【名师一号】2020-2021学年人教A版高中数学选修2-1双基限时练23

双基限时练(二十三)1．已知空间四点A(0,1,0)，B(1,0，eq\f(1,2))，C(0,0,1)，D(1,1，eq\f(1,2))，则直线AC与BD的夹角为()A.eq\f(π,6) B.eq\f(π,4)C.eq\f(π,3) D.eq\f(π,2)解析∵eq\o(AC,\s\up16(→))＝(0，－1,1)，eq\o(BD,\s\up16(→))＝(0,1,0)，∴cos〈eq\o(AC,\s\up16(→))，eq\o(BD,\s\up16(→))〉＝eq\f(\o(AC,\s\up16(→))·\o(BD,\s\up16(→)),|\o(AC,\s\up16(→))||\o(BD,\s\up16(→))|)＝eq\f(－1,\r(2))＝eq\f(－\r(2),2).∴AC与BD的夹角为eq\f(π,4).答案B2．已知两异面直线a，b所夹的角为eq\f(π,3)，直线c与a，b所夹的角都是θ，则θ的取值范围是()A．[eq\f(π,3)，eq\f(π,2)] B．[eq\f(π,6)，eq\f(π,2)]C．[eq\f(π,6)，eq\f(5π,6)] D．[eq\f(π,3)，eq\f(2π,3)]解析由两直线的夹角在[0，eq\f(π,2)]内知，选项C，D被排解．当将直线a，b平移在过点O的平面上时，直线c也平移在这个平面上，且当c平分a与b的夹角时，θ最小为eq\f(π,6).答案B3．平面α与平面β交于l，自一点P分别向两个面引垂线，垂足分别为A，B，则∠APB与α，β夹角的大小关系是()A．相等 B．互补C．相等或互补 D．不能确定解析当点P在平面α，β夹角的内部时，∠APB与平面α，β夹角互补；当点P在平面α，β夹角的外部时，∠APB与平面α，β的夹角相等．答案C4．在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，PA⊥平面ABCD，PA＝eq\f(4\r(3),5)，那么二面角A—BD—P的大小为()A．30° B．45°C．60° D．75°解析建立空间直角坐标系A－xyz，如图所示．由AB＝3，AD＝4，得B(3,0,0)，D(0,4,0)，P(0,0，eq\f(4\r(3),5))．∴eq\o(PB,\s\up16(→))＝(3,0，－eq\f(4\r(3),5))，eq\o(BD,\s\up16(→))＝(－3,4,0)．设平面PBD的法向量m＝(x，y，z)，则由m·eq\o(PB,\s\up16(→))＝0，m·eq\o(BD,\s\up16(→))＝0，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x－\f(4\r(3),5)z＝0，,－3x＋4y＝0.))令z＝5，则m＝(eq\f(4\r(3),3)，eq\r(3)，5)．又n＝eq\o(AP,\s\up16(→))＝(0,0，eq\f(4\r(3),5))为平面ABCD的法向量，∴cos〈m，n〉＝eq\f(m·n,|m||n|)＝eq\f(4\r(3),\f(10\r(3),3)·\f(4\r(3),5))＝eq\f(\r(3),2).∴〈m，n〉＝30°，即二面角A—BD—P的大小为30°.答案A5．已知△ABC的顶点坐标为A(1,1,1)，B(2,2,2)，C(3,2,4)，则△ABC的面积是()A.eq\f(\r(6),4) B.eq\f(\r(7),2)C.eq\f(\r(6),2) D．4解析eq\o(AB,\s\up16(→))＝(1,1,1)，eq\o(AC,\s\up16(→))＝(2,1,3)，cos〈eq\o(AB,\s\up16(→))，eq\o(AC,\s\up16(→))〉＝eq\f(6,\r(3)×\r(14))＝eq\f(\r(42),7).∴sinA＝eq\f(\r(7),7).∴S△ABC＝eq\f(1,2)|eq\o(AB,\s\up16(→))||eq\o(AC,\s\up16(→))|sinA＝eq\f(1,2)×eq\r(3)×eq\r(14)×eq\f(\r(7),7)＝eq\f(\r(6),2).答案C6．