【2021届备考】2020全国名校数学试题分类解析汇编(11月第三期)：F单元-平面向量

F单元平面对量名目F单元平面对量 1F1平面对量的概念及其线性运算 1F2平面对量基本定理及向量坐标运算 1F3平面对量的数量积及应用 1F4单元综合 1F1平面对量的概念及其线性运算【数学（文）卷·2021届四川省绵阳市高三第一次诊断性考试（202210）word版】12、已知向量，若与向量共线，则实数.【学问点】向量共线的意义.F1【答案解析】-1解析：由于，所以=，又与共线，所以.【思路点拨】依据向量的坐标运算求得的坐标，再由与向量共线得关于的方程，解此方程即可.【数学理卷·2021届北京市重点中学高三上学期第一次月考（202210）】8.如图，半径为的扇形的圆心角为，点在上，且，若，则A．B．C．D．【学问点】向量的线性运算性质及几何意义．F1【答案解析】A解析：如图所示，建立直角坐标系．

∵，．，

即．，∴，

即．又，．∴．

∴，解得．故选：A．【思路点拨】本题考查了向量的坐标运算和向量相等，属于中档题．第=2\*ROMANII卷（非选择题共110分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）【数学文卷·2021届黑龙江省哈六中高三上学期期中考试（202211）】15.向量在正方形网格中的位置如图所示.设向量,若，则实数__________.【学问点】向量垂直于与其数量积的关系.F1F3【答案解析】3解析：由于，,所以,解得.【思路点拨】由正方形网格图可得向量的模，再由得，进而得关于的方程求解.【数学文卷·2021届黑龙江省哈六中高三上学期期中考试（202211）】7.已知中，,为的中点，则（）A.6B.5C.4D.3【学问点】向量的数量积；向量加法的平行四边形法则；余弦定理.F3F1C8【答案解析】D解析：由得bccosA=-16,又a=BC=10，代入余弦定理得，，由于,所以,所以.从而3，故选D.【思路点拨】依据向量数量积的定义得bccosA=-16，代入余弦定理得，再由向量加法的平行四边形法则得，两边平方，转化为数量积运算得结论.【数学文卷·2021届黑龙江省哈六中高三上学期期中考试（202211）】3.已知向量,,且∥，则（）A.3B.C.D.【学问点】向量共线的意义.F1【答案解析】B解析：由于,，所以，又∥，所以-4x+x+1=0,解得x=,故选B.【思路点拨】依据向量共线的意义得关于x的方程，求得x值.【数学文卷·2021届湖南省师大附中高三上学期其次次月考（202210）】14、如图所示，在平行四边形ABCD中，已知AB=8，AD=5，∠DAB=60,,则的值为.【学问点】向量的线性运算；向量的数量积.F1F3【答案解析】3解析：,.所以=.【思路点拨】先把分别用表示，再利用向量的数量积求解.【数学文卷·2021届河北省衡水中学高三上学期二调考试（202210）word版】10.若点M是△ABC所在平面内的一点，且满足，则△ABM与△ABC面积之比等于A. B. C. D.【学问点】平面对量及其应用F1【答案解析】C解析：如图G为BC的中点，点M是△ABC所在平面内的一点，且满足，则,,面积相等，所以△ABM与△ABC面积之比等于，故选：C【思路点拨】由得，设G为BC的中点，可得，依据△ABG和△ABC面积的关系，△ABM与△ABC面积之比，求出△ABM与△ABC的面积之比．【数学卷·2021届甘肃省兰州一中高三上学期期中考试（202210）】7.若是的重心，分别是角的对边，则角()A．B.C．D.【学问点】向量的线性运算；余弦定理.F1C8【答案解析】D解析：由于是的重心，所以,同理，,.代入已知等式整理得,又由于不共线，所以，所以，由于,所以，故选D.【思路点拨】利用向量的线性运算及共线向量的性质，得关于a,b,c的方程组，从而用b表示a,c，然后用余弦定理求解.F2平面对量基本定理及向量坐标运算【数学（理）卷·2021届四川省绵阳市高三第一次诊断性考试（202210）word版】16．（本小题满分12分）已知向量m=(sinωx，cosωx)，n=(cosωx，cosωx)，其中ω>0，函数2m·n-1的最小正周期为π．(Ⅰ)求ω的值；(Ⅱ)求函数在[，]上的最大值．【学问点】向量的坐标运算;三角函数的化简求值.C7,F2【答案解析】(1)(2)解析：解：(Ⅰ)2m·n-1=．……………6分由题意知：，即，解得．…………………7分(Ⅱ)由(Ⅰ)知，∵≤x≤，得≤≤，又函数y=sinx在[，]上是减函数，∴…………………10分

