【创新大课堂】2022高考数学(新课标人教版)一轮总复习练习：第8章-平面解析几何-第4节-双曲线

第八章第4节一、选择题1．(2022·天津高考)已知双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线平行于直线l∶y＝2x＋10，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为()A.eq\f(x2,5)－eq\f(y2,20)＝1 B.eq\f(x2,20)－eq\f(y2,5)＝1C.eq\f(3x2,25)－eq\f(3y2,100)＝1 D.eq\f(3x2,100)－eq\f(3y2,25)＝1[解析]∵eq\f(b,a)＝2,0＝－2c＋10，∴c＝5，a2＝5，b2＝20，∴双曲线的方程为eq\f(x2,5)－eq\f(y2,20)＝1.故选A.[答案]A2．(2021·济南期末)已知双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线均与圆C∶x2＋y2－6x＋5＝0相切，则该双曲线的离心率等于()A.eq\f(3,2) B.eq\f(\r(6),2)C.eq\f(3\r(5),5) D.eq\f(\r(5),5)[解析]依题意可知圆C：(x－3)2＋y2＝4，设双曲线的渐近线方程为y＝±kx，则eq\f(|3k|,\r(1＋k2))＝2，解得k2＝eq\f(4,5)，即eq\f(b2,a2)＝eq\f(4,5)，所以该双曲线的离心率e＝eq\r(1＋\f(4,5))＝eq\f(3\r(5),5).故选C.[答案]C3．(2021·浙江温州适应性测试)已知F1，F2为双曲线Ax2－By2＝1的焦点，其顶点是线段F1F2A．y＝±2eq\r(2)x B．y＝±eq\f(\r(2),4)xC．y＝±x D．y＝±2eq\r(2)x或y＝±eq\f(\r(2),4)x[解析]依题意c＝3a，∴c2＝9a2.又c2＝a2＋b∴eq\f(b2,a2)＝8，eq\f(b,a)＝2eq\r(2)，eq\f(a,b)＝eq\f(\r(2),4).故选D.[答案]D4．(2021·哈师大附中模拟)与椭圆C：eq\f(y2,16)＋eq\f(x2,12)＝1共焦点且过点(1，eq\r(3))的双曲线的标准方程为()A．x2－eq\f(y2,3)＝1 B．y2－2x2＝1C.eq\f(y2,2)－eq\f(x2,2)＝1 D.eq\f(y2,3)－x2＝1[解析]椭圆eq\f(y2,16)＋eq\f(x2,12)＝1的焦点坐标为(0，－2)，(0,2)，设双曲线的标准方程为eq\f(y2,m)－eq\f(x2,n)＝1(m＞0，n＞0)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(3,m)－\f(1,n)＝1，,m＋n＝4，))解得m＝n＝2，故选C.[答案]C5．(2021·高考北京卷)双曲线x2－eq\f(y2,m)＝1的离心率大于eq\r(2)的充分必要条件是()A．m＞eq\f(1,2) B．m≥1C．m＞1 D．m＞2[解析]用m表示出双曲线的离心率，并依据离心率大于eq\r(2)建立关于m的不等式求解．∵双曲线x2－eq\f(y2,m)＝1的离心率e＝eq\r(1＋m)，又∵e＞eq\r(2)，∴eq\r(1＋m)＞eq\r(2)，∴m＞1.[答案]C6．双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的离心率为2，则eq\f(b2＋1,3a)的最小值为()A.eq\f(2\r(3),3) B.eq\f(\r(3),3)C．2 D．1[解析]由于双曲线的离心率为2，所以eq\f(c,a)＝2，即c＝2a，c2＝4a又由于c2＝a2＋b2，所以a2＋b2＝4a2，即b＝eq\r(3)a，因此eq\f(b2＋1,3a)＝eq\f(3a2＋1,3a)＝a＋eq\f(1,3a)≥2eq\r(\f(1,3))＝eq\f(2\r(3),3)，当且仅当a＝eq\f(1,3a)时等号成立．即eq\f(b2＋1,3a)的最小值为eq\f(2\r(3),3).故选A.[答案]A7．设F1，F2分别是双曲线x2－eq\f(y2,9)＝1的左、右焦点．若点P在双曲线上，则eq\o(PF1,\s\up6(→))·eq\o(PF2,\s\up6(→))＝0，则|eq\o(PF1,\s\up6(→))|＋|eq\o(PF2,\s\up6(→))|＝()A.eq\r(10) B．2eq\r(10)C.eq\r(5) D．2eq\r(19)[解析]∵eq\o(PF1,\s\up6(→))·eq\o(PF2,\s\up6(→))＝0，∴eq\o(PF1,\s\up6(→))⊥eq\o(PF2,\s\up6(→))，∴|eq\o(PF1,\s\up6(→))|2＋|eq\o(PF2,\s\up6(→))|2＝40，又||eq\o(PF1,\s\up6(→))|－|eq\o(PF2,\s\up6(→))||＝2a＝2，∴||eq\o(PF1,\s\up6(→))|－|eq\o(PF2,\s\up6(→))||2＝|eq\o(PF1,\s\up6(→))|2＋|eq\o(PF2,\s\up6(→))|2－2|eq\o(PF1,\s\up6(→))|×|eq\o(PF2,\s\up6(→))|＝4，∴|eq\o(PF1,\s\up6(→))|×|eq\o(PF2,\s\up6(→))|＝18，||eq\o(PF1,\s\up6(→))|＋|eq\o(PF2,\s\up6(→))||2＝|eq\o(PF1,\s\up6(→))|2＋|eq\o(PF2,\s\up6(→))|2＋2|eq\o(PF1,\s\up6(→))|×|eq\o(PF2,\s\up6(→))|＝76，∴|eq\o(PF1,\s\up6(→))|＋|eq\o(PF2,\s\up6(→))|＝2eq\r(19).[答案]D8．