2025年粤人版高二数学下册阶段测试试卷

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2025年粤人版高二数学下册阶段测试试卷506考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五六总分得分评卷人得分一、选择题(共6题，共12分)1、某社区现有480个住户，其中中等收入家庭200户、低收入家庭160户，其他为高收入家庭.在建设幸福社区的某次分层抽样调查中，高收入家庭被抽取了6户，则在此次分层抽样调查中，被抽取的总户数为()A.20B.24C.36D.302、在空间中，a、b是两条不同的直线；α；β是两个不同的平面，下列说法正确的是（）

A.若a∥α，b∥a，则b∥α

B.若a∥α，b∥α，a⊂β，b⊂β；则β∥α

C.若α∥β，b∥α，则b∥β

D.若α∥β；a⊂α，则a∥β

3、用反证法证明：a，b至少有一个为0；应假设（）

A.a，b没有一个为0

B.a，b只有一个为0

C.a，b至多有一个为0

D.a，b两个都为0

4、【题文】设数列的前n项和则的值为A.15B.16C.49D.645、已知直角三角形的三边长都是整数且其面积与周长在数值上相等，那么这样的直角三角形有（）A.0B.1C.2D.36、若质点A按规律s=2t2运动，则质点A在t=1时的瞬时速度是（）A.B.2C.D.4评卷人得分二、填空题(共6题，共12分)7、不等式的解集是8、抛物线y2=4x上的斜率为2的弦的中点的轨迹方程是____．9、【题文】已知则=____.10、【题文】已知是首项为1的等差数列，且的等比中项，且

则的前n项和=______11、圆锥的母线与底面圆的直径均为2，则该圆锥的侧面积为______．12、(x2+1x3)5

的展开式中的常数项为______(

用数字作答)

．评卷人得分三、作图题(共8题，共16分)13、著名的“将军饮马”问题：有一位将军骑着马要从A地走到B地；但途中要到水边喂马喝一次水，则将军怎样走最近？

14、A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小．（如图所示）15、已知，A，B在直线l的两侧，在l上求一点，使得PA+PB最小．（如图所示）16、著名的“将军饮马”问题：有一位将军骑着马要从A地走到B地；但途中要到水边喂马喝一次水，则将军怎样走最近？

17、A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小．（如图所示）18、已知，A，B在直线l的两侧，在l上求一点，使得PA+PB最小．（如图所示）19、分别画一个三棱锥和一个四棱台．评卷人得分四、解答题(共4题，共24分)20、【题文】已知椭圆C的方程为左、右焦点分别为F1、F2，焦距为4，点M是椭圆C上一点，满足

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）过点P（0，2）分别作直线PA，PB交椭圆C于A，B两点，设直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，求证：直线AB过定点，并求出直线AB的斜率k的取值范围。21、【题文】已知双曲线C2x2－y2=2与点P(1；2)

(1)求过P(1，2)点的直线l的斜率取值范围，使l与C分别有一个交点；两个交点，没有交点。

(2)若Q(1，1)，试判断以Q为中点的弦是否存在22、已知数列{an}的各项均为正数，前n项和为Sn，且满足2Sn=an2+n-4（n∈N*）．

（1）求证：数列{an}为等差数列；

（2）求数列{an}的通项公式．23、由经验得知；在某大商场付款处排队等候付款的人数及其概率如表：

。排队人数5人及以下678910人及以上概率0.10.160.30.30.10.04（1）不多于6个人排队的概率；

（2）至少8个人排队的概率．评卷人得分五、计算题(共1题，共5分)24、已知复数z1满足（z1﹣2）（1+i）=1﹣i（i为虚数单位），复数z2的虚部为2，且z1•z2是实数，求z2．评卷人得分六、综合题(共1题，共2分)25、已知Sn为等差数列{an}的前n项和，S6=51，a5=13．参考答案一、选择题(共6题，共12分)1、B【分析】试题分析：由分层抽样的方法可知高收入总共有120户家庭，抽取了6户，抽取的人数占了5%.所以总的抽取人数应该是占总人数的5%.即应该抽取人数是24人.故选B.本小题关键是通过求出所占的比例再求出总的抽取人数.考点：1.分层抽样.2.局部到全体.【解析】【答案】B2、D【分析】

