【2022届走向高考】高三数学一轮(人教B版)基础巩固：第3章-第1节-导数的概念及运算

第三章第一节一、选择题1．(文)(2021·广州执行中学期中)设曲线y＝eq\f(x＋1,x－1)在点(3,2)处的切线与直线ax＋y＋1＝0垂直，则a等于()A．2 B.eq\f(1,2)C．－eq\f(1,2) D．－2[答案]D[解析]∵f′(x)＝eq\f(x－1－x＋1,x－12)＝－eq\f(2,x－12)，∴f′(3)＝－eq\f(1,2)，由条件知，－eq\f(1,2)×(－a)＝－1，∴a＝－2.(理)(2022·吉林长春期末)已知函数f(x)在R上满足f(2－x)＝2x2－7x＋6，则曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程是()A．y＝2x－1 B．y＝xC．y＝3x－2 D．y＝－2x＋3[答案]C[解析]方法一：令x＝1得f(1)＝1，令2－x＝t，可得x＝2－t，代入f(2－x)＝2x2－7x＋6得f(t)＝2(2－t)2－7(2－t)＋6，化简整理得f(t)＝2t2－t，即f(x)＝2x2－x，∴f′(x)＝4x－1，∴f′(1)＝3.∴所求切线方程为y－1＝3(x－1)，即y＝3x－2.方法二：令x＝1得f(1)＝1，由f(2－x)＝2x2－7x＋6，两边求导可得f′(2－x)·(2－x)′＝4x－7，令x＝1可得－f′(1)＝－3，即f′(1)＝3.∴所求切线方程为y－1＝3(x－1)，即y＝3x－2.2．若函数f(x)＝x2＋bx＋c的图象的顶点在其次象限，则函数f′(x)的图象是()[答案]C[解析]由题意可知eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2)，\f(4c－b2,4)))在其次象限，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2)<0，,\f(4c－b2,4)>0.))∴b>0，又f′(x)＝2x＋b，故选C.3．(文)(2021·济南质检)若函数f(x)＝excosx，则此函数图象在点(1，f(1))处的切线的倾斜角为()A．0 B．锐角C．直角 D．钝角[答案]D[解析]由已知得：f′(x)＝excosx－exsinx＝ex(cosx－sinx)．∴f′(1)＝e(cos1－sin1)．∵eq\f(π,2)>1>eq\f(π,4)，而由正、余弦函数性质可得cos1<sin1.∴f′(1)<0.即f(x)在(1，f(1))处的切线的斜率k<0.∴切线的倾斜角是钝角．(理)(2022·山东烟台期末)若点P是函数y＝ex－e－x－3x(－eq\f(1,2)≤x≤eq\f(1,2))图象上任意一点，且在点P处切线的倾斜角为钝角α，则α的最小值是()A.eq\f(5π,6) B.eq\f(3π,4)C.eq\f(π,4) D．eq\f(π,6)[答案]B[解析]由导数的几何意义，k＝y′＝ex＋e－x－3≥2eq\r(ex·e－x)－3＝－1，当且仅当x＝0时等号成立．即tanα≥－1，由于α∈(eq\f(π,2)，π)，所以α的最小值是eq\f(3π,4)，故选B.4．(2022·河南郑州市质量检测)已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(e)＋lnx，则f′(e)＝()A．1 B．－1C．－e－1 D．－e[答案]C[解析]f′(x)＝2f′(e)＋eq\f(1,x)，∴f′(e)＝2f′(e)＋eq\f(1,e)，∴f′(e)＝－eq\f(1,e)，故选C.5．(文)(2022·河南商丘调研)等比数列{an}中，a1＝2，a8＝4，f(x)＝x(x－a1)(x－a2)…(x－a8)，f′(x)为函数f(x)的导函数，则f′(0)＝()A．0 B．26C．29 D．212[答案]D[解析]∵f(x)＝x(x－a1)(x－a2)…(x－a8)，∴f′(x)＝(x－a1)(x－a2)…(x－a8)＋x·[(x－a1)(x－a2)…(x－a8)]′，∴f′(0)＝a1a2…a8＝(a1a8)4＝84＝2(理)(2021·海口模拟)下列曲线的全部切线构成的集合中，存在很多对相互垂直的切线的曲线是()A．f(x)＝ex B．f(x)＝x3C．f(x)＝lnx D．