【2022届走向高考】高三数学一轮(北师大版)基础巩固：第11章-第5节-古典概型

第十一章第五节一、选择题1．从甲、乙、丙三人中任选两名代表，甲被选中的概率为()A．eq\f(1,2) B．eq\f(1,3)C．eq\f(2,3) D．1[答案]C[解析]由于三个人被选中的可能性相等，且基本大事是有限的，故是古典概型，基本大事为甲乙，甲丙，乙丙，故甲被选中有甲乙，甲丙，故P＝eq\f(2,3).2．从集合A＝{2,3，－4}中随机选取一个数记为k，从集合B＝{－2，－3,4}中随机选取一个数记为b，则直线y＝kx＋b不经过其次象限的概率为()A．eq\f(2,9) B．eq\f(1,3)C．eq\f(4,9) D．eq\f(5,9)[答案]C[解析]依题意k和b的全部可能的取法一共有3×3＝9种，其中当直线y＝kx＋b不经过其次象限时应有k>0，b<0，一共有2×2＝4种，所以所求概率为eq\f(4,9).3．(2022·新课标Ⅰ)4位同学各拘束周六、周日两天中任选一天参与公益活动，则周六、周日都有同学参与公益活动的概率为A．eq\f(1,8) B．eq\f(3,8)C．eq\f(5,8) D．eq\f(7,8)[答案]D[解析]四位同学各拘束周六、周日两天选择一天参与公益活动的状况有24＝16种方式，其中仅在周六(周日)参与的各有一种，故所求概率P＝1－eq\f(1＋1,16)＝eq\f(7,8).4．某班预备到郊外野营，为此向商店定了帐篷，假如下雨与不下雨是等可能的，能否准时收到帐篷也是等可能的，只要帐篷如期运到，他们就不会淋雨，则下列说法正确的是()A．确定不会淋雨 B．淋雨的可能性为eq\f(3,4)C．淋雨的可能性为eq\f(1,2) D．淋雨的可能性为eq\f(1,4)[答案]D[解析]此次野营共4种结果：下雨，收到帐篷；不下雨，收到帐篷；下雨，未收到帐篷；不下雨，未收到帐篷．只有“下雨，未收到帐篷”会淋雨，所以P＝eq\f(1,4).5．有3个爱好小组，甲、乙两位同学各自参与其中一个小组，每位同学参与各个小组的可能性相同，则这两位同学参与同一个爱好小组的概率为()A．eq\f(1,3) B．eq\f(1,2)C．eq\f(2,3) D．eq\f(3,4)[答案]A[解析]甲乙两位同学参与3个小组的全部可能性共3×3＝9(种)，其中甲、乙两人参与同一个小组的状况有3种，故甲、乙两位同学参与同一个爱好小组的概率为P＝eq\f(3,9)＝eq\f(1,3).6．(文)甲、乙两人各抛掷一次正方体骰子(六个面分别标有数字1,2,3,4,5,6)．设甲、乙所抛掷骰子朝上的面的点数分别为x，y，则满足复数x＋yi的实部大于虚部的概率是()A．eq\f(1,6) B．eq\f(5,12)C．eq\f(7,12) D．eq\f(1,3)[答案]B[解析]总共有36种状况．当x＝6时，y有5种状况；当x＝5时，y有4种状况；当x＝4时，y有3种状况；当x＝3时，y有2种状况；当x＝2时，y有1种状况．所以P＝eq\f(5＋4＋3＋2＋1,36)＝eq\f(5,12).(理)投掷两颗骰子，其向上的点数分别为m和n，则复数(m＋ni)2为纯虚数的概率为()A．eq\f(1,3) B．eq\f(1,4)C．eq\f(1,6) D．eq\f(1,12)[答案]C[解析]∵(m＋ni)2＝m2－n2＋2mni为纯虚数，∴m2－n2＝0，∴m＝n，(m，n)的全部可能取法有6×6＝36种，其中满足m＝n的取法有6种，∴所求概率P＝eq\f(6,36)＝eq\f(1,6).二、填空题7．(文)(2022·浙江高考)在3张奖券中有一、二等奖各1张，另1张无奖．甲、乙两人各抽取1张，两人都中奖的概率是________．[答案]eq\f(1,3)[解析]该题考查古典概型，用列举法求解．给3张奖券编号一等奖为a，二等奖为b，无奖为C．甲、乙两人各抽取一张，共有(a，b)，(b，a)，(a，c)(c，a)(b，c)(c，b)6种，两人都中奖为(a，b)，(b，a)2种，∴所求概率P＝eq\f(2,6)＝eq\f(1,3).(理)(2022·江西高考)10件产品中有7件正品，3件次品，从中任取4件，则恰好取到1件次品的概率是________．[答案]eq\f(1,2)[解析]本题考查随机变量的概率的求法．P＝eq\f(C\o\al(1,3)C\o\al(3,7),C\o\al(4,10))＝eq\f(1,2).8．