【高考解码】2021届高三数学二轮复习(新课标)-立体几何测试题_第1页
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文档简介

建议用时实际用时错题档案45分钟一、选择题1.(猜测题)如图,在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC­A1B1C1,CA=CC1=2CB,则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为()A.eq\f(\r(5),5)B.eq\f(\r(5),3)C.eq\f(2\r(5),5)D.eq\f(3,5)【解析】不妨设CB=1,则B(0,0,1),A(2,0,0),C1(0,2,0),B1(0,2,1).∴eq\o(BC1,\s\up6(→))=(0,2,-1),eq\o(AB1,\s\up6(→))=(-2,2,1).cos〈eq\o(BC1,\s\up6(→)),eq\o(AB1,\s\up6(→))〉=eq\f(\o(BC1,\s\up6(→))·\o(AB1,\s\up6(→)),|\o(BC1,\s\up6(→))|·|\o(AB1,\s\up6(→))|)=eq\f(0+4-1,\r(5)×3)=eq\f(\r(5),5),故选A.【答案】A2.(创新题)P是二面角α­AB­β棱上的一点,分别在α、β平面上引射线PM、PN,假如∠BPM=∠BPN=45°,∠MPN=60°,那么二面角α­AB­β的大小为()A.60°B.70°C.80°D.90°【解析】不妨设PM=a,PN=b,作ME⊥AB于E,NF⊥AB于F,如图.∵∠EPM=∠FPN=45°,∴PE=eq\f(\r(2),2)a,PF=eq\f(\r(2),2)b.∴Eeq\o(M,\s\up6(→))·Feq\o(N,\s\up6(→))=(Peq\o(M,\s\up6(→))-Peq\o(E,\s\up6(→)))·(Peq\o(N,\s\up6(→))-Peq\o(F,\s\up6(→)))=Peq\o(M,\s\up6(→))·Peq\o(N,\s\up6(→))-Peq\o(M,\s\up6(→))·Peq\o(F,\s\up6(→))-Peq\o(E,\s\up6(→))·Peq\o(N,\s\up6(→))+Peq\o(E,\s\up6(→))·Peq\o(F,\s\up6(→))=abcos60°-a×eq\f(\r(2),2)bcos45°-eq\f(\r(2),2)abcos45°+eq\f(\r(2),2)a×eq\f(\r(2),2)b=eq\f(ab,2)-eq\f(ab,2)-eq\f(ab,2)+eq\f(ab,2)=0.∴Eeq\o(M,\s\up6(→))⊥Feq\o(N,\s\up6(→)).∴二面角α­AB­β的大小为90°.【答案】D3.(2022·辽宁沈阳4月)如图所示,在正方体ABCD­A1B1C1D1中,E、F分别在A1D、AC上,且A1E=eq\f(2,3)A1D,AF=eq\f(1,3)AC.则()A.EF至多与A1D、AC之一垂直B.EF是A1D、AC的公垂线C.EF与BD1相交D.EF与BD1异面【解析】设AB=1,以D为原点,DA所在直线为x轴,DC所在直线为y轴,DD1所在直线为z轴建立空间直角坐标系,则A1(1,0,1),D(0,0,0),A(1,0,0),C(0,1,0),E(eq\f(1,3),0,eq\f(1,3)),F(eq\f(2,3),eq\f(1,3),0),B(1,1,0),D1(0,0,1),eq\o(A1D,\s\up6(→))=(-1,0,-1),Aeq\o(C,\s\up6(→))=(-1,1,0),Eeq\o(F,\s\up6(→))=(eq\f(1,3),eq\f(1,3),-eq\f(1,3)),eq\o(BD1,\s\up6(→))=(-1,-1,1),Eeq\o(F,\s\up6(→))=-eq\f(1,3)eq\o(BD1,\s\up6(→)),eq\o(A1D,\s\up6(→))·Eeq\o(F,\s\up6(→))=Aeq\o(C,\s\up6(→))·Eeq\o(F,\s\up6(→))=0,从而EF∥BD1,EF⊥A1D,EF⊥AC,故选B.【答案】B4.(2022·济宁模拟)已知空间四边形OABC,其对角线为OB、AC,M、N分别是边OA、CB的中点,点G在线段MN上,且使MG=2GN,则用向量eq\o(OA,\s\up6(→)),eq\o(OB,\s\up6(→)),eq\o(OC,\s\up6(→))表示向量eq\o(OG,\s\up6(→))正确的是()A.eq\o(OG,\s\up6(→))=eq\o(OA,\s\up6(→))+eq\f(2,3)eq\o(OB,\s\up6(→))+eq\f(2,3)eq\o(OC,\s\up6(→))B.eq\o(OG,\s\up6(→))=eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up6(→))+eq\f(2,3)eq\o(OB,\s\up6(→))+eq\f(2,3)eq\o(OC,\s\up6(→))C.eq\o(OG,\s\up6(→))=eq\f(1,6)eq\o(OA,\s\up6(→))+eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up6(→))+eq\f(1,3)eq\o(OC,\s\up6(→))D.eq\o(OG,\s\up6(→))=eq