f(x)＝sinx[答案]D[解析]对于f(x)＝ex，有f′(x)＝ex>0恒成立；对于f(x)＝x3，有f′(x)＝3x2≥0；对于f(x)＝lnx，∵x>0，∴f′(x)＝eq\f(1,x)>0.因此在f(x)＝ex，f(x)＝x3，f(x)＝lnx的曲线上，都不存在x1，x2使f′(x1)·f′(x2)＝－1，对于f(x)＝sinx，∵f′(x)＝cosx，若f′(x1)·f′(x2)＝－1，即cosx1cosx2＝－1，则只需x1＝2kπ，x2＝(2k＋1)π，k∈Z即可，故选D.6．(文)(2021·河北质检)已知直线y＝kx是曲线y＝lnx的切线，则k的值是()A．e B．－eC.eq\f(1,e) D．－eq\f(1,e)[答案]C[解析]依题意，设直线y＝kx与曲线y＝lnx切于点(x0，kx0)，则有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(kx0＝lnx0，,k＝\f(1,x0).))由此得lnx0＝1，x0＝e，k＝eq\f(1,e)，选C.(理)(2021·成都七中期中)若存在过点(1,0)的直线与曲线y＝x3和y＝ax2＋eq\f(15,4)x－9都相切，则a等于()A．－1或－eq\f(25,64) B．－1或－eq\f(3,8)C．－eq\f(7,4)或－eq\f(25,64) D．－eq\f(7,4)或7[答案]A[解析]设过(1,0)的直线与y＝x3相切于点(x0，xeq\o\al(3,0))，所以切线方程为y－xeq\o\al(3,0)＝3xeq\o\al(2,0)(x－x0)，即y＝3xeq\o\al(2,0)x－2xeq\o\al(3,0)，又(1,0)在切线上，则x0＝0或x0＝eq\f(3,2)，当x0＝0时，由y＝0与y＝ax2＋eq\f(15,4)x－9相切可得a＝－eq\f(25,64)；当x0＝eq\f(3,2)时，由y＝eq\f(27,4)x－eq\f(27,4)与y＝ax2＋eq\f(15,4)x－9相切可得a＝－1，所以选A.本题常犯的错误是，不对点(1,0)的位置作出推断，直接由y＝x3，得出y′|x＝1＝3，再由y＝ax2＋eq\f(15,4)x－9，得y′|x＝1＝2a＋eq\f(15,4)＝3求出a＝－eq\f(3,8)，错选B.二、填空题7．(文)(2021·石家庄五校联合体摸底)函数f(x)＝xex在点(1，f(1))处的切线的斜率是________．[答案]2e[解析]∵f′(x)＝ex(x＋1)，∴f′(1)＝2e.(理)(2022·广东广州市调研)若直线y＝2x＋m是曲线y＝xlnx的切线，则实数m的值为________．[答案]－e[解析]设切点为(x0，x0lnx0)，由y′＝(xlnx)′＝lnx＋x·eq\f(1,x)＝lnx＋1，得切线的斜率k＝lnx0＋1，故切线方程为y－x0lnx0＝(lnx0＋1)(x－x0)，整理得y＝(lnx0＋1)x－x0，与y＝2x＋m比较得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(lnx0＋1＝2,－x0＝m))，解得x0＝e，故m＝－e.8．设θ为曲线y＝x3＋3x2＋ax＋2的切线的倾斜角，且全部θ组成的集合为[eq\f(π,4)，eq\f(π,2))，则实数a的值为________．[答案]4[解析]设切线的斜率为k，则k＝y′＝3x2＋6x＋a，又∵k＝tanθ，θ∈[eq\f(π,4)，eq\f(π,2))，∴k∈[1，＋∞)．又k＝3(x＋1)2＋a－3，∴当x＝－1时，k取最小值为a－3＝1.∴a＝4.9．(文)(2022·湖北武汉月考)已知曲线f(x)＝xn＋1(n∈N*)与直线x＝1交于点P，设曲线y＝f(x)在点P处的切线与x轴交点的横坐标为xn，则log2022x1＋log2022x2＋…＋log2022x2021的值为________．[答案]－1[解析]f′(x)＝(n＋1)xn，k＝f′(1)＝n＋1，点P(1,1)处的切线方程为y－1＝(n＋1)(x－1)，令y＝0，得x＝1－eq\f(1,n＋1)＝eq\f(n,n＋1)，即xn＝eq\f(n,n＋1)，∴x1·x2·…·x2021＝eq\f(1,2)×eq\f(2,3)×eq\f(3,4)×…×eq\f(2022,2021)×eq\f(2021,2022)＝eq\f(1,2022)，则log2022x1＋log2022x2＋…＋log2022x2021＝log2022(x1·x2·…·x2021)＝log2022eq\f(1,2022)＝－1.