【2021高考复习参考】高三数学(理)配套黄金练习：7.5

第七章7.5第5课时高考数学（理）黄金配套练习一、选择题1．定义一种运算“*”：对于自然数n满足以下运算性质：(ⅰ)1*1=，(ⅰⅰ)（n+1）*1=n*1+1,则n*1等于（）A.nB．n＋1C．n－1D．n2答案A解析由(n＋1)*1＝n*1＋1，得n*1＝(n－1)*1＋1＝(n－2)*1＋2＝…＝1*1+(n－1).又∵1*1=1,∴n*1=n.2．已知a1＝3，a2＝6，且an＋2＝an＋1－an，则a2011＝()A．3B．－3C．6D．－6答案A解析∵a1＝3，a2＝6，∴a3＝3，a4＝－3，a5＝－6，a6＝－3，a7＝3……∴{an}是以6为周期的周期数列又2011＝6×335＋1，∴a2011＝a1＝3.选A.3．由于对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)是增函数，而y＝logeq\f(1,2)x是对数函数，所以y＝logeq\f(1,2)x是增函数，上面的推理错误的是()A．大前提B．小前提C．推理形式D．以上都是答案A解析y＝logax是增函数这个大前提是错误的，从而导致结论错误．选A4．把正整数按确定的规章排成了如图所示的三角形数表．设aij(i，j＝N*)是位于这个三角形数表中从上往下数第i行，从左往右数第j个数，如a42＝8.若aij＝2009，则i与j的和为()124357681012911131517141618202224…A.105B．106C．107D．108答案C解析由三角形数表可以看出其奇数行为奇数列，偶数行为偶数列，2009＝2×1005－1，所以2009为第1005个奇数，又前31个奇数行内数的个数的和为961，前32个奇数行内数的个数的和为1024，故2009在第32个奇数行内，所以i＝63，由于第63行的第一个数为2×962－1＝1923,2009＝1923＋2(m－1)，所以m＝44，即j＝44，所以i＋j＝107.5．设f(x)＝eq\f(1＋x,1－x)，又记f1(x)＝f(x)，fk＋1(x)＝f(fk(x))，k＝1，2，…，则f2009(x)等于()A．－eq\f(1,x)B．xC.eq\f(x－1,x＋1)D.eq\f(1＋x,1－x)答案D解析计算：f2(x)＝f(eq\f(1＋x,1－x))＝eq\f(1＋\f(1＋x,1－x),1－\f(1＋x,1－x))＝－eq\f(1,x)，f3(x)＝f(－eq\f(1,x))＝eq\f(1－\f(1,x),1＋\f(1,x))＝eq\f(x－1,x＋1)，f4(x)＝eq\f(1＋\f(x－1,x＋1),1－\f(x－1,x＋1))＝x，f5(x)＝f1(x)＝eq\f(1＋x,1－x)，归纳得f4k＋1(x)＝eq\f(1＋x,1－x)，k∈N*，从而f2009(x)＝eq\f(1＋x,1－x).6．已知整数的数对列如下：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，(1,5)，(2,4)，…则第60个数对是()A．(3,8)B．(4,7)C．(4,8)D．(5,7)答案D解析观看可知横坐标和纵坐标之和为2的数对有1个，和为3的数对有2个，和为4的数对有3个，和为5的数对有4个，依此类推和为n＋1的数对有n个，多个数对的排序是依据横坐标依次增大的挨次来排的，由eq\f(n(n＋1),2)＝60⇒n(n＋1)＝120，n∈Z，n＝10时，eq\f(n(n＋1),2)＝55个数对，还差5个数对，且这5个数对的横、纵坐标之和为12，它们依次是(1,11)，(2,10)，(3,9)，(4,8)，(5,7)，∴第60个数对是(5,7)．7．某纺织厂的一个车间技术工人m名(m∈N*)，编号分别为1,2,3，…，m，有n台(n∈N*)织布机，编号分别为1,2,3，…，n，定义记号aij：若第i名工人操作了第j号织布机，规定aij＝1，否则aij＝0，则等式a41＋a42＋a43＋…＋a4n＝3的实际意义是()A．第4名工人操作了3台织布机B．第4名工人操作了n台织布机C．第3名工人操作了4台织布机D．第3名工人操作了n台织布机答案A解析a41＋a42＋a43＋…＋a4n＝3中的第一下标4的意义是第四名工人，其次下标1,2，…，n表示第1号织布机，第2号织布机，……，第n号织布机，依据规定可知这名工人操作了三台织布机．二、填空题8．已知1＝1,1－4＝－(1＋2)，1－4＋9＝1＋2＋3,1－4＋9－16＝－(1＋2＋3＋4)，则第5个等式为________，…，推广到第n个等式为__________________．