=．………………【思路点拨】由向量的坐标运算可以列出关系式，求出的值，再依据解析式在定义域内求出函数的最大值.【数学（文）卷·2021届四川省绵阳市高三第一次诊断性考试（202210）word版】16、（本小题满分12分）已知向量，其中函数的最小正周期为.（1）求的值.（2）求函数在上的最大值.【学问点】向量的坐标运算;三角函数的化简求值.F2C7【答案解析】(1)(2)解析：(1)2m·n-1=．………………6分由题意知：，即，解得．……7分(2)由(Ⅰ)知，∵≤x≤，得≤≤，又函数y=sinx在[，]上是减函数，∴…………10分

=．…………………12分【思路点拨】由向量的坐标运算可以列出关系式，求出的值，再依据解析式在定义域内求出函数的最大值.【数学理卷·2021届浙江省温州十校（温州中学等）高三上学期期中联考（202211）】16.已知是单位向量,.若向量满足______【学问点】向量的模．F2【答案解析】解析：∵是单位向量，．若向量满足，∴设=（1，0），=（0，1），=（x，y），则=（x﹣1，y﹣1），∵，∴（x﹣1）2+（y﹣1）2=1，故向量||的轨迹是在以（1，1）为圆心，半径等于1的圆上，∴||的最大值为，故答案为：【思路点拨】通过建立直角坐标系，利用向量的坐标运算和圆的方程及数形结合即可得出．【数学文卷·2021届黑龙江省哈六中高三上学期期中考试（202211）】18．（本小题满分12分）已知向量且A、B、C分别为△ABC的三边a、b、c所对的角.（1）求角C的大小；（2）若，求c边的长.【学问点】向量的坐标运算；正弦定理；余弦定理.F2C8【答案解析】(1)；（2）6.解析：（1） 对于，又， （2）由，由正弦定理得，即由余弦弦定理，，【思路点拨】（1）利用向量数列积坐标表达式，诱导公式，二倍角公式求得结果；（2）由正弦定理，向量数列积的定义式，以及余弦定理求得结果.【数学文卷·2021届辽宁师大附中高三上学期10月模块考试（202210）】17、（本小题满分10分）在中，内角A、B、C的对边分别为，向量，且（1）求锐角B的大小；（2）已知，求的面积的最大值。【学问点】二倍角的余弦；平行向量与共线向量；两角和与差的正弦函数．C5C6F2【答案解析】（1）；（2）解析：（1）由得整理得为锐角………………5’（2）由余弦定理得4=………………10’【思路点拨】（1）由两向量的坐标，及两向量平行时满足的关系列出关系式，利用二倍角的正弦函数公式化简，再利用同角三角函数间的基本关系弦化切后求出tan2B的值，由B为锐角，得到2B的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出B的度数；（2）由cosB的值及b的值，利用余弦定理列出关于a与c的关系式，利用基本不等式求出ac的最大值，再由sinB及ac的最大值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC面积的最大值．【数学文卷·2021届辽宁师大附中高三上学期10月模块考试（202210）】3、已知是两个非零向量，给定命题，命题，使得，则是的（）A、充分不必要条件B、必要不充分条件C、充要条件D、既不充分也不必要条件【学问点】必要条件、充分条件与充要条件的推断；向量的几何表示．A2F2【答案解析】C解析：（1）若命题p成立，∵，是两个非零向量，|•|=||||，即|||||•cos＜，＞|=||||，∴cos＜，＞=±1，＜，＞=00或＜，＞=1800∴，共线，即；∃t∈R，使得=t，∴由命题p成立能推出命题q成立．（2）若命题p成立，即∃t∈R，使得=t，则，两个非零向量共线，∴＜，＞=00或＜，＞=1800，∴cos＜，＞=±1，即|||||•cos＜，＞|=||||，∴|•|=||||，∴由命题q成立能推出命题p成立．∴p是q的充要条件．故选C．【思路点拨】利用两个向量的数量积公式，由命题p成立能推出命题q成立，由命题q成立能推出命题p成立，p是q的充要条件．【数学文卷·2021届河北省衡水中学高三上学期二调考试（202210）word版】13.设平面对量a=(1,2),b=(-2,y),若a//b，则y=_____________.【学问点】向量平行的充要条件F2【答案解析】-4解析：a=(1,2),b=(-2,y),a//b，故答案为：-4【思路点拨】直接利用向量共线的坐标表示列式计算.【数学卷·2021届甘肃省兰州一中高三上学期期中考试（202210）】10．如图，是半径为5的圆上的一个定点，单位向量在点处与圆相切，点是圆上的一个动点，且点与点不重合，则的取值范围是()A．B.C．D.【学问点】向量数量积的坐标运算.F2F3【答案解析】B解析：以O为原点，OA所在直线为y轴建立直角坐标系，则圆O的方程为：，A(0,-5),,设P(x,y),则，所以，所以的取值范围是，故选B.【思路点拨】建立适当直角坐标系，得点P所在圆的方程，及向量的坐标，利用向量数量积的坐标运算求得结论.F3平面对量的数量积及应用【数学理卷·2021届黑龙江省哈六中高三上学期期中考试（202211）】17．在中，角所对的边分别为，且满足，.（1）求的面积；（4分）（2）若、的值.（6分）【学问点】向量的运算；余弦定理.C8,F3【答案解析】(1)2(2)解析：（1）,而又，，4分（2）而，，又，6分【思路点拨】依据向量的运算求出两边的乘积，再用正弦与余弦定理可求出三角值.【数学理卷·2021届辽宁师大附中高三上学期期中考试（202211）】4．在中，，且，点满足则等于（）A．B． C． D．【学问点】平面对量的数量积及应用F3【答案解析】B由题意得AB=3，△ABC是等腰直角三角形，