(文)现有10个数，它们能构成一个以1为首项，－3为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是________．[答案]eq\f(3,5)[解析]本题考查等比数列及古典概型的学问．等比数列的通项公式为an＝(－3)n－1.所以此数列中偶数项都为负值，奇数项全为正值．若an≥8，则n为奇数且(－3)n－1＝3n－1≥8，则n－1≥2，∴n≥3，∴n＝3,5,7,9共四项满足要求．∴p＝1－eq\f(4,10)＝eq\f(3,5).(理)从甲、乙等10位同学中任选3位去参与某项活动，则所选3位中有甲但没有乙的概率为________．[答案]eq\f(7,30)[解析]若所选的3位中有甲但没有乙，只需从剩下的8位同学中选2位即可，故所求概率为P＝eq\f(C\o\al(2,8),C\o\al(3,10))＝eq\f(7,30).9．(文)一次掷两粒骰子，得到的点数为m和n，则关于x的方程x2＋(m＋n)x＋4＝0有实数根的概率是________．[答案]eq\f(11,12)[解析]基本大事共36个，∵方程有实根，∴Δ＝(m＋n)2－16≥0，∴m＋n≥4，其对立大事是m＋n<4，其中有(1,1)，(1,2)，(2,1)共3个基本大事，∴所求概率为P＝1－eq\f(3,36)＝eq\f(11,12).(理)(2021·黑龙江哈尔滨六校联考)第十五届全运会将在哈尔滨市进行，若将6名志愿者每2人一组，分派到3个不同场馆，则甲、乙两人必需在同组的概率是________．[答案]eq\f(1,5)[解析]6个人平均分3组共有eq\f(C\o\al(2,6)C\o\al(2,4)C\o\al(2,2),A\o\al(3,3))＝15种，甲、乙同组的概率为P＝eq\f(3,15)＝eq\f(1,5).三、解答题10．(文)(2022·福建高考)依据世行2021年新标准，人均GDP低于1035美元为低收入国家；人均GDP为1035～4085美元为中等偏下收入国家；人均GDP为4085～12616美元为中等偏上收入国家；人均GDP不低于12616美元为高收入国家．某城市有5个行政区，各区人口占该城市人口比例及人均GDP如下表：行政区区人口占城市人口比例区人均GDP(单位：美元)A25%8000B30%4000C15%6000D10%3000E20%10000(1)推断该城市人均GDP是否达到中等偏上收入国家标准；(2)现从该城市5个行政区中随机抽取2个，求抽到的2个行政区人均GDP都达到中等偏上收入国家标准的概率．[解析]思路分析：(1)题目给出的表格数据为百分比形式，可设出该市总人口数n，代入求人均GDP.(2)列出10个基本大事，满足条件的有{A，E}，{A，C}，{C，E}3个，代入古典概型公式求之．解：(1)设该城市人口总数为a，则该城市人均GDP为eq\f(8000×0.25a＋4000×0.30a＋6000×0.1a＋3000×0.10a＋10000×0.20a,a)＝6400.由于6400∈[4085,12616]．所以该城市人均GDP达到了中等偏上收入国家标准．(2)“从5个行政区中随机抽取2个”的全部的基本大事是：{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{C，D}，{C，E}，{D，E}，共10个．设大事“抽到的2个行政区人均GDP都达到中等偏上收入国家标准”为M，则大事M包含的基本大事是：{A，C}，{A，E}，{C，E}，共3个，所以所求概率为P(M)＝eq\f(3,10).(理)已知10件产品中有3件是次品．(1)任意取出3件产品作检验，求其中至少有1件是次品的概率；(2)为了保证使3件次品全部检验出的概率超过0.6，最少应抽取几件产品作检验？[解析](1)任意取出3件产品作检验，全部是正品的概率为eq\f(C\o\al(3,7),C\o\al(3,10))＝eq\f(7,24).∴至少有一件是次品的概率为1－eq\f(7,24)＝eq\f(17,24).(2)设抽取n件产品作检验，则3件次品全部检验出的概率为eq\f(C\o\al(3,3)C\o\al(n－3,7),C\o\al(n,10))＝eq\f(C\o\al(n－3,7),C\o\al(n,10)).由eq\f(C\o\al(n－3,7),C\o\al(n,10))>0.6，即eq\f(7！