0的平方根是0，故只有正数才有平方根错误；C、负数有立方根，错误；D、存在算术平方根等于本身的数，即是1和0，正确．故选：D．【点评】本题考查了平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．注意：1或0平方等于它的本身．12．对于命题“若a2＞b2，则a＞b．”下列关于a，b的值中，能说明这个命题是假命题的是（）A．a=2，b=3 B．a=﹣3，b=2 C．a=3，b=﹣2 D．a=﹣2，b=3【分析】说明命题为假命题，即a、b的值满足a2＞b2，但a＞b不成立，把四个选项中的a、b的值分别代入验证即可．【解答】解：在A中，a2=4，b2=9，且3＞2，此时不但不满足a2＞b2，也不满足a＞b不成立故A选项中a、b的值不能说明命题为假命题；在B中，a2=9，b2=2，且﹣2＜3，此时满足满足a2＞b2，但不能满足a＞b，即意味着命题“若a2＞b2，则a＞b”不能成立，故B选项中a、b的值能说明命题为假命题；在C中，a2=9，b2=4，且3＞﹣2，满足“若a2＞b2，则a＞b”，故C选项中a、b的值不能说明命题为假命题；在D中，a2=4，b2=9，且﹣2＜3，此时不但不满足a2＞b2，也不满足a＞b不成立，故D选项中a、b的值不能说明命题为假命题；故选：B．【点评】本题主要考查假命题的判断，举反例是说明假命题不成立的常用方法，但需要注意所举反例需要满足命题的题设，但结论不成立．13．命题：①一个三角形中至少有两个锐角；②垂直于同一条直线的两条直线垂直；③如果两个有理数的积小于0，那么这两个数的和也小于0．其中为真命题的有（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【分析】根据三角形的内角、直线的垂直、有理数进行判断即可．【解答】解：①一个三角形中至少有两个锐角，是真命题；②垂直于同一条直线的两条直线平行，是假命题；③如果两个有理数的积小于0，但这两个数的和不一定小于0，是假命题；故选：B．【点评】此题主要考查了命题与定理，熟练掌握相关的定理是解题关键．14．小柔要榨果汁，她有苹果、芭乐、柳丁三种水果，且其颗数比为9：7：6，小柔榨完果汁后，苹果、芭乐、柳丁的颗数比变为6：3：4，已知小柔榨果汁时没有使用柳丁，关于她榨果汁时另外两种水果的使用情形，下列叙述何者正确？（）A．只使用苹果 B．只使用芭乐 C．使用苹果及芭乐，且使用的苹果颗数比使用的芭乐颗数多 D．使用苹果及芭乐，且使用的芭乐颗数比使用的苹果颗数多【分析】根据三种水果的颗数的关系，设出三种水果的颗数，再根据榨果汁后的颗数的关系，求出榨果汁后，苹果和芭乐的颗数，进而求出苹果，芭乐的用量，即可得出结论．【解答】解：∵苹果、芭乐、柳丁三种水果，且其颗数比为9：7：6，∴设苹果为9x颗，芭乐7x颗，柳丁6x颗（x是正整数），∵小柔榨果汁时没有使用柳丁，∴设小柔榨完果汁后，苹果a颗，芭乐b颗，∵小柔榨完果汁后，苹果、芭乐、柳丁的颗数比变为6：3：4，∴，，∴a=9x，b=x，∴苹果的用量为9x﹣a=9x﹣9x=0，芭乐的用量为7x﹣b=7x﹣x=x＞0，∴她榨果汁时，只用了芭乐，故选：B．【点评】此题是推理与论证题目，主要考查了根据比例的关系，比例的性质，求出榨汁后苹果和芭乐的数量是解本题的关键．15．小明、小林和小颖共解出100道数学题，每人都解出了其中的60道，如果将其中只有1人解出的题叫做难题，2人解出的题叫做中档题，3人都解出的题叫做容易题，那么难题比容易题多多少道（）A．15 B．20 C．25 D．30【分析】设容易题有x道，中档题有y道，难题有z道，然后根据题目数量和三人解答的题目数量列出方程组，然后根据系数的特点整理即可得解．【解答】解：设容易题有x道，中档题有y道，难题有z道，由题意得，，①×2﹣②得，z﹣x=20，所以，难题比容易题多20道．故选：B．【点评】此类题注意运用方程的知识进行求解，观察系数的特点巧妙求解更简便．二．填空题（共15小题）16．平面上不重合的四条直线，可能产生交点的个数为0，1，3，4，5，6个．【分析】从平行线的角度考虑，先考虑四条直线都平行，再考虑三条、两条直至都不平行，作出草图即可看出．