云南省昆明市2024届高三“三诊一模”摸底诊断测试数学试卷

数学试卷·第1页（共10页）秘密★启用前【考试时间：1月15日15∶00—17∶00】昆明市2024届高三“三诊一模”摸底诊断测试数学注意事项：1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡交回。一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设全集，集合，，则 A． B． C． D．2．复数在复平面内对应的点位于 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．已知是抛物线的焦点，点在上，且的纵坐标为，则 A． B． C． D．4．在中，点满足，则 A． B． C． D．5．某学校运动会男子100m决赛中，八名选手的成绩（单位：）分别为：，，，，，，，，则下列说法错误的是 A．若该八名选手成绩的第百分位数为，则 B．若该八名选手成绩的众数仅为，则 C．若该八名选手成绩的极差为，则 D．若该八名选手成绩的平均数为，则6．，且，则 A． B． C． D．7．若将函数的图象平移后能与函数的图象重合，则称函数和互为“平行函数”．已知，互为“平行函数”，则 A． B． C． D．8．第七届国际数学大会（ICNE7）的会徽图案是由若干三角形组成的．如图所示，作，，，再依次作相似三角形，，，……，直至最后一个三角形的斜边与第一次重叠为止．则所作的所有三角形的面积和为 A． B． C． D．二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分。9．在正四棱柱中，已知与平面所成的角为，则 A． B．与平面所成的角为C． D．平面10．已知圆，直线，点在直线上运动，过点作圆的两条切线，切点分别为，，当最大时，则 A．直线的斜率为1 B．四边形的面积为 C． D．11．古希腊数学家托勒密（Ptolemy85-165）对三角学的发展做出了重要贡献，他研究出角与弦之间的对应关系，创造了世界上第一张弦表．托勒密用圆的半径的作为一个度量单位来度量弦长，将圆心角（）所对的弦长记为．例如圆心角所对弦长等于60个度量单位，即．则 A． B．若，则 C． D．（）12．已知函数，则 A．当时，有2个零点 B．当时，有2个零点 C．存在，使得有3个零点 D．存在，使得有5个零点三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，点（）在角终边上，且，则的值可以是.（写一个即可）14．春节前夕，某社区安排小王、小李等5名志愿者到三个敬老院做义工，每个敬老院至少安排1人，至多安排2人.若小王、小李安排在同一个敬老院，且这5名志愿者全部安排完，则所有不同的安排方式种数为.（用数字作答）15．已知双曲线的左、右焦点分别为，，以为圆心作与的渐近线相切的圆，该圆与的一个交点为，若为等腰三角形，则的离心率为．16．已知球的表面积为，正四棱锥的所有顶点都在球的球面上，则该正四棱锥体积的最大值为．四、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（10分）在中，，，.（1）求的面积；（2）如图，，，求.18．（12分）记为数列的前项和，.（1）求数列的通项公式；（2）在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求数列的前项和.19．（12分）如图，在三棱锥中，平面，是线段的中点，是线段上一点，，．（1）证明：平面平面；（2）若存在，求；若不存在，说明理由．20．（12分）聊天机器人（chatterbot）是一个经由对话或文字进行交谈的计算机程序．当一个问题输入给聊天机器人时，它会从数据库中检索最贴切的结果进行应答．在对某款聊天机器人进行测试时，如果输入的问题没有语法错误，则应答被采纳的概率为80%，若出现语法错误，则应答被采纳的概率为30%．假设每次输入的问题出现语法错误的概率为10%．（1）求一个问题的应答被采纳的概率；（2）在某次测试中，输入了8个问题，每个问题的应答是否被采纳相互独立，记这些应答被采纳的个数为，事件（）的概率为，求当最大时的值.21．（12分）已知是椭圆的右焦点，点在不过原点的直线上，交于，两点.当与互补时，，.（1）求的方程；（2）证明：为定值.22．（12分）已知函数，.（1）讨论的单调性；（2）当时，若恒成立，求的取值范围.

昆明市2024届高三“三诊一模”摸底诊断测试数学参考答案及评分标准一、单选题；二、多选题题号123456789101112答案CADCABBDABACBCDBCD三.填空题13.（,,均可）14.15.16.17．解：（1）因为，所以，因为，所以，在中，由正弦定理可得，解得.又因为，所以.………5分（2）由（1）可知，，因为，所以，又因为，即，故，所以，，在中，由余弦定理可得，解得.………10分18．解：（1）当时，，所以，当时，，所以，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，即.……6分（2）由题意，，则，记数列的前项和为，所以.…12分19．解：（1）证明：因为，是的中点，所以，在中，，，所以，在中，，，所以，得，又平面，平面，所以，又，，所以平面，由平面得，又，所以平面，由平面得，平面平面．………………6分（2）存在点满足条件，以为原点，建立空间直角坐标系如图，设，则，，，，，设平面的法向量为，则令得，所以平面的一个法向量为，易知平面的一个法向量为，由已知得，即，解得，即，所以存在点使平面与平面的夹角为，此时．…………12分20．解：（1）记“输入的问题没有语法错误”为事件，“一次应答被采纳”为事件，由题意，，，则，.……6分（2）依题意，，，当最大时，有即解得：，，故当最大时，.……………12分21．解：（1）因为与互补，所以与关于轴对称，所以轴，又因为直线过，故的方程为.设在第一象限，因为，则，设为的左焦点，则，故，即,因为在上，，解得，所以的方程为.……………6分（2）设，，直线，联立得，，，所以，…………9分故，所以为定值.…………12分22．解：（1）函数的定义域为，.①当时，令，得，则当时，；当时，，所以在上单调递减，在上单调递增.②当时，令，得或.ⅰ）当时，则当或时，；当时，，所以在和上单调递增，在上单调递减.ⅱ）当时，当时，，所以在上单调递增.ⅲ）当时，则当或时，；当时，，所以在和上单调递增，在上