2022届【创新设计】数学一轮(苏教版-江苏专用-第四章-文科)-课时作业4-4

第4讲三角函数的图象与性质基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、填空题1．(2021·徐州检测)函数f(x)＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))的单调递增区间是________．解析当kπ－eq\f(π,2)＜2x－eq\f(π,3)＜kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)时，函数y＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))单调递增，解得eq\f(kπ,2)－eq\f(π,12)＜x＜eq\f(kπ,2)＋eq\f(5π,12)(k∈Z)，所以函数y＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))的单调递增区间是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(kπ,2)－\f(π,12)，\f(kπ,2)＋\f(5π,12)))(k∈Z)．答案eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(kπ,2)－\f(π,12)，\f(kπ,2)＋\f(5π,12)))(k∈Z)2．(2022·新课标全国Ⅰ卷改编)在函数①y＝cos|2x|，②y＝|cosx|，③y＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))，④y＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,4)))中，最小正周期为π的全部函数为________(填序号)．解析①y＝cos|2x|＝cos2x，最小正周期为π；②由图象知y＝|cosx|的最小正周期为π；③y＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))的最小正周期T＝eq\f(2π,2)＝π；④y＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,4)))的最小正周期T＝eq\f(π,2).答案①②③3．函数y＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－2x))的单调减区间为________．解析由y＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－2x))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,4)))得2kπ≤2x－eq\f(π,4)≤2kπ＋π(k∈Z)，故kπ＋eq\f(π,8)≤x≤kπ＋eq\f(5π,8)(k∈Z)．所以函数的单调减区间为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π,8)，kπ＋\f(5π,8)))(k∈Z)．答案eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π,8)，kπ＋\f(5π,8)))(k∈Z)4．(2022·苏北四市模拟)已知函数f(x)＝cos23x－eq\f(1,2)，则f(x)的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于________．解析由于f(x)＝eq\f(1＋cos6x,2)－eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)cos6x，所以最小正周期T＝eq\f(2π,6)＝eq\f(π,3)，相邻两条对称轴之间的距离为eq\f(T,2)＝eq\f(π,6).答案eq\f(π,6)5．已知函数f(x)＝sin(x＋θ)＋eq\r(3)cos(x＋θ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ∈\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))))是偶函数，则θ的值为________．解析据已知可得f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋θ＋\f(π,3)))，若函数为偶函数，则必有θ＋eq\f(π,3)＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，又由于θ∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，故有θ＋eq\f(π,3)＝eq\f(π,2)，解得θ＝eq\f(π,6)，经代入检验符合题意．答案eq\f(π,6)6．函数y＝lg(sinx)＋eq\r(cosx－\f(1,2))的定义域为________．解析要使函数有意义必需有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinx＞0，,cosx－\f(1,2)≥0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinx＞0，,cosx≥\f(1,2)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2kπ＜x＜π＋2kπk∈Z，,－\f(π,3)＋2kπ≤x≤\f(π,3)＋2kπk∈Z，))∴2kπ＜x≤eq\f(π,3)＋2kπ(k∈Z)，∴函数的定义域为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|2kπ＜x≤\f(π,3)＋2kπ，k∈Z)).答案eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ，\f(π,3)＋2kπ))(k∈Z)7．(2021·金华十校模拟)已知函数y＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))，给出下列说法：①是奇函数；②在区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3)))上单调递减；③eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，0))为其图象的一个对称中心；④最小正周期为π.其中说法正确的是________(填序号)．解析函数y＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))是非奇非偶函数，①错误；在区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3)))上单调递增，②错误；最小正周期为eq\f(π,2)，④错误．∵当x＝eq\f(π,6)时，taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2×\f(π,6)－\f(π,3)))＝0，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，0))为其图象的一个对称中心，故③正确．答案③8．函数y＝sin2x＋sinx－1的值域为________．解析y＝sin2x＋sinx－1，令t＝sinx，t∈[－1,1]，则有y＝t2＋t－1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t＋\f(1,2)))2－eq\f(5,4)，画出函数图象如图所示，从图象可以看出，当t＝－eq\f(1,2)及t＝1时，函数取最值，代入y＝t2＋t－1，可得y∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(5,4)，1)).