如下图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，则BC1与平面BB1D1DA.eq\f(\r(6),3) B.eq\f(2\r(5),5)C.eq\f(\r(15),5) D.eq\f(\r(10),5)解析建立坐标系如图所示则A(2,0,0)，B(2,2,0)，C1(0,2,1)，B1(2,2,1)，连接B1D1交A1C1于O，则eq\o(OC1,\s\up16(→))是平面BB1D1D的一个法向量，由A1(2,0,1)，C1(0,2,1)知O(1,1,1)，∴eq\o(OC1,\s\up16(→))＝(－1,1,0)，eq\o(BC1,\s\up16(→))＝(－2,0,1)．∴cos〈eq\o(OC1,\s\up16(→))，eq\o(BC1,\s\up16(→))〉＝eq\f(2,\r(2)×\r(5))＝eq\f(\r(10),5).设BC1与平面BB1D1D成的角为θ，则sinθ＝cos〈eq\o(OC1,\s\up16(→))，eq\o(BC1,\s\up16(→))〉＝eq\f(\r(10),5).答案D7．△ABC的边BC在平面α内，顶点A∉α，△ABC边BC上的高与平面α所夹的角为θ，△ABC的面积为S，则△ABC在平面α上的投影图形面积为________．解析△ABC在平面α内的投影三角形为A′BC，它的高A′D＝ADcosθ(AD为△ABC的高)，∴S△A′BC＝eq\f(1,2)·BC·A′D＝eq\f(1,2)BC·ADcosθ＝Scosθ.答案Scosθ8．给出四个命题：①若l1∥l2，则l1，l2与平面α所成的角相等；②若l1，l2与平面α所成的角相等，则l1∥l2；③l1与平面α所成的角为30°，l2⊥l1，则l2与平面α所成的角为60°；④两条异面直线与同一平面所成的角不会相等．以上命题正确的是________．解析①正确．②不正确，l1与l2不肯定平行．③不正确，l2与平面α所成角不确定．④不正确，有可能相等．答案①9．如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N分别是棱CD、CC1的中点，则异面直线A1M与解析以D为原点，DA，DC，DD1所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系，如图，设AB＝1，则D(0,0,0)，Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，1，\f(1,2)))，Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)，0))，A1(1,0,1)，∴eq\o(DN,\s\up16(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，1，\f(1,2)))，eq\o(MA1,\s\up16(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－\f(1,2)，1))，∴eq\o(DN,\s\up16(→))·eq\o(MA1,\s\up16(→))＝1×0＋1×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＋eq\f(1,2)×1＝0，∴eq\o(DN,\s\up16(→))⊥eq\o(MA1,\s\up16(→))，∴A1M与DN所成的角的大小是90°.答案90°10．已知长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝2，E是侧棱BB1的中点．求直线AE与平面A1ED1解以D为原点，DA，DC，DD1分别为x，y，z轴建立如下图所示的空间直角坐标系．由题意A1(1,0,2)，E(1,1,1)，D1(0,0,2)，A(1,0,0)．eq\o(A1E,\s\up16(→))＝(0,1，－1)，eq\o(D1E,\s\up16(→))＝(1,1，－1)，eq\o(EA,\s\up16(→))＝(0，－1，－1)．设平面A1ED1的一个法向量为n＝(x，y，z)．则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·\o(A1E,\s\up16(→))＝0，,n·\o(D1E,\s\up16(→))＝0))⇒eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y－z＝0，,x＋y－z＝0.))令z＝1得y＝1，x＝0.∴n＝(0,1,1)，cos〈n，eq\o(EA,\s\up16(→))〉＝eq\f(n·\o(EA,\s\up16(→)),|n|·|\o(EA,\s\up16(→))|)＝eq\f(－2,\r(2)·\r(2))＝－1.