对于A，若a∥α，b∥a，说明b与平面α的平行线a平行，b可能在平面α内；它们的位置关系应该是平行或直线在平面内，故A错；

对于B，若a∥α，b∥α，a⊂β，b⊂β；说明在平面α和平面β内各有一条直线与另一个平面平行，但是条件并没有指明平面α；β的位置关系，平面α、β也可能相交，故不一定α∥β，故B错；

对于C，若α∥β，b∥α，说明直线b∥β或b⊂β，故不一定b∥β；故C错；

对于D；若α∥β，a⊂α，根据面面平行的性质：两个平行平面中的一个平面的直线必定平行于另一个平面，知a∥β，故D正确．

故选D．

【解析】【答案】对于A；B、C、D各项逐个加以分析：根据线面平行的判定及性质得到A错误；根据面面平行的判定得到B错误；根据面面平行的性质得到C错误；根据面面平行的性质；可得D正确．

3、A【分析】

由于命题：“a、b至少有一个为0”的反面是：“a、b没有一个为0”；

故用反证法证明：“a、b至少有一个为0”，应假设“a、b没有一个为0”；

故选A．

【解析】【答案】根据命题：“a、b至少有一个为0”的反面是：“a、b没有一个为0”；可得假设内容．

4、A【分析】【解析】因为所以故选A【解析】【答案】A5、C【分析】【解答】解：设两条直角边为a，b；斜边为c；

则面积S=ab，周长l=a+b+c，a2+b2=c2；

又∵2ab=（a+b）2﹣（a2+b2）=（a+b）2﹣c2=（a+b+c）（a+b﹣c）

∴ab=（a+b+c）（a+b﹣c）；

∵ab=a+b+c；

∴（a+b+c）（a+b﹣c）/4=a+b+c

∴（a+b﹣c）=1；

∴a+b﹣c=4；

∴a2+b2=c2=（a+b﹣4）2=a2+b2+16﹣8a﹣8b+2ab

∴16﹣8a﹣8b+2ab=0；

即ab﹣4a﹣4b+8=0；

即（a﹣4）（b﹣4）=8；

又∵边长为整数；

∴a﹣4=1；2，4，8，﹣1，﹣2，﹣4，﹣8

∴a=5；6，8，12，0，2，0，﹣4

又∵a＞0；

∴a=5；6，8，12，2；

∴b=12；8，6，5，0；

又∵a，b；c都是整数；

∴有两种直角三角形；

分别是6；8，10和5，12，13；

故边长为整数；且面积等于周长的直角三角形一共有2个．

【分析】设两条直角边为a，b，斜边为c，从而可得a2+b2=c2，ab=a+b+c，从而化简可得（a﹣4）（b﹣4）=8，从而解得．6、D【分析】解：∵质点按规律S=2t2运动；

∴s′=4t

∵s′|t=1=4×1=4．

∴质点在1s时的瞬时速度为4．

故选：D．

由已知中质点按规律S=2t2运动；我们易求出s′，即质点运动的瞬时速度表达式，将t=1代入s′的表达式中，即可得到答案．

本题考查的知识点是变化的快慢与变化率，其中根据质点位移与时间的关系时，求导得到质点瞬时速度的表达式是解答本题的关键．【解析】【答案】D二、填空题(共6题，共12分)7、略

