《状元之路》2022届高考数学理新课标A版一轮总复习开卷速查-必修部分67-离散型随机变量及其分布列

开卷速查(六十七)离散型随机变量及其分布列A级基础巩固练1．某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产状况，随机抽取该流水线上40件产品作为样本称出它们的质量(单位：克)，质量的分组区间为(490,495]，(495,500]，…，(510,515]．由此得到样本的频率分布直方图，如图所示．(1)依据频率分布直方图，求质量超过505克的产品数量；(2)在上述抽取的40件产品中任取2件，设Y为质量超过505克的产品数量，求Y的分布列．解析：(1)依据频率分布直方图可知，质量超过505克的产品数量为40×(0.05×5＋0.01×5)＝40×0.3＝12.(2)Y的可能取值为0,1,2，且Y听从参数为N＝40，M＝12，n＝2的超几何分布，故P(Y＝0)＝eq\f(C\o\al(0,12)C\o\al(2,28),C\o\al(2,40))＝eq\f(63,130)，P(Y＝1)＝eq\f(C\o\al(1,12)C\o\al(1,28),C\o\al(2,40))＝eq\f(28,65)，P(Y＝2)＝eq\f(C\o\al(2,12)C\o\al(0,28),C\o\al(2,40))＝eq\f(11,130).所以Y的分布列为Y012Peq\f(63,130)eq\f(28,65)eq\f(11,130)2.某厂生产的产品在出厂前都要做质量检测，每一件一等品都能通过检测，每一件二等品通过检测的概率为eq\f(2,3).现有10件产品，其中6件是一等品，4件是二等品．(1)随机选取1件产品，求能够通过检测的概率；(2)随机选取3件产品，其中一等品的件数记为X，求X的分布列；(3)随机选取3件产品，求这3件产品都不能通过检测的概率．解析：(1)设随机选取一件产品，能够通过检测的大事为A，大事A等于大事“选取一等品都通过检测或者是选取二等品通过检测”，∴P(A)＝eq\f(6,10)＋eq\f(4,10)×eq\f(2,3)＝eq\f(13,15).(2)由题可知X的可能取值为0,1,2,3.P(X＝0)＝eq\f(C\o\al(3,4)C\o\al(0,6),C\o\al(3,10))＝eq\f(1,30)，P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(2,4)C\o\al(1,6),C\o\al(3,10))＝eq\f(3,10)，P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(1,4)C\o\al(2,6),C\o\al(3,10))＝eq\f(1,2)，P(X＝3)＝eq\f(C\o\al(0,4)C\o\al(3,6),C\o\al(3,10))＝eq\f(1,6).∴X的分布列如下：X0123Peq\f(1,30)eq\f(3,10)eq\f(1,2)eq\f(1,6)(3)设“随机选取3件产品都不能通过检测”的大事为B，大事B等于大事“随机选取3件产品都是二等品且都不能通过检测”，所以，P(B)＝eq\f(1,30)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))3＝eq\f(1,810).B级力气提升练3．一次考试共有12道选择题，每道选择题都有4个选项，其中有且只有一个是正确的．评分标准规定：“每题只选1个选项，答对得5分，不答或答错得0分”．某考生已确定有8道题的答案是正确的，其余题中：有2道题都可推断2个选项是错误的，有1道题可以推断1个选项是错误的，还有1道题因不理解题意只好乱猜．恳求出该考生：(1)得60分的概率；(2)所得分数X的分布列．解析：(1)设“选对可推断2个选项是错误的2道题之一”为大事A，“选对可推断1个选项是错误的1道题”为大事B，“选对不理解题意的1道题”为大事C.则P(A)＝eq\f(1,2)，P(B)＝eq\f(1,3)，P(C)＝eq\f(1,4)，所以得60分的概率P＝eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×eq\f(1,3)×eq\f(1,4)＝eq\f(1,48).(2)依题意得，所得分数X可能的取值为40,45,50,55,60.P(X＝40)＝eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×eq\f(2,3)×eq\f(3,4)＝eq\f(1,8)；P(X＝45)＝Ceq\o\al(1,2)×eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×eq\f(2,3)×eq\f(3,4)＋eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×eq\f(1,3)×eq\f(3,4)＋eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×eq\f(2,3)×eq\f(1,4)＝eq\f(17,48)；P(X＝50)＝eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×eq\f(2,3)×eq\f(3,4)＋Ceq\o\al(1,2)×eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×eq\f(1,3)×eq\f(3,4)＋Ceq\o\al(1,2)×eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×eq\f(2,3)×eq\f(1,4)＋eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×eq\f(1,3)×eq\f(1,4)＝eq\f(17,48)；P(X＝55)＝Ceq\o\al(1,2)×eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×eq\f(1,3)×eq\f(1,4)＋eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×eq\f(2,3)×eq\f(1,4)＋eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×eq\f(1,3)×eq\f(3,4)＝eq\f(7,48)；P(X＝60)＝eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×eq\f(1,3)×eq\f(1,4)＝eq\f(1,48).所以所得分数X的分布列为：X4045505560Peq\f(1,8)eq\f(17,48)eq\f(17,48)eq\f(7,48)eq\f(1,48)4.2022年10月1日，为庆祝中华人民共和国成立65周年，来自北京高校和清华高校的6名高校生志愿者被随机平均支配到天安门广场运送矿泉水、打扫卫生、维持秩序这三个岗位服务，且运送矿泉水岗位至少有1名北京高校志愿者的概率是eq\f(3,5).(1)求打扫卫生岗位恰好有北京高校、清华高校志愿者各1名的概率；(2)设随机变量ξ为在维持秩序岗位服务的北京高校志愿者的人数，求ξ的分布列．解析：(1)记“至少有1名北京高校志愿者被分到运送矿泉水岗位”为大事A，则大事A的对立大事为“没有北京高校志愿者被分到运送矿泉水岗位”，设有北京高校志愿者x名，1≤x<6，那么P(A)＝1－eq\f(C\o\al(2,6－x),C\o\al(2,6))＝eq\f(3,5)，解得x＝2，即来自北京高校的志愿者有2名，来自清华高校的志愿者有4名．记“打扫卫生岗位恰好有北京高校、清华高校志愿者各1名”为大事B，则P(B)＝eq\f(C\o\al(1,2)C\o\al(1,4),C\o\al(2,6))＝eq\f(8,15)，所以打扫卫生岗位恰好有北京高校、清华高校志愿者各1名的概率是eq\f(8,15).(2)在维持秩序岗位服务的北京高校志愿者的人数ξ听从超几何分布，其中N＝6，M＝2，n＝2，于是P(ξ＝k)＝eq\f(C\o\al(k,2)C\o\al(2－k,4),C\o\al(2,6))，k＝0,1,2，∴P(ξ＝0)＝eq\f(C\o\al(0,2)C\o\al(2,4),C\o\al(2,6))＝eq\f(2,5)，P