【2021高考复习参考】高三数学(理)配套黄金练习：6.1

第六章6.1第1课时高考数学（理）黄金配套练习一、选择题1．数列eq\f(1,3)，eq\f(1,8)，eq\f(1,15)，eq\f(1,24)，…的一个通项公式为()A．an＝eq\f(1,2n＋1)B．an＝eq\f(1,n＋2)C．an＝eq\f(1,nn＋2)D．an＝eq\f(1,2n－1)答案C解析观看知an＝eq\f(1,（n＋1）2－1)＝eq\f(1,n（n＋2）).2．在数列1,1,2,3,5,8,13，x,34,55，…中，x应取()A．19B．20C．21D．22答案C解析a1＝1，a2＝1，an＋2＝an＋1＋an∴x＝8＋13＝21，故选C.3．已知数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋2n(n∈N*)，则a100的值是()A．9900B．9902C．9904D．11000答案B解析a100＝(a100－a99)＋(a99－a98)＋…＋(a2－a1)＋a1＝2(99＋98＋…＋2＋1)＋2＝2·eq\f(99·（99＋1）,2)＋2＝99024．已知数列{an}满足a0＝1，an＝a0＋a1＋…＋an－1(n≥1)，则当n≥1时，an＝()A．2nB.eq\f(1,2)n(n＋1)C．2n－1D．2n－1答案C解析方法一由已知an＝a0＋a1＋…＋an－1(n≥1)且a0＝1，得到a1＝a0＝1＝21－1，a2＝a0＋a1＝2＝22－1，a3＝a0＋a1＋a2＝4＝23－1，a4＝a0＋a1＋a2＋a3＝8＝24－1.由此猜想出an＝2n－1(n≥1)．方法二由an＝a0＋a1＋…＋an－1(n≥1)，得an＋1＝a0＋a1＋…＋an－1＋an.∴两式相减得an＋1－an＝an.∴an＋1＝2an.∴eq\f(an＋1,an)＝2(n≥1)．∴该数列{an}为一等比数列(n≥1)，其中a1＝a0＝1.∴当n≥1时，an＝2n－15．已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝eq\f(an,1＋2an)，则这个数列的第n项an为()A．2n－1B．2n＋1C.eq\f(1,2n－1)D.eq\f(1,2n＋1)答案C解析∵an＋1＝eq\f(an,1＋2an)∴eq\f(1,an＋1)＝eq\f(1,an)＋2∴eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))为等差数列，公差为2，首项eq\f(1,a1)＝1∴eq\f(1,an)＝1＋(n－1)·2＝2n－1，∴an＝eq\f(1,2n－1)二、填空题6．已知数列{an}对于任意p，q∈N*，有ap＋aq＝ap＋q，若a1＝eq\f(1,9)，则a36＝________.答案4解析∵a1＝eq\f(1,9).∴a2＝a1＋a1＝eq\f(2,9)，a4＝a2＋a2＝eq\f(4,9)，a8＝a4＋a4＝eq\f(8,9).∴a36＝a18＋a18＝2a18＝2(a9＋a9)＝4a9＝4(a1＋a8)＝4(eq\f(1,9)＋eq\f(8,9))＝4.7．记数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2(an－1)，则a2等于________．答案4解当n＝1时，由S1＝a1＝2(a1－1)，得a1＝2；当n＝2时，由a1＋a2＝2(a2－1)，得a2＝4.8．如图是用同样规格的黑、白两色正方形瓷砖铺设的若干图案，则按此规律第n个图案中需用黑色瓷砖________块．(用含n的代数式表示)答案4n＋8解析第(1)、(2)、(3)…个图案黑色瓷砖数依次为：15－3＝12；24－8＝16；35－15＝20；…由此可猜想第(n)个图案黑色瓷砖数为：12＋(n－1)×4＝4n＋8.9．已知：f(x)＝x2＋3x＋2，数列{an}满足a1＝a，且an＋1＝f′(an)(n∈N*)，则该数列的通项公式an为________．解析f(x)＝x2＋3x＋2∴f′(x)＝2x＋3∴an＋1＝f′(an)＝2an＋3.∴an＋1＋3＝2(an＋3)．∴{an＋3}是公比为2，首项为3＋a的等比数列∴an＋3＝(3＋a)·2n－1∴an＝(3＋a)·2n－1－310．已知{an}的前n项和为Sn，满足log2(Sn＋1)＝n＋1，则an＝________.解析∵Sn＋1＝2n＋1∴Sn＝2n＋1－1∴n＝1时，a1＝3n≥2时，a1＝Sn－Sn－1＝2n∴an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3，n＝1,2n，n≥2))11．一个数字生成器，生成规章如下：第1次生成一个数x，以后每次生成的结果可将上一次生成的每一个数x生成两个数，一个是－x，另一个是x＋3.设第n次生成的数的个数为an，则数列{an}的前n项和Sn＝________；若x＝1，前n次生成的全部数中不同的数的个数为Tn，则T4＝________.