2025年北师大版高二数学下册阶段测试试卷

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2025年北师大版高二数学下册阶段测试试卷161考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五六总分得分评卷人得分一、选择题(共7题，共14分)1、已知空间三点A（0，2，3），B（-2，1，6），C（1，-1，5）．若且分别与垂直，则向量为（）

A.（1；1，1）

B.（-1；-1，-1）

C.（1；1，1）或（-1，-1，-1）

D.（1；-1，1）或（-1，1，-1）

2、设n棱柱有f(n)个对角面，则(n+1)棱柱的对角面的个数f(n+1)等于()A.f(n)+n+1B.f(n)+nC.f(n)+n-1D.f(n)+n-23、圆x2+y2﹣2x﹣1=0关于直线2x﹣y+3=0对称的圆的方程是（）A.（x+3）2+（y﹣2）2=B.（x﹣3）2+（y+2）2=C.（x+3）2+（y﹣2）2=2D.（x﹣3）2+（y+2）2=24、函数f（x）=x-sinx（x∈R），则f（x）（）A.是奇函数，且在（-∞，+∞）上是减函数B.是偶函数，且在（-∞，+∞）上是减函数C.是偶函数，且在（-∞，+∞）上是增函数D.是奇函数，且在（-∞，+∞）上是增函数5、在圆的方程x2+y2+Dx+Ey+F=0中，若D2=E2＞4F，则圆的位置满足（）A.截两坐标轴所得弦的长度相等B.与两坐标轴都相切C.与两坐标轴相离D.上述情况都有可能6、某地气象局预报说，明天本地降水概率为80%，你认为下面哪一个解释能表明气象局的观点．（）A.明天本地有80%的时间下雨，20%的时间不下雨B.明天本地有80%的区域下雨，20%的区域不下雨C.明天本地下雨的机会是80%D.气象局并没有对明天是否下雨作出有意义的预报7、下列四个说法：

垄脵

若向量{a鈫�b鈫�c鈫�}

是空间的一个基底，则{a鈫�+b鈫�a鈫�鈭�b鈫�c鈫�}

也是空间的一个基底．

垄脷

空间的任意两个向量都是共面向量．

垄脹

若两条不同直线lm

的方向向量分别是a鈫�b鈫�

则l//m?a鈫�//b鈫�

．

垄脺

若两个不同平面娄脕娄脗

的法向量分别是u鈫�v鈫�

且u鈫�=(1,2,鈭�2)v鈫�=(鈭�2,鈭�4,4)

则娄脕//娄脗

．

其中正确的说法的个数是(

)

A.1

B.2

C.3

D.4

评卷人得分二、填空题(共6题，共12分)8、已知则x2+y2-2x+4y+15的最大值为____．9、曲线在处切线的斜率是____.10、【题文】抛掷两枚质量均匀的骰子各一次，向上的点数不相同时，其中有一个的点数为3的概率是____.11、若向量=（1，1，x），=（1，2，1），=（1，1，1），满足条件（-）•（2）=-2，则x=______．12、过抛物线y2=6x

的焦点且与x

轴垂直的直线交抛物线MN

则|MN|=

______．13、已知复数z=1+3i3鈭�i

则z

的虚部为______．评卷人得分三、作图题(共9题，共18分)14、著名的“将军饮马”问题：有一位将军骑着马要从A地走到B地；但途中要到水边喂马喝一次水，则将军怎样走最近？

15、A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小．（如图所示）16、已知，A，B在直线l的两侧，在l上求一点，使得PA+PB最小．（如图所示）17、著名的“将军饮马”问题：有一位将军骑着马要从A地走到B地；但途中要到水边喂马喝一次水，则将军怎样走最近？

18、A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小．（如图所示）19、已知，A，B在直线l的两侧，在l上求一点，使得PA+PB最小．（如图所示）20、分别画一个三棱锥和一个四棱台．评卷人得分四、解答题(共4题，共36分)21、（本小题满分12分）设函数（1）求的表达式；（2）若求函数的单调区间、极大值和极小值22、【题文】（本小题满分10分）

已知海岛B在海岛A的北偏东45°方向上；A；B相距10海里，小船甲从海岛B以2海里/小时的速度沿直线向海岛A移动，同时小船乙从海岛A出发沿北偏15°方向也以2海里/小时的速度移动。

