数学-江苏省南京市2024-2025学年高一上学期期末学情调研测试试题和答案

南京市2024－2025学年度第一学期期末学情调研测试注意事项：1．本试卷包括单项选择题(第1题~第8题)、多项选择题(第9题~第11题)、填空题(第12题~第14题)、解答题(第15题~第19题)四部分。本试卷满分为150分，考试时间为120分钟。2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填涂在答题卡上指定的位置。3．作答选择题时，选出每小题的答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。4．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡上各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上.A．{3}B．{1，6}C．{5，6}2．“a≠0”是“ab≠0”的A．必要且不充分条件B．充分且不必要条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件3．函数f(x)＝lg(1－|x|)的定义域为A．(-∞,-1]∪[1，+∞)B．(-∞,-1)∪(1，+∞)C．[－1，1]4．将函数y＝sin图象上每个点的横坐标变为原来的倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式为A．y＝sinB．y＝sinC．y＝sinD．y＝sin5．已知cosα=-1，π<α<π,则cos(3π+α)的值为A．a＞b＞cB．a＞c＞bC．c＞b＞aD．c＞a＞b87．根据国际标准，室内二氧化碳浓度应不超过1000ppm，在这个范围内，室内空气质量良好，人体健康不受到影响．已知某室内二氧化碳浓度y(ppm)与开窗通风的时长t(分钟)之间的关系式为y＝500＋104λe-∈R)．经测定，该室内初始时刻的二氧化碳浓度为2000ppm，要使该室内的二氧化碳浓度达到国际标准，则需要开窗通风的时长至少约为(参考数据：ln3≈1.099，ln5≈1.609)A．6分钟B．8分钟C．10分钟D．12分钟8．若命题“Yx＞0，(ax－1)(x2－2ax－1)≥0”是真命题，则实数a的取值集合为A．D．{a|0＜a≤}二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上．全部选对得6分，部分选对得部分分，不选或有选错的得0分.9．若a＞b＞0，则A．a3＞b3B．ab＜b2CD210．在平面直角坐标系xOy中，点A的终边与单位圆(圆心在原点，半径为1的圆)交于点B(A，B不重合)，下列说法正确的是A．若cosθ=-,则点A和点B关于x轴对称B．若cosθ=,则点A和点B关于y轴对称C．若点A和点B关于直线yx对称，则sinθ=D．若OA和OB相互垂直，则tanθ=11．函数f(x)满足：Yx∈R，f(x＋1)f(x)＝2．已知当x∈[0，1)时，f(x)＝2x，则A．f(1)＝1B．f(x)为周期函数C．f(x)为偶函数D．方程恰有3个解三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．请把答案填写在答题卡相应位置上.12．已知函数f(x)＝loga(x＋2)(a＞0，a≠1)的图象经过定点P(m，n)，则m＋n=▲___.cxα1312．已知函数f(x)＝loga(x＋2)(a＞0，a≠1)的图象经过定点P(m，n)，则m＋n=▲___.cxα14．已知函数f(x)＝sin(ωx+φ)(ω>0，0<φ＜)图象的一个对称中心是(－，0)，一条对称轴是直线x=,且f(x)在区间(0，π)上有且仅有两个零点，则ω=▲.四、解答题：本大题共5小题，共77分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.15本小题满分13分）（1）求62m－n的值；（2）用m，n表示log2015.16本小题满分15分）若sinα+cosα=2，且0<α<π,求f的值；若f，求sin2α-3sinαcosα的值.17本小题满分15分）已知函数f(x)的定义域为R，函数g(x)＝f(－x)－f(x).（1）判断g(x)的奇偶性，并加以证明；（2）若f(x)＝3x.①用函数单调性的定义证明：g(x)在R上单调递减；②解关于x的不等式g(4x－9)＋g(6－2x＋1)＞0.18．(本小题满分17分)已知函数f(x)＝Asin(ωx+φ)(A＞0，ω>0，-π<φ＜0)图象上相邻的一个最高点和一个最低点分别为(，2)，(2).（1）求f(x)的解析式；（2）求f(x)在[0，π]上的单调增区间；（3）设m＞1，证明：函数g(x)＝f(mx)－mf(x)在(0，+∞)上必有零点.19．(本小题满分17分)设函数f(x)在非空数集M上的取值集合为N．若N≤M，则称f(x)为M上的“T函数”.（1）判断f(x)＝sin2x是否为上的“T函数”，并说明理由；若f＝log2为上的“T函数”，证明：a＋b＜2；（3）若存在实数b，使得f(x)＝(x－a)2＋b为[0，1]上的“T函数”，求实数a的取值范围.