【解答】解：（1）当四条直线平行时，无交点；（2）当三条平行，另一条与这三条不平行时，有三个交点；（3）当两两直线平行时，有4个交点；（4）当有两条直线平行，而另两条不平行时，有5个交点；（5）当四条直线同交于一点时，只有一个交点；（6）当四条直线两两相交，且不过同一点时，有6个交点；（7）当有两条直线平行，而另两条不平行并且交点在平行线上时，有3个交点．故答案为：0，1，3，4，5，6．【点评】本题没有明确平面上四条不重合直线的位置关系，需要运用分类讨论思想，从四条直线都平行线，然后数量上依次递减，直至都不平行，这样可以做到不重不漏，准确找出所有答案；本题对学生要求较高．17．下列说法中：①棱柱的上、下底面的形状相同；②若AB=BC，则点B为线段AC的中点；③相等的两个角一定是对顶角；④在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线；⑤直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短．正确的有①④⑤．（只填序号）【分析】分别根据棱柱的特征以及对顶角和垂线段的性质得出答案即可．【解答】解：①棱柱的上、下底面的形状相同，正确；②若AB=BC，则点B为线段AC的中点，A，B，C不一定在一条直线上，故错误；③相等的两个角一定是对顶角，角的顶点不一定在一个位置，故此选项错误；④在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，正确；⑤直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，正确．故答案为：①④⑤．【点评】此题主要考查了命题与定理等知识，熟练掌握相关定理是解题关键．18．已知：a∥b，b∥c，则a∥c．理由是平行于同一直线的两条直线平行．【分析】根据平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行即可求解．【解答】解：∵a∥b，a∥c（已知），∴b∥c（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）．故答案为平行于同一直线的两条直线平行【点评】本题考查了平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．注意：平行公理的推论可以看做是平行线的一种判定方法，在解题中要注意该结论在证明直线平行时应用．19．已知直线a∥b，b∥c，则直线a、c的位置关系是平行．【分析】根据平行于同一条直线的两条直线互相平行，可得答案．【解答】解：若直线直线a∥b，b∥c，则直线a、c的位置关系是平行，故答案为：平行．【点评】本题考查了平行公理及推论，利用了平行推论：平行于同一条直线的两条直线互相平行．20．如图，添加一个条件（不再添加字母），使得AB∥CD，你添加的条件是∠DAB=∠D．【分析】根据平行线的判定定理进行解答即可．【解答】解：添加的条件为：∠DAB=∠D，∵∠DAB=∠D，∴AB∥CD，故答案为：∠DAB=∠D【点评】本题考查的是平行线的判定，熟知平行线的判定定理是解答此题的关键．21．如图，△ABC中，∠ACB=90°，沿CD边折叠△CBD，使点B恰好落在AC边上点E处，若∠A=32°；则∠BDC=77°．【分析】由△ABC中，∠ACB=90°，∠A=32°，可求得∠B的度数，又由沿CD折叠△CBD，使点B恰好落在AC边上的点E处，即可求得∠BCD的度数，继而求得答案．【解答】解：∵△ABC中，∠ACB=90°，∠A=32°，∴∠B=90°﹣∠A=58°，∵沿CD折叠△CBD，使点B恰好落在AC边上的点E处，∴∠BCD=∠ACB=45°，∴∠BDC=180°﹣∠B﹣∠BCD=77°．故答案为：77．【点评】此题考查了三角形内角和定理以及折叠的性质．注意掌握折叠前后图形的对应关系是解此题的关键．22．在△ABC中，∠B=58°，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，则∠AEC=61°．【分析】根据三角形内角和定理、角平分线的定义以及三角形外角定理求得∠DAC+∠ACF=（∠B+∠B+∠1+∠2）=119°；最后在△AEC中利用三角形内角和定理可以求得∠AEC的度数．