（Ⅰ）经过1小时后；甲；乙两小船相距多少海里？

（Ⅱ）在航行过程中，小船甲是否可能处于小船乙的正东方向？若可能，请求出所需时间，若不可能，请说明理由。

23、设f（x）=et（x-1）-tlnx；（t＞0）

（Ⅰ）若t=1；证明x=1是函数f（x）的极小值点；

（Ⅱ）求证：f（x）≥0．24、某移动公司对[25；55]岁的人群随机抽取n人进行了一次是否愿意使用4G网络的社会调查，若愿意使用的称为“4G族”，否则称为“非4G族”，得如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图：

（1）补全频率分布直方图并求n；a的值；

（2）用频率分布直方图估计“4G族”年龄的中位数；和平均数（不用写过程只写数据）；

（3）从年龄段在[40，50）的“4G族”中采用分层抽样法抽取6人参加4G网络体验活动，求年龄段分别在[40，45）、[45，50）中抽取的人数．评卷人得分五、计算题(共3题，共24分)25、如图，已知正方形ABCD的边长是8，点E在BC边上，且CE=2，点P是对角线BD上的一个动点，求PE+PC的最小值．26、1.（本小题满分12分）已知数列满足且（）。（1）求的值；（2）猜想数列的通项公式，并用数学归纳法加以证明。27、解不等式|x﹣2|+|x﹣4|＞6．评卷人得分六、综合题(共2题，共8分)28、如图，在直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为（-1，0），（3，0），（0，3），过AB，C三点的抛物的对称轴为直线l，D为对称轴l上一动点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）求当AD+CD最小时点D的坐标；

（3）以点A为圆心；以AD为半径作⊙A．

①证明：当AD+CD最小时；直线BD与⊙A相切；

②写出直线BD与⊙A相切时，D点的另一个坐标：____．29、已知f（x）=﹣3x2+a（6﹣a）x+6．参考答案一、选择题(共7题，共14分)1、C【分析】

（1）∵空间三点A（0；2，3），B（-2，1，6），C（1，-1，5）

∴=（-2，-1，3），=（1；-3，2）；

设=（x，y，z），由已知中向量分别与向量垂直，且

∴解得x=y=z=±1．

=（1，1，1）或=（-1；-1，-1）

故选C

【解析】【答案】分别求出向量利用向量分别与向量垂直，且设出向量的坐标；

2、C【分析】【解答】选C.因为过不相邻两条侧棱的截面为对角面；过每一条侧棱与它不相邻的一条侧棱都能作对角面，可作(n-3)个对角面，n条侧棱可作n(n-3)个对角面，由于这些对角面是相互之间重复计算了，所以共有n(n-3)÷2个对角面；

所以可得f(n+1)-f(n)

=(n+1)(n+1-3)÷2-n(n-3)÷2

=n-1；

故f(n+1)=f(n)+n-1.

【分析】因为过不相邻两条侧棱的截面为对角面，过每一条侧棱与它不相邻的一条侧棱都能作对角面，可作(n-3)个对角面，n条侧棱可作n(n-3)个对角面，由于这些对角面是相互之间重复计算了，所以共有n(n-3)÷2个对角面，从而得出f(n+1)与f(n)的关系.3、C【分析】【解答】解：圆x2+y2﹣2x﹣1=0⇒（x﹣1）2+y2=2，圆心（1，0），半径关于直线2x﹣y+3=0对称的圆半径不变，排除A、B，两圆圆心连线段的中点在直线2x﹣y+3=0上，C中圆（x+3）2+（y﹣2）2=2的圆心为（﹣3；2），验证适合，故选C

【分析】先求圆心和半径，再去求对称点坐标，可得到圆的标准方程．4、D【分析】解：∵f（-x）=-x-sin（-x）=-x+sinx=-（x-sinx）=-f（x）；

∴函数f（x）是奇函数．

求导函数可得f′（x）=1-cosx．

∵-1≤cosx≤1；

∴f′（x）=1-cosx≥0．

∴函数f（x）=x-sinx（x∈R）在（-∞；+∞）上是增函数．

故选：D．

利用奇函数的定义；验证f（-x）=-x+sinx=-f（x），利用导数非负，确定函数f（x）=x-sinx（x∈R）在（-∞，+∞）上是增函数．

本题考查了函数奇偶性的判定，考查了利用导数研究函数的单调性，是基础题．【解析】【答案】D5、A【分析】解：在圆的方程x2+y2+Dx+Ey+F=0中，若D2=E2＞4F；则圆心的横坐标；纵坐标相等或互为相反数；