=+=0+||•||cos45°=×3×3×=3，故选B．【思路点拨】由，再利用向量和的夹角等于45°，两个向量的数量积的定义，求出的值．【数学理卷·2021届湖南省师大附中高三上学期其次次月考（202210）word版】5、若等边△ABC边长为，平面内一点M满足，则=（）A、B、C、D、【学问点】平面对量数量积的性质及其运算律．F3【答案解析】C解析：∵∴∴，故选C.【思路点拨】先用向量,表示出向量,，再求内积即可得解。【数学理卷·2021届湖北省襄阳四中、龙泉中学、宜昌一中、荆州中学高三四校联考（202210）word版(1)】6．若O为△ABC所在平面内任一点，且满足，则△ABC确定是（）A.正三角形 B.等腰三角形C.直角三角形 D．等腰直角三角形【学问点】平面对量的数量积及应用F3【答案解析】B∵(-)•(+-2)=(-)[(-)+(-)]

=(-)•(+)=•(+)=(-)•(+)=||2-||2=0，∴||=||，∴△ABC为等腰三角形．故答案为：B【思路点拨】利用向量的运算法则将等式中的向量,,用三角形的各边对应的向量表示，得到边的关系，得出三角形的外形．【数学理卷·2021届浙江省重点中学协作体高三第一次适应性测试（202211）word版】6．在中，已知，，若点在斜边上，，则的值为（▲）。A．48B．24C．12D．6【学问点】平面对量数量积的运算F3【答案解析】B解析：以AC为x轴，AB为y轴建立直角坐标系，则有A（0,0）B(0,6)C（x，0）D（）【思路点拨】由题意建立适当的坐标系，写出各点坐标，利用数量积的坐标运算即可求解。【数学理卷·2021届宁夏银川一中高三第三次月考（202210）】5．在中，，且，点满足等于A．3 B．2 C．4 D．【学问点】平面对量的数量积及应用F3【答案解析】A由题意得AB=3，△ABC是等腰直角三角形，=（）

=+=0+||•||cos45°=×3×3×=3，故选A．【思路点拨】由=（），再利用向量和的夹角等于45°，两个向量的数量积的定义，求出的值．【数学理卷·2021届北京市重点中学高三上学期第一次月考（202210）】10.向量、满足，，与的夹角为，则.【学问点】平面对量的数量积及其应用.F3【答案解析】解析：,,.【思路点拨】先把两边平方，再结合公式即可求出。【数学文卷·2021届黑龙江省哈六中高三上学期期中考试（202211）】15.向量在正方形网格中的位置如图所示.设向量,若，则实数__________.【学问点】向量垂直于与其数量积的关系.F1F3【答案解析】3解析：由于，,所以,解得.【思路点拨】由正方形网格图可得向量的模，再由得，进而得关于的方程求解.【数学文卷·2021届黑龙江省哈六中高三上学期期中考试（202211）】7.已知中，,为的中点，则（）A.6B.5C.4D.3【学问点】向量的数量积；向量加法的平行四边形法则；余弦定理.F3F1C8【答案解析】D解析：由得bccosA=-16,又a=BC=10，代入余弦定理得，，由于,所以,所以.从而3，故选D.【思路点拨】依据向量数量积的定义得bccosA=-16，代入余弦定理得，再由向量加法的平行四边形法则得，两边平方，转化为数量积运算得结论.【数学文卷·2021届辽宁师大附中高三上学期期中考试（202211）】16.已知是单位向量，.若向量满足________．【学问点】平面对量的数量积及应用F3【答案解析】[-1，+1]．由，是单位向量，•=0．可设=（1，0），=（0，1），=（x，y）∵向量满足|--|=1，∴|（x-1，y-1）|=1，∴=1，即（x-1）2+（y-1）2=1．其圆心C（1，1），半径r=1．∴|OC|=．