,n－3！10－n！)>eq\f(6,10)·eq\f(10！,n！10－n！)，整理得n(n－1)(n－2)>9×8×6，∵n∈N，n≤10，∴当n＝9或n＝10时上式成立．∴为了保证使3件次品全部检验出的概率超过0.6，最少应抽取9件产品作检验.一、选择题1．已知A＝{1,2,3}，B＝{x∈R|x2－ax＋b＝0，a∈A，b∈A}，则A∩B＝B的概率是()A．eq\f(2,9) B．eq\f(1,3)C．eq\f(8,9) D．1[答案]C[解析]∵A∩B＝B，∴B的可能为∅，{1}，{2}，{3}，{1,2}，{2,3}，{1,3}．当B＝∅时，a2－4b<0，满足条件的a，b为a＝1，b＝1,2,3；a＝2，b＝2,3；a＝3，b＝3.当B＝{1}时，满足条件的a，b为a＝2，b＝1.当B＝{2}，{3}时，没有满足条件的a，B．当B＝{1,2}时，满足条件的a，b为a＝3，b＝2.当B＝{2,3}，{1,3}时，没有满足条件的a，B．∴A∩B＝B的概率为eq\f(8,3×3)＝eq\f(8,9).2．甲从正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，乙也从该正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，则所得的两条直线相互垂直的概率是()A．eq\f(3,18) B．eq\f(4,18)C．eq\f(5,18) D．eq\f(6,18)[答案]C[解析]甲从正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，乙也从正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，所得的直线共有6×6＝36(对)，而相互垂直的有10对，故依据古典概型概率公式得P＝eq\f(10,36)＝eq\f(5,18).二、填空题3．(文)(2022·广东高考)从字母a，b，c，d，e中任取两个不同字母，则取到字母a的概率为________．[答案]eq\f(2,5)[解析]本题考查古典概型．基本大事有(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，e)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，(c，d)(c，e)，(d，e)共10个，含a的有4个，故概率为eq\f(4,10)＝eq\f(2,5).写全基本大事个数是解决问题的关键．(理)(2022·广东高考)从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是6的概率为________．[答案]eq\f(1,6)[解析]由题意从10个数中取7个数有Ceq\o\al(7,10)种方法，而中位数为6，则从0,1,2,3,4,5中取3个有Ceq\o\al(3,6)种，后面三个只能是7,8,9，∴概率＝eq\f(C\o\al(3,6),C\o\al(7,10))＝eq\f(\f(6×5×4,3×2×1),\f(10×9×8,3×2×1))＝eq\f(1,6).4．(文)(2022·银川模拟)将一颗骰子投掷两次分别得到点数a，b，则直线ax－by＝0与圆(x－2)2＋y2＝2相交的概率为________．[答案]eq\f(5,12)[解析]圆心(2,0)到直线ax－by＝0的距离d＝eq\f(|2a|,\r(a2＋b2))，当d<eq\r(2)时，直线与圆相交，则有d＝eq\f(|2a|,\r(a2＋b2))<eq\r(2)，得b>a，满足题意的b>a共有15种状况，因此直线ax－by＝0与圆(x－2)2＋y2＝2相交的概率为eq\f(15,36)＝eq\f(5,12).(理)某艺校在一天的6节课中随机支配语文、数学、外语三门文化课和其他三门艺术课各1节，则在课程表上的相邻两节文化课之间至少间隔1节艺术课的概率为________(用数字作答)．[答案]eq\f(1,5)[解析]本题考查古典概型、排列组合学问．解法1：基本大事总数Aeq\o\al(6,6)＝720.