【分析】【解析】【答案】8、略

【分析】

设弦的端点的坐标A（x1，y1），B（x2，y2），弦AB的中点P（x，y），则斜率=2．

把点A；B的坐标代入抛物线的方程得。

两式相减得（y1+y2）（y1-y2）=4（x1-x2），即．

∴2y×2=4；化为y=1．

把y=1代入抛物线的方程得1=4x，解得．

∴抛物线y2=4x上的斜率为2的弦的中点的轨迹方程是y=1．

【解析】【答案】利用“点差法”；中点坐标公式、斜率的计算公式即可得出．

9、略

【分析】【解析】

试题分析：因为所以=

考点：1.两角和差的正切公式；2.同角的平方关系.【解析】【答案】10、略

【分析】【解析】略【解析】【答案】11、略

【分析】解：圆锥的底面半径为r=1；母线长l=2；

∴圆锥的侧面积S=πrl=2π．

故答案为2π．

根据侧面积公式计算．

本题考查了圆锥的侧面积公式，属于基础题．【解析】2π12、略

【分析】解：(x2+1x3)5

的展开式中的通项公式为Tr+1=C5r?x10鈭�2r?x鈭�3r=C5r?x10鈭�5r

．

令10鈭�5r=0

解得r=2隆脿

展开式中的常数项为C52=10

故答案为10

．

先求出二项式展开式的通项公式，再令x

的幂指数等于0

求得r

的值；即可求得展开式中的常数项的值．

本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．【解析】10

三、作图题(共8题，共16分)13、略

【分析】【分析】根据轴对称的性质作出B点与河面的对称点B′，连接AB′，AB′与河面的交点C即为所求．【解析】【解答】解：作B点与河面的对称点B′；连接AB′，可得到马喝水的地方C；

如图所示；

由对称的性质可知AB′=AC+BC；

根据两点之间线段最短的性质可知；C点即为所求．

14、略

【分析】【分析】作出A关于OM的对称点A'，关于ON的A对称点A''，连接A'A''，根据两点之间线段最短即可判断出使三角形周长最小的A、B的值．【解析】【解答】解：作A关于OM的对称点A'；关于ON的A对称点A''，与OM；ON相交于B、C，连接ABC即为所求三角形．

证明：∵A与A'关于OM对称；A与A″关于ON对称；

∴AB=A'B；AC=A''C；

于是AB+BC+CA=A'B+BC+A''C=A'A''；

根据两点之间线段最短，A'A''为△ABC的最小值．15、略

【分析】【分析】显然根据两点之间，线段最短，连接两点与直线的交点即为所求作的点．【解析】【解答】解：连接两点与直线的交点即为所求作的点P；

这样PA+PB最小；

理由是两点之间，线段最短．16、略

【分析】【分析】根据轴对称的性质作出B点与河面的对称点B′，连接AB′，AB′与河面的交点C即为所求．【解析】【解答】解：作B点与河面的对称点B′；连接AB′，可得到马喝水的地方C；

如图所示；

由对称的性质可知AB′=AC+BC；

根据两点之间线段最短的性质可知；C点即为所求．

17、略

【分析】【分析】作出A关于OM的对称点A'，关于ON的A对称点A''，连接A'A''，根据两点之间线段最短即可判断出使三角形周长最小的A、B的值．【解析】【解答】解：作A关于OM的对称点A'；关于ON的A对称点A''，与OM；ON相交于B、C，连接ABC即为所求三角形．

证明：∵A与A'关于OM对称；A与A″关于ON对称；

∴AB=A'B；AC=A''C；

于是AB+BC+CA=A'B+BC+A''C=A'A''；

根据两点之间线段最短，A'A''为△ABC的最小值．18、略

【分析】【分析】显然根据两点之间，线段最短，连接两点与直线的交点即为所求作的点．【解析】【解答】解：连接两点与直线的交点即为所求作的点P；

这样PA+PB最小；

理由是两点之间，线段最短．19、解：画三棱锥可分三步完成。

第一步：画底面﹣﹣画一个三角形；

第二步：确定顶点﹣﹣在底面外任一点；

第三步：画侧棱﹣﹣连接顶点与底面三角形各顶点．

画四棱可分三步完成。

第一步：画一个四棱锥；

第二步：在四棱锥一条侧棱上取一点；从这点开始，顺次在各个面内画与底面对应线段平行的线段；

第三步：将多余线段擦去．

【分析】【分析】画三棱锥和画四棱台都是需要先画底面，再确定平面外一点连接这点与底面上的顶点，得到锥体，在画四棱台时，在四棱锥一条侧棱上取一点，从这点开始，顺次在各个面内画与底面对应线段平行的线段，将多余线段擦去，得到图形．四、解答题(共4题，共24分)20、略

【分析】【解析】

试题分析：（Ⅰ）在中,设由余弦定理得

即即得

又因为

又因为所以

所以所求椭圆的方程为

（Ⅱ）显然直线的斜率存在，设直线方程为

由得即

由得，又

则

那么

则直线过定点

因为

所以或

考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．

点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．此类题综合性强，要求学生要有较高地转化数学思想的运用能力，能将已知条件转化到基本知识的运用【解析】【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）或21、略