【解答】解：∵三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，∴∠EAC=∠DAC，∠ECA=∠ACF，∵∠DAC=∠B+∠2，∠ACF=∠B+∠1∴∠DAC+∠ACF=（∠B+∠2）+（∠B+∠1）=（∠B+∠B+∠1+∠2），∵∠B=58°（已知），∠B+∠1+∠2=180°（三角形内角和定理），∴∠DAC+∠ACF=119°∴∠AEC=180°﹣（∠DAC+∠ACF）=61°．故答案是：61°．【点评】本题考查了三角形内角和定理、三角形外角性质．解题时注意挖掘出隐含在题干中已知条件“三角形内角和是180°”．23．如图，在△ABC中，AD是高，AE平分∠BAC，∠B=50°，∠C=80°，则∠DAE=15°．【分析】根据题意和图形，可以求得∠CAE和∠CAD的度数，从而可以求得∠DAE的度数．【解答】解：∵在△ABC中，AD是高，∠B=50°，∠C=80°，∴∠ADC=90°，∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C=50°，∴∠CAD=10°，∵AE平分∠BAC，∴∠CAE=25°，∴∠DAE=∠CAE﹣∠CAD=15°，故答案为：15°．【点评】本题考查三角形内角和，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．24．如图，△ABC沿直线AB向下翻折得到△ABD，若∠ABC=25°，∠ADB=110°，则∠DAC的度数是90°．【分析】由△ABC沿直线AB向下翻折得到△ABD，推出∠C=∠D=110°，∠ABC=∠ABD=25°，再根据四边形内角和定理即可解决问题；【解答】解：∵△ABC沿直线AB向下翻折得到△ABD，∴∠C=∠D=110°，∠ABC=∠ABD=25°，∴∠DAC=360°﹣110°﹣110°﹣25°﹣25°=90°故答案为90°；【点评】本题考查三角形内角和定理、翻折变换、四边形内角和定理等知识，解题的关键是作为翻折不变性解决问题，属于中考常考题型．25．如图，△ABE和△ACD是△ABC分别以AB、AC为对称轴翻折180°形成的，若∠1：∠2：∠3=29：4：3，则∠α的度数为70°．【分析】根据轴对称的性质可得∠ACB=∠ACD，∠ABC=∠EBA，再根据三角形的内角和等于180°列式计算即可∠2+∠3的度数，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和表示出∠α．【解答】解：由题可得，∠ACB=∠ACD，∠ABC=∠EBA，∵∠1：∠2：∠3=29：4：3，∴∠2+∠3=180°×=35°，∴∠α=∠EBC+∠DCB=2（∠2+∠3）=2×35°=70°，故答案为：70°．【点评】本题考查轴对称的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，三角形的内角和定理，熟记性质并表示出∠α是解题的关键．26．“若实数a，b，c满足a＜b＜c，则a+b＜c”，能够说明该命题是假命题的一组a，b，c的值依次为1，2，3．【分析】列举一组数满足a＜b＜c，不满足a+b＜c即可．【解答】解：当a=1，b=2，c=3时，满足a＜b＜c，不满足a+b＜c，所以说明该命题是假命题的一组a，b，c的值依次为1，2，3．故答案为1，2，3．【点评】本题考查了命题与定理：命题写成“如果…，那么…”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．27．举反例说明命题对于“对于任意实数x，代数式x2﹣1的值总是正数”是假命题，你举的反例是x=0（写出一个x的值即可）．【分析】答案不唯一，只要满足﹣1≤x≤1的数即可，如0【解答】解：x=0时，x2﹣1=﹣1＜0，∴代数式x2﹣1的值总是正数”是假命题．故答案为0，【点评】本题考查命题与定理，解题的关键是学会举例说明是假命题，属于中考常考题型．28．下列命题：①若a2=b2，则a=b；②点（﹣2，1）关于y轴的对称点为（2，1）；③两组对边分别相等的四边形是平心四边形，其中真命题有②③（填写序号）．【分析】根据平方根的意义，轴对称的性质，平行四边形的判定方法即可一一判断；【解答】解：①是假命题．比如a=1，b=﹣1时，满足a2=b2，但是a≠b；②是真命题．③是真命题．故答案为②③．【点评】本题考查平方根的意义，轴对称的性质，平行四边形的判定方法等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．