2022届《创新设计》数学一轮(理科)北师大版配套课时作业2-4-二次函数性质的再研究与幂函数

第4讲二次函数性质的再争辩与幂函数基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1．二次函数y＝－x2＋4x＋t图像的顶点在x轴上，则t的值是 ()A．－4 B．4C．－2 D．2解析二次函数图像的顶点在x轴上，所以Δ＝42－4×(－1)×t＝0，解得t＝－4.答案A2．(2022·郑州检测)若函数f(x)＝x2＋ax＋b的图像与x轴的交点为(1,0)和(3,0)，则函数f(x) ()A．在(－∞，2]上递减，在[2，＋∞)上递增B．在(－∞，3)上递增C．在[1,3]上递增D．单调性不能确定解析由已知可得该函数的图像的对称轴为x＝2，又二次项系数为1＞0，所以f(x)在(－∞，2]上是递减的，在[2，＋∞)上是递增的．答案A3．若a＜0，则0.5a,5a,5－a的大小关系是A．5－a＜5a＜0.5a B．5a＜0.5C．0.5a＜5－a＜5a D．5a＜5－解析5－a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)))a，由于a＜0时，函数y＝xa单调递减，且eq\f(1,5)＜0.5＜5，所以5a＜0.5a＜5－a.答案B4．(2021·蚌埠模拟)若二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c满足f(x1)＝f(x2)，则f(x1＋x2)等于 ()A．－eq\f(b,2a) B．－eq\f(b,a)C．c D.eq\f(4ac－b2,4a)解析∵f(x1)＝f(x2)且f(x)的图像关于x＝－eq\f(b,2a)对称，∴x1＋x2＝－eq\f(b,a).∴f(x1＋x2)＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,a)))＝a·eq\f(b2,a2)－b·eq\f(b,a)＋c＝c.答案C5．(2022·山东师大附中期中)“a＝1”是“函数f(x)＝x2－4ax＋3在区间[2，＋∞)上为增函数”的 A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件解析函数f(x)＝x2－4ax＋3在区间[2，＋∞)上为增函数，则满足对称轴－eq\f(－4a,2)＝2a≤2，即a≤1，所以“a＝1”是“函数f(x)＝x2－4ax＋3在区间[2，＋∞)上为增函数”的充分不必要条件．答案B二、填空题6．二次函数的图像过点(0,1)，对称轴为x＝2，最小值为－1，则它的解析式是________．答案y＝eq\f(1,2)(x－2)2－17．当α∈eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,2)，1，3))时，幂函数y＝xα的图像不行能经过第________象限．解析当α＝－1、1、3时，y＝xα的图像经过第一、三象限；当α＝eq\f(1,2)时，y＝xα的图像经过第一象限．答案二、四8．若方程x2－11x＋30＋a＝0的两根均大于5，则实数a的取值范围是________．解析令f(x)＝x2－11x＋30＋a.结合图像有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ≥0，,f5>0，))∴0<a≤eq\f(1,4).答案eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,4)))三、解答题9．(2021·绵阳模拟)已知函数f(x)＝ax2＋bx＋1(a，b∈R)，x∈R.(1)若函数f(x)的最小值为f(－1)＝0，求f(x)的解析式，并写出单调区间；(2)在(1)的条件下，f(x)>x＋k在区间[－3，－1]上恒成立，试求k的范围．解(1)由题意有f(－1)＝a－b＋1＝0，且－eq\f(b,2a)＝－1，∴a＝1，b＝2.∴f(x)＝x2＋2x＋1，单调减区间为(－∞，－1]，单调增区间为[－1，＋∞)．(2)f(x)>x＋k在区间[－3，－1]上恒成立，转化为x2＋x＋1>k在区间[－3，－1]上恒成立．设g(x)＝x2＋x＋1，x∈[－3，－1]，则g(x)在[－3，－1]上递减．∴g(x)min＝g(－1)＝1.∴k<1，即k的取值范围为(－∞，1)．10.