(理)(2022·湖南岳阳一模)设曲线y＝eq\r(x)上有一点P(x1，y1)，与曲线切于点P的切线为m，若直线n过P且与m垂直，则称n为曲线在点P处的法线，设n交x轴于点Q，又作PR⊥x轴于R，则RQ的长为________．[答案]eq\f(1,2)[解析](数形结合法)令f(x)＝eq\r(x)，∴f′(x1)＝eq\f(1,2\r(x1))，∵n与m垂直，∴直线n的斜率为－2eq\r(x1)，∴直线n的方程为y－y1＝－2eq\r(x1)(x－x1)，由题意设点Q(xQ,0)，R(xR,0)．令y＝0，又y1＝eq\r(x1)，则－eq\r(x1)＝－2eq\r(x1)·(xQ－x1)，解得xQ＝eq\f(1,2)＋x1，由题意知，xR＝x1，∴|RQ|＝|xQ－xR|＝eq\f(1,2).三、解答题10．(文)(2022·高州月考)设函数y＝ax3＋bx2＋cx＋d的图象与y轴交点为P，且曲线在P点处的切线方程为12x－y－4＝0.若函数在x＝2处取得极值0，试确定函数的解析式.[解析]∵y＝ax3＋bx2＋cx＋d的图象与y轴的交点为P(0，d)，又曲线在点P处的切线方程为y＝12x－4，P点坐标适合方程，从而d＝－4；又切线斜率k＝12，故在x＝0处的导数y′|x＝0＝12而y′|x＝0＝c，从而c＝12；又函数在x＝2处取得极值0，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y′|x＝2＝0，,f2＝0.))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(12a＋4b＋12＝0，,8a＋4b＋20＝0.))解得a＝2，b＝－9，所以所求函数解析式为y＝2x3－9x2＋12x－4.(理)设函数f(x)＝ax＋eq\f(b,x)的图象在点M(eq\r(3)，f(eq\r(3)))处的切线方程为2x－3y＋2eq\r(3)＝0.(1)求f(x)的解析式；(2)求函数f(x)的单调递减区间；(3)证明曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形面积为定值，并求此定值．[解析](1)由于切点在切线上，所以将点M坐标代入切线方程解得f(eq\r(3))＝eq\f(4\r(3),3).∵f(x)＝ax＋eq\f(b,x)，∴f′(x)＝a－eq\f(b,x2)，依据题意，得关于a，b的方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－\f(b,3)＝\f(2,3)，,\r(3)a＋\f(b,\r(3))＝\f(4\r(3),3)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝1.))所以f(x)的解析式为f(x)＝x＋eq\f(1,x).(2)由f′(x)＝1－eq\f(1,x2)(x≠0)，令f′(x)<0，解得－1<x<0或0<x<1.所以f(x)的单调递减区间为(－1,0)，(0,1)．(3)证明：设P(x0，y0)为曲线上任一点，由y′＝1－eq\f(1,x2)知曲线在点P(x0，y0)处的切线方程为y－y0＝(1－eq\f(1,x\o\al(2,0)))(x－x0)，即y－(x0＋eq\f(1,x0))＝(1－eq\f(1,x\o\al(2,0)))(x－x0)．令x＝0，得y＝eq\f(2,x0)，从而得切线与直线x＝0的交点坐标为(0，eq\f(2,x0))．令y＝x，得y＝x＝2x0，从而得切线与直线y＝x的交点坐标为(2x0,2x0)．所以点P(x0，y0)处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形面积为eq\f(1,2)eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(2,x0)))|2x0|＝2.一、选择题11．(2022·宁夏育才中学月考)点P是曲线x2－y－lnx＝0上的任意一点，则点P到直线y＝x－2的最小距离为()A．1 B.eq\f(\r(3),2)C.eq\f(\r(5),2) D．