【2021高考复习参考】高三数学(理)配套黄金练习：4.3

第四章4.3第3课时高考数学（理）黄金配套练习一、选择题1．计算sin43°cos13°＋sin47°cos103°的结果等于()A.eq\f(1,2)B.eq\f(\r(3),3)C.eq\f(\r(2),2)D.eq\f(\r(3),2)答案A解析原式＝sin43°cos13°－cos43°sin13°＝sin(43°－13°)＝sin30°＝eq\f(1,2).2．已知sinα＝eq\f(12,13)，cosβ＝eq\f(4,5)，且α是其次象限角，β是第四象限角，那么sin(α－β)等于()A.eq\f(33,65)B.eq\f(63,65)C．－eq\f(16,65)D．－eq\f(56,65)答案A解析由于α是其次象限角，且sinα＝eq\f(12,13)，所以cosα＝－eq\r(1－\f(144,169))＝－eq\f(5,13).又由于β是第四象限角，cosβ＝eq\f(4,5)，所以sinβ＝－eq\r(1－\f(16,25))＝－eq\f(3,5).sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ＝eq\f(12,13)×eq\f(4,5)－(－eq\f(5,13))×(－eq\f(3,5))＝eq\f(48－15,65)＝eq\f(33,65).3．设α∈(0，eq\f(π,2))，若sinα＝eq\f(3,5)，则eq\r(2)cos(α＋eq\f(π,4))等于()A.eq\f(7,5)B.eq\f(1,5)C．－eq\f(7,5)D．－eq\f(1,5)答案B解析由于α∈(0，eq\f(π,2))，sinα＝eq\f(3,5)，所以cosα＝eq\r(1－\f(9,25))＝eq\f(4,5).所以eq\r(2)cos(α＋eq\f(π,4))＝eq\r(2)(cosαcoseq\f(π,4)－sinαsineq\f(π,4))＝eq\r(2)(eq\f(\r(2),2)cosα－eq\f(\r(2),2)sinα)＝cosα－sinα＝eq\f(4,5)－eq\f(3,5)＝eq\f(1,5)4．化简cos(α－β)cosβ－sin(α－β)sinβ的结果为()A．sin(2α＋β)B．cos(α－2β)C．cosαD．cosβ答案C解析等式即cos(α－β＋β)＝cosα5．设a＝sin14°＋cos14°，b＝sin16°＋cos16°，c＝eq\f(\r(6),2)，则a、b、c的大小关系是()A．a<b<cB．a<c<bC．b<a<cD．b<c<a答案B解析a＝eq\r(2)sin(45°＋14°)＝eq\r(2)sin59°b＝eq\r(2)sin(45°＋16°)＝eq\r(2)sin61°c＝eq\f(\r(6),2)＝eq\r(2)sin60°，∴b>c>a.6．在△ABC中，C＝120°，tanA＋tanB＝eq\f(2\r(3),3)，则cosAcosB＝()A.eq\f(1,4)B.eq\f(3,4)C.eq\f(1,2)D．－eq\f(1,4)答案B解析tanA＋tanB＝eq\f(sinA,cosA)＋eq\f(sinB,cosB)＝eq\f(sinAcosB＋cosAsinB,cosAcosB)＝eq\f(sinA＋B,cosAcosB)＝eq\f(sin60°,cosAcosB)＝eq\f(\f(\r(3),2),cosAcosB)＝eq\f(2\r(3),3)∴cosAcosB＝eq\f(3,4)7．已知tan(α＋β)＝eq\f(2,5)，taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β－\f(π,4)))＝eq\f(1,4)，那么taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))等于()A.eq\f(13,18)B.eq\f(13,22)C.eq\f(3,22)D.eq\f(1,6)答案C解析由于α＋eq\f(π,4)＋β－eq\f(π,4)＝α＋β，所以α＋eq\f(π,4)＝(α＋β)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β－\f(π,4)))，所以taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝taneq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(α＋β－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β－\f(π,4)))))＝eq\f(tanα＋β－tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β－\f(π,4))),1＋tanα＋βtan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β－\f(π,4))))＝eq\f(3,22).8．