【1对1】2021年高中数学学业水平考试专题综合检测-模拟试卷(十一)

11高中学业水平考试《数学》模拟试卷(十一)一、选择题(本大题共25小题，第1～15题每小题2分，第16～25题每小题3分，共60分．每小题中只有一个选项是符合题意的，不选、多选、错选均不得分)1.设全集U＝{1，2，3，4，5}，已知A＝{1，2，3},B＝{2，5}，则A∩(∁UB)等于()A.{2}B.{2，3}C.{3}D.{1，3}2.下列函数中，周期为π的奇函数是()A.y＝sinxB.y＝sin2xC.y＝tan2xD.y＝cos2x3.若一条直线的倾斜角的正弦值为eq\f(\r(3),2)，则此直线的斜率为()A.eq\r(3)B.±eq\r(3)C.eq\f(\r(3),3)D.±eq\f(\r(3),3)4.下列命题正确的是()A.ac＞bc⇒a＞bB.a2＞b2⇒a＞bC.eq\f(1,a)＞eq\f(1,b)⇒a＜bD.eq\r(a)＜eq\r(b)⇒a＜b5.函数y＝logeq\f(1,3)(1－3x)的定义域是()A.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,3)))B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，＋∞))C.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，0))D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,3)))6.已知抛物线y2＝2px的焦点坐标为(2，0)，则p的值等于()A.2B.1C.4D.8(第7题)7.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是()A.eq\f(1,6)B.eq\f(1,3)C.eq\f(2,3)D.18.圆x2＋y2－6y－16＝0的半径等于()A.16B.5C.4D.259.若数列{an}为等差数列，且a2＋a5＋a8＝39，则a1＋a2＋…＋a9的值为()A.117B.114C.111D.10810.下列函数中，在区间(0，＋∞)上为减函数的是()A.y＝－eq\f(4,x)B.y＝4xC.y＝logeq\f(1,3)xD.y＝x2－2x＋311.若eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x≤2，,y≤2，,x＋y≥2，))则目标函数z＝x＋2y的取值范围是()A.[2，6]B.[2，5]C.[3，6]D.[3，5]12.已知两条直线m，n与两个平面α，β，下列命题正确的是()A.若m∥α，n∥α，则m∥nB.若m∥α，m∥β，则α∥βC.若m⊥α，m⊥β，则α∥βD.若m⊥n，m⊥β，则n∥β13.在△ABC中，∠B＝135°，∠C＝15°，a＝5，则此三角形的最大边长为()A.5eq\r(,3)B.4eq\r(,3)C.5eq\r(,2)D.4eq\r(,2)14.已知过点P(2，2)的直线与圆(x－1)2＋y2＝5相切，且与直线ax－y＋1＝0垂直，则a的值为()A.－eq\f(1,2)B.1C.2D.eq\f(1,2)15.已知数列{an}的前n项和Sn＝eq\f(n＋1,n＋2)，则a3＝()A.eq\f(1,20)B.eq\f(1,24)C.eq\f(1,28)D.eq\f(1,32)16.已知向量a＝(1，2)，向量b＝(x，－2)，且a⊥(a－b)，则实数x等于()A.－4B.4C.0D.917.点P(a，b，c)到坐标平面xOz的距离是()A.eq\r(a2＋b2)B.eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a))C.eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(b))D.eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(c))18.方程lgx＝8－2x的根x∈(k，k＋1)，k∈Z，则k＝()A.2B.3C.4D.519.已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1，0)，离心率等于eq\f(1,2)，则椭圆C的方程是()A.eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,4)＝1B.eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,\r(3))＝1C.eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,2)＝1D.eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1(第20题)20.如图，E，F分别是三棱锥P－ABC的棱AP，BC的中点，PC＝10，AB＝6，EF＝7，则异面直线AB与PC所成角的大小为()A.60°B.45°C.0°D.120°21.“m＝eq\f(1,2)”是“直线(m＋2)x＋3my＋1＝0与直线(m－2)x＋(m＋2)y－3＝0垂直”()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件22.