设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，假如直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为()A.eq\r(2) B.eq\r(3)C.eq\f(\r(3)＋1,2) D.eq\f(\r(5)＋1,2)[解析]设双曲线方程为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)，如图所示，双曲线的一条渐近线方程为y＝eq\f(b,a)x，而kBF＝－eq\f(b,c)，∴eq\f(b,a)·(－eq\f(b,c))＝－1，整理得b2＝ac.∴c2－a2－ac＝0，两边同除以a2，得e2－e－1＝0，解得e＝eq\f(1＋\r(5),2)或e＝eq\f(1－\r(5),2)(舍去)，故选D.[答案]D9．已知点F是双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABE是钝角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是()A．(1，＋∞) B．(1,2)C．(1,1＋eq\r(2)) D．(2，＋∞)[解析]依据双曲线的对称性，若△ABE是钝角三角形，则只要0＜∠BAE＜eq\f(π,4)即可．直线AB：x＝－c，代入双曲线方程得y2＝eq\f(b4,a2)，取点Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－c，\f(b2,a)))，则|AF|＝eq\f(b2,a)，|EF|＝a＋c，只要|AF|＞|EF|就能使∠BAE＜eq\f(π,4)，故eq\f(b2,a)＞a＋c，即b2＞a2＋ac，即c2－ac－2a2＞0，即e2－e－2＞0，得e＞2或e＜－1，又e＞1，故e＞2.故选D.[答案]D10．若点O和点F(－2,0)分别为双曲线eq\f(x2,a2)－y2＝1(a＞0)的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(FP,\s\up6(→))的取值范围为()A．[3－2eq\r(3)，＋∞) B．[3＋2eq\r(3)，＋∞)C.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(7,4)，＋∞)) D.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,4)，＋∞))[解析]由a2＋1＝4，得a＝eq\r(3)，则双曲线方程为eq\f(x2,3)－y2＝1.设点P(x0，y0)，则eq\f(x\o\al(2,0),3)－yeq\o\al(2,0)＝1，即yeq\o\al(2,0)＝eq\f(x\o\al(2,0),3)－1.eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(FP,\s\up6(→))＝x0(x0＋2)＋yeq\o\al(2,0)＝xeq\o\al(2,0)＋2x0＋eq\f(x\o\al(2,0),3)－1＝eq\f(4,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x0＋\f(3,4)))2－eq\f(7,4)，∵x0≥eq\r(3)，故eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(FP,\s\up6(→))的取值范围是[3＋2eq\r(3)，＋∞)，故选B.[答案]B11．(2021·福建南平质检)已知双曲线Γ：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的离心率为2，过双曲线Γ的左焦点F作圆O：x2＋y2＝a2的两条切线，切点分别为A，B，则∠AFB等于()A．45° B．60°C．90° D．120°[解析]连接OA，在Rt△AFO中，sin∠AFO＝eq\f(a,c)＝eq\f(1,2)，则∠AFO＝30°，故∠AFB＝60°.[答案]B二、填空题12．双曲线mx2＋y2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m＝________.[解析]由题意知a2＝1，b2＝－eq\f(1,m)，则a＝1，b＝eq\r(－\f(1,m)).∴eq\r(－\f(1,m))＝2，解得m＝－eq\f(1,4).[答案]－eq\f(1,4)13．已知以双曲线C的两个焦点及虚轴的两个端点为顶点的四边形中，有一个内角为60°，则双曲线C的离心率为________．[解析]如图，∠B1F1B2＝60°，则c＝eq\r(3)b，即c2＝3b2，由c2＝3(c2－a2)，得eq\f(c2,a2)＝eq\f(3,2)，则e＝eq\f(\r(6),2).[答案]eq\f(\r(6),2)14．(2022·山东高考)已知双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的焦距为2c，右顶点为A，抛物线x2＝2py(p＞0)的焦点为F.若双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c，且|FA|＝c，则双曲线的渐近线方程为________．[解析]由题意可知，抛物线的焦点F为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))，准线方程为y＝－eq\f(p,2).由于|FA|＝c，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)))2＋a2＝c2，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)))2＝b2.联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝－\f(p,2)，,\f(x2,a2)－\f(y2,b2)＝1，))消去y，得x＝±eq\r(a2＋\f(a2p2,4b2))，即x＝±eq\r(2)a.又由于双曲线截抛物线的准线所得的线段长为2c，所以2eq\r(2)a＝2c，即eq\r(2)a＝c，所以b＝a，所以双曲线的渐近线方程为y＝±[答案]y＝±x15．已知双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|＝4|PF2|，则此双曲线的离心率e