∴圆心到两坐标轴的距离相等；

故选A．

在圆的方程x2+y2+Dx+Ey+F=0中，若D2=E2＞4F；则圆心的横坐标；纵坐标相等，即可得出结论．

本题考查圆的方程及对称轴的应用，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．【解析】【答案】A6、C【分析】解：根据概率的意义；“明天降水的概率为80%”的正确解释是明天下雨的机会是80%；

故选C．

根据概率的意义；即可得出结论．

本题考查根据概率的意义，比较基础．【解析】【答案】C7、D【分析】解：垄脵

若向量{a鈫�b鈫�c鈫�}

是空间的一个基底，则{a鈫�+b鈫�a鈫�鈭�b鈫�c鈫�}

也是空间的一个基底；正确．

垄脷

空间的任意两个向量都是共面向量；正确．

垄脹

若两条不同直线lm

的方向向量分别是a鈫�b鈫�

则l//m?a鈫�//b鈫�

正确．

垄脺

若两个不同平面娄脕娄脗

的法向量分别是u鈫�v鈫�

且u鈫�=(1,2,鈭�2)v鈫�=(鈭�2,鈭�4,4)隆脽v鈫�=鈭�2u鈫�

则娄脕//娄脗

．

其中正确的说法的个数是4

．

故选：D

．

利用向量基地的定义；共面与共线向量的定义、空间线面关系即可判断出结论．

本题考查了向量基地的定义、共面与共线向量的定义、空间线面关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．【解析】D

二、填空题(共6题，共12分)8、略

【分析】

z=x2+y2-2x+4y+15=（x-1）2+（y+2）2+10

注意到目标函数所表示动点S到点A（1；-2）的距离的平方加上10；

作出可行域．如图．

易知当S在B点时取得目标函数的最大值；

可知B点的坐标为（-1；-2）；

代入目标函数中，可得zmax=12+22-2×（-1）+4×（-2）+15=14．

故答案为：14．

【解析】【答案】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=x2+y2-2x+4y+15=（x-1）2+（y+2）2+10表示可行域动点S到点A（1；-2）的距离的平方加上10，只需求出可行域内的动点到点（1，-2）的距离最大值即可．

9、略

【分析】【解析】试题分析：因为所以曲线在处切线的斜率是1.考点：本题主要考查导数的计算，导数的几何意义。【解析】【答案】110、略

【分析】【解析】答案为：1/3

根据向上的点数不同时；所有的情况共有6×5种，其中有一个点数为3的情况有1×5+5×1种，由此求出结果．

解答：解：抛掷两颗质量均匀的骰子各一次；向上的点数不同时，所有的情况共有6×5=30种；

其中有一个点数为3的情况有1×5+5×1=10种；

故其中有一个点数为3的概率为10/30=1/3；

故答案为：1/3．【解析】【答案】011、略

【分析】解：由题意向量=（1，1，x），=（1，2，1），=（1，1，1），满足条件（-）•（2）=-2

所以（-）•（2）=（0；0，1-x）•（2，4，2）=2（1-x）=-2；

可得x=2；

故答案为：2．

由条件（-）•（2）=-2；化简可得2（1-x）=-2，由此求得x的值．

本题主要考查两个向量数量积公式的应用，两个向量坐标形式的运算，属于基础题．【解析】212、略

【分析】解：根据题意，抛物线y2=6x

的焦点为(32,0)

直线MN

过抛物线y2=6x

的焦点且与x

轴垂直，设M

的坐标(32,b)

则N

的坐标为(32,鈭�b)

M

在抛物线上，则有b2=6隆脕32

解可得b=隆脌3

|MN|=2|b|=6

故答案为：6

．

根据题意，求出抛物线的焦点坐标，结合题意可以设设M

的坐标(32,b)

则N

的坐标为(32,鈭�b)

