【2021届备考】2020全国名校数学试题分类解析汇编(12月第一期)：N单元-选修4系列

N单元选修4系列名目N单元选修4系列 1\l"_Toc396208848"N1选修4-1几何证明选讲 1N2选修4-2矩阵 4\l"_Toc396208850"N3选修4-4参数与参数方程 2N4选修4-5不等式选讲 4\l"_Toc396208852"N5选修4-7优选法与试验设计 2N1选修4-1几何证明选讲【数学理卷·2021届河南省试验中学高三上学期期中考试（202211）】22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且CB=CE．（1）证明：∠D=∠E；（2）设AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，且MB=MC，证明：△ADE为等边三角形．【学问点】选修4-1几何证明选讲N1【答案解析】答案略证明：（1）∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠D=∠CBE，∵CB=CE，∴∠E=∠CBE，∴∠D=∠E；（2）设BC的中点为N，连接MN，则由MB=MC知MN⊥BC，∴O在直线MN上，∵AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，∴OM⊥AD，∴AD∥BC，∴∠A=∠CBE，∵∠CBE=∠E，∴∠A=∠E，由（Ⅰ）知，∠D=∠E，∴△ADE为等边三角形【思路点拨】依据圆内接四边形角关系求出，证明三角相等证明等边三角形。【数学文卷·2021届河南省试验中学高三上学期期中考试（202211）】22.（本题满分10分)选修4－1：几何证明选讲如图,已知四边形内接于,且是的直径,过点的的切线与的延长线交于点.（I）若，，求的长；（II）若，求的大小.【学问点】选修4-1几何证明选讲N1【答案解析】(Ⅰ)9（Ⅱ）∠DCB=120°(Ⅰ)由于MD为的切线,由切割线定理知,MD2=MAMB，又MD=6，MB=12，MB=MA+AB,所以MA=3，AB=12－3=9.（Ⅱ）由于AM=AD，所以∠AMD=∠ADM,连接DB，又MD为的切线,由弦切角定理知,∠ADM=∠ABD，又由于AB是的直径,所以∠ADB为直角，即∠BAD=90°-∠ABD.又∠BAD=∠AMD+∠ADM=2∠ABD,于是90°-∠ABD=2∠ABD,所以∠ABD=30°,所以∠BAD=60°.又四边形ABCD是圆内接四边形,所以∠BAD+∠DCB=180°,所以∠DCB=120°【思路点拨】利用切割线定理求出，依据圆内接四边形的性质求出角度。【数学文卷·2021届河南省试验中学高三上学期期中考试（202211）】19．（本小题满分12分）直三棱柱是的中点．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求证：．【学问点】选修4-1几何证明选讲N1【答案解析】（Ⅰ）略（Ⅱ）略（Ⅰ）（Ⅱ）AAAA1BCDB1C1E【思路点拨】先证明线面垂直再证线线垂直，依据线面平行的判定证明线面平行。N2选修4-2矩阵N3选修4-4参数与参数方程【数学理卷·2021届河南省试验中学高三上学期期中考试（202211）】23.(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy

中，曲线C1的参数方程为:（为参数），M是C1上的动点，P点满足,P点的轨迹为曲线C2.(1)求C2的方程;(2)在以O为极点，x

轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求.【学问点】选修4-4参数与参数方程N3【答案解析】（1）（2）2（1）设P(x,y),则由条件知M().由于M点在C1上，所以从而的参数方程为（为参数）（2）曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为。射线与的交点的极径为，射线与的交点的极径为。所以.【思路点拨】依据等量关系求出参数方程，依据极坐标求出长度。【数学理卷·2021届江西省赣州市十二县（市）高三上学期期中联考（202211）】15.(1)（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，圆在点处的切线方程为．【学问点】简洁曲线的极坐标方程．N3【答案】【解析】ρcosθ=2．解析：由ρ=2cosθ得，ρ2=2ρcosθ，则x2+y2=2x，即（x﹣1）2+y2=1，在点M（2，0）处的切线方程为x=2，所以切线的极坐标方程是：ρcosθ=2．故答案为：ρcosθ=2．【思路点拨】求出极坐标的直角坐标，极坐标方程的直角坐标方程，然后求出切线方程，转化为极坐标方程即可．【数学理卷·2021届吉林省长春外国语学校高三上学期期中考试（202211）】15.直线与圆（为参数）有公共点,则实数的取值范围是_____________.【学问点】选修4-4参数与参数方程N3【答案解析】[3-3，3+3]直线ρcosθ-ρsinθ+a=0，即x-y+a=0，圆（θ为参数）化为直角坐标方程为（x+1）2+（y-2）2=9，表示以（-1，2）为圆心、半径等于3的圆．由直线和圆相交可得圆心到直线的距离小于或等于半径，即≤3，求得3-3a≤3+3，

故答案为：[3-3，3+3]．【思路点拨】把参数方程、极坐标方程化为直角坐标方程，依据圆心到直线的距离小于或等于半径求得实数a的取值范围．【数学文卷·2021届河南省试验中学高三上学期期中考试（202211）】23．(本小题满分10分)选修44：坐标系与参数方程已知椭圆C的极坐标方程为，点为其左，右焦点，直线的参数方程为()．（I）求直线和曲线C的一般方程；（II）求点到直线的距离之和.【学问点】选修4-4参数与参数方程N3【答案解析】(Ⅰ)(Ⅱ)(Ⅰ)直线一般方程为；曲线的一般方程为．(Ⅱ)∵,，∴点到直线的距离点到直线的距离∴【思路点拨】先转化成一般方程，利用点到直线的距离公式求出距离之和。【数学文卷·2021届吉林省长春外国语学校高三上学期期中考试（202211）】15.直线与圆（为参数）有公共点,则实数的取值范围是_____________.【学问点】选修4-4参数与参数方程N3【答案解析】[3-3，3+3]直线ρcosθ-ρsinθ+a=0，即x-y+a=0，圆（θ为参数）化为直角坐标方程为（x+1）2+（y-2）2=9，表示以（-1，2）为圆心、半径等于3的圆．由直线和圆相交可得圆心到直线的距离小于或等于半径，即≤3，求得3-3a≤3+3，

故答案为：[3-3，3+3]．【思路点拨】把参数方程、极坐标方程化为直角坐标方程，依据圆心到直线的距离小于或等于半径求得实数a的取值范围．N4选修4-5不等式选讲【数学理卷·2021届河南省试验中学高三上学期期中考试（202211）】24.（本小题满分10分）选修：不等式选讲已知函数,（1）当时，求不等式的解集;（2）若的解集包含，求的取值范围.【学问点】选修4-5不等式选讲N4【答案解析】（1）{x}（2）-（1）当时，或或或（2）原命题在上恒成立在上恒成立在上恒成立【思路点拨】利用零点分段求出解集，求出最值求出参数a。【数学理卷·2021届江西省赣州市十二县（市）高三上学期期中联考（202211）】(2)（不等式选讲选做题）已知函数．若不等式的解集为，则实数的值为．【学问点】确定值不等式的解法．N4【答案】【解析】1解析：∵函数，故有不等式可得，∴，解得．

再依据不等式的解集为，可得，∴，故答案为1．【思路点拨】由不等式可得，解得．再依据不等式的解集为，可得，从而求得a的值．【数学文卷·2021届江西省赣州市十二县（市）高三上学期期中联考（202211）】14、设函数_________.【学问点】其他不等式的解法．N4【答案】【解析】解析：由题意，得及，解得及，所以使得成立的的取值范围是；故答案为：。【思路点拨】利用分段函数将得到两个不等式组解之即可．【数学文卷·2021届江西省师大附中高三上学期期中考试（202211）】17．（本小题满分10分）设函数．（1）当时，求不等式的