∴〈n，eq\o(EA,\s\up16(→))〉＝180°.∴直线AE与平面A1ED1所成的角为90°.11．在三棱锥S－ABC中，△ABC是边长为4的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA＝SC＝2eq\r(3)，M，N分别为AB，SB的中点．(1)证明：AC⊥SB；(2)求二面角N－CM－B的余弦值；(3)求点B到平面CMN的距离．解(1)证明：取AC中点O，连接OS，OB.∵SA＝SC，AB＝BC，∴AC⊥SO且AC⊥BO.∵平面SAC⊥平面ABC，平面SAC∩平面ABC＝AC，∴SO⊥面ABC，∴SO⊥BO.如图所示建立空间直角坐标系O－xyz.则A(2,0,0)，B(0,2eq\r(3)，0)，C(－2,0,0)，S(0,0,2eq\r(2))，M(1，eq\r(3)，0)，N(0，eq\r(3)，eq\r(2))．∴eq\o(AC,\s\up16(→))＝(－4,0,0)，eq\o(SB,\s\up16(→))＝(0,2eq\r(3)，－2eq\r(2))．∵eq\o(AC,\s\up16(→))·eq\o(SB,\s\up16(→))＝(－4,0,0)·(0,2eq\r(3)，－2eq\r(2))＝0，∴AC⊥SB.(2)由(1)得eq\o(CM,\s\up16(→))＝(3，eq\r(3)，0)，eq\o(MN,\s\up16(→))＝(－1,0，eq\r(2))．设n＝(x，y，z)为平面CMN的一个法向量，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\o(CM,\s\up16(→))·n＝3x＋\r(3)y＝0，,\o(MN,\s\up16(→))·n＝－x＋\r(2)z＝0，))取z＝1，则x＝eq\r(2)，y＝－eq\r(6).∴n＝(eq\r(2)，－eq\r(6)，1)．又eq\o(OS,\s\up16(→))＝(0,0,2eq\r(2))为平面ABC的一个法向量，∴cos〈n，eq\o(OS,\s\up16(→))〉＝eq\f(n·\o(OS,\s\up16(→)),|n|·|\o(OS,\s\up16(→))|)＝eq\f(1,3).∴二面角N－CM－B的余弦值为eq\f(1,3).(3)由(1)(2)得eq\o(MB,\s\up16(→))＝(－1，eq\r(3)，0)，n＝(eq\r(2)，－eq\r(6)，1)为平面CMN的一个法向量，∴点B到平面CMN的距离d＝eq\f(|n·\o(MB,\s\up16(→))|,|n|)＝eq\f(4\r(2),3).12．如图，在五面体ABCDEF中，FA⊥平面ABCD，AD∥BC∥FE，AB⊥AD，M为EC的中点，AF＝AB＝BC＝FE＝eq\f(1,2)AD.(1)求异面直线BF与DE所成角的大小；(2)证明平面AMD⊥平面CDE；(3)求二面角A－CD－E的余弦值．解如图所示，建立空间直角坐标系A－xyz.设AB＝1，依题意得B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0,2,0)，E(0,1,1)，F(0,0,1)，M(eq\f(1,2)，1，eq\f(1,2))．(1)eq\o(BF,\s\up16(→))＝(－1,0,1)，eq\o(DE,\s\up16(→))＝(0，－1,1)，于是cos〈eq\o(BF,\s\up16(→))，eq\o(DE,\s\up16(→))〉＝eq\f(\o(BF,\s\up16(→))·\o(DE,\s\up16(→)),|\o(BF,\s\up16(→))||\o(DE,\s\up16(→))|)＝eq\f(0＋0＋1,\r(2)·\r(2))＝eq\f(1,2)，所以异面直线BF与DE所成角的大小为60°.(2)由eq\o(AM,\s\up16(→))＝(eq\f(1,2)，1，eq\f(1,2))，eq\o(CE,\s\up16(→))＝(－1,0,1)，eq\o(AD,\s\up16(→))＝(0,2,0)，可得eq\o(CE,\s\up16(→))·eq\o(AM,\s\up16(→))＝0，eq\o(CE,\s\up16(→))·eq\o(AD,\s\up16(→))＝0.因此，CE⊥AM，CE⊥AD.又AD∩AM＝A，故CE⊥平面AMD.而CE⊂平面CDE，所以平面AMD⊥平面CDE.(3)设