\f(1,6)eq\o(OA,\s\up6(→))+eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up6(→))+eq\f(2,3)eq\o(OC,\s\up6(→))【解析】eq\o(OG,\s\up6(→))=eq\o(OM,\s\up6(→))+eq\o(MG,\s\up6(→))=eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up6(→))+eq\f(2,3)eq\o(MN,\s\up6(→))=eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up6(→))+eq\f(2,3)(-eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up6(→))+eq\o(OB,\s\up6(→))+eq\f(1,2)eq\o(OC,\s\up6(→))-eq\f(1,2)eq\o(OB,\s\up6(→)))=eq\f(1,6)eq\o(OA,\s\up6(→))+eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up6(→))+eq\f(1,3)eq\o(OC,\s\up6(→)).故选C.【答案】C5.(2022·福建泉州二模)设正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为2,则点D1到平面A1BD的距离是()A.eq\f(\r(3),2)B.eq\f(\r(2),2)C.eq\f(2\r(3),3)D.eq\f(2\r(3),3)【解析】如图建立空间直角坐标系,则D1(0,0,2),A1(2,0,2),D(0,0,0),B(2,2,0),∴eq\o(D1A1,\s\up6(→))=(2,0,0),eq\o(DA1,\s\up6(→))=(2,0,2),eq\o(DB,\s\up6(→))=(2,2,0),设平面A1BD的法向量为n=(x,y,z),则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·\o(DA1,\s\up6(→))=2x+2z=0,,n·\o(DB,\s\up6(→))=2x+2y=0.))令x=1,则n=(1,-1,-1),∴点D1到平面A1BD的距离是d=eq\f(|\o(D1A1,\s\up6(→))·n|,|n|)=eq\f(2,\r(3))=eq\f(2\r(3),3).【答案】D二、填空题6.如图,在正方体ABCD­A1B1C1D1中,M、N分别是棱CD、CC1的中点,则异面直线A1M与DN所成的角的大小是________.【解析】以D为原点,DA,DC,DD1所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系,设AB=1,则D(0,0,0),N(0,1,eq\f(1,2)),M(0,eq\f(1,2),0),A1(1,0,1),∴eq\o(DN,\s\up6(→))=(0,1,eq\f(1,2)),eq\o(MA1,\s\up6(→))=(1,-eq\f(1,2),1),∴eq\o(DN,\s\up6(→))·eq\o(MA1,\s\up6(→))=1×0+1×(-eq\f(1,2))+eq\f(1,2)×1=0,∴eq\o(DN,\s\up6(→))⊥eq\o(MA1,\s\up6(→)),∴A1M与DN所成的角的大小是90°.【答案】90°7.已知点E、F分别在正方体ABCD­A1B1C1D1的棱BB1、CC1上,且B1E=2EB,CF=2FC1,则面AEF与面ABC所成的二面角的正切值等于________.【解析】如图,建立空间直角坐标系.设面ABC的法向量为n1=(0,0,1),面AEF的法向量为n2=(x,y,z).设正方体的棱长为1,∵A(1,0,0),E(1,1,eq\f(1,3)),F(0,1,eq\f(2,3)),∴Aeq\o(E,\s\up6(→))=(0,1,eq\f(1,3)),Eeq\o(F,\s\up6(→))=(-1,0,eq\f(1,3)),则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y+\f(1,3)z=0,,-x+\f(1,3)z=0,))取x=1,则y=-1,z=3.故n2=(1,-1,3),∴cos〈n1,n2〉=eq\f(n1·n2,|n1||n2|)=eq\f(3\r(11),11),∴面AEF与面ABC所成的二面角的平面角α满足cosα=eq\f(3\r(11),11),sinα=eq\f(\r(22),11),∴tanα=eq\f(\r(2),3).【答案】eq\f(\r(2),3)8.(猜测题)将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A­BD­C,有如下四个结论:①AC⊥BD;②△ACD是等边三角形;③AB与平面BCD所成的角为60°;④AB与CD所成的角为60°.其中正确的序号是______.(写出你认为正确的结论的序号)【解析】取BD中点O,连接AO、CO,则AO⊥BD,CO⊥BD,∴BD⊥面AOC,∴AC⊥BD,又AC=eq\r(2)AO=AD=CD,∴△ACD是等边三角形.而∠ABD是AB与平面BCD所成的角,应为45°.