29．重庆一中乘持“尊重自由、激发自觉”的教育理念，开展了丰富多彩的第二课堂及各种有趣有益的竟赛活动．其中“小棋王”争霸赛得到同学们的涵跃参与，经过初选、复试最后十位同学进入决赛这十位同学进行单循环比赛（每两人均赛一局），胜一局得2分、平局得1分、负一局得0分，最后按照每人的累计得分的多少进行排名，得分最高者就是第一名，以此类推．赛完后发现每人最后得分均不相同，第一名和第二名的同学均没负一局，他们两人的得分之和比第三名同学多20分，第四名同学的得分刚好是最后四名同学得分的总和，则第五名的同学得分为11分．【分析】每场比赛产生的最大分值是2分，这次比赛一共进行了45场比赛，因此产生的分值的最大值是90分．个人的最高得分是18分，因为第一名选手与第二名选手均没有负一局，可以得出第一名选手与第二名选手是平一局，这个说明第一名选手最多17分，第二名选手最多16分，因此第一、二名选手的得分的和的最多33分．接下来分三种情形讨论即可解决问题；【解答】解：因为每场比赛产生的最大分值是2分，这次比赛一共进行了45场比赛，因此产生的分值的最大值是90分．因为个人的最高得分是18分，又因为第一名选手与第二名选手均没有负一局，可以得出第一名选手与第二名选手是平一局，这个说明第一名选手最多17分，第二名选手最多16分，因此第一、二名选手的得分的和的最多33分．情形1：当他们的总分是33分时，因为第一、二名选手的得分的和比第三名选手的得分多20分，所以第三名选手的得分13分，．假设第四名选手得分12分，最后四名选手的得分总和为12分，由90﹣33﹣12﹣12=20可知，第5名为11分，第6名为9分．情形2：当他们的总分是33分时，因为第一、二名选手的得分的和比第三名选手的得分多20分，所以第三名选手的得分13分，．假设第四名选手得分11分，最后四名选手的得分总和为11分，可知第5名与第6名的分数和为22分，两人中必有高于11分，与假设矛盾；情形3：假设第一、二名选手的得分的和是32分时，因为第一、二名选手的得分的和比第三名选手的得分多20分，所以第三名选手的得分12分，．假设第四名选手得分11分，最后四名选手的得分总和为11分，可知第5名与第6名的分数和为24分，结果推出矛盾，故第1名17分，第2名16分，第3名13分，第4名12分，第5名11分，第6名9分；故答案为11【点评】本题考查推理与论证，解题的关键是理解题意，学会假设推理的方法，掌握假设，推理，得出矛盾，推出假设不成立，学会用分类讨论的思想解决问题，属于竞赛题目．30．小敏中午放学回家自己煮面条吃．有下面几道工序：①洗锅盛水2min；②洗菜3min；③准备面条及佐料2min；④用锅把水烧开7min；⑤用烧开的水煮面条和菜要3min．以上各道工序，除④外，一次只能进行一道工序．小敏要将面条煮好，最少需要12min．【分析】根据统筹方法，烧开水时可洗菜和准备面条及佐料，这样可以节省时间，所以小明所用时间最少为（1）、（4）、（5）步时间之和．【解答】解：第一步，洗锅盛水花2分钟；第二步，用锅把水烧开7分钟，同时洗菜3分钟，准备面条及佐料2分钟，共花费7分钟；第三步，用烧开的水煮面条和菜要3分钟．总计共用2+7+3=12分钟．故答案为：12．【点评】此题主要考查了推理与论证，解决问题的关键是读懂题意，采用统筹方法是生活中常用的有效节省时间的方法，本题将数学知识与生活相结合，是一道好题．三．解答题（共20小题）31．填空并完成以下证明：已知，如图，∠1=∠ACB，∠2=∠3，FH⊥AB于H，求证：CD⊥AB．证明：FH⊥AB（已知）∴∠BHF=90°．∵∠1=∠ACB（已知）∴DE∥BC（同位角相等，两直线平行）∴∠2=∠BCD．（两直线平行，内错角相等）∵∠2=∠3（已知）∴∠3=∠BCD．（等量代换）∴CD∥FH（同位角相等，两直线平行）∴∠BDC=∠BHF=90．°（两直线平行，同位角角相等）∴CD⊥AB．【分析】先根据垂直的定义得出∠BHF=90°，再由∠1=∠ACB得出DE∥BC，故可得出∠2=∠BCD，根据∠2=∠3得出∠3=∠BCD，所以CD∥FH，由平行线的性质即可得出结论．【解答】证明：FH⊥AB（已知），∴∠BHF=90°．∵∠1=∠ACB（已知），∴DE∥BC（同位角相等，两直线平行），∴∠2=∠BCD．（两直线平行，内错角相等）．