已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是()A.相切B.相交C.相离D.不确定23.把函数y＝cos(x＋eq\f(4π,3))的图象向右平移θ(θ>0)个单位，所得的图象关于y轴对称，则θ的最小值为()A.eq\f(π,6)B.eq\f(π,3)C.eq\f(2π,3)D.eq\f(4π,3)24.已知椭圆eq\f(x2,3m2)＋eq\f(y2,5n2)＝1和双曲线eq\f(x2,2m2)－eq\f(y2,3n2)＝1有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程是()A.x＝±eq\f(\r(15),2)yB.y＝±eq\f(\r(15),2)xC.x＝±eq\f(\r(3),4)yD.y＝±eq\f(\r(3),4)x25.不等式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(－x2＋4x)>22ax＋a对一切实数x都成立，则实数a的取值范围是()A.(1，4)B.(－4，－1)C.(－∞，－4)∪(－1，＋∞)D.(－∞，1)∪(4，＋∞)二、填空题(本大题共5小题，每小题2分，共10分)26.sin23°cos37°＋cos23°cos53°＝________．27.命题“全部实数的平方都是正数”的否命题为______________________________．28.设f(x)是R上的奇函数，且当x∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，＋∞))时，f(x)＝x2－2x，则f(－2)＝________．29.已知抛物线y2＝8x的准线过双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一个焦点，且双曲线的离心率为2，则该双曲线的方程为______________．30.已知圆O：x2＋y2＝5，直线l：xcosθ＋ysinθ＝1(0<θ<eq\f(π,2))．设圆O上到直线l的距离等于1的点的个数为k，则k＝________．三、解答题(本大题共4小题，第31，32题每题7分，第33，34题每题8分，共30分)31.(本题7分)在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，coseq\f(A＋C,2)＝eq\f(\r(3),3).(1)求cosB的值；(2)若eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝2，b＝2eq\r(,2)，求和c的值．32.(本题7分，有A、B两题，任选其中一题完成，两题都做，以A题计分)(A)如图，在底面是菱形的四棱锥P－ABCD，∠ABC＝60°，PA＝AC＝a，PB＝PD＝eq\r(2)a，点E是PD的中点．求证：(1)PA⊥平面ABCD；(2)PB∥平面EAC.,[第32题(A)]),[第32题(B)])(B)已知正方形的边长为2，AC与BD交于点O.将正方形ABCD沿对角线折起，使AC＝a，得到三棱锥A－BCD，如图所示.(1)当a＝2时，求证：AO⊥平面BCD；(2)当二面角A－BD－C的大小为120°时，求二面角A－BC－D的正切值．33.(本题8分)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，且3an＋1＋2Sn＝3(n∈N*)．(1)求数列{an}的通项公式；(2)记S＝eq\f(3,2)，若对任意正整数n，kS≤Sn恒成立，求实数k的最大值．34.(本题8分)已知椭圆C1：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的离心率为eq\f(\r(3),3)，圆O以原点为圆心，半径等于椭圆C1的短半轴长，且直线l：y＝x＋2与圆O相切．(1)求椭圆C1的方程；(2)设椭圆C1的左焦点为F1，右焦点为F2，直线l1过点F1且垂直于椭圆的长轴，动直线l2垂直于l1，垂足为点P，线段PF2的垂直平分线交l2于点M，求点M的轨迹C2的方程；(3)若AC，BD是经过椭圆C1右焦点F2的两条相互垂直的弦，求四边形ABCD面积的最小值．

112022高中学业水平考试《数学》模拟试卷(十一)1.D2.B3.B4.D5.D6.C7.B8.B9.A10.C11.A12.C13.C14.C15.A16.D17.C18.B19.D20.A21.A22.B23.B24.D[提示：由双曲线eq\f(x2,2m2)－eq\f(y2,3n2)＝1可知焦点在x轴上，且c2＝2m2＋3n2.又∵椭圆eq\f(x2,3m2)＋eq\f(y2,5n2)＝1和双曲线具有相同的焦点，∴c2＝3m2－5n2，∴2m2＋3n2＝3m2－5n2，化简得m2＝8n2，而渐近线的斜率k＝±eq\f(\r(3)n,\r(2)m)＝±eq\f(\r(3),4)，故选D.]25.B[提示：不等式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(－x2＋4x)>22ax＋a对一切实数x都成立等价于2x2－4x>22ax＋a，∴x2－4x>2ax＋a，即x2－(4＋2a)x－a>0，∴Δ＝(2a＋4)2＋4a≤0，解得－1<a<4.]26.eq\f(\r(3),2)27.