(留意：按规律写出等式的形式，不要求计算结果)答案1－4＋9－16＋25＝1＋2＋3＋4＋5；1－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1·n2＝(－1)n＋1·(1＋2＋3＋…＋n)解析依据前几个等式的规律可知，等式左边的各数是自然数的平方，且正负相间，等式的右边是自然数之和且隔项符号相同，由此可推得结果．9．已知扇形的圆心角为2α(定值)，半径为R(定值)，分别按图1、图2作扇形的内接矩形，若按图1作出的矩形的面积的最大值为eq\f(1,2)R2tanα，则按图2作出的矩形的面积的最大值为________．答案R2taneq\f(α,2)解析将图1沿水平边翻折作出如图所示的图形，内接矩形的最大面积S＝2·eq\f(1,2)R2·tanα＝R2·tanα，所以图2中内接矩形的面积的最大值为R2taneq\f(α,2).10．已知eq\r(2＋\f(2,3))＝2eq\r(\f(2,3))，eq\r(3＋\f(3,8))＝3eq\r(\f(3,8))，eq\r(4＋\f(4,15))＝4eq\r(\f(4,15))，…，若eq\r(6＋\f(a,t))＝6eq\r(\f(a,t))，(a，t均为正实数)，类比以上等式，可推想a，t的值，则a＋t＝________.答案41解析依据题中所列的前几项的规律可知其通项应为eq\r(n＋\f(n,n2－1))＝neq\r(\f(n,n2－1))，所以当n＝6时a＝6，t＝35，a＋t＝41.11．设P是边长为a的正三角形ABC内的一点，P点到三边的距离分别为h1、h2、h3，则h1＋h2＋h3＝eq\f(\r(3),2)a；类比到空间，设P是棱长为a的正四周体ABCD内的一点，则P点到四个面的距离之和h1＋h2＋h3＋h4＝________.答案eq\f(\r(6),3)a解析如图，连接AP，BP，CP，DP，则正四周体ABCD可分成四个小三棱锥，依据体积相等可得，正四周体的体积为eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),4)a2×eq\f(\r(6),3)a＝eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),4)a2(h1＋h2＋h3＋h4)，所以h1＋h2＋h3＋h4＝eq\f(\r(6),3)a.12．观看下列等式：①cos2α＝2cos2α－1；②cos4α＝8cos4α－8cos2α＋1；③cos6α＝32cos6α－48cos4α＋18cos2α－1；④cos8α＝128cos8α－256cos6α＋160cos4α－32cos2α＋1；⑤cos10α＝mcos10α－1280cos8α＋1120cos6α＋ncos4α＋pcos2α－1.可以推想，m－n＋p＝________.答案962解析观看等式可知，cosα的最高次的系数2,8,32,128 构成了公比为4的等比数列，故m＝128×4＝512；取α＝0，则cosα＝1，cos10α＝1，代入等式⑤，得1＝m－1280＋1120＋n＋p－1，即n＋p＝－350(1)；取α＝eq\f(π,3)，则cosα＝eq\f(1,2)，cos10α＝－eq\f(1,2)，代入等式⑤，得－eq\f(1,2)＝m(eq\f(1,2))10－1280×(eq\f(1,2))8＋1120×(eq\f(1,2))6＋n×(eq\f(1,2))4＋p×(eq\f(1,2))2－1，即n＋4p＝－200(2)．由(1)，(2)可得n＝－400，p＝50，∴m－n＋p＝926.13．设等差数列{an}的前n项和为Sn，则S4，S8－S4，S12－S8，S16－S12成等差数列．类比以上结论有：设等比数列{bn}的前n项积为Tn，则T4，________，________，eq\f(T16,T12)成等比数列．答案eq\f(T8,T4)eq\f(T12,T8)解析对于等比数列，通过类比，有等比数列{bn}的前n项积为Tn，则T4＝a1a2a3a4，T8＝a1a2…a8，T12＝a1a2…a12，T16＝a1a2…a16，因此eq\f(T8,T4)＝a5a6a7a8，eq\f(T12,T8)＝a9a10a11a12，eq\f(T16,T12)＝a13a14a15a16，而T4，eq\f(T8,T4)，eq\f(T12,T8)，eq\f(T16,T12)的公比为q16，因此T4，eq\f(T8,T4)，eq\f(T12,T8)，eq\f(T16,T12)成等比数列．三、解答题14．已知椭圆具有如下性质：若M、N是椭圆C上关于原点对称的两个点，点P是椭圆上的任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为KPM、KPN时，则KPM与KPN之积是与点P位置无关的定值．