∵∠2=∠3（已知），∴∠3=∠BCD（等量代换），∴CD∥FH（同位角相等，两直线平行），∴∠BDC=∠BHF=90°，（两直线平行，同位角角相等）∴CD⊥AB．故答案为：90°；同位角相等，两直线平行；∠BCD；两直线平行，内错角相等；∠BCD；等量代换；同位角相等，两直线平行；90；两直线平行，同位角角相等．【点评】本题考查的是平行线的判定，熟知平行线的判定定理是解答此题的关键．32．如图，已知直线AB、CD被直线EF所截，FG平分∠EFD，∠1=∠2=80°，求∠BGF的度数．解：因为∠1=∠2=80°（已知），所以AB∥CD（同位角相等，两直线平行）所以∠BGF+∠3=180°（两直线平行，同旁内角互补）因为∠2+∠EFD=180°（邻补角的性质）．所以∠EFD=100°．（等式性质）．因为FG平分∠EFD（已知）．所以∠3=∠EFD（角平分线的性质）．所以∠3=50°．（等式性质）．所以∠BGF=130°．（等式性质）．【分析】根据平行显得判定及性质求角的过程，一步步把求解的过程补充完整即可．【解答】解：因为∠1=∠2=80°（已知），所以AB∥CD（同位角相等，两直线平行），所以∠BGF+∠3=180°（两直线平行，同旁内角互补）．因为∠2+∠EFD=180°（邻补角的性质）．所以∠EFD=100°．（等式性质）．因为FG平分∠EFD（已知）．所以∠3=∠EFD（角平分线的性质）．所以∠3=50°．（等式性质）．所以∠BGF=130°．（等式性质）．故答案为：同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；100°；；50°；130°．【点评】本题考查了平行线的判定及性质、角平分线的定义以及邻补角，解题的关键是把解题的过程补充完整．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，熟悉利用平行线的性质解决问题的过程．33．如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B，CB=CE．求证：CE∥AD．【分析】先根据等边对等角，得出∠B=∠CEB，再根据等量代换，即可得出∠A=∠CEB，进而判定CE∥AD．【解答】证明：∵CB=CE，∴∠B=∠CEB，又∵∠A=∠B，∴∠A=∠CEB，∴CE∥AD．【点评】本题主要考查了平行线的判定，解题时注意：同位角相等，两直线平行．34．如图，已知∠1=∠2求证：a∥b．【分析】根据对顶角相等可得∠2=∠3，再加上条件∠1=∠2可得∠1=∠3，再根据同位角相等两直线平行可判断出a∥b．【解答】证明：∵∠1=∠2，∠2=∠3，∴∠1=∠3，∴a∥b．【点评】此题主要考查了平行线的判定方法，关键是掌握：（1）定理1：同位角相等，两直线平行．（2）定理2：内错角相等，两直线平行．（3）定理3：同旁内角互补，两直线平行．（4）定理4：两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行．（5）定理5：在同一平面内，如果两条直线同时垂直于同一条直线，那么这两条直线平行．35．已知：如图，∠1=∠2，∠C=∠D．求证：∠A=∠F．证明：∵∠1=∠2（已知），又∠1=∠DMN（对顶角相等），∴∠2=∠DMN（等量代换），∴DB∥EC（同位角相等，两直线平行），∴∠DBC+∠C=180°（两直线平行，同旁内角互补），∵∠C=∠D（已知），∴∠DBC+∠D=180°（等量代换），∴DF∥AC（同旁内角互补，两直线平行），∴∠A=∠F（两直线平行，内错角相等）【分析】根据平行线的性质与判定即可求出答案．【解答】解：故答案为：对顶角；DMN；同为角相等，两直线平行；同旁内角互补；已知；∠D；同旁内角互补；两直线平行，内错角相等【点评】本题考查平行线的性质与判定，解题的关键是灵活运用平行线的性质与判定，本题属于基础题型．36．（1）如图（a），如果∠B+∠E+∠D=360°，那么AB、CD有怎样的关系？为什么？解：过点E作EF∥AB①，如图（b），则∠ABE+∠BEF=180°，（两直线平行，同旁内角互补）因为∠ABE+∠BED+∠EDC=360°（已知）所以∠FED+∠EDC=180°（等式的性质）所以FE∥CD②（同旁内角互补，两直线平行）由①、②得AB∥CD（平行线的传递性）．（2）如图（c），当∠1、∠2、∠3满足条件∠1+∠3=∠2时，有AB∥CD．