2023-2024学年江苏省徐州市多校联考高一（下）期中数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年江苏省徐州市多校联考高一（下）期中数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.cos14°cos16°−cos76°sin16°=(

)A.12 B.32 C.−2.已知a=(1,2),a⋅b=5，若b⊥(2a−A.π6 B.π4 C.π33.在△ABC中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设向量p=(a+c,b)，q=(b−a,c−a).若p/​/q，则角CA.π6 B.π3 C.π24.如图所示，在正方形ABCD中，E为AB的中点，F为CE的中点，则AF=(

)

A.34AB+14AD B.15.函数f(x)=sin(2x+π3)在区间A.2 B.3 C.4 D.56.已知cos(π6−α)=−1A.−79 B.79 C.−7.在△ABC中，若b⋅cosCc⋅cosB=1−cos2B1−cos2C，则△ABCA.等腰三角形 B.直角三角形

C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形8.如图，已知正方形ABCD的边长为2，若动点P在以AB为直径的半圆上(正方形ABCD内部，含边界)，则PC⋅PD的取值范围为(

)A.(0,4)B.[0,4]

C.(0,2)D.[0,2]二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列关于平面向量的说法中正确的是(

)A.已知O为点A，B，C所在直线外一点，且OC=xOA+0.4OB，则x=0.6．

B.已知非零向量a=(1,2),b=(1,1)，且a与a+λb的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是(−53,+∞)

C.已知向量AB=(23,2)10.已知tanα=2tanβ，则(

)A.∃α,β∈(0,π2)，使得α=2β

B.若sinαcosβ=25，则sin(α−β)=15

C.若sinαcosβ=25，则cos11.△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，S为△ABC的面积，且a=2，AB⋅AC=2A.A=π6

B.若b=23，则△ABC只有一解

C.若△ABC为锐角三角形，则b取值范围是(23,4)

D.若三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知sin(π2+α)=2sin(π−α)，则tan13.圣⋅索菲亚教堂是哈尔滨的标志性建筑，其中央主体建筑集球、圆柱、棱柱于一体，极具对称之美.为了估算圣⋅索菲亚教堂的高度，某人在教堂的正东方向找到一座建筑物AB，高约为36m，在它们之间的地面上的点M(B,M,D三点共线)处测得建筑物顶A、教堂顶C的仰角分别是45°和60°，在建筑物顶A处测得教堂顶C的仰角为15°，则可估算圣⋅索菲亚教堂的高度CD约为______．14.△ABC中，角A，B，C对边分别为a，b，c，点P是△ABC所在平面内的动点，满足OP=OB+λ(BC|BC|+BA|BA|)(λ>0).射线BP与边AC四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

如图所示，在平行四边形ABCD中，已知AB=3，AD=2，∠BAD=120°.(1)求AC的模；

(2)若AE=13AB，BF=16.(本小题15分)

已知向量m=(2sinx2,3(cosx2+sinx2))，n=(cosx2,sinx2−cosx17.(本小题15分)

记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知bsinA+3acosB=3c．

(1)求A；

18.(本小题17分)

在直角梯形ABCD中，已知AB//DC，AD⊥AB，CD=1，AD=2，AB=3，动点E，F分别在线段BC和DC上，线段AE和BD相交于点M，且BE=λBC，DF=(1−λ)DC，λ∈R．

(1)当AE⋅BC=0时，求λ的值；

(2)当λ=2319.(本小题17分)

定义函数f(x)=msinx+ncosx的“源向量”为OM=(m,n)，非零向量OM=(m,n)的“伴随函数”为f(x)=msinx+ncosx，其中O为坐标原点．

(1)若向量OM=(1,3)的“伴随函数”为f(x)，求f(x)在x∈[0,π]的值域；

(2)若函数g(x)=3sin(x+α)的“源向量”为OM，且以O为圆心、|OM|为半径的圆内切于正△ABC(顶点C恰好在y轴的正半轴上)，求证：MA2+MB2+MC2为定值；

(3)在△ABC中，角A、B

参考答案1.B

2.B

3.B

4.D

5.C

6.A

7.D

8.B

9.ACD

10.BD

11.ACD

12.−113.54m

14.π3

415.解：(1)根据题意可得AC2=(AB+AD)2

=AB2+AD2+2AB⋅AD=9+4+2×3×2×cos120°=7，

∴AC的模为7；

(2)∵16.解：(1)因为m=(2sinx2,3(cosx2+sinx2))，n=(cosx2,sinx2−cosx2)，且函数f(x)=m⋅n，

所以f(x)=2sinx2cosx2−3(cos2x2−sin2x2)=sinx−3cosx=2sin(x−17.解：(1)由bsinA+3acosB=3c及正弦定理得，sinBsinA+3sinAcosB=3sinC，

因为sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB，

所以sinBsinA+3sinAcosB=3sinAcosB+3cosAsinB，

即sinBsinA=3cosAsinB，

因为sinB≠0，所以sinA=3cosA，

所以tanA=18.解：(1)在直角梯形ABCD中，易得∠ABC=π4,BC=22，

∵AE⋅BC=0，∴AE⊥BC，

∴△ABE为等腰直角三角形，∴BE=322，

故λ=BEBC=34；

(2)AE=AB+BE=AB+λBC=AB+λ(BA+AD+DC)=AB−λAB+λAD+λ3AB

=(1−23λ)AB+λAD，

当

λ=23时，AE=59AB+19.(1)解：由题意可知，函数f(x)的“源向量”为OM=(1,3)，

∴伴随函数f(x)=sinx+3cosx=2sin(x+π3)，

∵x∈[0,π]，∴π3≤x+π3≤4π3，

则当x+π3=π2时，f(x)max=2，当x+π3=4π3时，f(x)min=−3，

∴函数f(x)的