试写出双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)具有的类似的性质，并加以证明．解析双曲线的类似的性质为：若M，N是双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1上关于原点对称的两个点，点P是双曲线上的任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为KPM、KPN时，KPM与KPN之积是与点P位置无关的定值．下面给出证明：设点M的坐标为(m，n)，则点N的坐标为(－m，－n)，且eq\f(m2,a2)－eq\f(n2,b2)＝1.又设点P的坐标为(x，y)，由KPM＝eq\f(y－n,x－m)，KPN＝eq\f(y＋n,x＋m)得KPM·KPN＝eq\f(y－n,x－m)·eq\f(y＋n,x＋m)＝eq\f(y2－n2,x2－m2)，①将y2＝eq\f(b2,a2)x2－b2，n2＝eq\f(b2,a2)m2－b2代入①式，得KPM·KPN＝eq\f(b2,a2)(定值)．15．已知函数f(x)＝eq\f(a,a2－1)(ax－a－x)，其中a>0，且a≠1.(1)推断函数f(x)在(－∞，＋∞)上的单调性，并加以证明；(2)推断f(2)－2与f(1)－1，f(3)－3与f(2)－2的大小关系，由此归纳出一个更一般的结论，并加以证明；解析(1)由已知得f′(x)＝eq\f(alna,a2－1)(ax＋a－x)>0，∴f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数．(2)f(2)－2>f(1)－1，f(3)－3>f(2)－2.一般的结论为：f(n＋1)－(n＋1)>f(n)－n(n∈N*)．证明过程如下：事实上，上述不等式等价于f(n＋1)－f(n)>1⇔eq\f(a2n＋1＋1,an＋1＋an)>1⇔(an＋1－1)(an－1)>0，在a>0且a≠1的条件下，(an＋1－1)(an－1)>0明显成立，故f(n＋1)－(n＋1)>f(n)－n(n∈N*)成立．拓展练习·自助餐1．自然数按下列的规律排列1251017||||4－361118|||9－8－71219||16－15－14－1320|25－24－23－22－21则上起第2007行，左起第2008列的数为()A．20072B．20082C．2006×2007D．2007×2008答案D解析经观看可得这个自然数表的排列特点：①第一列的每个数都是完全平方数，并且恰好等于它所在行数的平方，即第n行的第1个数为n2；②第一行第n个数为(n－1)2＋1；③第n行从第1个数至第n个数依次递减1；④第n列从第1个数至第n个数依次递增1.故上起第2007行，左起第2008列的数，应是第2008列的第2007个数，即为[(2008－1)2＋1]＋2006＝2007×2008.2．观看下列的图形中小正方形的个数，则第6个图中有________个小正方形．答案28解析设第n个图中小正方形个数为an，则a1＝3，a2＝a1＋3＝6，a3＝a2＋4＝10，a4＝a3＋5＝15，a5＝a4＋6＝21，a6＝a5＋7＝28.3．给出下列不等式：23＋53>22·5＋2·52,24＋54>23·5＋2·53,2eq\f(5,2)＋5eq\f(5,2)>22·5eq\f(1,2)＋2eq\f(1,2)·52，….请将上述不等式在左右两端仍为两项和的状况下加以推广，使上述不等式成为推广不等式的特例，则推广的不等式为________．答案am＋n＋bm＋n>ambn＋anbm(a，b>0，a≠b，m，n>0)解析由“23＋53>22·5＋2·52”，“24＋54>23·5＋2·53”，“2eq\f(5,2)＋5eq\f(5,2)>22·5eq\f(1,2)＋2eq\f(1,2)·52”，可得推广形式的最基本的印象：应具有“eq\x()eq\x()＋eq\x()eq\x()>eq\x()eq\x()·eq\x()eq\x()＋eq\x()eq\x()·eq\x()eq\x()”的形式．再分析底数间的关系，可得较细致的印象：应具有“a□＋b□>a□·b□＋a□·b□”的形式．再分析指数间的关系，可得精确     的推广形式：am＋n＋bm＋n>ambn＋anbm(a，b>0，a≠b，m，n>0)．4．半径为r的圆的面积S(r)＝πr2，周长C(r)＝2πr，若将r看做(0，＋∞)上的变量，则(πr2)′＝2πr.①①式可用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数．