∴-1≤||=+1．∴||的取值范围是[-1，+1]．

故答案为：[-1，+1]．【思路点拨】由，是单位向量，•=0．可设=（1，0），=（0，1），=（x，y）．由向量满足|--|=1，可得（x-1）2+（y-1）2=1．其圆心C（1，1），半径r=1．利用|OC|-r≤||=≤|OC|+r即可得出．【数学文卷·2021届辽宁师大附中高三上学期期中考试（202211）】4.已知向量（）A.B.C.D.【学问点】平面对量的数量积及应用F3【答案解析】C由向量=（λ+1，1），=（λ+2，2），得=(λ+1，1)+(λ+2，2)=(2λ+3，3)，=(λ+1，1)-(λ+2，2)=(-1，-1)

由（）()，得（2λ+3）×（-1）+3×（-1）=0，解得：λ=-3．故答案为：C．【思路点拨】由向量的坐标加减法运算求出（）,()的坐标，然后由向量垂直的坐标运算列式求出λ的值．【数学文卷·2021届辽宁师大附中高三上学期10月模块考试（202210）】18、（本题满分10分）已知向量（＞0，0＜＜）。函数，的图象的相邻两对称轴之间的距离为2，且过点。（1）求的表达式；（2）求的值。【学问点】三角函数中的恒等变换应用；平面对量数量积的运算．C7F3【答案解析】（1）；（2）解析：（1）=由题意知：周期，∴。又图象过点，∴即，∵0＜＜，∴，，∴。………………5’（2）的周期，∵原式=。………………10’【思路点拨】（1）依据向量的数量积运算、平方关系、二倍角的余弦公式化简解析式，由周期公式和题意求出ω的值，再把点代入化简后，结合φ的范围求出φ；（2）依据函数的周期为4，求出一个周期内的函数值的和，再依据周期性求出式子的值．【数学文卷·2021届辽宁师大附中高三上学期10月模块考试（202210）】7、已知向量，向量，且，则实数等于（）A、B、C、D、【学问点】数量积推断两个平面对量的垂直关系．F3【答案解析】D解析：由向量，向量，∴=（1﹣x，4），又，∴1×（1﹣x）+2×4=0，解得x=9．故选D．【思路点拨】由给出的向量的坐标求出的坐标，然后直接利用向量垂直的坐标表示列式求解x的值．【数学文卷·2021届湖南省师大附中高三上学期其次次月考（202210）】14、如图所示，在平行四边形ABCD中，已知AB=8，AD=5，∠DAB=60,,则的值为.【学问点】向量的线性运算；向量的数量积.F1F3【答案解析】3解析：,.所以=.【思路点拨】先把分别用表示，再利用向量的数量积求解.【数学文卷·2021届浙江省温州十校（温州中学等）高三上学期期中联考（202211）】18.(本小题满分14分)已知为的三个内角的对边，向量，,，，(1)求角的大小；(2)求的值．【学问点】余弦定理的应用；平面对量的综合题．C8F3【答案解析】（1）;(2)c=2或解析：（1），，…………3分则，…………5分所以，…………7分又，则或…………8分又a>b，所以…………9分由余弦定理：…………10分得c=2或…………………14分【思路点拨】（1），则，则有化简后即可求角B的大小；（2）由余弦定理即可求c的值．【数学文卷·2021届浙江省温州十校（温州中学等）高三上学期期中联考（202211）】6.已知向量满足（）【学问点】数量积表示两个向量的夹角；平面对量数量积的运算．F3【答案解析】C解析：设的夹角为θ，0°≤θ≤180°，则由题意可得（）•=0，即+=1+1×2×cosθ=0，解得cosθ=﹣，∴θ=120°，故选C．【思路点拨】设，的夹角为θ，0°≤θ≤180°，则由题意可得（）•=0，解得cosθ=﹣，可得θ的值．【数学文卷·2021届河北省衡水中学高三上学期二调考试（202210）word版】18.(本小题满分12分)已知向量m=(sinx,-1),n=(),函数=m2+mn-2（1）求的最大值，并求取最大值时x的取值集合;(2)已知a,b,c分别为△ABC内角A、B、C的对边，且a,b,c成等比数列，角B为锐角，且,求的值.【学问点】平面对量的数量积运算；三角恒等变换；正弦定理F3C5C【答案解析】解：（1）.故，得所以取最大值时x的取值集合为。（2）由及正弦定理得于是【思路点拨】（1）把给出的向量的坐标代入函数解析式，化简整理后得到，直接由即可得到使函数取得最大值1的的取值集合；（2）由B为锐角，利用求出B的值，把要求的式子切化弦，由a，b，c成等比数列得到，代入化简后即可得到结论。【数学文卷·2021届河北省衡水中学高三上学期二调考试（202210）word版】4.平面对量与的夹角为60°，=(2,0)，||=1，则|+2|等于A. B. C.4