【高考聚焦】2021届高考数学(理)一轮复习题库(梳理自测+重点突破+能力提升)：9.5古典概型

第2课时古典概型1．理解古典概型及其概率计算公式．2．会计算一些随机大事所含的基本大事数及大事发生的概率．[对应同学用书P155]【梳理自测】1．一枚硬币连掷2次，恰有一次正面朝上的概率为()A.eq\f(2,3)B.eq\f(1,4)C.eq\f(1,3)D.eq\f(1,2)2．甲、乙、丙三名同学站成一排，甲站在中间的概率是()A.eq\f(1,6)B.eq\f(1,2)C.eq\f(1,3)D.eq\f(2,3)3．甲乙两同学每人有两本书，把四本书混放在一起，每人随机拿回两本，则甲同学拿到一本自己书一本乙同学书的概率是()A.eq\f(1,3)B.eq\f(2,3)C.eq\f(1,2)D.eq\f(1,4)4．从1，2，3，4这四个数中一次随机地取两个数，则其中一个数是另一个数的两倍的概率是________．5．从{1，2，3，4，5}中随机选取一个数为a，从{1，2，3}中随机选取一个数为b，则a＜b的概率为________．答案：1.D2.C3.B4.eq\f(1,3)5.eq\f(1,5)◆以上题目主要考查了以下内容：(1)基本大事的特点①任何两个基本大事是互斥的．②任何大事(除不行能大事)都可以表示成基本大事的和．(2)古典概型①定义具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型．a．试验中全部可能消灭的基本大事只有有限个．b．每个基本大事消灭的可能性相等．②概率公式：P(A)＝eq\f(A包含的基本大事的个数,基本大事的总数)．【教导迷津】1．一条规律从集合的角度去看待概率，在一次试验中，等可能消灭的全部结果组成一个集合I，基本大事的个数n就是集合I的元素个数，大事A是集合I的一个包含m个元素的子集．故P(A)＝eq\f(card（A）,card（I）)＝eq\f(m,n).2．两个特征一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特征——有限性和等可能性，只有同时具备这两个特点的概型才是古典概型．3．两种方法(1)列举法：适合于较简洁的试验．(2)树状图法：适合于较为简单的问题中的基本大事的探求．[对应同学用书P155]考向一简洁古典概型的概率(2022·辽宁省大连市调研)某校为了解同学的视力状况，随机抽查了一部分同学的视力，将调查结果分组，分组区间为(3.9，4.2]，(4.2，4.5]，…，(5.1，5.4]．经过数据处理，得到如下频率分布表：分组频数频率(3.9，4.2]30.06(4.2，4.5]60.12(4.5，4.8]25x(4.8，5.1]yz(5.1，5.4]20.04合计n1.00(1)求频率分布表中未知量n，x，y，z的值；(2)从样本中视力在(3.9，4.2]和(5.1，5.4]的全部同学中随机抽取两人，求两人的视力差的确定值低于0.5的概率．【审题视点】依频数、频率之间的关系求n，x，y，z，列举全部随机大事的结果，由古典概型求概率．【典例精讲】(1)由频率分布表可知，样本容量为n，由eq\f(2,n)＝0.04，得n＝50.∴x＝eq\f(25,50)＝0.5，y＝50－3－6－25－2＝14，z＝eq\f(y,n)＝eq\f(14,50)＝0.28.(2)记样本中视力在(3.9，4.2]的三人为a，b，c，在(5.1，5.4]的两人为d，e.由题意，从五人中随机抽取两人，全部可能的结果有：(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，e)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，(c，d)，(c，e)，(d，e)，共10种．记大事A表示“两人的视力差的确定值低于0.5”，则大事A包含的可能的结果有：(a，b)，(a，c)，(b，c)，(d，e)，共4种．所以P(A)＝eq\f(4,10)＝eq\f(2,5).故两人的视力差的确定值低于0.5的概率为eq\f(2,5).【类题通法】依据公式P(A)＝eq\f(m,n)进行概率计算时，关键是求出n，m的值，在求n值时应留意这n种结果必需是等可能的，对一些比较简洁的概率问题，求m，n的值只需列举即可．1．(2022·武汉市适应性训练)编号为A1，A2，…，A10的10名同学参与投篮竞赛，每人投20个球，各人投中球的个数记录如下：同学编号A1A2A3A4A5A6A7A8A9A10投中个数41311171069151112(1)将投中个数在对应区间内的人数填入表的空格内；区间[0，5)[5，10)[10，15)[15，20)人数(2)从投中个数在区间[10，15)内的同学中随机抽取2人，①用同学的编号列出全部可能的抽取结果；②求这2人投中个数之和大于23的概率．解析：(1)依题意得，投中个数在对应区间内的人数如下表：区间[0，5)[5，10)[10，15)[15，20)人数1252(2)①投中个数在区间[10，15)内的同学编号为A2，A3，A5，A9，A10，从中随机抽取2名同学，全部可能的抽取结果为(A2，A3)，(A2，A5)，(A2，A9)，(A2，A10)，(A3，A5)，(A3，A9)，(A3，A10)，(A5，A9)，(A5，A10)，(A9，A10)，共10种．