【优化方案】2021高考数学总复习(湖北理科)课后达标检测：第7章-第6课时

[基础达标]一、选择题1．已知a＝(2,3，－4)，b＝(－4，－3，－2)，b＝eq\f(1,2)x－2a，则x等于()A．(0,3，－6) B．(0,6，－20)C．(0,6，－6) D．(6,6，－6)解析：选B.由b＝eq\f(1,2)x－2a，得x＝4a＋2b＝(8,12，－16)＋(－8，－6，－4)＝(0,6，－20)．2．设A(3,3,1)，B(1,0,5)，C(0,1,0)，AB的中点为M，则|CM|等于()A.eq\f(\r(53),4) B.eq\f(53,2)C.eq\f(\r(53),2) D.eq\f(\r(13),2)解析：选C.设M(x，y，z)，则x＝eq\f(3＋1,2)＝2，y＝eq\f(3＋0,2)＝eq\f(3,2)，z＝eq\f(1＋5,2)＝3，即Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(3,2)，3))，|CM|＝eq\r(2－02＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)－1))2＋3－02)＝eq\f(\r(53),2).3．已知正方体ABCD­A1B1C1D1中，点E为上底面A1C1的中心，若eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(AA1,\s\up6(→))＋xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AD,\s\up6(→))，则x，y的值分别为()A．x＝1，y＝1 B．x＝1，y＝eq\f(1,2)C．x＝eq\f(1,2)，y＝eq\f(1,2) D．x＝eq\f(1,2)，y＝1解析：选C.如图，eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(A1E,\s\up6(→))＝eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(A1C1,\s\up6(→))＝eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))，所以x＝eq\f(1,2)，y＝eq\f(1,2).4．已知eq\o(AB,\s\up6(→))＝(1,5，－2)，eq\o(BC,\s\up6(→))＝(3,1，z)，若eq\o(AB,\s\up6(→))⊥eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(BP,\s\up6(→))＝(x－1，y，－3)，且BP⊥平面ABC，则实数x，y，z分别为()A.eq\f(33,7)，－eq\f(15,7)，4 B.eq\f(40,7)，－eq\f(15,7)，4C.eq\f(40,7)，－2,4 D．4，eq\f(40,7)，－15解析：选B.∵eq\o(AB,\s\up6(→))⊥eq\o(BC,\s\up6(→))，∴eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝0，即3＋5－2z＝0，得z＝4.又BP⊥平面ABC，∴BP⊥AB，BP⊥BC，eq\o(BC,\s\up6(→))＝(3,1,4)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－1＋5y＋6＝0，,3x－1＋y－12＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(40,7)，,y＝－\f(15,7).))5．(2022·山东青岛调研)正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，点M在eq\o(AC1,\s\up6(→))上且eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(MC1,\s\up6(→))，N为B1B的中点，则|eq\o(MN,\s\up6(→))|为()A.eq\f(\r(21),6) B.eq\f(\r(6),6)C.eq\f(\r(15),6) D.eq\f(\r(15),3)解析：选A.如图，设eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，eq\o(AA1,\s\up6(→))＝c，则a·b＝b·c＝c·a＝0.由条件知eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(MA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BN,\s\up6(→))＝－eq\f(1,3)(a＋b＋c)＋a＋eq\f(1,2)c＝eq\f(2,3)a－eq\f(1,3)b＋eq\f(1,6)c，∴eq\o(MN,\s\up6(→))2＝eq\f(4,9)a2＋eq\f(1,9)b2＋eq\f(1,36)c2＝eq\f(21,36)，∴|eq\o(MN,\s\up6(→))|＝eq\f(\r(21),6).二、填空题6．在空间直角坐标系中，点P(1，eq\r(2)，eq\r(3))，过点P作平面yOz的垂线PQ，点Q在平面yOz上，则垂足Q的坐标为________．解析：由题意知点Q即为点P在平面yOz内的射影，所以垂足Q的坐标为(0，eq\r(2)，eq\r(3))．答案：(0，eq\r(2)，eq\r(3))7．(2022·江苏徐州模拟)给出下列命题：①|a|－|b|＝|a＋b|是a，b共线的充要条件；②若a与b共面，则a与b所在的直线在同一平面内；③若eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up6(→))，则P，A，B三点共线．其中不正确命题的序号是__________．解析：只有当向量a，b共线反向且|a|＞|b|时成立，故①不正确；当a与b共面时，向量a与b所在的直线平行、相交或异面，故②不正确；由eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)≠1知，三点不共线，故③不正确．