又Aeq\o(C,\s\up6(→))=Aeq\o(B,\s\up6(→))+Beq\o(D,\s\up6(→))+Deq\o(C,\s\up6(→))(设AB=a),则a2=a2+2a2+a2+2·a·eq\r(2)a·(-eq\f(\r(2),2))+2a·eq\r(2)·a(-eq\f(\r(2),2))+2a2cos〈Aeq\o(B,\s\up6(→)),Deq\o(C,\s\up6(→))〉,∴cos〈Aeq\o(B,\s\up6(→)),Deq\o(C,\s\up6(→))〉=eq\f(1,2),∴AB与CD所成角为60°.【答案】①②④三、解答题9.(2022·天津高考)如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AD⊥AB,AB∥DC,AD=DC=AP=2,AB=1,点E为棱PC的中点.(1)证明:BE⊥DC;(2)求直线BE与平面PBD所成角的正弦值;(3)若F为棱PC上一点,满足BF⊥AC,求二面角F-AB-P的余弦值.【解】依题意,以点A为原点建立空间直角坐标系(如图),可得B(1,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2).由E为棱PC的中点,得E(1,1,1).(1)向量eq\o(BE,\s\up6(→))=(0,1,1),eq\o(DC,\s\up6(→))=(2,0,0),故eq\o(BE,\s\up6(→))·eq\o(DC,\s\up6(→))=0.所以,BE⊥DC.(2)向量eq\o(BD,\s\up6(→))=(-1,2,0),eq\o(PB,\s\up6(→))=(1,0,-2).设n=(x,y,z)为平面PBD的法向量.则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·\o(BD,\s\up6(→))=0,,n·\o(PB,\s\up6(→))=0,))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(-x+2y=0,,x-2z=0.))不妨令y=1,可得n=(2,1,1)为平面PBD的一个法向量,于是有cos〈n,eq\o(BE,\s\up6(→))〉=eq\f(n·\o(BE,\s\up6(→)),|n|·|\o(BE,\s\up6(→))|)=eq\f(2,\r(6)×\r(2))=eq\f(\r(3),3).所以,直线BE与平面PBD所成角的正弦值为eq\f(\r(3),3).(3)向量eq\o(BC,\s\up6(→))=(1,2,0),eq\o(CP,\s\up6(→))=(-2,-2,2),eq\o(AC,\s\up6(→))=(2,2,0),eq\o(AB,\s\up6(→))=(1,0,0).由点F在棱PC上,设eq\o(CF,\s\up6(→))=λeq\o(CP,\s\up6(→)),0≤λ≤1.故eq\o(BF,\s\up6(→))=eq\o(BC,\s\up6(→))+eq\o(CF,\s\up6(→))=eq\o(BC,\s\up6(→))+λeq\o(CP,\s\up6(→))=(1-2λ,2-2λ,2λ).由BF⊥AC,得eq\o(BF,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))=0,因此,2(1-2λ)+2(2-2λ)=0,解得λ=eq\f(3,4).即eq\o(BF,\s\up6(→))=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(1,2),\f(1,2),\f(3,2))).设n1=(x,y,z)为平面FAB的法向量,则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n1·\o(AB,\s\up6(→))=0,,n1·\o(BF,\s\up6(→))=0,))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x=0,,-\f(1,2)x+\f(1,2)y+\f(3,2)z=0.))不妨令z=1,可得n1=(0,-3,1)为平面FAB的一个法向量.取平面ABP的法向量n2=(0,1,0),则cos〈n1,n2〉=eq\f(n1·n2,|n1|·|n2|)=eq\f(-3,\r(10)×1)=-eq\f(3\r(10),10).易知,二面角F-AB-P是锐角,所以其余弦值为eq\f(3\r(10),10).10.(猜测题)如图所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ACB=90°,AA1=BC=2AC=2.(1)若D为AA1中点,求证:平面B1CD⊥平面B1C1D;(2)在AA1上是否存在一点D,使得二面角B1-CD-C1的大小为60°?【解】(1)证明:如图所示,以点C为原点,CA,CB,CC1所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系.则C(0,0,0),A(1,0,0),B1(0,2,2),C1(0,0,2),D(1,0,1),即eq\o(C1B1,\s\up6(→))=(0,2,0),eq\o(DC1,\s\up6(→))=(-1,0,1),eq\o(CD,\s\up6(→))=(1,0,1).由eq\o(C1B1,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→)

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