答案2n－110解析由题意可知，依次生成的数字个数是首项为1，公比为2的等比数列，故Sn＝eq\f(1－2n,1－2)＝2n－1.当x＝1时，第1次生成的数为1，第2次生成的数为－1、4，第3次生成的数为1、2，－4、7，第4次生成的数为－1、4，－2、5,4、－1，－7、10.故T4＝10.12．数列{an}满足an＋1＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2an，0≤an≤\f(1,2),2an－1，\f(1,2)≤an<1，))a1＝eq\f(3,5)，则数列的第2011项为________．答案eq\f(2,5)解析∵a1＝eq\f(3,5)，∴a2＝2a1－1＝eq\f(1,5).∴a3＝2a2＝eq\f(2,5).∴a4＝2a3＝eq\f(4,5).a5＝2a4－1＝eq\f(3,5)，a6＝2a5－1＝eq\f(1,5)…，∴该数列周期为T＝4.∴a2011＝a3＝eq\f(2,5)三、解答题13．已知数列{an}的通项公式为an＝n2－5n＋4.(1)数列中有多少项是负数？(2)n为何值时，an有最小值？并求出最小值．解析(1)由n2－5n＋4<0，解得1<n<4.∵n∈N*，∴n＝2,3.∴数列有两项是负数．(2)∵an＝n2－5n＋4＝(n－eq\f(5,2))2－eq\f(9,4)的对称轴方程为n＝eq\f(5,2)，又n∈N*，∴n＝2或3时，an有最小值，其最小值为a2＝a3＝－2.14．2009年10月1日的国庆60周年阅兵式上，有n(n≥2)行、n＋1列的高校生方阵．(1)写出一个数列，用它表示当n分别为2,3,4,5,6，…时方阵中的高校生人数；(2)说出(1)题中数列的第5、6项，并用a5，a6表示；(3)把(1)中的数列记为{an}，求该数列的通项公式an＝f(n)；(4)已知an＝9900，问an是第几项？此时高校生方阵有多少行、多少列？(5)画an＝f(n)的图象，并利用图象说明方阵中高校生人数有可能是56,28吗？解析(1)该数列为6,12,20,30,42，…；(2)a5＝42，a6＝56；(3)an＝(n＋1)(n＋2)(n∈N*)；(4)由9900＝(n＋1)(n＋2)解得n＝98，an是第98项，此时高校方阵有99行，100列；(5)f(n)＝n2＋3n＋2，如图，图象是分布在函数f(x)＝x2＋3x＋2上的孤立的点，由图可知，人数可能是56，不行能是2815．已知数列{an}满足a1＝1，an>0，Sn是数列{an}的前n项和，对任意n∈N*，有2Sn＝p(2aeq\o\al(2,n)＋an－1)(p为常数)．(1)求p和a2，a3的值；(2)求数列{an}的通项公式．解析(1)令n＝1得2S1＝p(2aeq\o\al(2,1)＋a1－1)，又a1＝S1＝1，得p＝1；令n＝2得2S2＝2aeq\o\al(2,2)＋a2－1，又S2＝1＋a2，得2aeq\o\al(2,2)－a2－3＝0，a2＝eq\f(3,2)或a2＝－1(舍去)，∴a2＝eq\f(3,2)；令n＝3得2S3＝2aeq\o\al(2,3)＋a3－1，又S3＝eq\f(5,2)＋a3，得2aeq\o\al(2,3)－a3－6＝0，a3＝2或a3＝－eq\f(3,2)(舍去)，∴a3＝2.(2)由2Sn＝2aeq\o\al(2,n)＋an－1，得2Sn－1＝2aeq\o\al(2,n－1)＋an－1－1(n≥2)，两式相减，得2an＝2(aeq\o\al(2,n)－aeq\o\al(2,n－1))＋an－an－1，即(an＋an－1)(2an－2an－1－1)＝0，∵an>0，∴2an－2an－1－1＝0，即an－an－1＝eq\f(1,2)(n≥2)，故{an}是首项为1，公差为eq\f(1,2)的等差数列，得an＝eq\f(1,2)(n＋1)．老师备选题1．已知数列{an}满足a1＝33，an＋1－an＝2n，则eq\f(an,n)的最小值为________．解析(1)在an＋1－an＝2n中，令n＝1，得a2－a1＝2；令n＝2得，a3－a2＝4，…，an－an－1＝2(n－1)．把上面n－1个式子相加，得an－a1＝2＋4＋6＋…＋2(n－1)＝eq\f((2＋2n－2)(n－1),2)＝n2－n，∴an＝n2－n＋33，∴eq\f(an,n)＝eq\f(n2－n＋33,n)＝n＋eq\f(33,n)－1≥2eq\r(33)－1，当且仅当n＝eq\f(33,n)，即n＝eq\r(33)时取等号，而n∈N*，∴“＝”取不到．∵5＜eq\r(33)＜6，∴当n＝5时，eq\f(an,n)＝5－1＋eq\f(33,5)＝eq\f(53,5)，当n＝6时，eq\f(an,n)＝6－1＋eq\f(33,6)＝eq\f(63,6)＝eq\f(21,2)，∵eq\f(53,5)＞eq\f(21,2)，∴eq\f(an,n)的最小值是eq\f(21,2).2．已知f(x)为偶函数，且f(2＋x)＝f(2－x)，当－2≤x≤0时，f(x)＝2x，若n∈N*，an＝f(n)，则a2010＝()A．2010B．4C.eq\f(1,4)D．－4答案C解析由f(x)为偶函数，得0≤x≤2时f