eq\r(2)[答案]D[解析]将x2－y－lnx＝0变形为y＝x2－lnx(x>0)，则y′＝2x－eq\f(1,x)，令y′＝1，则x＝1或x＝－eq\f(1,2)(舍)，可知函数y＝x2－lnx的斜率为1的切线的切点横坐标为x＝1，纵坐标为y＝1.故切线方程为x－y＝0.则点P到直线y＝x－2的最小距离即切线x－y＝0与y＝x－2两平行线间的距离，d＝eq\f(|0＋2|,\r(2))＝eq\r(2).12．(文)(2022·吉林长春三调)已知函数f(x)＝x2的图象在点A(x1，f(x1))与点B(x2，f(x2))处的切线相互垂直，并交于点P，则点P的坐标可能是()A．(－eq\f(3,2)，3) B．(0，－4)C．(2,3) D．(1，－eq\f(1,4))[答案]D[解析]由题意，A(x1，xeq\o\al(2,1))，B(x2，xeq\o\al(2,2))，f′(x)＝2x，则过A，B两点的切线斜率k1＝2x1，k2＝2x2，又切线相互垂直，所以k1k2＝－1，即x1x2＝－eq\f(1,4).两条切线方程分别为l1：y＝2x1x－xeq\o\al(2,1)，l2：y＝2x2x－xeq\o\al(2,2)，联立得(x1－x2)[2x－(x1＋x2)]＝0，∵x1≠x2，∴x＝eq\f(x1＋x2,2)，代入l1，解得y＝x1x2＝－eq\f(1,4)，故选D.(理)(2021·辽宁省沈阳四校期中联考)若函数y＝eq\f(x3,3)－x2＋1(0<x<2)的图象上任意点处切线的倾斜角为α，则α的最小值是()A.eq\f(π,4) B.eq\f(π,6)C.eq\f(5π,6) D．eq\f(3π,4)[答案]D[解析]y′＝x2－2x＝(x－1)2－1，∵0<x<2，∴－1≤y′<0，由题意知－1≤tanα<0，∴eq\f(3π,4)≤α<π，故选D.13．二次函数y＝f(x)的图象过原点，且它的导函数y＝f′(x)的图象是过第一、二、三象限的一条直线，则函数y＝f(x)的图象的顶点在()A．第一象限 B．其次象限C．第三象限 D．第四象限[答案]C[解析]由题意可设f(x)＝ax2＋bx，f′(x)＝2ax＋b，由于f′(x)图象是过第一、二、三象限的一条直线，故2a>0，b>0，则f(x)＝a(x＋eq\f(b,2a))2－eq\f(b2,4a)，顶点(－eq\f(b,2a)，－eq\f(b2,4a))在第三象限，故选C.14．(2022·江西七校一联)设函数f(x)＝xsinx＋cosx的图象在点(t，f(t))处切线的斜率为k，则函数k＝g(t)的部分图象为()[答案]B[解析]∵f(x)＝xsinx＋cosx，∴f′(x)＝xcosx，∴k＝g(t)＝tcost.g(t)为奇函数且在t＝0邻近，当t>0时，g(t)>0，故选B.二、填空题15．(文)(2022·河北邯郸二模)曲线y＝log2x在点(1,0)处的切线与坐标轴所围成三角形的面积等于________．[答案]eq\f(1,2)log2e[解析]∵y′＝eq\f(1,xln2)，∴k＝eq\f(1,ln2)，∴切线方程为y＝eq\f(1,ln2)(x－1)，∴三角形面积为S△＝eq\f(1,2)×1×eq\f(1,ln2)＝eq\f(1,2ln2)＝eq\f(1,2)log2e.(理)(2022·江苏)在平面直角坐标系xOy中，若曲线y＝ax2＋eq\f(b,x)(a，b为常数)过点P(2，－5)，且该曲线在点P处的切线与直线7x＋2y＋3＝0平行，则a＋b的值是________．[答案]－3[解析]由曲线y＝ax2＋eq\f(b,x)过点P(2，－5)，得4a＋eq\f(b,2)＝－5.①又y′＝2ax－eq\f(b,x2)，所以当x＝2时，4a－eq\f(b,4)＝－eq\f(7,2)，②由①②得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－1，,b＝－2，))所以a＋b＝－3.16．(2021·宁波四中月考)给出定义：若函数f(x)在D上可导，即f′(x)存在，且导函数f′(x)在D上也可导，则称f(x)在D上存在二阶导函数，记f″(x)＝(f′(x))′.若f″(x)<0在D上恒成立，则称f(x)在D上为凸函数．以下四个函数在(0，eq\f(π,2))上不是凸函数的是________(把你认为正确的序号都填上)．①f(x)＝sinx＋cosx；②f(x)＝lnx－2x；③f(x)＝－x3＋2x－1；④f(x)＝xex.