若3sinα＋cosα＝0，则eq\f(1,cos2α＋sin2α)的值为()A.eq\f(10,3)B.eq\f(5,3)C.eq\f(2,3)D．－2答案A解析3sinα＝－cosα⇒tanα＝－eq\f(1,3).eq\f(1,cos2α＋sin2α)＝eq\f(cos2α＋sin2α,cos2α＋2sinαcosα)＝eq\f(1＋tan2α,1＋2tanα)＝eq\f(1＋\f(1,9),1－\f(2,3))＝eq\f(10,3).二、填空题9．cos84°cos24°－cos114°cos6°的值为________．答案eq\f(1,2)解析cos84°cos24°－cos114°cos6°＝cos84°cos24°＋cos66°sin84°＝cos84°cos24°＋sin24°sin84°＝cos(84°－24°)＝cos60°＝eq\f(1,2).10．已知α为第三象限的角，cos2α＝－eq\f(3,5)，则tan(eq\f(π,4)＋2α)＝________.答案－eq\f(1,7)解析由cos2α＝2cos2α－1＝－eq\f(3,5)，且α为第三象限角，得cosα＝－eq\f(\r(5),5)，sinα＝－eq\f(2\r(5),5)，则tanα＝2，tan2α＝－eq\f(4,3)，tan(eq\f(π,4)＋2α)＝eq\f(1＋tan2α,1－tan2α)＝－eq\f(1,7).11．如图，角α的顶点在原点O，始边在x轴的正半轴，终边经过点P(－3，－4)．角β的顶点在原点O，始边在x轴的正半轴，终边OQ落在其次象限，且tanβ＝－2，则cos∠POQ的值为________．答案－eq\f(\r(5),5)解析tanβ＝tan(π－θ1)＝－tanθ1＝－2，∴tanθ1＝2，tanθ2＝eq\f(4,3).tan∠POQ＝eq\f(tanθ1＋tanθ2,1－tanθ1·tanθ2)＝－2＝eq\f(sin∠POQ,cos∠POQ).又由sin2∠POQ＋cos2∠POQ＝1，得cos∠POQ＝－eq\f(\r(5),5).12．化简：eq\f(sin3α－π,sinα)＋eq\f(cos3α－π,cosα)＝________.答案－4cos2α解析原式＝eq\f(－sin3α,sinα)＋eq\f(－cos3α,cosα)＝－eq\f(sin3αcosα＋cos3αsinα,sinαcosα)＝－eq\f(sin4α,sinαcosα)＝－eq\f(4sinαcosα·cos2α,sinαcosα)＝－4cos2α.13．不查表，计算eq\f(1,sin10°)－eq\f(\r(3),sin80°)＝________.(用数字作答)答案4解析原式＝eq\f(cos10°－\r(3)sin10°,sin10°cos10°)＝eq\f(2\f(1,2)cos10°－\f(\r(3),2)sin10°,sin10°cos10°)＝eq\f(4sin30°cos10°－cos30°sin10°,2sin10°cos10°)＝eq\f(4sin30°－10°,sin20°)＝4.三、解答题14．求(tan10°－eq\r(3))·eq\f(cos10°,sin50°)的值．解析(tan10°－eq\r(3))·eq\f(cos10°,sin50°)＝(tan10°－tan60°)·eq\f(cos10°,sin50°)＝(eq\f(sin10°,cos10°)－eq\f(sin60°,cos60°))·eq\f(cos10°,sin50°)＝eq\f(sin10°cos60°－sin60°cos10°,cos10°cos60°)·eq\f(cos10°,sin50°)＝eq\f(－sin60°－10°,cos10°·cos60°)·eq\f(cos10°,sin50°)＝－eq\f(1,cos60°)＝－2.15．已知sin(α＋eq\f(π,4))＝eq\f(4,5)，且eq\f(π,4)<α<eq\f(3π,4).求cosα的值．解析sin(α＋eq\f(π,4))＝eq\f(4,5)且eq\f(π,4)<α<eq\f(3π,4)∴eq\f(π,2)<α＋eq\f(π,4)<π∴cos(α＋eq\f(π,4))＝－eq\r(1－sin2α＋\f(π,4))＝－eq\f(3,5)∴cosα＝cos[(α＋eq\f(π,4))－eq\f(π,4)]＝cos(α＋eq\f(π,4))coseq\f(π,4)＋sin(α＋eq\f(π,4))sineq\f(π,4)＝－eq\f(3,5)×eq\f(\r(2),2)＋eq\f(4,5)×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(\r(2),10).16．