综上可得①②③均不正确．答案：①②③8．(2022·浙江杭州模拟)在空间直角坐标系中，以点A(4,1,9)，B(10，－1,6)，C(x,4,3)为顶点的△ABC是以BC为斜边的等腰直角三角形，则实数x的值为__________．解析：由题意知eq\o(AB,\s\up6(→))＝(6，－2，－3)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(x－4,3，－6)．又eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝0，|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(AC,\s\up6(→))|，可得x＝2.答案：2三、解答题9．已知空间三点A(－2,0,2)，B(－1,1,2)，C(－3,0,4)，设a＝eq\o(AB,\s\up6(→))，b＝eq\o(AC,\s\up6(→))，(1)求a和b的夹角θ的余弦值；(2)若向量ka＋b与ka－2b相互垂直，求k的值．解：∵A(－2,0,2)，B(－1,1,2)，C(－3,0,4)，a＝eq\o(AB,\s\up6(→))，b＝eq\o(AC,\s\up6(→))，∴a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)．(1)cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(－1＋0＋0,\r(2)×\r(5))＝－eq\f(\r(10),10)，∴a和b的夹角θ的余弦值为－eq\f(\r(10),10).(2)∵ka＋b＝k(1,1,0)＋(－1,0,2)＝(k－1，k,2)，ka－2b＝(k＋2，k，－4)，且(ka＋b)⊥(ka－2b)，∴(k－1，k,2)·(k＋2，k，－4)＝(k－1)(k＋2)＋k2－8＝2k2＋k－10＝0.则k＝－eq\f(5,2)或k＝2.10．如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，F，G分别是AB，AD，CD的中点，计算：(1)eq\o(EF,\s\up6(→))·eq\o(BA,\s\up6(→))；(2)EG的长；(3)异面直线EG与AC所成角的大小．解：设eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，eq\o(AD,\s\up6(→))＝c，则|a|＝|b|＝|c|＝1，〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°，eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)c－eq\f(1,2)a，eq\o(BA,\s\up6(→))＝－a，eq\o(DC,\s\up6(→))＝b－c.(1)eq\o(EF,\s\up6(→))·eq\o(BA,\s\up6(→))＝(eq\f(1,2)c－eq\f(1,2)a)·(－a)＝－eq\f(1,2)a·c＋eq\f(1,2)a2＝－eq\f(1,4)＋eq\f(1,2)＝eq\f(1,4).(2)eq\o(EG,\s\up6(→))＝eq\o(EB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CG,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＋eq\f(1,2)(eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→)))＝－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)c，∴eq\a\vs4\al(\o(EG,\s\up6(→)))2＝eq\f(1,4)(－a＋b＋c)2＝eq\f(1,4)(a2＋b2＋c2－2a·b－2a·c＋2b·c)＝eq\f(1,2)，∴|eq\o(EG,\s\up6(→))|＝eq\f(\r(2),2)，即EG的长为eq\f(\r(2),2).(3)由(2)知，eq\o(EG,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝(－eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)c)·b＝－eq\f(1,2)a·b＋eq\f(1,2)b2＋eq\f(1,2)c·b＝eq\f(1,2)，∴cos〈eq\o(EG,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))〉＝eq\f(\o(EG,\s\up6(→))·\o(AC,\s\up6(→)),|\o(EG,\s\up6(→))|·|\o(AC,\s\up6(→))|)＝eq\f(\f(1,2),\f(\r(2),2)×1)＝eq\f(\r(2),2).故异面直线EG与AC所成的角为45°.[力气提升]一、选择题1．设A，B，C，D是空间不共面的四个点，且满足eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝0，eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝0，eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝0，则△BCD的外形是()A．钝角三角形 B．直角三角形C．锐角三角形 D．无法确定解析：选C.eq\o(BC,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))＝(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))·(eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\a\vs4\al(\o(AB,\s\up6(→)))2＝eq\a\vs4\al(\o(AB,\s\up6(→)))2＞0.