②将“从投中个数在区间[10，15)内的同学中随机抽取2人，这2人投中个数之和大于23”记为大事B，大事B的全部可能的结果为(A2，A3)，(A2，A9)，(A2，A10)，共3种．所以P(B)＝eq\f(3,10).考向二有放回抽样与无放回抽样(2022·大连模拟)盒中有3只灯泡，其中2只是正品，1只是次品．(1)从中取出1只，然后放回，再取1只，求①连续2次取出的都是正品所包含的基本大事总数；②两次取出的一个为正品，一个为次品所包含的基本大事总数；(2)从中一次任取出2只，求2只都是正品的概率．【审题视点】从中取一只再放回，属于有放回抽样，每次取灯泡的总数不变，还是3只，可列举大事个数，属于古典概型．【典例精讲】(1)将灯泡中2只正品记为a1，a2，1只次品记为b1，则第一次取1只，其次次取1只，基本大事总数为9个，a1a1a2b1a2a1a2b1b1a1a2b1①连续2次取出的都是正品所包含的基本大事为(a1，a1)(a1，a2)(a2，a1)(a2，a2)共4个基本大事；②两次取出的一个为正品，一个为次品所包含的基本大事为(a1，b1)(a2，b1)(b1，a1)(b1，a2)共4个基本大事．(2)“从中一次任取2只”得到的基本大事总数是3，即a1a2，a1b1，a2b1，“2只都是正品”的基本大事数是1，所以其概率为P＝eq\f(1,3).【类题通法】有“放回抽样”，被抽取的元素总数不变，同一个元素可以被重复抽取．“无放回抽样”，被抽取的元素总数随抽取的次数渐渐削减，同一个元素不会被重复抽取．2．甲、乙两校各有3名老师报名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女．(1)若从甲校和乙校报名的老师中各任选1名，写出全部可能的结果，并求选出的2名老师性别相同的概率；(2)若从报名的6名老师中任选2名，写出全部可能的结果，并求选出的2名老师来自同一学校的概率．解析：(1)甲校两男老师分别用A、B表示，女老师用C表示；乙校男老师用D表示，两女老师分别用E、F表示．从甲校和乙校报名的老师中各任选1名的全部可能的结果为：(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，共9种，从中选出的2名老师性别相同的结果有：(A，D)，(B，D)，(C，E)，(C，F)，共4种．所以选出的2名老师性别相同的概率为P＝eq\f(4,9).(2)从甲校和乙校报名的老师中任选2名的全部可能的结果为：(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，C)(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(D，E)，(D，F)，(E，F)，共15种．从中选出的2名老师来自同一学校的结果为：(A，B)，(A，C)，(B，C)，(D，E)，(D，F)，(E，F)，共6种，所以选出的2名老师来自同一学校的概率为P＝eq\f(6,15)＝eq\f(2,5).考向三古典概型与互斥(对立)大事概率的综合应用(2022·山东莱芜模拟)中国共产党第十八次全国代表大会期间，某报刊媒体要选择两名记者去进行专题采访，现有记者编号分别为1，2，3，4，5的五名男记者和编号分别为6，7，8，9的四名女记者．要从这九名记者中一次随机选出两名，每名记者被选到的概率是相等的，用符号(x，y)表示大事“抽到的两名记者的编号分别为x、y，且x<y”．(1)共有多少个基本大事？并列举出来；(2)求所抽取的两名记者的编号之和小于17但不小于11或都是男记者的概率．【审题视点】列举全部基本大事从中找出，满足11≤x＋y＜17且x＜y或“x＜y≤5”的个数，用古典概型求概率．【典例精讲】(1)共有36个基本大事，列举如下：(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(1，7)，(1，8)，(1，9)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(2，7)，(2，8)，(2，9)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(3，7)，(3，8)，(3，9)，(4，5)，(4，6)，(4，7)，(4，8)，(4，9)，(5，6)，(5，7)，(5，8)，(5，9)，(6，7)，(6，8)，(6，9)，(7，8)，(7，9)，(8，9)，共36个．(2)记大事“所抽取的记者的编号之和小于17但不小于11”为大事A，即大事A为“x，y∈{1，2，3，4，5，6，7，8，9}，且11≤x＋y<17，其中x<y”，由(1)可知大事A共含有15个基本大事，列举如下：(2，9)，(3，8)，(3，9)，(4，7)，(4，8)，(4，9)，(5，6)，(5，7)，(5，8)，(5，9)，(6，7)，(6，8)，(6，9)，(7，8)，(7，9)，共15个．“都是男记者”记作大事B，则大事B为“x<y≤5”，包含：(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(3，5)，(4，5)，共10个．故P(A)＋P(B)＝eq\f(15,36)＋eq\f(10,36)＝eq\f(25,36).