（3）如图（d），当∠B、∠E、∠F、∠D满足条件∠B+∠E+∠F+∠D=540°时，有AB∥CD．【分析】（1）过点E作EF∥AB．由两直线平行，同旁内角互补及已知条件∠B+∠E+∠D=360°求得∠FED+∠EDC=180°；然后根据平行线的传递性证得AB∥CD；（2）过点E作EF∥AB．由两直线平行，内错角相等求得∠1=∠BEF；再用已知条件∠1+∠3=∠2，∠2=∠BEF+∠DEF推知内错角∠3=∠DEF，所以EF∥CD；最后根据平行线的传递性得出结论；（3）过点E、F分别作GE∥HF∥CD．根据同旁内角互补以及已知条件求得同旁内角∠ABE+∠BEG=180°，所以AB∥GE；最后根据平行线的传递性来证得AB∥CD．【解答】解：（1）过点E作EF∥AB，如图（b），则∠ABE+∠BEF=180°，（两直线平行，同旁内角互补）因为∠ABE+∠BED+∠EDC=360°，（已知）所以∠FED+∠EDC=180°，（等式的性质）所以FE∥CD，（同旁内角互补，两直线平行）∴AB∥CD（或平行线的传递性）．（2）如图（c），当∠1、∠2、∠3满足条件∠1+∠3=∠2时，有AB∥CD．理由：过点E作EF∥AB．∴∠1=∠BEF；∵∠1+∠3=∠2，∠2=∠BEF+∠DEF，∴∠3=∠DEF，∴EF∥CD，∴AB∥CD（平行线的传递性）；（3）如图（d），当∠B、∠E、∠F、∠D满足条件∠B+∠E+∠F+∠D=540°时，有AB∥CD．理由：过点E、F分别作GE∥HF∥CD．则∠GEF+∠EFH=180°，∠HFD+∠CDF=180°，∴∠GEF+∠EFD+∠FDC=360°；又∵∠B+∠E+∠F+∠D=540°，∴∠ABE+∠BEG=180°，∴AB∥GE，∴AB∥CD；故答案是：（1）两直线平行，同旁内角互补、已知、180、同旁内角互补，两直线平行或平行线的传递性；（2）∠1+∠3=∠2；（3）∠B+∠E+∠F+∠D=540°．【点评】本题考查了平行线的判定与性质．解答此题的关键是注意平行线的性质和判定定理的综合运用．37．填空，如图，已知∠1=∠2，∠C=∠D，求证：∠A=∠F．证明：∵∠1=∠2（已知）又∠1=∠DMN（对顶角相等）∴∠2=∠DMN（等量代换）∴DB∥EC（同位角相等，两直线平行）∴∠DBC+∠C=180°（两直线平行，同旁内角互补）∵∠C=∠D（已知）∴∠DBC+∠D=180°（等量代换）∴DF∥AC（同旁内角互补，两直线平行）∴∠A=∠F（两直线平行，内错角相等）【分析】求出∠2=∠DMN，根据平行线的判定得出DB∥EC，根据平行线的性质得出∠DBC+∠C=180°，求出∠D+∠DBC=180°，根据平行线的判定得出DF∥AC，根据平行线的性质得出即可．【解答】证明：∵∠1=∠2（已知）又∠1=∠DMN（对顶角相等）∴∠2=∠DMN（等量代换）∴DB∥EC（同位角相等，两直线平行）∴∠DBC+∠C=180°（两直线平行，同旁内角互补）∵∠C=∠D（已知）∴∠DBC+∠D=180°（等量代换）∴DF∥AC（同旁内角互补，两直线平行）∴∠A=∠F（两直线平行，内错角相等）故答案为：对顶角相等；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；∠D；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，内错角相等．【点评】本题考查了平行线的性质和判定的应用，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键．38．如图，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为D，点E在BC上，EF⊥AB，垂足为F．（1）CD与EF平行吗？为什么？（2）如果∠1=∠2，且∠3=115°，求∠ACB的度数．【分析】（1）根据垂直于同一条直线的两条直线互相平行即可得出答案；（2）先根据已知条件判断出DG∥BC，再根据两直线平行，同位角相等即可得出结论．【解答】解：（1）CD与EF平行．理由如下：∵CD⊥AB，EF⊥AB，∵垂直于同一直线的两直线互相平行，∴CD∥EF；（2）∵CD∥EF，∴∠2=∠BCD，∵∠1=∠2，∴∠1=∠BCD，∴DG∥BC，∴∠ACB=∠3=115°．【点评】本题考查的是平行线的判定与性质，熟知平行线的判定定理及性质是解答此题的关键．