答案eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(5,4)，1))二、解答题9．已知函数f(x)＝eq\f(6cos4x＋5sin2x－4,cos2x)，求f(x)的定义域，推断它的奇偶性，并求其值域．解由cos2x≠0得2x≠kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z，解得x≠eq\f(kπ,2)＋eq\f(π,4)，k∈Z，所以f(x)的定义域为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x∈R，且x≠\f(kπ,2)＋\f(π,4)，k∈Z)).由于f(x)的定义域关于原点对称，且f(－x)＝eq\f(6cos4－x＋5sin2－x－4,cos－2x)＝eq\f(6cos4x＋5sin2x－4,cos2x)＝f(x)．所以f(x)是偶函数，当x≠eq\f(kπ,2)＋eq\f(π,4)，k∈Z时，f(x)＝eq\f(6cos4x＋5sin2x－4,cos2x)＝eq\f(6cos4x＋5－5cos2x－4,2cos2x－1)＝eq\f(2cos2x－13cos2x－1,2cos2x－1)＝3cos2x－1.所以f(x)的值域为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(y|－1≤y＜\f(1,2)，或\f(1,2)＜y≤2)).10．(2022·北京西城区模拟)已知函数f(x)＝cosx(sinx－cosx)＋1.(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)当x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，0))时，求函数f(x)的最大值和最小值．解(1)∵f(x)＝cosxsinx－cos2x＋1＝eq\f(1,2)sin2x－eq\f(1,2)cos2x＋eq\f(1,2)＝eq\f(\r(2),2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,4)))＋eq\f(1,2)，∴函数f(x)的最小正周期T＝eq\f(2π,2)＝π.(2)∵x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，0))，∴2x－eq\f(π,4)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(5π,4)，－\f(π,4)))，∴sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,4)))∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－1，\f(\r(2),2)))，∴f(x)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1－\r(2),2)，1))，∴f(x)的最大值和最小值分别为1，eq\f(1－\r(2),2).力气提升题组(建议用时：25分钟)1．已知函数f(x)＝2sinωx(ω＞0)在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，\f(π,4)))上的最小值是－2，则ω的最小值等于________．解析∵f(x)＝2sinωx(ω＞0)的最小值是－2，此时ωx＝2kπ－eq\f(π,2)，k∈Z，∴x＝eq\f(2kπ,ω)－eq\f(π,2ω)，k∈Z，∴－eq\f(π,3)≤eq\f(2kπ,ω)－eq\f(π,2ω)≤0，k∈Z，∴ω≥－6k＋eq\f(3,2)且k≤0，k∈Z，∴ωmin＝eq\f(3,2).答案eq\f(3,2)2．(2022·南京模拟)函数f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))(x∈R)的图象为C，以下结论中：①图象C关于直线x＝eq\f(11π,12)对称；②图象C关于点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)，0))对称；③函数f(x)在区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,12)，\f(5π,12)))内是增函数；④由y＝3sin2x的图象向右平移eq\f(π,3)个单位长度可以得到图象C.则正确的是________(写出全部正确结论的编号)．解析当x＝eq\f(11π,2)时，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11π,12)))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2×\f(11π,12)－\f(π,3)))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11π,6)－\f(π,3)))＝sineq\f(3π,2)＝－1，所以为最小值，所以图象C关于直线x＝eq\f(11π,12)对称，所以①正确．当x＝eq\f(2π,3)时，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2×\f(2π,3)－\f(π,3)))＝sinπ＝0，所以图象C关于点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)，0))对称，所以②正确．当－eq\f(π,12)≤x≤eq\f(5π,12)时，－eq\f(π,6)≤2x≤eq\f(5π,6)，所以－eq\f(π,6)－eq\f(π,3)≤2x－eq\f(π,3)≤eq\f(5π,6)－eq\f(π,3)，即－eq\f(π,2)≤2x－eq\f(π,3)≤eq\f(π,2)，此时函数单调递增，所以③正确．y＝3sin2x的图象向右平移eq\f(π,3)个单位长度，得到y＝3sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,3)))＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(2π,3)))，所以④错误，所以正确的是①②③.答案①②③3．已知定义在R上的函数f(x)满足：当sinx≤cosx时，f(x)＝cosx，当sinx＞cosx时，f(x)＝sinx.给出以下结论：①f(x)是周期函数；②f(x)的最小值为－1；③当且仅当x＝2kπ(k∈Z)时，f(x)取得最小值；④当且仅当2kπ－eq\f(π,2)＜x＜(2k＋1)π(k∈Z)时，f(x)＞0；⑤f(x)的图象上相邻两个最低点的距离是2π.其中正确的结论序号是________．解析易知函数f(x)是周期为2π的周期函数．函数f(x)在一个周期内的图象如图所示．由图象可得，f(x)的最小值为－eq\f(\r(2),2)，当且仅当x＝2kπ＋eq\f(5π,4)(k∈Z)时，f(x)取得最小值；当且仅当2kπ－eq\f(π,2)＜x＜(2k＋1)π(k∈Z)时，f(x)＞0；f(x)的图象上相邻两个最低点的距离是2π.所以正确的结论的序号是①④⑤.答案①④⑤4．(2021·武汉调研)已知函数f(x)＝aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2cos2\f(x,2)＋sinx))＋b.(1)若a＝－1，求函数f(x)的单调增区间；(2)若x∈[0，π]时，