对于半径R的球，若将R看做(0，＋∞)上的变量，请你写出类似于①的式子：______________________________________________________________；②式可用语言叙述为____________________________________________．答案①(eq\f(4,3)πR3)′＝4πR2②球的体积函数的导数等于球的表面积函数5．在如下数表中，已知每行、每列中的数都成等差数列，第1列第2列第3列…第1行123…第2行246…第3行369………………那么位于表中的第n行第n＋1列的数是________．答案n2＋n解析第n行的第一个数是n，第n行的数构成以n为公差的等差数列，则其第n＋1项为n＋n·n＝n2＋n.6．如图，将平面直角坐标系中的格点(横、纵坐标均为整数的点)按如下规章标上数字标签：原点处标0，点(1,0)处标1，点(1，－1)处标2，点(0，－1)处标3，点(－1，－1)处标4，点(－1,0)处标5，点(－1,1)处标6，点(0,1)处标7，依此类推，则标签20092的格点的坐标为________．解析∵点(1,0)处标1＝12，点(2,1)处标9＝32点(3,2)处标25＝52，点(4,3)处标49＝72，依此类推得(1005,1004)处标20092.答案(1005,1004)老师备选题1．(1)已知函数f(x)＝x3－x，其图象记为曲线C.(ⅰ)求函数f(x)的单调区间；(ⅱ)证明：若对于任意非零实数x1，曲线C与其在点P1(x1，f(x1))处的切线交于另一点P2(x2，f(x2))，曲线C与其在点P2处的切线交于另一点P3(x3，f(x3))，线段P1P2，P2P3与曲线C所围成封闭图形的面积分别记为S1，S2，则eq\f(S1,S2)为定值；(2)对于一般的三次函数g(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，请给出类似于(1)(ⅱ)的正确命题，并予以证明．解析解法一(1)(ⅰ)由f(x)＝x3－x得f′(x)＝3x2－1＝3(x－eq\f(\r(3),3))(x＋eq\f(\r(3),3))．当x∈(－∞，－eq\f(\r(3),3))和(eq\f(\r(3),3)，＋∞)时，f′(x)＞0；当x∈(－eq\f(\r(3),3)，eq\f(\r(3),3))时，f′(x)＜0.因此，f(x)的单调递增区间为(－∞，－eq\f(\r(3),3))和(eq\f(\r(3),3)，＋∞)，单调递减区间为(－eq\f(\r(3),3)，eq\f(\r(3),3))．(ⅱ)曲线C在点P1处的切线方程为y＝(3xeq\o\al(2,1)－1)(x－x1)＋xeq\o\al(3,1)－x1，即y＝(3xeq\o\al(2,1)－1)x－2xeq\o\al(3,1).由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝(3x\o\al(2,1)－1)x－2x\o\al(3,1)，,y＝x3－x))得x3－x＝(3xeq\o\al(2,1)－1)x－2xeq\o\al(3,1)，即(x－x1)2(x＋2x1)＝0，解得x＝x1或x＝－2x1，故x2＝－2x1.进而有S1＝|eq\i\in(x1,－2x1,)(x3－3xeq\o\al(2,1)x＋2xeq\o\al(3,1))dx|＝|(eq\f(1,4)x4)－eq\f(3,2)xeq\o\al(2,1)x2＋2xeq\o\al(3,1)x)eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(－2x1,x1))|＝eq\f(27,4)xeq\o\al(4,1).用x2代替x1，重复上述计算过程，可得x3＝－2x2和S2＝eq\f(27,4)xeq\o\al(4,2).又x2＝－2x1≠0，所以S2＝eq\f(27×16,4)xeq\o\al(4,1)≠0，因此有eq\f(S1,S2)＝eq\f(1,16).(2)记函数g(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)的图象为曲线C′，类似于(1)(ⅱ)的正确命题为：若对于任意不等于－eq\f(b,3a)的实数x1，曲线C′与其在点P1(x1，g(x1))处的切线交于另一点P2(x2，g(x2))，曲线C′与其在点P2处的切线交于另一点P3(x3，g(x3))，线段P1P2，P2P3与曲线C′所围成封闭图形的面积分别记为S1，S2，则eq\f(S1,S2)为定值．证明如下：由于平移变换不转变面积的大小，故可将曲线y＝g(x)的对称中心(－eq\f(b,3a)，g(－eq\f(b,3a)))平移至坐标原点，因而不妨设g(x)＝ax3＋hx，且x1≠0.类似(1)(ⅱ)的计算可得S1＝eq\f(2