【类题通法】(1)本题属于求较简单大事的概率问题，解题关键是理解题目的实际含义，把实际问题转化为概率模型．必要时将所求大事转化成彼此互斥的大事的和，或者先求其对立大事的概率，进而再用互斥大事的概率加法公式或对立大事的概率公式求解．(2)在求基本大事总数和所求大事包含的基本大事数时，要保证计数的全都性，就是在计算基本大事数时，都按排列数求，或都按组合数求．3．一个袋中装有四个外形大小完全相同的球，球的编号分别为1，2，3，4.(1)从袋中随机取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；(2)先从袋中随机取一个球，该球的编号为m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n，求n<m＋2的概率．解析：(1)从袋中随机取两个球，其一切可能的结果组成的基本大事有1和2，1和3，1和4，2和3，2和4，3和4，共6个．从袋中取出的球的编号之和不大于4的大事共有1和2，1和3两个．因此所求大事的概率P＝eq\f(2,6)＝eq\f(1,3).(2)先从袋中随机取一个球，登记编号为m，放回后，再从袋中随机取一个球，登记编号为n，其一切可能的结果(m，n)有：(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，共16个．又满足条件n≥m＋2的大事为(1，3)，(1，4)，(2，4)，共3个，所以满足条件n≥m＋2的大事的概率为P1＝eq\f(3,16).故满足条件n<m＋2的大事的概率为1－P1＝1－eq\f(3,16)＝eq\f(13,16).[对应同学用书P157]古典概型的规范解答(2021·高考江西卷)小波以玩耍方式打算是去打球、唱歌还是去下棋．玩耍规章为：以O为起点，再从A1，A2，A3，A4，A5，A6(如图所示)这6个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为X，若X>0就去打球，若X＝0就去唱歌，若X<0就去下棋．(1)写出数量积X的全部可能取值；(2)分别求小波去下棋的概率和不去唱歌的概率．【审题视点】(1)依据题意得出向量的坐标，进一步求出其数量积；(2)依据(1)的结果求出各数量积的两个向量的个数，应用古典概型概率的求法求解．【思维流程】列举X的全部结果．分类写出数量积X＝－2，－1，0，1的各种情形(基本大事)．依据古典概型求概率．依据对立大事求概率．【解答过程】(1)X的全部可能取值为－2，－1，0，1.(2)数量积为－2的有eq\o(OA2,\s\up6(→))·eq\o(OA5,\s\up6(→))，共1种；数量积为－1的有eq\o(OA1,\s\up6(→))·eq\o(OA5,\s\up6(→))，eq\o(OA1,\s\up6(→))·eq\o(OA6,\s\up6(→))，eq\o(OA2,\s\up6(→))·eq\o(OA4,\s\up6(→))，eq\o(OA2,\s\up6(→))·eq\o(OA6,\s\up6(→))，eq\o(OA3,\s\up6(→))·eq\o(OA4,\s\up6(→))，eq\o(OA3,\s\up6(→))·eq\o(OA5,\s\up6(→))，共6种；数量积为0的有eq\o(OA1,\s\up6(→))·eq\o(OA3,\s\up6(→))，eq\o(OA1,\s\up6(→))·eq\o(OA4,\s\up6(→))，eq\o(OA3,\s\up6(→))·eq\o(OA6,\s\up6(→))，eq\o(OA4,\s\up6(→))·eq\o(OA6,\s\up6(→))，共4种；数量积为1的有eq\o(OA1,\s\up6(→))·eq\o(OA2,\s\up6(→))，eq\o(OA2,\s\up6(→))·eq\o(OA3,\s\up6(→))，eq\o(OA4,\s\up6(→))·eq\o(OA5,\s\up6(→))，eq\o(OA5,\s\up6(→))·eq\o(OA6,\s\up6(→))，共4种．故全部可能的状况共有15种．所以小波去下棋的概率为p1＝eq\f(7,15)；由于去唱歌的概率为p2＝eq\f(4,15)，所以小波不去唱歌的概率p＝1－p2＝1－eq\f(4,15)＝eq\f(11,15).【规范建议】(1)为了列举各种结果，把向量终点A1，A2，A3，A4，A5，A6的坐标写出来，分别计算数量积，再分类整理，写在卷面上，可使解题过程规范，条理清楚．(2)“不去唱歌”，即“X≠0”的大事数较多，故利用对立大事的求法．1．(2021·高考新课标Ⅰ卷)从1，2，3，4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的确定值为2的概率是()A.eq\f(1,2)B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,4)D.eq\f(1,6)解析：选B.用列举法求出大事的个数，再利用古典概型求概率．从1，2，3，4中任取2个不同的数，有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，共12种情形，而满足条件“2个数之差的确定值为2”的只有(1，3)，(2，4)，(3，1)，(4，2)，共4种情形，所以取出的2个数之差的确定值为2的概率为eq\f(4,12