南京市2024－2025学年度第一学期期末学情调研测试高一数学参考答案2025.01一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上.二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上．全部选对得6分，部分选对得部分分，不选或有错选的得0分.三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．请把答案填写在答题卡相应位置上.四、解答题：本大题共5小题，共77分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.15本小题满分13分）所以m＝log62，n＝log65.································································7分 log65＋log64=log65＋log log65＋2log62因为log62＋log63＝1，所以log3615＝log65log62=16.（本小题满分15分）解法1：f因为sinα+cosα=所以，即2sinαcosα=-,·············································2分从而(sinα-cosα)2＝1－2sinαcosα=,····················································4分因为0<α<π,sinα>0，又因为sinαcosα＜0，所以cosα＜0，因此sinα-cosα>0， 从而sinα-cosα=,········································································6分 解法2：由sinα+cosα=及sin2α+cos2α=1，··················································2分解得sinα=,cosα=,或sinα=,cosα=,···················································4分因为<α<π, 所以sinα=,cosα=, 所以sinα-cosα=,·····································································6分 2（2）解法1：f(α)==,所以2sinα=-4cosα,··········································································9分假设cosα=0，则由上式知sinα=0，与sin2α+cos2α=1矛盾，所以cosα≠0，解法2：f(α)==,所以sinα=-2cosα,17.（本小题满分15分）解1）g(x)是R上的奇函数.因为g(x)定义域为R，对于任意的x∈R，都有－x∈R，且（2）x－3x.任取x1，x2∈R，不妨设x1＜x2，x1＜x2，且函数y＝3x在R上单调递增，10，从而g(x1)－g(x2)＞0，即g(x1)＞g(x2)，②因为g(4x－9)＋g(6－2x＋1)＞0，又g(x)是R上的奇函数，且单调递减，所以g(4x－9)＞g(2x＋1－6)，解得－1＜2x＜3，所以不等式的解集为(-∞,log23).··················································15分18．(本小题满分17分)根据题意，当x＝时，sin(2×+φ)＝1，从而+φ=+2kπ,k∈Z，即φ=-+2kπ,k∈Z，（2）令2kπ≤2x-≤+2kπ,k∈Z，···················································8分则2kπ≤2x≤+2kπ,k∈Z，即kπ≤x≤+kπ,k∈Z，－＋故f(x)在[0，π]上的单调增区间为和.····························12分 则g(0)＝v3(m－1)＞0，···································································14分＜0，············································16分又g(x)在(0，+∞)上的图象是一条不间断的曲线，所以由零点存在性定理知，当m＞1时，函数g(x)＝f(mx)－mf(x)在(0，+∞)上必有零点.················17分19．(本小题满分17分)解1）由x∈[，]，得2x∈[，]，所以sin2x∈[，1]，即f(x)的取值集合为[，1]，···································2分因为[，1]≤[，]，所以f(x)＝sin2x是为[，]上的“T函数”.······································4分（2）因为f(x)＝log2(－1)为[a，b](a＜b)上的减函数，因为f(x)为[a，b]上的“T函数”，所以[f(b)，f(a)]≤[a，b]，因此f(b)≥a，f(a)≤b，即log2≥a，log2≤b，···········································7分所以(2a＋1)(2b＋1)≤9，(2a＋1)(2b＋1)≥9，从而