同理eq\o(DB,\s\up6(→))·eq\o(DC,\s\up6(→))＞0，eq\o(CB,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))＞0.故△BCD为锐角三角形．2.在正方体ABCD­A1B1C1D1中，P为正方形A1B1C1D1四边上的动点，O为底面正方形ABCD的中心，M，N分别为AB，BC的中点，点Q为平面ABCD内一点，线段D1Q与OP相互平分，则满足eq\o(MQ,\s\up6(→))＝λeq\o(MN,\s\up6(→))的实数λ的值有()A．0个 B．1个C．2个 D．3个解析：选C.建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则P(x，y,2)，O(1,1,0)，∴OP的中点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x＋1,2)，\f(y＋1,2)，1)).又知D1(0,0,2)，∴Q(x＋1，y＋1,0)，而Q在MN上，∴xQ＋yQ＝3，∴x＋y＝1，即点P坐标满足x＋y＝1.∴有2个符合题意的点P，即对应有2个λ.二、填空题3．在下列条件中，使M与A、B、C确定共面的是________．①eq\o(OM,\s\up6(→))＝2eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))；②eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\f(1,5)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(OC,\s\up6(→))；③eq\o(MA,\s\up6(→))＋eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(MC,\s\up6(→))＝0；④eq\o(OM,\s\up6(→))＋eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝0.解析：∵eq\o(MA,\s\up6(→))＋eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(MC,\s\up6(→))＝0，∴eq\o(MA,\s\up6(→))＝－eq\o(MB,\s\up6(→))－eq\o(MC,\s\up6(→))，则eq\o(MA,\s\up6(→))、eq\o(MB,\s\up6(→))、eq\o(MC,\s\up6(→))为共面对量，即M、A、B、C四点共面．答案：③4.如图，正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别是棱BC，DD1上的点，假如B1E⊥平面ABF，则|CE|与|DF|的和的值为________．解析：以D1A1、D1C1、D1D分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系(图略)，设|CE|＝x，|DF|＝y，则易知E(x,1,1)，B1(1,1,0)，∴eq\o(B1E,\s\up6(→))＝(x－1,0,1)．又F(0,0,1－y)，B(1,1,1)，∴eq\o(FB,\s\up6(→))＝(1,1，y)，由于AB⊥B1E，故若B1E⊥平面ABF，只需eq\o(FB,\s\up6(→))·eq\o(B1E,\s\up6(→))＝(1,1，y)·(x－1,0,1)＝0⇒x＋y＝1.答案：1三、解答题5.如图，在棱长为a的正方体OABC­O1A1B1C1中，E，F分别是棱AB，BC上的动点，且AE＝BF＝x，其中0≤x≤a，以O为原点建立空间直角坐标系O­xyz.(1)写出点E，F的坐标；(2)求证：A1F⊥C1E；(3)若A1，E，F，C1四点共面，求证：eq\o(A1F,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(A1C1,\s\up6(→))＋eq\o(A1E,\s\up6(→)).解：(1)E(a，x,0)，F(a－x，a,0)．(2)证明：∵A1(a,0，a)，C1(0，a，a)，∴eq\o(A1F,\s\up6(→))＝(－x，a，－a)，eq\o(C1E,\s\up6(→))＝(a，x－a，－a)，∴eq\o(A1F,\s\up6(→))·eq\o(C1E,\s\up6(→))＝－ax＋a(x－a)＋a2＝0，∴eq\o(A1F,\s\up6(→))⊥eq\o(C1E,\s\up6(→))，∴A1F⊥C1E.(3)证明：∵A1，E，F，C1四点共面，∴eq\o(A1E,\s\up6(→))，eq\o(A1C1,\s\up6(→))，eq\o(A1F,\s\up6(→))共面．选eq\o(A1E,\s\up6(→))与eq\o(A1C1,\s\up6(→))为一组基向量，则存在唯一实数对(λ1，λ2)，使eq\o(A1F,\s\up6(→))＝λ1eq\o(A1C1,\s\up6(→))＋λ2eq\o(A1E,\s\up6(→))，即(－x，a，－a)＝λ1(－a，a,0)＋λ2(0，x，－a)＝(－aλ1，aλ1＋xλ2，－aλ2)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x＝－aλ1,a＝aλ1＋xλ2,－a＝－aλ2))，解得λ1＝eq\f(1,2)，λ2＝1.于是eq\o(A1F,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(A1C1,\s\up6(→))＋eq\o(A1E,\s\up6(→)).6.(选做题)如图，在底面为直角梯形的四棱锥P­ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，PD⊥平面ABCD，AD＝1，AB＝eq\r(3)，BC＝4.(1)求证：BD⊥PC；(2)设点E在棱PC上，eq\o(PE,\s\up6(→))＝λeq\o(PC,\s\up6(→))，若DE∥平面PAB，求λ的值．解：(1)证明：如图，在平面ABCD内