【名师一号】2020-2021学年高中数学人教B版必修2双基限时练12(第一章)

双基限时练(十二)基础强化1．已知直线l⊥平面α，直线m⊂α，则()A．l⊥m B．l可能和m平行C．l与m相交 D．无法确定解析直线l⊥平面α，则l垂直于平面α内任意一条直线，∵m⊂α，故l⊥m.答案A2．若两直线a与b异面，则过a且与b垂直的平面()A．有且只有一个B．可能有一个，也可能不存在C．有很多多个D．肯定不存在解析当a与b垂直时，过a且与b垂直的平面有且只有1个；当a与b不垂直时，过a且与b垂直的平面不存在．答案B3．已知空间两个不同的直线m、n和两个不同的平面α、β，则下列命题中正确的是()A．若m∥α，n⊂α，则m∥nB．若α∩β＝m，m⊥n，则n⊥αC．若m∥α，n∥α，则m∥nD．若m∥α，m⊂β，α∩β＝n，则m∥n解析A选项中m与n可能异面；B选项中n与α可能平行或在α内；C选项中m与n的位置关系不确定，故A、B、C均错误，D是线面平行的性质定理，D成立．答案D4．在空间四边形ABCD中，若AB⊥CD，BC⊥AD，则对角线AC与BD的位置关系为()A．相交但不垂直 B．垂直但不相交C．不相交也不垂直 D．无法推断答案B5.如图，PA⊥平面ABC，△ABC中，BC⊥AC，则图中直角三角形有()A．4个 B．3个C．2个 D．1个解析∵PA⊥面ABC，∴PA⊥AC，PA⊥BC，PA⊥AB.∵BC⊥AC，AC∩PA＝A，∴BC⊥面PAC，∴BC⊥PC，∴△PAC、△PAB、△ABC、△PBC均是直角三角形．答案A6．在三棱锥S－ABC中，SA⊥底面ABC，SA＝4，AB＝3，D为AB中点，且∠ABC＝90°，则点D到平面SBC的距离为()A.eq\f(12,5) B.eq\f(9,5)C.eq\f(6,5) D.eq\f(3,5)解析如图，过A作AE⊥SB交SB于E，∵SA⊥面ABC，∴SA⊥BC.∵AB⊥BC，SA∩AB＝A，∴BC⊥平面SAB，∴BC⊥AE.∵SB∩BC＝B，∴AE⊥平面SBC.∵D是AB中点，∴D到平面SBC的距离为eq\f(1,2)AE.在Rt△SAB中，SA＝4，AB＝3，∴AE＝eq\f(12,5)，∴D到平面SBC的距离为eq\f(6,5).答案C能力提升7．如图所示，P、Q、R分别是正方体的棱AB、BB1、BC的中点，则BD1与平面PQR的位置关系是__________．答案垂直8．如图所示，AB是⊙O的直径，PA⊥平面⊙O，C为圆周上一点，AB＝5cm，AC＝2cm，则B到平面PAC的距离为________．解析连接BC.∵C为圆周上的一点，AB为直径，∴BC⊥AC.又∵PA⊥平面⊙O，BC⊂平面⊙O，∴PA⊥BC.又∵PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC，C为垂足，∴BC即为B到平面PAC的距离．在Rt△ABC中，BC＝eq\r(AB2－AC2)＝eq\r(52－22)＝eq\r(21)(cm)．答案eq\r(21)cm9．如图所示，已知矩形ABCD中，AB＝1，BC＝a，PA⊥平面ABCD，若在BC上只有一个点Q满足PQ⊥QD，则a的值等于________．解析∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥QD，又∵PQ⊥QD，∴QD⊥平面PAQ.∴AQ⊥QD，即Q在以AD为直径的圆上，当圆与BC相切时，点Q只有一个，故BC＝2AB＝2.答案210.如图，已知矩形ABCD，过A作SA⊥平面ABCD，再过A作AE⊥SB于E，过E作EF⊥SC于F.求证：SC⊥平面AEF.证明∵SA⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，∴SA⊥BC.又∵四边形ABCD是矩形，∴AB⊥BC.∴BC⊥平面SAB.∵AE⊂平面SAB，∴BC⊥AE.又∵AE⊥SB，∴AE⊥平面SBC.∴AE⊥SC.又∵EF⊥SC，∴SC⊥平面AEF.11．如图为一简洁组合体，其底面ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，EC∥PD，且PD＝2EC.(1)求证：BE∥平面PDA；(2)若N为线段PB的中点，求证：EN⊥平面PDB.证明(1)∵EC∥PD，PD⊂平面PAD，EC⊄平面PDA，∴EC∥平面PDA，同理可得BC∥平面PDA.∵EC⊂平面EBC，BC⊂平面EBC且EC∩BC＝C，∴平面EBC∥平面PDA.又∵BE⊂平面EBC，∴BE∥平面PDA.(2)取BD中点M，连接MC，MN，∵N是PB中点，∴MN∥PD，且MN＝eq\f(1,2)PD.∵EC∥PD且PD＝2EC，∴EC∥MN且EC＝MN.∴四边形MNEC是平行四边形，∴NE∥MC.∵M是BD中点，且四边形ABCD是正方形，∴CM⊥BD.∵PD⊥平面ABCD，且MC⊂平面ABCD，∴PD⊥MC.∵BD∩PD＝D，∴MC⊥平面PDB，∴NE⊥平面PDB.12．如图所示，已知矩形ABCD，过A作SA⊥平面AC，再过A作AE⊥SB于点E，过E作EF⊥SC于点F.(1)求证：AF⊥SC；(2)若平面AEF交SD于点G，求证：AG⊥SD.证明(1)∵SA⊥平面AC，BC⊂平面AC，∴SA⊥BC.∵四边形ABCD为矩形，∴AB⊥BC.∴BC⊥平面SAB.∴BC⊥AE.又SB⊥AE，∴AE⊥平面SBC.∴AE⊥SC.又EF⊥SC，∴SC⊥平面AEF.∴AF⊥SC.(2)∵SA⊥平面AC，∴SA⊥DC.又AD⊥DC，∴DC⊥平面SAD.∴DC⊥AG.又由(1)有SC⊥平面AEF，AG⊂平面AEF，∴SC⊥AG.∴AG⊥平面SDC.∴AG⊥SD.品味高考13．已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β.直线l满足l⊥m，l⊥n，l⊄α，l⊄β，则()A．α∥β且l∥αB