已知tan2θ＝eq\f(3,4)(eq\f(π,2)<θ<π)，求eq\f(2cos2\f(θ,2)＋sinθ－1,\r(2)cosθ＋\f(π,4))的值．解∵tan2θ＝eq\f(2tanθ,1－tan2θ)＝eq\f(3,4)，∴tanθ＝－3或tanθ＝eq\f(1,3)，又θ∈(eq\f(π,2)，π)，∴tanθ＝－3，∴eq\f(2cos2\f(θ,2)＋sinθ－1,\r(2)cosθ＋\f(π,4))＝eq\f(cosθ＋sinθ,cosθ－sinθ)＝eq\f(1＋tanθ,1－tanθ)＝eq\f(1－3,1＋3)＝－eq\f(1,2).拓展练习·自助餐1．化简eq\f(sin15°cos9°－cos66°,sin15°sin9°＋sin66°)的结果是()A．tan9°B．－tan9°C．tan15°D．－tan15°答案B解析eq\f(sin15°·cos9°－cos66°,sin15°sin9°＋sin66°)＝eq\f(sin15°·cos9°－sin24°,sin15°·sin9°＋cos24°)＝eq\f(sin15°·cos9°－sin15°·cos9°－cos15°·sin9°,sin15°·sin9°＋cos15°·cos9°－sin15°·sin9°)＝eq\f(－cos15°·sin9°,cos15°·cos9°)＝－tan9°2．函数f(x)＝sin2x－cos2x的最小正周期是()A.eq\f(π,2)B．πC．2πD．4π答案B解析f(x)＝eq\r(2)sin(2x－eq\f(π,4))，∴T＝eq\f(2π,2)＝π.3．若cosα＋2sinα＝－eq\r(5)，则tanα＝()A.eq\f(1,2)B．2C．－eq\f(1,2)D．－2答案B解析考查三角函数的运算与转化力气，已知正弦和余弦的一个等量关系，可以结合正弦余弦平方和等于1，联立方程组解得正弦余弦的值，再利用tanα＝eq\f(sinα,cosα)求得，但运算量较大，作为选择题不适合．也可以利用三角变换处理，原等式即eq\r(5)sin(α＋φ)＝－eq\r(5)，其中tanφ＝eq\f(1,2)，0<φ<eq\f(π,2)，∴sin(α＋φ)＝－1，∴α＋φ＝2kπ＋eq\f(3π,2)，k∈Z，∴tanα＝cotφ＝2.也可观看得到答案．4．已知sin(x＋eq\f(π,4))sin(eq\f(π,4)－x)＝eq\f(1,6)，x∈(eq\f(π,2)，π)，求sin4x的值．分析由题设留意到eq\f(π,4)＋x＋eq\f(π,4)－x＝eq\f(π,2)，因此需交换后再用公式求解．解析∵sin(x＋eq\f(π,4))sin(eq\f(π,4)－x)＝sin(eq\f(π,4)＋x)cos[eq\f(π,2)－(eq\f(π,4)－x)]＝sin(x＋eq\f(π,4))cos(eq\f(π,4)＋x)＝eq\f(1,2)sin(2x＋eq\f(π,2))＝eq\f(1,2)cos2x＝eq\f(1,6)，∴cos2x＝eq\f(1,3).∵x∈(eq\f(π,2)，π)，∴2x∈(π，2π)，∴sin2x＝－eq\f(2\r(2),3).∴sin4x＝2sin2xcos2x＝－eq\f(4\r(2),9).探究(1)一般说来，在题目中有单角、倍角，应将倍角化为单角，同时应留意2α，2α－eq\f(π,2)，α－eq\f(π,4)等之间关系的运用．(2)在求cos2x的过程中，本题也可接受如下方法：sin(x＋eq\f(π,4))sin(eq\f(π,4)－x)＝(eq\f(\r(2),2)sinx＋eq\f(\r(2),2)cosx)(eq\f(\r(2),2)cosx－eq\f(\r(2),2)cosx－eq\f(\r(2),2)sinx)＝eq\f(1,2)(cos2x－sin2x)＝eq\f(1,2)cos2x＝eq\f(1,6)，从而得cos2x＝eq\f(1,3).老师备选题1．已知在△ABC中，cosBcosC＝1－sinB·sinC，那么△ABC是()A．锐角三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．钝角三角形答案B解析由条件知cosBcosC＋sinBsinC＝1，cos(B－C)＝1，B－C＝0，∴B＝C.2．在△ABC中，“cosA＝2sinBsinC”是“△ABC为钝角三角形”的()A．必要不充分条件B．充要条件C．