存在一个实数的平方不是正数28.029.x2－eq\f(y2,3)＝1[提示：由抛物线y2＝8x可知c＝2.又∵e＝2，∴a＝1，则b2＝3，故双曲线的方程为x2－eq\f(y2,3)＝1.]30.4[提示：由圆心到直线的距离d＝eq\f(1,\r(sin2θ＋cos2θ))＝1<r＝eq\r(5)，可知满足条件的点有4个．]31.解：(1)∵coseq\f(A＋C,2)＝eq\f(\r(3),3)，∴sineq\f(B,2)＝sin(eq\f(π,2)－eq\f(A＋C,2))＝eq\f(\r(3),3)，cosB＝1－2sin2eq\f(B,2)＝eq\f(1,3).(2)由eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝2可得a·c·cosB＝2.又∵cosB＝eq\f(1,3)，∴ac＝6.由b2＝a2＋c2－2accosB可得a2＋c2＝12，∴(a－c)2＝0，∴a＝c，∴a＝c＝eq\r(6).32.(A)证明：(1)∵底面ABCD为菱形，∠ABC＝60°，∴AB＝BC＝CD＝DA＝AC＝a.∵PA＝AC，∴PA＝AB＝a，PB＝eq\r(2)a，∴PA⊥AB，同理可证PA⊥AD.又∵AB∩AD＝A，∴PA⊥平面ABCD.(2)连接AC，BD相交于O，则O为BD的中点．∵E为PD的中点，∴PB∥OE.又∵OE⊂平面EAC，PB⊄平面EAC，∴PB∥平面EAC.(第32题)(B)(1)证明：依据题意，在△AOC中，AC＝a＝2，AO＝CO＝eq\r(2)，∴AC2＝AO2＋CO2，∴AO⊥CO.又∵AO⊥BD，BD∩CO＝O，所以AO⊥平面BCD.(2)由(1)知，CO⊥OD，以O为原点，OC，OD所在的直线分别为x轴，y轴建立如图的空间直角坐标系Oxyz，则有Oeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，0，0))，Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(2)，0，0))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\r(2)，0)).设Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x0，0，z0))，则eq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x0，0，z0))，eq\o(OD,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\r(2)，0)).平面ABD的法向量为n＝(z0，0，－x0)．平面BCD的法向量为m＝(0，0，1)，且二面角A－BD－C的大小为120°，∴eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(cos〈m，n〉))＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(cos120°))＝eq\f(1,2)，得z02＝3x02.∵OA＝eq\r(2)，∴eq\r(x02＋z02)＝eq\r(2).解得x0＝－eq\f(\r(2),2)，z0＝eq\f(\r(6),2).∴Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)，0，\f(\r(6),2))).平面的法向量为l＝(1，－1，eq\r(3))．设二面角的平面角为θ，∴cosθ＝|cos〈l，m〉|＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),\r(1＋1＋（\r(3)）2))))＝eq\f(\r(15),5).∴tanθ＝eq\f(\r(6),3).∴二面角的正切值为eq\f(\r(6),3).33.解：(1)∵3an＋1＋2Sn＝3(n∈N*)，①当n≥2时，3an＋2Sn－1＝3(n∈N*)．②①－②化简得eq\f(an＋1,an)＝eq\f(1,3)(n≥2)，又∵a1＝1，3a2＋2a1＝3，解得a2＝eq\f(1,3)，∴数列{an}是首项为1，公比为eq\f(1,3)的等比数列，故an＝(eq\f(1,3))n－1.(2)由(1)知Sn＝eq\f(a1（1－qn）,1－q)＝eq\f(1－（\f(1,3)）n,1－\f(1,3))＝eq\f(3,2)[1－(eq\f(1,3))n]．又∵对任意n∈N*恒有eq\f(3,2)k≤eq\f(3,2)[1－(eq\f(1,3))n]，得k≤1－(eq\f(1,3))n.∵数列{1－(eq\f(1,3))n}单调递增，∴a1＝eq\f(2,3)为数列中的最小项，∴必有k≤eq\f(2,3)，即实数k的最大值为eq\f(2,3).34.解：(1)由于e＝eq\f(\r(3),3)，所以eq\f(c2,a2)＝eq\f(a2－b2,a2)＝eq\f(1,3)，得2a2＝3b2.又直线l：y＝x＋2与圆x2＋y2＝b2相切，则eq\f(2,\r(2))＝b，得b＝eq\r(2)，所以a2＝3.因此所求椭圆C1的方程为eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1.(2)由题意得eq\b\lc\|\rc\|(