39．如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，AE平分EBAC．（1）若∠B=70°，∠C=40°，求∠DAE的度数．（2）若∠B﹣∠C=30°，则∠DAE=15°．（3）若∠B﹣∠C=α（∠B＞∠C），求∠DAE的度数（用含α的代数式表示）【分析】根据垂直定义由AD⊥BC得∠ADC=90°，再利用角平分线定义得∠EAC=∠BAC，然后根据三角形内角和定理得∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C，∠DAC=90°﹣∠C，则∠DAE=（∠B﹣∠C），（1）把∠B=70°，∠C=40°代入∠DAE=（∠B﹣∠B）中计算即可；（2）把∠B﹣∠C=30°代入∠DAE=（∠B﹣∠C）中计算即可；（3）把∠B﹣∠C=α（∠B＞∠C）代入∠DAE=（∠B﹣∠C）中计算即可；【解答】解：∵AD⊥BC于D，∴∠ADC=90°，∵AE平分∠BAC，∴∠EAC=∠BAC，而∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C，∴∠EAC=90°﹣∠B﹣∠C，∵∠DAC=90°﹣∠C，∴∠DAE=∠DAC﹣∠EAC=90°﹣∠C﹣[90°﹣∠B﹣∠C]=（∠B﹣∠C），（1）若∠B=70°，∠C=40°，则∠DAE=（70°﹣40°）=15°；（2）若∠B﹣∠C=30°，则∠DAE=×30°=15°；（3）若∠B﹣∠C=α（∠B＞∠C），则∠DAE=α；故答案为15°．【点评】本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是180°．40．如图，在△ABC中，∠1=∠2，∠3=∠4，∠BAC=54°，求∠DAC的度数．【分析】已知∠BAC=54°可得：∠2+∠3的度数，然后利用三角形的外角的性质，即可利用∠2表示出∠3，从而得到关于∠3的方程，求得∠3的度数，进而求得∠DAC的度数．【解答】解：∵∠1=∠2，∠3=∠4，∴∠4=2∠1=2∠2=∠3∴∠2+∠3=3∠2=126°∴∠2=∠1=42°∴∠DAC=54﹣42=12°．【点评】本题考查了三角形的内角和定理以及三角星的外角的性质，正确求得∠2的度数是关键．41．在△ABC中，∠C＞∠B，AE平分∠BAC，F为射线AE上一点（不与点E重合），且FD⊥BC于D．（1）如图①，当点F与点A重合，且∠C=50°，∠B=30°时，求∠EFD的度数，并直接写出∠EFD与（∠C﹣∠B）之间的数量关系．（2）如图②，当点F在线段AE上（不与点A重合），∠EFD与∠C﹣∠B有怎样的数量关系？并说明理由．（3）当点F在△ABC外部时，在图③中画出符合题意的图形，并直接写出∠EFD与∠C﹣∠B的数量关系．【分析】（1）根据三角形内角和定理求出∠BAC和∠CAD，根据角平分线定义求出∠CAE，即可求出答案；（2）根据三角形内角和定理求出∠BAC和∠CAD，根据角平分线定义求出∠CAE，求出∠EAM，根据平行线的性质得出即可；（3）求出∠EAM，根据平行线的性质得出即可．【解答】解：（1）如图1，∵∠B=30°，∠ACB=50°，∴∠BAC=180°﹣∠B﹣∠ACB=100°，∵AE是∠BAC的平分线，∴∠CAE=CAB=50°，∵FD⊥BC，∴∠FDC=90°，∵∠ACB=50°，∴∠DAC=180°﹣90°﹣50°=40°，∴∠EFD=∠CAE﹣∠CAD=50°﹣40°=10°；∠EFD=（∠C﹣∠B），理由是：∵∠BAC+∠B+∠C=180°，∴∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C，∵AE是∠BAC的平分线，∴∠CAE=CAB=90°﹣（∠B+∠C），∵FD⊥BC，∴∠FDC=90°，∴∠DAC=180°﹣90°﹣∠C=90°﹣∠C，∴∠EFD=∠CAE﹣∠CAD=[90°﹣（∠B+∠C）]﹣（90°﹣∠C）=（∠C﹣∠B）；（2）∠EFD=（∠C﹣∠B），理由是：过A作AM⊥BC于M，由（1）可知：∠EAM=（∠C﹣∠B），∵AM⊥BC，FD⊥BC，∴AM∥FD，∴∠EFD=∠EAM=（∠C﹣∠B）；（3）∠EFD=（∠C﹣∠B），理由是：过A作AM⊥BC于M，由（1）可知：∠EAM=（∠C﹣∠B），∵AM⊥BC，FD⊥BC，∴AM∥FD，∴∠EFD=∠EAM=（∠C﹣∠B）．