将M

的坐标代入抛物线的方程，计算可得b

的值，又由抛物线的对称性可得|MN|=2|b|

即可得答案．

本题考查抛物线的几何性质，关键是利用抛物线的方程设出MN

的坐标．【解析】6

13、略

【分析】解：z=1+3i3鈭�i=(1+3i)(3+i)(3鈭�i)(3+i)=10i10=i

隆脿z

的虚部为1

．

故答案为：1

．

直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．

本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．【解析】1

三、作图题(共9题，共18分)14、略

【分析】【分析】根据轴对称的性质作出B点与河面的对称点B′，连接AB′，AB′与河面的交点C即为所求．【解析】【解答】解：作B点与河面的对称点B′；连接AB′，可得到马喝水的地方C；

如图所示；

由对称的性质可知AB′=AC+BC；

根据两点之间线段最短的性质可知；C点即为所求．

15、略

【分析】【分析】作出A关于OM的对称点A'，关于ON的A对称点A''，连接A'A''，根据两点之间线段最短即可判断出使三角形周长最小的A、B的值．【解析】【解答】解：作A关于OM的对称点A'；关于ON的A对称点A''，与OM；ON相交于B、C，连接ABC即为所求三角形．

证明：∵A与A'关于OM对称；A与A″关于ON对称；

∴AB=A'B；AC=A''C；

于是AB+BC+CA=A'B+BC+A''C=A'A''；

根据两点之间线段最短，A'A''为△ABC的最小值．16、略

【分析】【分析】显然根据两点之间，线段最短，连接两点与直线的交点即为所求作的点．【解析】【解答】解：连接两点与直线的交点即为所求作的点P；

这样PA+PB最小；

理由是两点之间，线段最短．17、略

【分析】【分析】根据轴对称的性质作出B点与河面的对称点B′，连接AB′，AB′与河面的交点C即为所求．【解析】【解答】解：作B点与河面的对称点B′；连接AB′，可得到马喝水的地方C；

如图所示；

由对称的性质可知AB′=AC+BC；

根据两点之间线段最短的性质可知；C点即为所求．

18、略

【分析】【分析】作出A关于OM的对称点A'，关于ON的A对称点A''，连接A'A''，根据两点之间线段最短即可判断出使三角形周长最小的A、B的值．【解析】【解答】解：作A关于OM的对称点A'；关于ON的A对称点A''，与OM；ON相交于B、C，连接ABC即为所求三角形．

证明：∵A与A'关于OM对称；A与A″关于ON对称；

∴AB=A'B；AC=A''C；

于是AB+BC+CA=A'B+BC+A''C=A'A''；

根据两点之间线段最短，A'A''为△ABC的最小值．19、略

【分析】【分析】显然根据两点之间，线段最短，连接两点与直线的交点即为所求作的点．【解析】【解答】解：连接两点与直线的交点即为所求作的点P；

这样PA+PB最小；

理由是两点之间，线段最短．20、解：画三棱锥可分三步完成。

第一步：画底面﹣﹣画一个三角形；

第二步：确定顶点﹣﹣在底面外任一点；

第三步：画侧棱﹣﹣连接顶点与底面三角形各顶点．

画四棱可分三步完成。

第一步：画一个四棱锥；

第二步：在四棱锥一条侧棱上取一点；从这点开始，顺次在各个面内画与底面对应线段平行的线段；

第三步：将多余线段擦去．

【分析】【分析】画三棱锥和画四棱台都是需要先画底面，再确定平面外一点连接这点与底面上的顶点，得到锥体，在画四棱台时，在四棱锥一条侧棱上取一点，从这点开始，顺次在各个面内画与底面对应线段平行的线段，将多余线段擦去，得到图形．四、解答题(共4题，共36分)21、略

【分析】

（1）2分（2）时，令得或4分则当变化时，与的变化情况如下表。+0－0+递增递减递增∴函数的单调递增区间是6分函数的单调递减区间是8分当时，取得极大值，极大值为10分当时，取得极小值，极小值为12分【解析】略【解析】【答案】22、略

【分析】【解析】略【解析】【答案】解：（Ⅰ）经过1小时后，甲船到达M点；乙船到达N点；

┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅2分。

∴

∴．┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅4分。

（Ⅱ）设经过t（）小时小船甲处于小船乙的正东方向．

则甲船与A距离为海里；

乙船与A距离为海里；

┅┅┅5分。

则由正弦定理得

即┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅7分。

．┅┅┅┅┅┅┅┅9分。

答：经过小时小船甲处于小船乙的正东方向．┅┅┅┅┅┅┅┅┅10分23、略

【分析】

（Ⅰ）求出函数的导数；解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，求出函数的极值，判断即可；

（Ⅱ）求出函数的导数，令根据函数的单调性证明即可．

本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用以及不等式的证明，考查转化思想，是一道中档题．【解析】证明：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0；+∞），（1分）