大事A“相邻两节文化课之间至少间隔一节艺术课”分两类，一类是相邻两节文化课间都恰有一节艺术课，有2Aeq\o\al(3,3)Aeq\o\al(3,3)＝72种排法，另一类是相邻两节文化课之间有一节艺术课或两节艺术课，有Aeq\o\al(3,3)Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,2)＝72种排法．∴P(A)＝eq\f(72＋72,720)＝eq\f(1,5).解法2：6节课的全排列为Aeq\o\al(6,6)种，先排3节艺术课有Aeq\o\al(3,3)种不同方法，同时产生4个空，再利用插空法排文化课共有Aeq\o\al(3,4)种不同方法，故由古典概型概率公式得P(A)＝eq\f(A\o\al(3,3)·A\o\al(3,4),A\o\al(6,6))＝eq\f(1,5).三、解答题5．为了了解某市工厂开展群众体育活动的状况，拟接受分层抽样的方法从A、B、C三个区中抽取7个工厂进行调查．已知A、B、C区中分别有18、27、18个工厂．(1)求从A、B、C区中应分别抽取的工厂个数；(2)若从抽得的7个工厂中随机地抽取2个进行调查结果的对比，用列举法计算这2个工厂中至少有1个来自A区的概率．[解析](1)工厂总数为18＋27＋18＝63，样本容量与总体中的个体数的比为eq\f(7,63)＝eq\f(1,9)，所以从A，B，C三个区中应分别抽取的工厂个数为2,3,2.(2)设A1、A2为在A区中抽得的2个工厂，B1、B2、B3为在B区中抽得的3个工厂，C1、C2为在C区中抽得的2个工厂．在这7个工厂中随机地抽取2个，全部可能的结果有：(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A1，C1)，(A1，C2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A2，C1)，(A2，C2)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B1，C1)，(B1，C2)，(B2，B3)，(B2，C1)，(B2，C2)，(B3，C1)，(B3，C2)，(C1，C2)，共有21种．随机地抽取的2个工厂至少有1个来自A区的结果(记为大事X)有：(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A1，C1)，(A1，C2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A2，C1)，(A2，C2)，共有11种．所以这2个工厂中至少有1个来自A区的概率为P(X)＝eq\f(11,21).6．(文)一汽车厂生产A、B、C三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量如下表(单位：辆)；轿车A轿车B轿车C舒适型100150z标准型300450600按类用分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆，其中有A类轿车10辆．(1)求z的值；(2)用分层抽样的方法在C类轿车中抽取一个容量为5的样本．将该样本看成一个总体，从中任取2辆，求至少有1辆舒适型轿车的概率；(3)用随机抽样的方法从B类舒适型轿车中抽取8辆，经检测它们的得分如下：9．4,8.6,9.2,9.6,8.7,9.3,9.0,8.2，把这8辆轿车的得分看成一个总体，从中任取一个数，求该数与样本平均数之差的确定值不超过0.5的概率．[解析](1)设该厂这个月共生产轿车n辆，由题意得eq\f(50,n)＝eq\f(10,100＋300)，所以n＝2000，则z＝2000－(100＋300＋150＋450＋600)＝400.(2)设所抽样本中有a辆舒适型轿车．由题意得eq\f(400,1000)＝eq\f(a,5)，则a＝2.因此抽取的容量为5的样本中，有2辆舒适型轿车，3辆标准型轿车．用A1，A2表示2辆舒适型轿车，用B1，B2，B3表示3辆标准型轿车，用E表示大事“在该样本中任取2辆，其中至少有1辆舒适型轿车”，则基本大事空间包含的基本大事有：(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)，共10个，大事E包含的基本大事有：(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A