【点评】本题考查了三角形内角和定理、角平分线定义、三角形的高等知识点，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键，求解过程类似．42．如图，AB和CD相交于点O，EF∥AB，∠C=∠COA，∠D=∠BOD．求证：∠A=∠F．【分析】求出∠C=∠D，根据平行线的判定得出AC∥DF，根据平行线的性质得出∠A=∠DBO，∠F=∠DBO，即可得出答案．【解答】证明：∵∠AOC=∠DOB，∠C=∠COA，∠D=∠BOD，∴∠C=∠D，∴AC∥DF，∴∠A=∠DBO，∵EF∥AB，∴∠F=∠DBO，∴∠A=∠F．【点评】本题考查了平行线的性质和判定，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键．43．如图所示，在△ABC中，BO、CO是角平分线．（1）∠ABC=50°，∠ACB=60°，求∠BOC的度数，并说明理由．（2）题（1）中，如将“∠ABC=50°，∠ACB=60°”改为“∠A=70°”，求∠BOC的度数．（3）若∠A=n°，求∠BOC的度数．【分析】如图，由BO、CO是角平分线得∠ABC=2∠1，∠ACB=2∠2，再利用三角形内角和得到∠ABC+∠ACB+∠A=180°，则2∠1+2∠2+∠A=180°，接着再根据三角形内角和得到∠1+∠2+∠BOC=180°，利用等式的性质进行变换可得∠BOC=90°+∠A，然后根据此结论分别解决（1）、（2）、（3）．【解答】解：如图，∵BO、CO是角平分线，∴∠ABC=2∠1，∠ACB=2∠2，∵∠ABC+∠ACB+∠A=180°，∴2∠1+2∠2+∠A=180°，∵∠1+∠2+∠BOC=180°，∴2∠1+2∠2+2∠BOC=360°，∴2∠BOC﹣∠A=180°，∴∠BOC=90°+∠A，（1）∵∠ABC=50°，∠ACB=60°，∴∠A=180°﹣50°﹣60°=70°，∴∠BOC=90°+×70°=125°；（2）∠BOC=90°+∠A=125°；（3）∠BOC=90°+n°．【点评】本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是180°．主要用在求三角形中角的度数：①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角．44．如图，在小学我们通过观察、实验的方法得到了“三角形内角和是180°”的结论．小明通过这学期的学习知道：由观察、实验、归纳、类比、猜想得到的结论还需要通过证明来确认它的正确性．受到实验方法1的启发，小明形成了证明该结论的想法：实验1的拼接方法直观上看，是把∠1和∠2移动到∠3的右侧，且使这三个角的顶点重合，如果把这种拼接方法抽象为几何图形，那么利用平行线的性质就可以解决问题了．小明的证明过程如下：已知：如图，△ABC．求证：∠A+∠B+∠C=180°．证明：延长BC，过点C作CM∥BA．∴∠A=∠1（两直线平行，内错角相等），∠B=∠2（两直线平行，同位角相等）．∵∠1+∠2+∠ACB=180°（平角定义），∴∠A+∠B+∠ACB=180°．请你参考小明解决问题的思路与方法，写出通过实验方法2证明该结论的过程．【分析】过点A作MN∥BC，利用平行线的性质得到∠MAB=∠B，∠NAC=∠C，进而利用平角的定义得到结论．【解答】已知：如图，△ABC．求证：∠A+∠B+∠C=180°．证明：过点A作MN∥BC．∴∠MAB=∠B，∠NAC=∠C（两直线平行，内错角相等）．∵∠MAB+∠BAC+∠NAC=180°（平角定义），∴∠B+∠BAC+∠C=180°．【点评】本题主要考查了三角形内角和定理以及平行线的性质，解题的关键是掌握两直线平行，内错角相等，此题难度不大．45．在数学实践课上，老师在黑板上画出如下的图形（其中点B、F、C、E在同一条直线上），并写出四个条件：①AB=DE，②∠1=∠2．③BF=EC，④∠B=∠E，交流中老师让同学们从这四个条件中选出三个作为题设，另一个作为结论，组成一个真命题．（1）写出所有的真命题．（用序号表示题设、结论）（2）请选择一个给予证明．【分析】①有三种情况是真命题：情况一：由AAS证明△ABC≌△DEF，得出对应边相等BC=EF，即可得出BF=EC；情况