(2022·辽宁五校联考)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f(x)＝x2＋2x.现已画出函数f(x)在y轴左侧的图像，如图所示，请依据图像：(1)写出函数f(x)(x∈R)的增区间；(2)写出函数f(x)(x∈R)的解析式；(3)若函数g(x)＝f(x)－2ax＋2(x∈[1,2])，求函数g(x)的最小值．解(1)f(x)在区间(－1,0)，(1，＋∞)上单调递增．(2)设x＞0，则－x＜0，函数f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f(x)＝x2＋2x，∴f(x)＝f(－x)＝(－x)2＋2×(－x)＝x2－2x(x＞0)，∴f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－2xx＞0，,x2＋2xx≤0.))(3)g(x)＝x2－2x－2ax＋2，对称轴为x＝a＋1，当a＋1≤1，即a≤0时，g(1)＝1－2a为最小值；当1＜a＋1≤2，即0＜a≤1时，g(a＋1)＝－a2－2a＋1为最小值；当a＋1＞2，即a＞1时，g(2)＝2－4a为最小值．综上，g(x)min＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－2aa≤0，,－a2－2a＋10＜a≤1，,2－4aa＞1.))力气提升题组(建议用时：25分钟)11．已知函数f(x)＝mx2＋(m－3)x＋1的图像与x轴的交点至少有一个在原点右侧，则实数m的取值范围是 ()A．(0,1) B．(0,1]C．(－∞，1) D．(－∞，1]解析用特殊值法．令m＝0，由f(x)＝0得x＝eq\f(1,3)适合，排解A，B.令m＝1，由f(x)＝0得x＝1适合，排解C.答案D12．(2022·武汉模拟)已知函数f(x)＝ax2＋2ax＋b(1＜a＜3)，且x1＜x2，x1＋x2＝1－a，则下列说法正确的是 ()A．f(x1)＜f(x2)B．f(x1)＞f(x2)C．f(x1)＝f(x2)D．f(x1)与f(x2)的大小关系不能确定解析f(x)的对称轴为x＝－1，由于1＜a＜3，则－2＜1－a＜0，若x1＜x2≤－1，则x1＋x2＜－2，不满足x1＋x2＝1－a且－2＜1－a＜0；若x1＜－1，x2≥－1时，|x2＋1|－|－1－x1|＝x2＋1＋1＋x1＝x1＋x2＋2＝3－a＞0(1＜a＜3)，此时x2到对称轴的距离大，所以f(x2)＞f(x1)；若－1≤x1＜x2，则此时x1＋x2＞－2，又由于f(x)在[－1，＋∞)上为增函数，所以f(x1)＜f(x2)．答案A13．(2021·南昌模拟)已知幂函数f(x)＝xα，当x＞1时，恒有f(x)＜x，则α的取值范围是________．解析当x＞1时，恒有f(x)＜x，即当x＞1时，函数f(x)＝xα的图像在y＝x的图像的下方，作出幂函数f(x)＝xα在第一象限的图像，由图像可知α＜1时满足题意．答案(－∞，1)14．(2021·雅安模拟)已知函数f(x)＝3ax2＋2bx＋c，a＋b＋c＝0，且f(0)·f(1)>0.(1)求证：－2<eq\f(b,a)<－1；(2)若x1、x2是方程f(x)＝0的两个实根，求|x1－x2|的取值范围．(1)证明当a＝0时，f(0)＝c，f(1)＝2b＋c，又b＋c＝0，则f(0)·f(1)＝c(2b＋c)＝－c2<0与已知冲突，因而a≠0，则f(0)·f(1)＝c(3a＋2b＋c)＝－(a＋b)(2a＋b)>0即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)＋1))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)＋2))<0，从而－2<eq\f(b,a)<－1.(2)解x1、x2是方程f(x)＝0的两个实根，则x1＋x2＝－eq\f(2b,3a)，x1x2＝－eq\f(a＋b,3a)，那么(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2b,3a)))2＋4×eq\f(a＋b,3a)＝eq\f(4,9)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))2＋eq\f(4b,3a)＋eq\f(4,3)＝eq\f(4,9)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4