[答案]①②③[解析]对于①，f′(x)＝cosx－sinx，f″(x)＝－sinx－cosx＝－eq\r(2)sin(x＋eq\f(π,4))<0在区间(0，eq\f(π,2))上恒成立；②中，f′(x)＝eq\f(1,x)－2(x>0)，f″(x)＝－eq\f(1,x2)<0在区间(0，eq\f(π,2))上恒成立；③中，f′(x)＝－3x2＋2，f″(x)＝－6x在区间(0，eq\f(π,2))上恒小于0.故①②③为凸函数．④中，f′(x)＝ex＋xex，f″(x)＝2ex＋xex＝ex(x＋2)>0在区间(0，eq\f(π,2))上恒成立，故④中函数不是凸函数．三、解答题17．(文)(2021·河北冀州中学检测)已知函数f(x)＝x3－3x.(1)求曲线y＝f(x)在点x＝2处的切线方程；(2)若过点A(1，m)(m≠－2)可作曲线y＝f(x)的三条切线，求实数m的取值范围．[解析](1)f′(x)＝3x2－3，f′(2)＝9，f(2)＝23－3×2＝2，∴曲线y＝f(x)在x＝2处的切线方程为y－2＝9(x－2)，即9x－y－16＝0.(2)过点A(1，m)向曲线y＝f(x)作切线，设切点为(x0，y0)，则y0＝xeq\o\al(3,0)－3x0，k＝f′(x0)＝3xeq\o\al(2,0)－3，则切线方程为y－(xeq\o\al(3,0)－3x0)＝(3xeq\o\al(2,0)－3)(x－x0)．∵切线过点A(1，m)，于是得2xeq\o\al(3,0)－3xeq\o\al(2,0)＋m＋3＝0，(*)∵过点A(1，m)(m≠－2)可作曲线y＝f(x)的三条切线，∴方程(*)有三个不同实数根．记g(x)＝2x3－3x2＋m＋3，g′(x)＝6x2－6x＝6x(x－1)，令g′(x)＝0，x＝0或1.则x，g′(x)，g(x)的变化状况如下表：x(－∞，0)0(0,1)1(1，＋∞)g′(x)＋0－0＋g(x)极大微小当x＝0时，g(x)有极大值m＋3；当x＝1时，g(x)有微小值m＋2.由g(x)的简图知，当且仅当eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(g0>0，,g1<0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＋3>0，,m＋2<0，))－3<m<－2时，函数g(x)有三个不同零点，过点A可作三条不同切线．所以所求m的范围是(－3，－2)．(理)(2021·大连二十中期中)已知函数f(x)＝ax3＋bx2－3x在x＝±1处取得极值．(1)求函数f(x)的解析式；(2)求证：对于区间[－1,1]上任意两个自变量的值x1，x2，都有|f(x1)－f(x2)|≤4；(3)若过点A(1，m)(m≠－2)可作曲线y＝f(x)的三条切线，求实数m的取值范围．[解析](1)f′(x)＝3ax2＋2bx－3，依题意，f′(1)＝f′(－1)＝0，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3a＋2b－3＝0，,3a－2b－3＝0，))解得a＝1，b＝0.∴f(x)＝x3－3x.(2)∵f(x)＝x3－3x，∴f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，当－1<x<1时，f′(x)<0，故f(x)在区间[－1,1]上为减函数，fmax(x)＝f(－1)＝2，fmin(x)＝f(1)＝－2.∵对于区间[－1,1]上任意两个自变量的值x1，x2，都有|f(x1)－f(x2)|≤|fmax(x)－fmin(x)|＝2－(－2)＝4.(3)f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1),∵曲线方程为y＝x3－3x，m≠－2，∴点A(1，m)不在曲线上．设切点为M(x0，y0)，则点M的坐标满足y0＝xeq\o\al(3,0)－3x0.由于f′(x0)＝3(xeq\o\al(2,0)－1)，故切线的斜率为3(xeq\o\al(2,0)－1)＝eq\f(x\o\al(3,0)－3x0－m,x0－1)，整理得2xeq\o\al(3,0)－3xeq\o\al(2,0)＋m＋3＝0，(*)∵过点A(1，m)可作曲线的三条切线，∴方程(*)有三个不同的实数解．记g(x)＝2x3－3x2＋m＋3，g′(x)＝6x2－6x＝6x(x－1)，令g′(x)＝0，x＝0或1.则x，g′(x)，g(x)的