若t=1，则f（x）=ex-1-lnx，．（2分）

因为f′（1）=0；（3分）

且0＜x＜1时，即f′（x）＜0；

所以f（x）在（0；1）上单调递减；（4分）

x＞1时，即f′（x）＞0；

所以f（x）在（1；+∞）上单调递增；（5分）

所以x=1是函数f（x）的极小值点；（6分）

（Ⅱ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），t＞0.（7分）

令则故g（x）单调递增．（8分）

又g（1）=0；（9分）

当x＞1时；g（x）＞0，因而f′（x）＞0，f（x）单增；

即f（x）的单调递增区间为（1；+∞）；

当0＜x＜1时；g（x）＜0，因而f′（x）＜0，f（x）单减；

即f（x）的单调递减区间为（0；1）．（11分）

所以x∈（0，+∞）时，f（x）≥f（1）=1≥0成立．（12分）24、略

【分析】

（1）根据题意；先求出第二组的频率和对应小矩形的高，补全频率分布直方图，然后求出第一组的频率和第五组的频率，从而求出n；a的值．

（2）由频率分布直方图能求出中位数和平均数．

（3）利用分层抽样的性质能求出年龄段分别在[40；45）；[45，50）中抽取的人数．

本题考查频率分布直方图的应用，考查中位数、平均数的求法，考查分层抽样的应用，是基础题．【解析】解：（1）根据题意；第二组的频率为：

1-（0.04+0.04+0.03+0.02+0.01）×5=0.3；

∴对应小矩形的高为=0.06；

补全频率分布直方图如右图所示；

第一组的频率为0.04×5=0.2；∴n═1000；

第五组的频率为0.02×5=0.1；∴a=1000×0.1=100；

（2）中位数：35平均数：36.5．

（3）[40，45）岁中应抽取：人；

[45，50）岁中应抽取：人．五、计算题(共3题，共24分)25、略

【分析】【分析】要求PE+PC的最小值，PE，PC不能直接求，可考虑通过作辅助线转化PE，PC的值，从而找出其最小值求解．【解析】【解答】解：如图；连接AE；

因为点C关于BD的对称点为点A；

所以PE+PC=PE+AP；

根据两点之间线段最短可得AE就是AP+PE的最小值；

∵正方形ABCD的边长为8cm；CE=2cm；

∴BE=6cm；

∴AE==10cm．

∴PE+PC的最小值是10cm．26、略

【分析】【解析】

（1）由题得又则3分（2）猜想5分证明：①当时，故命题成立。②假设当时命题成立，即7分则当时，故命题也成立。11分综上，对一切有成立。12分【解析】【答案】（1）（2）有成立。27、解：当x＜2时；不等式即6﹣2x＞6，解得x＜0．

当2≤x＜4时；不等式即2＞6，解得x无解．

当x≥4时；不等式即x﹣6＞6，解得x＞12．

综上可得，不等式的解集为（﹣∞，0）∪（12，+∞）．【分析】【分析】将绝对值不等式的左边去掉绝对值，在每一段上解不等式，最后求它们的并集即可．六、综合题(共2题，共8分)28、略

【分析】【分析】（1）由待定系数法可求得抛物线的解析式．

（2）连接BC；交直线l于点D，根据抛物线对称轴的性质，点B与点A关于直线l对称，∴AD=BD．

∴AD+CD=BD+CD；由“两点之间，线段最短”的原理可知：D在直线BC上AD+CD最短，所以D是直线l与直线BC的交点；

设出直线BC的解析式为y=kx+b；可用待定系数法求得BC直线的解析式，故可求得BC与直线l的交点D的坐标．

（3）由（2）可知，当AD+CD最短时，D在直线BC上，由于已知A，B，C，D四点坐标，根据线段之间的长度，可以求出△ABD是直角三角形，即BC与圆相切．由于AB⊥l，故由垂径定理知及切线长定理知，另一点D与现在的点D关于x轴对称，所以另一点D的坐标为（1，-2）．【解析】【解答】解：

（1）设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-3）．（1分）

将（0；3）代入上式，得3=a（0+1