【分析】【解析】

【错解分析】第一问，求二次方程根的个数，忽略了二次项系数的讨论第二问，算得以Q为中点弦的斜率为2；就认为所求直线存在了。

【正解】(1)当直线l的斜率不存在时，l的方程为x=1,与曲线C有一个交点当l的斜率存在时，设直线l的方程为y－2=k(x－1),代入C的方程；并整理得。

(2－k2)x2+2(k2－2k)x－k2+4k－6=0(*)

(ⅰ)当2－k2=0,即k=±时，方程(*)有一个根，l与C有一个交点。

(ⅱ)当2－k2≠0,即k≠±时Δ=［2(k2－2k)］2－4(2－k2)(－k2+4k－6)=16(3－2k)

①当Δ=0,即3－2k=0,k=时，方程(*)有一个实根，l与C有一个交点。

②当Δ＞0,即k＜又k≠±故当k＜－或－＜k＜或＜k＜时；方程。

(*)有两不等实根，l与C有两个交点。

③当Δ＜0，即k＞时，方程(*)无解，l与C无交点。

综上知当k=±或k=或k不存在时，l与C只有一个交点；当＜k＜或－＜k＜或k＜－时，l与C有两个交点；当k＞时，l与C没有交点。

(2)假设以Q为中点的弦存在，设为AB，且A(x1,y1),B(x2,y2)，则2x12－y12=2,2x22－y22=2两式相减得2(x1－x2)(x1+x2)=(y1－y2)(y1+y2)又∵x1+x2=2,y1+y2=2∴2(x1－x2)=y1－y1即kAB==2但渐近线斜率为±结合图形知直线AB与C无交点，所以假设不正确，即以Q为中点的弦不存在【解析】【答案】(1)当k=±或k=或k不存在时，l与C只有一个交点；当＜k＜或－＜k＜或k＜－时，l与C有两个交点；当k＞时，l与C没有交点。

(2)不存在22、略

【分析】

（1）根据数列的递推关系，得到关于数列{an}的关系式，即可证明数列{an}为等差数列；

（2）根据等差数列的通项公式；即可得到结论．

本题主要考查等差数列的通项公式，利用数列的递推关系，结合等差数列的定义是解决本题的关键．【解析】解：（1）∵2Sn=an2+n-4（n∈N*）．

∴2Sn+1=an+12+n+1-4．

两式相减得2Sn+1-2Sn=an+12+n+1-4-（an2+n-4）；

即2an+1=an+12-an2+1；

则an+12-2an+1+1=an2；

即（an+1-1）2=an2；

∴an+1-1=an，或an+1-1=-an；

即an+1-an=1或an+1+an=1

若an+1-an=1

即数列{an}为等差数列；公差d=1．

若an+1+an=1

∵当n=1时，2S1=a12+1-4；

∴2a1=a12-3；

解得a1=-1（舍）或a1=3；

当a1=3时，a2=1-a1=1-3=-2不满足条件．

（2）∵2Sn=an2+n-4；

∴当n=1时，2a1=a12+1-4；

即a12-2a1-3=0；

解得a1=3或a1=-1；（舍）

∵数列{an}为等差数列；公差d=1；

∴数列{an}的通项公式an=3+n-1=n+2．23、略

【分析】

（1）至多6个人排队这一事件的可能情况是；6人或5人及以下，两种情况属于互斥事件，所以至多6个人排队的概率是两种情况的概率之和，根据表格，分别求出6人排队的概率，和5人及5人以下排队的概率，再相加即可．

（2）至少8个人排队这一事件的可能情况是8人；9人，10人及以上，三种情况属于互斥事件，所以至多6个人排队的概率是三种情况的概率之和，根据表格，分别求出8人排队的概率，9人排队的概率，10人及10人以上排队的概率，再相加即可．

本题主要考查互斥事件有一个发生的概率，等于各自发生的概率之和，做题时一定要判断几个事件是否为互斥事件．【解析】解：设排队人数在5人及以下；6人、7人、8人、9人、10人。

及以上等分别对应事件A